資源簡介

4．單擺
1．知道什么是單擺，了解單擺的構成及單擺的回復力。
2．理解單擺做簡諧振動的條件，會利用圖像法分析單擺的運動。
3．掌握單擺的周期公式，并能夠進行計算。
4．經歷單擺周期與擺長關系的探究過程，體會實驗設計思路。
5．借助單擺周期影響因素的分析，培養嚴謹的科學態度。
　單擺及單擺的回復力
1．單擺的組成
由細線和小球組成。如圖所示。
2．理想化模型
(1)細線的長度不可改變。
(2)細線的質量與小球相比可以忽略。
(3)小球的直徑與線的長度相比可以忽略。
　在這個模型里，細線無彈性、不可伸縮、沒有質量，小球是質點。
3．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。
(2)回復力的特點：在擺角很小時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－x。從回復力特點可以判斷單擺做簡諧運動。
如圖所示，小球和細線構成一個單擺。
問題1　結合簡諧運動的知識，思考運動過程中小球受到幾個力的作用？什么力充當小球振動的回復力？
提示：小球受重力和細線的拉力。重力沿圓弧切線的分力。
問題2　擺球經過平衡位置時，合外力是否為零？擺球到達最大位移處，v＝0，加速度是否等于0
提示：單擺擺動中平衡位置不是平衡狀態，有向心力和向心加速度，回復力為零，合外力不為零。最大位移處速度等于零，但不是平衡狀態，所以加速度不等于零。
1．單擺的受力分析
(1)單擺受力：受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ，提供了使擺球振動的回復力。
2．單擺做簡諧運動的推證
如圖所示，單擺的回復力F＝G1＝mg sin θ，在偏角很小時，sin θ≈，所以單擺的回復力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，故單擺做簡諧運動。
3．單擺做簡諧運動的規律
(1)單擺做簡諧運動的位移—時間(x t)圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
(2)單擺振動過程中各量的變化特點。
位置或過程 位移、回復力、加速度 速度、動能 重力勢能
最高點 最大 零 最大
最低點 零 最大 最小
遠離平衡位置運動 越來越大 越來越小 越來越大
衡位置運動 越來越小 越來越大 越來越小
【典例1】　(2022·重慶西南大學附屬中學月考)如圖所示，O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，速度為零，所受合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，所受回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，所受回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
D　[擺球在重力和細線拉力作用下沿圓弧AC做圓周運動，在最高點A、C處速度為零，所受合力不為零，A錯誤；在最低點B處速度最大，所需向心力最大，重力沿細線方向的分力最大，細線的拉力最大，D正確；回復力F＝mgsin θ，其中θ為擺線偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動過程中，在最高點A、
C處回復力最大，在最低點B處回復力為零，故B、C錯誤。]
[跟進訓練]
1．(多選)如圖所示為均勻小球在做單擺運動，平衡位置為O點，A、B為最大位移處，M、N點關于O點對稱。下列說法正確的是(　　)
A．小球受重力、繩子拉力和回復力
B．小球所受合外力就是單擺的回復力
C．小球在O點時合外力不為0，回復力為0
D．小球在M點的位移與小球在N點的位移大小相等
CD　[小球只受兩個力：重力、繩子拉力，A錯誤；單擺的回復力由重力沿運動方向的分力提供，B錯誤；單擺在O點時，回復力為0，但合外力不為0，合外力指向運動軌跡的圓心，C正確；根據運動的對稱性可知，選項D正確。]
　單擺的周期
1．探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：控制變量法。
(2)實驗結論：
①單擺振動的周期與擺球質量無關。
②周期與振幅無關。
③擺長越長，周期越大；擺長越短，周期越小。
2．周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質量無關。
　1.單擺的周期只與其擺長和當地的重力加速度有關，而與振幅和擺球質量無關，它又叫作單擺的固有周期。單擺周期公式的成立條件為擺角θ<5°。
2．周期為2 s的單擺叫作秒擺。秒擺的擺長約為1 m。
意大利的物理學家伽利略在觀察吊燈擺動現象時發現擺的等時性原理，即在擺角小于5°時，不論擺鐘擺動幅度大些還是小些，完成一次擺動的時間都是相同的。
請你利用自己的脈搏和身邊的器材重復伽利略的實驗。
問題1　同一個擺振動的快慢與擺的振幅有無關系？
提示：無關。
問題2　振動的快慢與擺錘的輕重有無關系？
提示：無關。
問題3　振動的快慢與擺線長短有關嗎？
提示：有關。擺線越長，振動越慢，擺線越短振動越快。
1．對單擺周期公式T＝2π的理解
(1)T與擺長l和當地的重力加速度g有關。
(2)T與振幅和擺球質量無關，故T又叫作單擺的固有周期。
(3)適用條件：擺角很小(一般小于5°)。
2．對擺長l和重力加速度g的理解
(1)擺長l：指從懸點到擺球重心的長度。
①對于實際的單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：
a．圖(a)中小球在O點右側運動時擺長為L，在O點左側運動時擺長為L。
b．圖(b)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，故甲擺等效擺長為l sin α。其周期T＝。
c．圖(c)中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)重力加速度g的理解。
①公式中的g由單擺所在地的空間位置決定。
由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度。
a．若單擺系統處在多力存在的平衡態，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值。如圖甲所示的斜面擺，球靜止在O點時，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如圖乙所示的電場中，帶電荷量為q(q>0)的小球靜止于圖示位置時，擺線拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
b．若單擺系統處在非平衡狀態(如加速、減速、完全失重狀態)，如單擺處在向上加速發射的航天器內，設航天器加速度為a，此時擺球處于超重狀態，沿圓弧切線方向的回復力變大，擺球質量不變，則重力加速度的等效值g′＝g＋a。
【典例2】　(多選)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示。根據振動圖像可以斷定(　　)
A．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
B．甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2
C．甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3
D．若甲、乙兩單擺在不同地點擺動，但擺長相同，則甲乙兩單擺所在地點的重力加速度之比為9∶4
[思路點撥]　(1)由振動圖像可知單擺振動的周期關系為T甲＝T乙。
(2)若甲、乙兩單擺在不同地點擺動，則g不同。
BCD　[根據圖像可知，單擺振動的周期關系：T甲＝T乙，所以周期之比為，頻率為周期的反比，所以頻率之比為，B、C正確；若甲、乙在同一地點，則重力加速度相同，根據周期公式T＝可得擺長之比為4∶9，A錯誤；若在不同地點，擺長相同，根據T＝2π得重力加速度之比為9∶4，D正確。]
【典例3】　(2022·山東泰安期中)如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
A．T1＞T2＞T3＞T4　 B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4
C　[題圖(1)中，當擺球偏離平衡位置時，重力沿斜面的分力mg sin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g1＝g sin θ；題圖(2)中兩個帶電小球的斥力總與運動方向垂直，不影響擺球的回復力；題圖(3)為標準單擺；題圖(4)中擺球處于超重狀態，等效重力加速度為g4＝g＋a。由單擺周期公式T＝知T1＞T2＝T3＞T4，選項C正確。]
[跟進訓練]
2．如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC線長也是l，下端C點系著一個小球(半徑可忽略)，下列說法正確的是(以下皆指擺動角度小于5°，重力加速度為g)(　　)
A．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
A　[讓小球在紙面內振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，擺長為l，周期T＝2π；讓小球在垂直紙面內振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，擺
長為，周期T′＝2π，A正確，B、C、D錯誤。]
3．(2022·山東煙臺高二期中)自從“玉兔二號探測器”到達月球工作并拍回一系列珍貴的月球表面照片以后，人們希望能夠早日登上月球。假設未來的航天員成功登上月球并把地球上的擺鐘帶到了月球上面。已知月球表面的重力加速度約為地球表面的，現要使該擺鐘在月球上的周期與地球上的周期相同，下列辦法可行的是(　　)
A．將擺球的質量增加為原來的6倍
B．將擺球的質量減小為原來的倍
C．將擺長減小為原來的倍
D．將擺長增長為原來的6倍
C　[已知月球表面的重力加速度約為地球表面的，根據單擺的周期公式T＝2π，可知，要使該單擺在月球與在地球上周期相同，必須將擺長縮短為，單擺的周期與擺球的質量無關，故C正確。]
1．某單擺由1 m長的擺線連接一個直徑為2 cm的鐵球組成。關于單擺周期，下列說法中正確的是(　　)
A．用大球替代小球，單擺的周期不變
B．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小
C．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變
D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變大
C　[用大球替代小球，單擺擺長變長，由單擺周期公式T＝2π可知，單擺的周期變大，故A錯誤；由單擺周期公式T＝2π可知，在小擺角情況下，單擺做簡諧運動的周期與擺角無關，擺角從5°改為3°時，單擺周期不變，故B錯誤；用等大銅球替代，單擺擺長不變，由單擺周期公式T＝可知，單擺的周期不變，故C正確；將單擺從赤道移到北極，重力加速度g變大，由單擺周期公式T＝可知，單擺周期變小，故D錯誤。]
2．有一擺長為L的單擺，懸點正下方某處有一小釘，當擺球經過平衡位置向左擺動時，擺線的上部將被小釘擋住，使擺長發生變化，現使擺球做小幅度擺動，擺球從右邊最高點M至左邊最高點N運動過程的閃光照片，如圖所示，(懸點和小釘未被攝入)，P為擺動中的最低點。已知每相鄰兩次閃光的時間間隔相等，由此可知，小釘與懸點的距離為(　　)
A．　　 B．　
C． D．無法確定
C　[設每相鄰兩次閃光的時間間隔為t，則擺球在右側擺動的周期為T1＝16t，在左側擺動的周期為T2＝8t，T1∶T2＝2∶1。設左側擺長為l，則T1＝2π ①
T2＝2π ②
由①②得，l＝L，所以小釘與懸點的距離s＝L－l＝。故C正確。]
3．(2022·重慶西南大學附屬中學月考)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時到
B　[對于丙球，根據自由落體運動規律有R＝解得t3＝；對于甲、乙兩球，由于光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長，故可將它們的運動視為做簡諧運動的單擺的運動，其運動周期為T＝2π，甲、乙兩球第一次到達點O時均運動周期，則t1＝t2＝。所以丙先到，然后甲、乙同時到，故B正確，A、C、D錯誤。]
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．單擺看成簡諧運動的條件是什么？
提示：擺角θ較小(θ≤5°)，θ≈sin θ。
2．單擺的回復力是由哪個力提供？
提示：重力垂直于擺線的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長、重力加速度。
4．單擺周期的表達式是什么？
提示：T＝2π。
伽利略發現單擺的等時性
1564年2月15日，偉大的物理學家伽利略出生于意大利比薩城的一個沒落貴族家庭。他出生后不久，全家就移居到佛羅倫薩近郊的一個地方。在那里，伽利略的父親萬桑佐開了一個店鋪，經營羊毛生意。
孩提時的伽利略聰明可愛，好奇心極強。他從不滿足于別人告訴的道理，喜歡親自探索、研究和證明問題。對于兒子的這些表現，萬桑佐高興極了，希望伽利略長大后從事醫生職業。1581年，萬桑佐就把伽利略送到比薩大學學醫。可是，伽利略對醫學沒有興趣，他把相當多的時間用于鉆研古希臘的哲學著作，學習數學和自然科學。
1582年的一天，伽利略偶然觀察到一個大吊燈在來回擺動。伽利略聚精會神地觀察著，腦海里突然閃出測量吊燈擺動時間的念頭，憑著學醫的經驗，伽利略把右手指按到左腕的脈搏上計時，同時數著吊燈的擺動次數。起初，吊燈在一個大圓弧上擺動，擺動速度較大，伽利略測算來回擺動一次的時間。過了一陣子，吊燈擺動的幅度變小了，擺動速度也變慢了，此時，他又測量了來回擺動一次的時間。讓他大為吃驚的是，兩次測量的時間是相同的。于是伽利略繼續測量，直到吊燈幾乎停止擺動時才結束。每次測量的結果都表明來回擺動一次需要相同的時間。通過這些測量，伽利略發現：吊燈來回擺動一次需要的時間與擺動幅度的大小無關，無論擺幅大小如何，來回擺動一次所需時間是相同的，即吊燈的擺動具有等時性。
1．吊燈擺動的快慢與吊燈的擺動幅度有關嗎？
提示：沒關系。
2．上述吊燈的擺動快慢的現象說明什么？
提示：吊燈的擺動具有等時性。4．單擺
1．知道什么是單擺，了解單擺的構成及單擺的回復力。
2．理解單擺做簡諧振動的條件，會利用圖像法分析單擺的運動。
3．掌握單擺的周期公式，并能夠進行計算。
4．經歷單擺周期與擺長關系的探究過程，體會實驗設計思路。
5．借助單擺周期影響因素的分析，培養嚴謹的科學態度。
　單擺及單擺的回復力
1．單擺的組成
由細線和________組成。如圖所示。
2．理想化模型
(1)細線的長度不可改變。
(2)細線的________與小球相比可以忽略。
(3)小球的________與線的長度相比可以忽略。
　在這個模型里，細線無彈性、不可伸縮、沒有質量，小球是質點。
3．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿________方向的分力。
(2)回復力的特點：在擺角很小時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成________，方向總指向________，即F＝－x。從回復力特點可以判斷單擺做簡諧運動。
如圖所示，小球和細線構成一個單擺。
問題1　結合簡諧運動的知識，思考運動過程中小球受到幾個力的作用？什么力充當小球振動的回復力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　擺球經過平衡位置時，合外力是否為零？擺球到達最大位移處，v＝0，加速度是否等于0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．單擺的受力分析
(1)單擺受力：受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ，提供了使擺球振動的回復力。
2．單擺做簡諧運動的推證
如圖所示，單擺的回復力F＝G1＝mg sin θ，在偏角很小時，sin θ≈，所以單擺的回復力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，故單擺做簡諧運動。
3．單擺做簡諧運動的規律
(1)單擺做簡諧運動的位移—時間(x t)圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
(2)單擺振動過程中各量的變化特點。
位置或過程 位移、回復力、 加速度 速度、動能 重力勢能
最高點 最大 零 最大
最低點 零 最大 最小
遠離平衡位置運動 越來越大 越來越小 越來越大
衡位置運動 越來越小 越來越大 越來越小
【典例1】　(2022·重慶西南大學附屬中學月考)如圖所示，O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，速度為零，所受合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，所受回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，所受回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
1．(多選)如圖所示為均勻小球在做單擺運動，平衡位置為O點，A、B為最大位移處，M、N點關于O點對稱。下列說法正確的是(　　)
A．小球受重力、繩子拉力和回復力
B．小球所受合外力就是單擺的回復力
C．小球在O點時合外力不為0，回復力為0
D．小球在M點的位移與小球在N點的位移大小相等
　單擺的周期
1．探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：________法。
(2)實驗結論：
①單擺振動的周期與擺球質量________。
②周期與振幅________。
③擺長越長，周期________；擺長越短，周期________。
2．周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學家________首先提出的。
(2)公式：T＝________，即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成________，與重力加速度g的二次方根成________，而與振幅、擺球質量無關。
　1．單擺的周期只與其擺長和當地的重力加速度有關，而與振幅和擺球質量無關，它又叫作單擺的固有周期。單擺周期公式的成立條件為擺角θ<5°。
2．周期為2 s的單擺叫作秒擺。秒擺的擺長約為1 m。
意大利的物理學家伽利略在觀察吊燈擺動現象時發現擺的等時性原理，即在擺角小于5°時，不論擺鐘擺動幅度大些還是小些，完成一次擺動的時間都是相同的。
請你利用自己的脈搏和身邊的器材重復伽利略的實驗。
問題1　同一個擺振動的快慢與擺的振幅有無關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　振動的快慢與擺錘的輕重有無關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題3　振動的快慢與擺線長短有關嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．對單擺周期公式T＝2π的理解
(1)T與擺長l和當地的重力加速度g有關。
(2)T與振幅和擺球質量無關，故T又叫作單擺的固有周期。
(3)適用條件：擺角很小(一般小于5°)。
2．對擺長l和重力加速度g的理解
(1)擺長l：指從懸點到擺球重心的長度。
①對于實際的單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：
a．圖(a)中小球在O點右側運動時擺長為L，在O點左側運動時擺長為L。
b．圖(b)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，故甲擺等效擺長為l sin α。其周期T＝2π。
c．圖(c)中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)重力加速度g的理解。
①公式中的g由單擺所在地的空間位置決定。
由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度。
a．若單擺系統處在多力存在的平衡態，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值。如圖甲所示的斜面擺，球靜止在O點時，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如圖乙所示的電場中，帶電荷量為q(q>0)的小球靜止于圖示位置時，擺線拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
b．若單擺系統處在非平衡狀態(如加速、減速、完全失重狀態)，如單擺處在向上加速發射的航天器內，設航天器加速度為a，此時擺球處于超重狀態，沿圓弧切線方向的回復力變大，擺球質量不變，則重力加速度的等效值g′＝g＋a。
【典例2】　(多選)甲、乙兩個單擺的振動圖像如圖所示。根據振動圖像可以斷定(　　)
A．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4
B．甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2
C．甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3
D．若甲、乙兩單擺在不同地點擺動，但擺長相同，則甲乙兩單擺所在地點的重力加速度之比為9∶4
[思路點撥]　(1)由振動圖像可知單擺振動的周期關系為T甲＝T乙。
(2)若甲、乙兩單擺在不同地點擺動，則g不同。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例3】　(2022·山東泰安期中)如圖所示的幾個相同單擺在不同條件下，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
A．T1＞T2＞T3＞T4　 B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
2．如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC線長也是l，下端C點系著一個小球(半徑可忽略)，下列說法正確的是(以下皆指擺動角度小于5°，重力加速度為g)(　　)
A．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
3．(2022·山東煙臺高二期中)自從“玉兔二號探測器”到達月球工作并拍回一系列珍貴的月球表面照片以后，人們希望能夠早日登上月球。假設未來的航天員成功登上月球并把地球上的擺鐘帶到了月球上面。已知月球表面的重力加速度約為地球表面的，現要使該擺鐘在月球上的周期與地球上的周期相同，下列辦法可行的是(　　)
A．將擺球的質量增加為原來的6倍
B．將擺球的質量減小為原來的倍
C．將擺長減小為原來的倍
D．將擺長增長為原來的6倍
1．某單擺由1 m長的擺線連接一個直徑為2 cm的鐵球組成。關于單擺周期，下列說法中正確的是(　　)
A．用大球替代小球，單擺的周期不變
B．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小
C．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變
D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變大
2．有一擺長為L的單擺，懸點正下方某處有一小釘，當擺球經過平衡位置向左擺動時，擺線的上部將被小釘擋住，使擺長發生變化，現使擺球做小幅度擺動，擺球從右邊最高點M至左邊最高點N運動過程的閃光照片，如圖所示，(懸點和小釘未被攝入)，P為擺動中的最低點。已知每相鄰兩次閃光的時間間隔相等，由此可知，小釘與懸點的距離為(　　)
A．　　　　　　 B．　
C． D．無法確定
3．(2022·重慶西南大學附屬中學月考)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時到
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．單擺看成簡諧運動的條件是什么？
2．單擺的回復力是由哪個力提供？
3．單擺的周期由哪些因素決定？
4．單擺周期的表達式是什么？
伽利略發現單擺的等時性
1564年2月15日，偉大的物理學家伽利略出生于意大利比薩城的一個沒落貴族家庭。他出生后不久，全家就移居到佛羅倫薩近郊的一個地方。在那里，伽利略的父親萬桑佐開了一個店鋪，經營羊毛生意。
孩提時的伽利略聰明可愛，好奇心極強。他從不滿足于別人告訴的道理，喜歡親自探索、研究和證明問題。對于兒子的這些表現，萬桑佐高興極了，希望伽利略長大后從事醫生職業。1581年，萬桑佐就把伽利略送到比薩大學學醫。可是，伽利略對醫學沒有興趣，他把相當多的時間用于鉆研古希臘的哲學著作，學習數學和自然科學。
1582年的一天，伽利略偶然觀察到一個大吊燈在來回擺動。伽利略聚精會神地觀察著，腦海里突然閃出測量吊燈擺動時間的念頭，憑著學醫的經驗，伽利略把右手指按到左腕的脈搏上計時，同時數著吊燈的擺動次數。起初，吊燈在一個大圓弧上擺動，擺動速度較大，伽利略測算來回擺動一次的時間。過了一陣子，吊燈擺動的幅度變小了，擺動速度也變慢了，此時，他又測量了來回擺動一次的時間。讓他大為吃驚的是，兩次測量的時間是相同的。于是伽利略繼續測量，直到吊燈幾乎停止擺動時才結束。每次測量的結果都表明來回擺動一次需要相同的時間。通過這些測量，伽利略發現：吊燈來回擺動一次需要的時間與擺動幅度的大小無關，無論擺幅大小如何，來回擺動一次所需時間是相同的，即吊燈的擺動具有等時性。
1．吊燈擺動的快慢與吊燈的擺動幅度有關嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．上述吊燈的擺動快慢的現象說明什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5．實驗：用單擺測量重力加速度
1．明確用單擺測量重力加速度的原理和方法。
2．知道如何選擇實驗器材，能熟練地使用秒表。
3．學會用單擺測當地的重力加速度，掌握減小實驗誤差的方法。
類型一　實驗原理與操作
【典例1】　(2022·江蘇徐州高二檢測)實驗小組的同學做“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)實驗前他們根據單擺周期公式導出了重力加速度的表達式g＝，其中l表示擺長，T表示周期。對于此式的理解，四位同學說出了自己的觀點。
同學甲：T一定時，g與l成正比。
同學乙：l一定時，g與T2成反比。
同學丙：l變化時，T2是不變的。
同學丁：l變化時，l與T2的比值是定值。
其中正確的是同學________(選填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的觀點。
(2)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1 m的細線
B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球
D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表
F．時鐘
G．最小刻度為毫米的米尺
實驗小組的同學選用了最小刻度為毫米的米尺，他們還需要從上述器材中選擇________(填寫器材前面的字母)。
(3)他們將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，將其上端固定，下端自由下垂(如圖所示)。用刻度尺測量懸點到______________之間的距離記為單擺的擺長l。
(4)在小球平穩擺動后，他們記錄小球完成n次全振動的總時間t，則單擺的周期T＝______。
(5)如果實驗得到的結果是g＝10.29 m/s2，比當地的重力加速度值大，分析可能是哪些不當的實際操作造成這種結果，并寫出其中一種：___________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________。
[解析]　(1)重力加速度g的大小只由星球、緯度、高度決定，而與擺長和周期的大小無關；表達式g＝為計算式，可知l變化時，T2是變化的，但是l與T2比值不變。故正確的是同學丁的觀點。
(2)單擺模型中，擺球密度要大，體積要小，空氣阻力的影響才小，小球視為質點，故要選擇直徑約2 cm的均勻鐵球，長度1 m左右的細線，不能用橡皮繩，否則擺長會變化，停表可以控制開始計時和結束計時的時刻，還需要ACE。
(3)擺長為懸點到擺球球心之間的距離。
(4)根據題意可知，周期T＝。
(5)g比當地的重力加速度值大，根據表達式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振動次數n計多了或在計時的時候停表開始計時晚了)、可能是測得的擺長l偏大(從懸點量到了小球底部記為擺長)。
[答案]　(1)丁　(2)ACE　(3)擺球球心　(4)　(5)見解析
類型二　數據處理和誤差分析
【典例2】　(2022·北京玉淵潭中學期中)某同學在“用單擺測量重力加速度”的實驗中進行了如下的操作：
(1)用游標尺為10分度(測量值可精確到0.1 mm)的游標卡尺測量擺球直徑d，游標卡尺的示數如圖甲所示，擺球直徑為________cm。把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長l0，通過計算得到擺長L。
(2)用停表測量單擺的周期。當單擺擺動穩定且到達最低點時開始計時并計數為0，單擺每經過最低點一次計數一次，當數到n＝60時停表的示數如圖乙所示，該單擺的周期是T＝________s(結果保留三位有效數字)。
(3)①測量出多組周期T、擺長L的數值后，畫出T2 L圖像如圖丙，造成圖線不過坐標原點的原因可能是________。
A．擺球的振幅過小
B．將l0計為擺長L
C．將(l0＋d)計為擺長L
D．擺球質量過大
②根據圖丙得出的g測量值________(選填“偏大”或“不受影響”)。
(4)在測量過程中，下列操作合理的是________。
A．先測量好擺長，再將單擺懸掛到鐵架臺上
B．釋放單擺時，擺角盡量大些，以便觀察
C．單擺擺動穩定后，擺球經過平衡位置時開始計時
D．單擺擺動過程中，若逐漸形成了圓錐擺，可以繼續測量，不影響單擺的周期
(5)甲同學通過實驗測得：懸點O到小球球心的距離L；計時開始后，從小球第一次通過平衡位置到第n次通過平衡位置所用的時間t。則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(6)該小組的另一同學沒有使用游標卡尺也測出了重力加速度。他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，然后把擺線縮短適當的長度Δl，再測出其振動周期T2。則該同學測出的重力加速度的表達式為g＝________(用所測得的物理量符號表示)。
(7)本實驗測得的重力加速度一般略微偏小，這是由以下哪些誤差造成的：________。
A．小球經過平衡位置時計時，看不準平衡位置造成周期測量的系統誤差
B．小球球心位置較難確定，使擺長測量存在系統誤差
C．由于存在空氣阻力，會減慢單擺的速度，使周期測量值比理論值偏大
D．單擺擺動過程中，擺線會稍稍伸長，造成擺長的測量值比實際值偏小
[解析]　(1)主尺上的讀數為2.0 cm，游標尺讀數為7×0.1 mm＝0.7 mm＝0.07 cm，所以直徑為2.0 cm＋0.07 cm＝2.07 cm。
(2)單擺做全振動的次數為＝30，停表讀數為t＝67.5 s，得該單擺的周期是T＝2.25 s。
(3)①由T＝2π可得T2＝L，即周期與質量和振幅都無關，T2 L圖線不過原點的原因可能是測得的擺長偏小，B正確。
②根據以上分析可知，T2 L圖像的斜率不受影響，則g的測量值不受影響。
(4)未懸掛擺球前，先測好擺長，這樣測得的擺長誤差較大，故A錯誤；擺角小于5°，單擺的運動才可以看成周期性的簡諧運動，故B錯誤；單擺擺動穩定后，擺球經過平衡位置時開始計時誤差比較小，故C正確；單擺擺動過程中，若逐漸形成了圓錐擺，會使單擺周期的測量值偏小，不可以繼續測量，故D錯誤。
(5)由題意可得單擺的周期為T＝，可得g＝L。
(6)擺線較長的單擺的振動周期T1＝2π，把擺線縮短適當的長度Δl，其振動周期T2＝聯立解得g＝。
(7)小球經過平衡位置時計時，看不準平衡位置造成周期測量的偶然誤差，這樣測得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A錯誤；小球球心位置較難確定，使擺長測量存在偶然誤差，這樣測得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B錯誤；由于存在空氣阻力，會減慢單擺的速度，使周期測量值比理論值偏大，根據T＝2π可知，重力加速度的測量值偏小，故C正確；單擺擺動過程中，擺線會稍微伸長，造成擺長的測量值比實際值偏小，根據T＝2π可知，重力加速度的測量值偏小，故D正確。
[答案]　(1)2.07　(2)2.25　(3)①B　②不受影響　(4)C　(5)L　(6)　(7)CD
　本實驗引起誤差的幾種常見原因
(1)g值偏大的原因。
①單擺不在同一豎直平面內擺動，成為圓錐擺，等效擺長偏小；
②測擺線長時，擺線拉得過緊；
③將擺線的長度與小球直徑之和作為擺長；
④開始計時時，停表過晚按下；
⑤測量周期時，誤將擺球n次全振動記成了(n＋1)次。
(2)g值偏小的原因。
①擺線上端沒有固定，振動中出現松動，使擺線變長；
②開始計時時，停表過早按下；
③實驗中誤將n次全振動記為(n－1)次。
類型三　創新實驗設計
【典例3】　某小組同學做了“用單擺測量重力加速度”實驗后，為進一步探究，將單擺的輕質細線改為剛性重桿。通過查資料得知，這樣做成的“復擺”做簡諧運動的周期T＝，式中Ic為由該擺決定的常量，m為擺的質量，g為重力加速度，r為轉軸到重心C的距離。如圖甲所示，實驗時在桿上不同位置打上多個小孔，將其中一個小孔穿在光滑水平軸O上，使桿做簡諧運動，測量并記錄r和相應的運動周期T；然后將不同位置的孔穿在軸上重復實驗，實驗數據見表，并測得擺的質量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由實驗數據得出圖乙所示的擬合直線，圖中縱軸表示________。
(2)Ic的國際單位制單位為________，由擬合直線得到Ic的值為________(保留到小數點后兩位)。
(3)若擺的質量測量值偏大，重力加速度g的測量值________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
[解析]　(1)由公式T＝2π得T2r＝，故題圖乙中縱軸表示T2r。
(2)由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的國際單位制單位為kg·m2，由題圖乙并結合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由題圖乙知擬合直線的斜率k＝s2·m-1＝s2·m-1，解得Ic≈0.17kg·m2。
(3)圖線的斜率與質量無關，故重力加速度的測量值與質量無關，故g的測量值不變。
[答案]　(1)T2r　(2)kg·m2　0.17　(3)不變
1．(2022·重慶巴蜀中學高二月考)在“利用單擺測重力加速度”的實驗中，某同學想進一步驗證單擺的周期和重力加速度的關系，但又不可能去不同的地區做實驗。該同學就將單擺與光電門傳感器安裝在一塊摩擦不計、足夠大的板上，使板傾斜α角度，讓擺球在板的平面內做小角度擺動，如圖甲所示。利用該裝置可以驗證單擺的周期和等效重力加速度的關系。若保持擺長不變，則實驗中需要測量的物理量有______________。若從實驗中得到所測物理量數據的圖線如圖乙所示，則圖像中的縱坐標表示________，橫坐標表示_________________________。
[解析]　此單擺的等效重力加速度為g′＝g sin α，則單擺的周期T＝2π。保持擺長不變時，要測量的物理量是木板傾角α和單擺振動的周期T。由T＝2π可得T2＝，若從實驗中得到所測物理量數據的圖線如題圖乙所示，則圖像中的縱坐標表示T2，橫坐標表示。
[答案]　木板傾角α和單擺振動的周期T　T2　
2．(2022·河北石家莊二中高二期末)小福同學在做“用單擺測量重力加速度大小”的實驗。
(1)下列最合理的裝置是________。
A　　　　B　　　　C　　　　D
(2)該同學根據實驗數據，利用計算機擬合得到的方程為T2＝4.04l＋0.05(s2)。由此可以得出當地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，結果保留3位有效數字)，從方程中可知T2與l沒有成正比關系，其原因可能是________。
A．開始計時時，小球可能在最高點
B．小球擺動過程中，可能擺角太大
C．計算擺長時，可能加了小球的直徑
D．計算擺長時，可能忘了加小球半徑
[解析]　(1)單擺擺動過程中，要求擺線長度不變，擺線應該選擇彈性小的細絲線，且擺球應選擇密度大的鐵球，以減小阻力的影響，故選D。
(2)根據單擺周期公式T＝2π有T2＝l，而T2＝4.04l＋0.05(s2)，從方程中可知，m/s2從方程中可知T2與l沒有成正比，說明l等于0時，周期不為0，即擺長可能忘了加小球半徑，與開始計時小球的位置及小球擺角均無關，故選D。
[答案]　(1)D　(2)9.76　D
3．(2022·江蘇昆山開學考)小麗做了“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)如圖甲所示，細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一個小鋼球，做成一個單擺。圖乙、丙分別畫出了細線上端的兩種不同的懸掛方式，你認為圖________(填“乙”或“丙”)的懸掛方式較好。
(2)如圖丁所示，用游標卡尺測得小鋼球的直徑d＝________mm，測出擺線的長度，算出擺長l，再測出單擺的周期T，得到一組數據；改變擺線的長度，再得到幾組數據。
(3)根據實際數據作出T2 l圖像，發現圖像是過坐標原點的傾斜直線，斜率為k，根據單擺周期公式，可以測得當地的重力加速度g＝________(用k表示)，利用圖像法處理數據是為了減小________(填“偶然”或“系統”)誤差。
[解析]　(1)實驗時，若采用題圖乙所示懸掛方式，單擺在擺動的過程中，擺長變化，對測量結果有影響，題圖丙所示懸掛方式，擺長不變，可知題圖丙所示懸掛方式較好。
(2)游標卡尺游標尺為10分度，精確度為0.1 mm，由題圖丁可知，主尺讀數為22 mm，游標尺讀數為6×0.1 mm＝0.6 mm，故最終讀數為22 mm＋0.6 mm＝22.6 mm。
(3)單擺周期公式為T＝2π，可知T2＝l，T2 l圖像的斜率k＝，則重力加速度g＝，用圖像法處理實驗數據可以減小偶然誤差。
[答案]　(1)丙　(2)22.6　(3)　偶然
4．甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測定重力加速度。
(1)甲組同學采用圖甲所示的實驗裝置。
①為比較準確地測量出當地重力加速度的數值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用________。(用器材前的字母表示)
a．長度接近1 m的細繩
b．長度為30 cm左右的細繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
②該組同學先測出懸點到小球球心的距離l，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t。請寫出重力加速度的表達式g＝__________(用所測物理量表示)。
(2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示。將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關系，如圖丙所示的v t圖線。
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝________s。
②更換擺線長度后，多次測量，根據實驗數據，利用計算機作出T2 l(周期二次方—擺長)圖像，并根據圖像擬合得到方程T2＝4.04l＋0.035(s2)。由此可以得出當地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，結果保留三位有效數字)
[解析]　(1)①細線選擇1 m左右的，小球應選擇密度大的，所以選擇長度近1 m的細繩，直徑為1.8 cm的鐵球，需要測量擺線長，所以需要最小刻度為1 mm的米尺，故選adf。
②因為T＝，則g＝。
(2)①根據單擺振動的v t圖像知，單擺的周期T＝2.0 s。
②根據T＝2π得T2＝。
圖線的斜率：k＝＝4.04 s2/m
解得：g≈9.76 m/s2。
[答案]　(1)①adf　②　(2)①2.0　②9.765．實驗：用單擺測量重力加速度
1．明確用單擺測量重力加速度的原理和方法。
2．知道如何選擇實驗器材，能熟練地使用秒表。
3．學會用單擺測當地的重力加速度，掌握減小實驗誤差的方法。
類型一　實驗原理與操作
【典例1】　(2022·江蘇徐州高二檢測)實驗小組的同學做“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)實驗前他們根據單擺周期公式導出了重力加速度的表達式g＝，其中l表示擺長，T表示周期。對于此式的理解，四位同學說出了自己的觀點。
同學甲：T一定時，g與l成正比。
同學乙：l一定時，g與T2成反比。
同學丙：l變化時，T2是不變的。
同學丁：l變化時，l與T2的比值是定值。
其中正確的是同學________(選填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的觀點。
(2)實驗室有如下器材可供選用：
A．長約1 m的細線
B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約2 cm的均勻鐵球
D．直徑約5 cm的均勻木球
E．停表
F．時鐘
G．最小刻度為毫米的米尺
實驗小組的同學選用了最小刻度為毫米的米尺，他們還需要從上述器材中選擇________(填寫器材前面的字母)。
(3)他們將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，將其上端固定，下端自由下垂(如圖所示)。用刻度尺測量懸點到______________之間的距離記為單擺的擺長l。
(4)在小球平穩擺動后，他們記錄小球完成n次全振動的總時間t，則單擺的周期T＝______。
(5)如果實驗得到的結果是g＝10.29 m/s2，比當地的重力加速度值大，分析可能是哪些不當的實際操作造成這種結果，并寫出其中一種：___________________
____________________________________________________________________。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型二　數據處理和誤差分析
【典例2】　(2022·北京玉淵潭中學期中)某同學在“用單擺測量重力加速度”的實驗中進行了如下的操作：
(1)用游標尺為10分度(測量值可精確到0.1 mm)的游標卡尺測量擺球直徑d，游標卡尺的示數如圖甲所示，擺球直徑為________cm。把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長l0，通過計算得到擺長L。
(2)用停表測量單擺的周期。當單擺擺動穩定且到達最低點時開始計時并計數為0，單擺每經過最低點一次計數一次，當數到n＝60時停表的示數如圖乙所示，該單擺的周期是T＝________s(結果保留三位有效數字)。
(3)①測量出多組周期T、擺長L的數值后，畫出T2 L圖像如圖丙，造成圖線不過坐標原點的原因可能是________。
A．擺球的振幅過小
B．將l0計為擺長L
C．將(l0＋d)計為擺長L
D．擺球質量過大
②根據圖丙得出的g測量值________(選填“偏大”或“不受影響”)。
(4)在測量過程中，下列操作合理的是________。
A．先測量好擺長，再將單擺懸掛到鐵架臺上
B．釋放單擺時，擺角盡量大些，以便觀察
C．單擺擺動穩定后，擺球經過平衡位置時開始計時
D．單擺擺動過程中，若逐漸形成了圓錐擺，可以繼續測量，不影響單擺的周期
(5)甲同學通過實驗測得：懸點O到小球球心的距離L；計時開始后，從小球第一次通過平衡位置到第n次通過平衡位置所用的時間t。則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(6)該小組的另一同學沒有使用游標卡尺也測出了重力加速度。他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，然后把擺線縮短適當的長度Δl，再測出其振動周期T2。則該同學測出的重力加速度的表達式為g＝________(用所測得的物理量符號表示)。
(7)本實驗測得的重力加速度一般略微偏小，這是由以下哪些誤差造成的：________。
A．小球經過平衡位置時計時，看不準平衡位置造成周期測量的系統誤差
B．小球球心位置較難確定，使擺長測量存在系統誤差
C．由于存在空氣阻力，會減慢單擺的速度，使周期測量值比理論值偏大
D．單擺擺動過程中，擺線會稍稍伸長，造成擺長的測量值比實際值偏小
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　本實驗引起誤差的幾種常見原因
(1)g值偏大的原因。
①單擺不在同一豎直平面內擺動，成為圓錐擺，等效擺長偏小；
②測擺線長時，擺線拉得過緊；
③將擺線的長度與小球直徑之和作為擺長；
④開始計時時，停表過晚按下；
⑤測量周期時，誤將擺球n次全振動記成了(n＋1)次。
(2)g值偏小的原因。
①擺線上端沒有固定，振動中出現松動，使擺線變長；
②開始計時時，停表過早按下；
③實驗中誤將n次全振動記為(n－1)次。
類型三　創新實驗設計
【典例3】　某小組同學做了“用單擺測量重力加速度”實驗后，為進一步探究，將單擺的輕質細線改為剛性重桿。通過查資料得知，這樣做成的“復擺”做簡諧運動的周期T＝，式中Ic為由該擺決定的常量，m為擺的質量，g為重力加速度，r為轉軸到重心C的距離。如圖甲所示，實驗時在桿上不同位置打上多個小孔，將其中一個小孔穿在光滑水平軸O上，使桿做簡諧運動，測量并記錄r和相應的運動周期T；然后將不同位置的孔穿在軸上重復實驗，實驗數據見表，并測得擺的質量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由實驗數據得出圖乙所示的擬合直線，圖中縱軸表示________。
(2)Ic的國際單位制單位為________，由擬合直線得到Ic的值為________(保留到小數點后兩位)。
(3)若擺的質量測量值偏大，重力加速度g的測量值________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·重慶巴蜀中學高二月考)在“利用單擺測重力加速度”的實驗中，某同學想進一步驗證單擺的周期和重力加速度的關系，但又不可能去不同的地區做實驗。該同學就將單擺與光電門傳感器安裝在一塊摩擦不計、足夠大的板上，使板傾斜α角度，讓擺球在板的平面內做小角度擺動，如圖甲所示。利用該裝置可以驗證單擺的周期和等效重力加速度的關系。若保持擺長不變，則實驗中需要測量的物理量有______________。若從實驗中得到所測物理量數據的圖線如圖乙所示，則圖像中的縱坐標表示________，橫坐標表示________________________。
2．(2022·河北石家莊二中高二期末)小福同學在做“用單擺測量重力加速度大小”的實驗。
(1)下列最合理的裝置是________。
A　　　　B　　　　C　　　　D
(2)該同學根據實驗數據，利用計算機擬合得到的方程為T2＝4.04l＋0.05(s2)。由此可以得出當地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，結果保留3位有效數字)，從方程中可知T2與l沒有成正比關系，其原因可能是________。
A．開始計時時，小球可能在最高點
B．小球擺動過程中，可能擺角太大
C．計算擺長時，可能加了小球的直徑
D．計算擺長時，可能忘了加小球半徑
3．(2022·江蘇昆山開學考)小麗做了“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)如圖甲所示，細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一個小鋼球，做成一個單擺。圖乙、丙分別畫出了細線上端的兩種不同的懸掛方式，你認為圖________(填“乙”或“丙”)的懸掛方式較好。
(2)如圖丁所示，用游標卡尺測得小鋼球的直徑d＝________mm，測出擺線的長度，算出擺長l，再測出單擺的周期T，得到一組數據；改變擺線的長度，再得到幾組數據。
(3)根據實際數據作出T2 l圖像，發現圖像是過坐標原點的傾斜直線，斜率為k，根據單擺周期公式，可以測得當地的重力加速度g＝________(用k表示)，利用圖像法處理數據是為了減小________(填“偶然”或“系統”)誤差。
4．甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測定重力加速度。
(1)甲組同學采用圖甲所示的實驗裝置。
①為比較準確地測量出當地重力加速度的數值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用________。(用器材前的字母表示)
a．長度接近1 m的細繩
b．長度為30 cm左右的細繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
②該組同學先測出懸點到小球球心的距離l，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t。請寫出重力加速度的表達式g＝__________(用所測物理量表示)。
(2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示。將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關系，如圖丙所示的v t圖線。
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝________s。
②更換擺線長度后，多次測量，根據實驗數據，利用計算機作出T2 l(周期二次方—擺長)圖像，并根據圖像擬合得到方程T2＝4.04l＋0.035(s2)。由此可以得出當地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，結果保留三位有效數字)6．受迫振動　共振
1．知道什么是阻尼振動和受迫振動，會用能量觀點分析阻尼振動的振幅變化和受迫振動的共振現象。
2．通過實驗認識固有頻率、驅動力頻率與振動頻率之間的區別和聯系。
3．了解產生共振的條件，認識共振是受迫振動的一種特殊情況。
4．能夠根據實際生活中的振動特點，應用振動的規律解釋與解決相關問題。
　振動中的能量損失
1．固有振動和固有頻率
如果振動系統在沒有外力干預的情況下做簡諧運動，周期或頻率僅由系統自身的性質決定，這種振動叫作固有振動，其振動頻率稱為固有頻率。
　系統的固有頻率由系統自身的性質決定，與振幅無關。
2．阻尼振動
(1)阻尼振動。
振幅隨時間逐漸減小的振動。阻尼振動的圖像如圖所示，振幅越來越小，最后停止振動。
(2)振動系統能量衰減的兩種方式。
①振動系統受到摩擦阻力作用，機械能逐漸轉化為內能。
②振動系統引起鄰近介質中各質點的振動，能量向外輻射出去。
如圖所示，一位大人帶著小朋友蕩秋千。
問題1　如果大人開始時只推了小朋友一次，使小朋友自己蕩起秋千，以后秋千振動是什么振動？振幅怎樣變化？
提示：秋千振動是阻尼振動，振幅越來越小。
問題2　為了保證秋千的振幅不變，每次小朋友蕩到最高點時大人就適當用力推一次小朋友，則秋千振動可以認為是什么振動？
提示：秋千振動是無阻尼振動。
1．阻尼振動
產生原因：當振動系統受到阻力的作用時，即振動受到了阻尼時，系統克服阻尼的作用要做功，消耗機械能，因而振幅減小，最后停下來。其振動圖像如圖所示。
2．阻尼振動系統能量衰減的方式
(1)振動系統受到摩擦阻力的作用，使振動系統的機械能逐漸轉化為內能。
(2)振動系統引起鄰近介質中各質點的振動，使能量向四周散射出去，從而自身機械能減少。
3．對阻尼振動的理解
(1)同一振動系統做簡諧運動能量的大小由振幅決定。
(2)阻尼振動振幅減小的快慢跟所受阻尼的大小有關。阻尼越大，振幅減小得越快。
(3)物體做阻尼振動時，振幅雖不斷減小，但振動的頻率仍由系統自身的結構特點決定，并不會隨振幅的減小而變化。例如，用力敲鑼，由于鑼受到空氣的阻尼作用，振幅越來越小，鑼聲減弱，但音調不變。
【典例1】　(多選)如圖所示是單擺做阻尼振動的振動圖線，下列說法正確的是(　　)
A．振動過程中周期變小
B．振動過程中周期不變
C．擺球A時刻的勢能等于B時刻的勢能
D．擺球A時刻的動能等于B時刻的動能
BC　[阻尼振動中，單擺的振幅逐漸減小，由于周期與振幅無關，故振動過程中周期不變，A錯誤，B正確；因A、B兩時刻的位移相同，故擺球A時刻的勢能等于B時刻的勢能，C正確；由于振動的能量逐漸減小，故擺球A時刻的動能大于B時刻的動能，D錯誤。]
　理解阻尼振動的兩個角度：
(1)從振動能量上來講，由于阻力做負功，振動物體的機械能逐漸減小，振幅逐漸變小，但由于振動中動能與勢能相互轉化，不能說下一時刻的動能或勢能變小。
(2)從振動周期、頻率上看，周期與頻率由振動系統本身決定，阻尼振動中周期、頻率不變。
[跟進訓練]
1．(多選)一單擺在空氣中振動，振幅逐漸減小，下列說法正確的是(　　)
A．振動的機械能逐漸轉化為其他形式的能
B．后一時刻的動能一定小于前一時刻的動能
C．后一時刻的勢能一定小于前一時刻的勢能
D．后一時刻的機械能一定小于前一時刻的機械能
AD　[單擺在振動過程中，會不斷克服空氣阻力做功使機械能逐漸轉化為內能，故A、D正確；雖然單擺總的機械能在逐漸減少，但在振動過程中動能和勢能仍不斷地相互轉化，動能轉化為勢能時，動能逐漸減少，勢能逐漸增加，而勢能轉化為動能時，勢能逐漸減少，動能逐漸增加，所以不能斷言后一時刻的動能(或勢能)一定小于前一時刻的動能(或勢能)，故B、C錯誤。]
　受迫振動
1．驅動力
如果存在阻尼作用，振動系統最終會停止振動。為了使系統持續振動下去，對振動系統施加周期性的外力作用，外力對系統做功，補償系統的能量損耗，這種周期性的外力叫作驅動力。
2．受迫振動
(1)定義：系統在驅動力作用下的振動，叫作受迫振動。
(2)受迫振動的頻率(周期)。
物體做受迫振動達到穩定后，物體振動的頻率等于驅動力的頻率，與物體的固有頻率無關。
(1)在圖中，三個不同的彈簧將三個質量相同的小球固定在搖桿上，使驅動力的頻率由小逐漸變大。觀察三個小球的振動情況。
(2)將三個不同的彈簧換成三個相同的彈簧，將三個質量相同的小球換成三個質量不同的小球，重復操作，觀察三個小球的振動情況。
問題1　三個小球的振動屬于哪種振動？
提示：受迫振動。
問題2　三個小球的振動頻率有什么變化？
提示：開始起振時，三個小球的振動頻率不相等，隨著驅動力的頻率變大，振動穩定后，三個小球的振動頻率相等，都等于驅動力的頻率。
1．受迫振動
(1)條件：受到阻力和驅動力。
(2)能量：機械能轉化為內能，其他形式的能轉化為機械能。
2．受迫振動的特點
系統做受迫振動時，振動穩定后的頻率等于驅動力的頻率，跟系統的固有頻率無關。
3．受迫振動的振幅
受迫振動的振幅與驅動力的頻率和固有頻率有關。驅動力的頻率與固有頻率相差越大，受迫振動的振幅越小；驅動力的頻率與固有頻率相差越小，受迫振動的振幅越大；當驅動力的頻率與固有頻率相等時，受迫振動的振幅最大。
【典例2】　如圖所示，曲軸上懸掛一彈簧振子，轉動搖把，曲軸可以帶動彈簧振子上下振動。開始時不轉動搖把，而讓振子自由上下振動，測得其頻率為2 Hz，然后勻速轉動搖把，轉速為240 r/min，當振子振動穩定時，它振動的周期為(　　)
A．0.5 s　B．0.25 s　C．2 s　D．4 s
B　[勻速轉動搖把后，振子將做受迫振動，驅動力的周期跟搖把轉動的周期是相同的，振子做受迫振動的周期又等于驅動力的周期，其頻率也等于驅動力的頻率，與振子自由上下振動的頻率無關。搖把勻速轉動時的轉速為240 r/min＝4 r/s，故f＝4 Hz，所以驅動力的周期T＝ s＝0.25 s，故B正確。]
[跟進訓練]
2．下列振動中屬于受迫振動的是(　　)
A．用重錘敲擊一下懸吊著的鐘后，鐘的振動
B．電磁打點計時器接通電源后，振針的振動
C．小孩睡在自由擺動的吊床上，隨吊床一起擺動
D．不受外力的彈簧振子在豎直方向上沿上下方向振動
B　[受到敲擊后的鐘不再受驅動力，其振動是自由振動；電磁打點計時器接通電源后，振針的振動受電源的驅動，屬于受迫振動；小孩睡在自由擺動的吊床上，隨吊床一起擺動屬于自由振動；不受外力的彈簧振子在豎直方向上上下振動，屬于自由振動，綜上所述，故B正確。]
　共振現象及其應用
1．共振
(1)定義：當驅動力的頻率等于固有頻率時，物體做受迫振動的振幅達到最大值的現象。
(2)條件：驅動力頻率等于物體的固有頻率。
(3)特征：共振時受迫振動的振幅最大。
(4)共振曲線：如圖所示。表示受迫振動的振幅A與驅動力頻率f的關系圖像，圖中f0為振動物體的固有頻率。
2．共振的應用和防止
(1)共振的應用。
在應用共振時，應使驅動力頻率接近或等于振動系統的固有頻率。
(2)共振的防止。
在防止共振時，應使驅動力頻率與系統的固有頻率相差越大越好。
唐朝洛陽有個和尚喜歡彈撥一種叫磬的樂器，如圖所示。奇怪的是磬在無人彈撥時經常自發鳴響，無緣無故地發出嗡嗡的聲音，使和尚感到大為驚奇，漸漸由驚而疑，由疑而怯，以為是妖孽作怪，結果憂慮成疾，病倒在床。一天，和尚向前來探望他的朋友訴說了內心的憂慮，正在說話時，寺院里的鐘聲響了，說來奇怪，磬也發出了嗡嗡的響聲。和尚的朋友明白了原因，悄悄用鋼銼在磬上銼了幾處，從此之后，磬再也不會無故發聲了。和尚以為妖怪已被趕走，心事頓消，病也不治而愈。
問題1　磬為什么會不敲自鳴呢？
提示：磬不敲自鳴是共振現象。磬的固有頻率和鐘的頻率一樣，因此每當鐘響時，引起磬的共振而發出嗡嗡之聲。
問題2　和尚的朋友悄悄用鋼銼在磬上銼了幾處之后，為什么磬再也不會無故發聲？
提示：和尚的朋友悄悄用鋼銼在磬上銼了幾處之后，改變了其固有頻率，使其固有頻率與鐘的頻率不一致，鐘響時不會再引起磬的共振而無故發聲了。
1．對共振條件的理解
共振的條件：f驅＝f固(或T驅＝T固)。
(1)從受力角度看：當振動物體所受驅動力的方向跟它的運動方向相同時，驅動力對它起加速作用，使它的振幅增大，當驅動力的頻率等于物體的固有頻率時，它的每一次作用都使物體的振幅增加，從而振幅達到最大。
(2)從功能關系看：當驅動力的頻率等于物體的固有頻率時，驅動力始終對物體做正功，使振動能量不斷增加，振幅不斷增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用損耗的能量，振幅才不再增加。
2．對共振曲線的理解
(1)共振曲線的意義：反映了物體做受迫振動的振幅與驅動力頻率的關系，如圖所示。
(2)f0的意義：表示做受迫振動物體的固有頻率。
(3)規律：①當f＝f0時，發生共振，振幅最大；
②當f③當f>f0時，f增大，振幅減小；
(4)結論：驅動力的頻率f越接近振動系統的固有頻率f0，受迫振動的振幅越大，反之振幅越小。
【典例3】　如圖甲所示，上海某學校實驗室中的五個單擺懸掛于同一根繃緊的水平繩上。圖乙是E單擺做受迫振動時的共振曲線，它表示振幅與驅動力的頻率的關系。問(擺角不超過5°，重力加速度g取π2)：
(1)先讓A、B、C、D其中的哪一個擺擺動起來，E單擺的振動最為劇烈？
(2)E單擺的擺長大小？
[解析]　(1)由題圖甲可知，E與A的擺長是相等的，根據共振的條件可知，讓A擺擺動起來，E單擺的振動最為劇烈。
(2)由題圖乙可知，當驅動力的頻率等于0.5 Hz時，E的振幅最大，所以E單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期T＝2 s，根據單擺的周期公式T＝代入數據得l＝1 m。
[答案]　見解析
　分析共振問題的方法
(1)在分析解答有關共振問題時，要抓住產生共振的條件：驅動力的頻率等于固有頻率，此時振動的振幅最大。
(2)在分析有關共振的實際問題時，要抽象出受迫振動這一物理模型，弄清驅動力頻率和固有頻率，然后利用共振的條件進行求解。
[母題變式]
1．若將[典例3]中E擺從該學校移至北京某高中的實驗室中，共振曲線的“峰”將怎樣移動？(已知該學校當地的重力加速度比北京的小)
[解析]　若將E擺從該學校移至北京某高中的實驗室中，因重力加速度變大，故固有周期減小，固有頻率變大，共振曲線的“峰”將向右移動。
[答案]　“峰”將向右移動
2．如果將[典例3]中的共振曲線換成“雙峰值”的共振曲線，如圖所示。
(1)若兩個“峰值”表示在地球上同一地點的兩個不同單擺的共振曲線，求兩個單擺的擺長之比。
(2)若兩個“峰值”表示同一單擺分別在地球和另一個星球上的共振曲線，求地球和該星球表面的重力加速度之比。
[解析]　(1)若兩個“峰值”表示在地球上同一地點的兩個不同單擺的共振曲線，則g相同，由共振曲線得單擺Ⅰ的固有頻率fⅠ＝0.2 Hz，則固有周期TⅠ＝5 s，單擺Ⅱ的固有頻率fⅡ＝0.5 Hz，則固有周期TⅡ＝2 s，由單擺的周期公式T＝2π得兩個單擺的擺長之比為。
(2)若兩個“峰值”表示同一單擺分別在地球和另一個星球上的共振曲線，則擺長l一定，由單擺的周期公式T＝2π得地球和該星球表面的重力加速度之比為。
[答案]　(1)　(2)
1．由于存在空氣阻力，嚴格來講，任何物體的機械振動都不是簡諧運動，在振動過程中(　　)
A．振幅減小，周期減小，機械能減小
B．振幅減小，周期不變，機械能減小
C．振幅不變，周期減小，機械能減小
D．振幅不變，周期不變，機械能減小
B　[由于存在空氣阻力，振動系統在振動過程中機械能減小，振幅減小，但其周期為固有周期，故周期不變，故B正確。]
2．古代盥洗用的臉盆，多用青銅鑄成，現代亦有許多仿制的工藝品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就會發出嗡嗡聲，還會濺起層層水花。某同學用雙手摩擦盆耳，起初頻率非常低，逐漸提高摩擦頻率，則關于濺起水花強弱的描述正確的是(　　)
A．濺起水花越來越弱　　 B．濺起水花越來越強
C．濺起水花先變弱后變強 D．濺起水花先變強后變弱
D　[當某同學用雙手摩擦盆耳的頻率等于“洗”(包括水)的固有頻率時會發生共振，濺起水花最強，所以用雙手摩擦盆耳，起初頻率非常低，逐漸提高摩擦頻率，低于固有頻率前，濺起水花逐漸變強，當超過固有頻率后，濺起水花逐漸變弱，故D正確。]
3．(2022·河南安陽月考)如圖所示的裝置中，在曲軸AB上懸掛一個彈簧振子，若不轉動把手C，讓其上下自由振動，周期為T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)勻速轉動，當運動都穩定后(　　)
A．彈簧振子的振動周期為T1
B．彈簧振子的振動周期為
C．要使彈簧振子的振幅增大，可讓把手轉速減小
D．要使彈簧振子的振幅增大，可讓把手轉速增大
D　[彈簧振子在把手作用下做受迫振動，因此彈簧振子的振動周期等于驅動力的周期，即等于T2，故A、B錯誤；驅動力的周期與彈簧振子的固有周期越接近，彈簧振子的振幅越大，由于T2＞T1，欲使彈簧振子的振幅增大，應使T2減小，即把手的轉速應增大，故C錯誤，D正確。]
4．(多選)(2022·廣東深圳實驗學校高二段考)一個單擺在地球表面做受迫振動，其共振曲線(受迫振動的振幅A與驅動力頻率f的關系)如圖所示，則(　　)
A．此單擺的固有周期約為0.5 s
B．此單擺的擺長約為1 m
C．若擺長增大，單擺的固有頻率減小，共振曲線的峰將向左移動
D．若將該單擺運到月球上，共振曲線的峰將向右移動
BC　[單擺做受迫振動，振動頻率與驅動力的頻率相等，當驅動力的頻率等于固有頻率時，發生共振，振幅最大，可知此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，由T＝可得L≈1 m，故A錯誤，B正確；若擺長增大，單擺的固有周期增大，則固有頻率減小，所以共振曲線的峰將向左移動，故C正確；若將該單擺運到月球上，g變小，單擺的固有周期增大，則固有頻率減小，所以共振曲線的峰將向左移動，故D錯誤。]
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．做阻尼振動的物體，振幅和頻率有什么特點？
提示：振幅逐漸減小，頻率保持不變。
2．做受迫振動的物體，其頻率由什么決定？
提示：頻率由驅動力的頻率決定。
3．物體發生共振的條件是什么？
提示：驅動力的頻率等于物體的固有頻率。
共振的本質
共振的過程類似于一個強烈的正反饋過程，可以使系統能量在短時間內劇烈增加，那么共振的本質是什么？
一切的振動其表現形式必然是位移，其背后則必然是能量的流動。共振威力巨大的根本原因在于共振使外界的力量直接作用于分子、原子層次(或者某個其他的特定層次)，并不斷地吸收能量，使其發生小范圍的劇烈位移。如果外界的頻率與固有頻率不一致，那么外力的作用對象就是整個物體，但是如果與固有頻率一致，那作用對象就直接變成了一個個的分子、原子，共振破壞了粒子之間的團結，使之互相內斗，結果可能使整個系統瞬間崩潰。從鐘擺這個宏觀的振動系統來看，如果外力的步調和鐘擺的固有頻率相同(比如總是在鐘擺運動到最高點時，給予鐘擺一個斜向下的力)，那鐘擺就會不斷地吸收外界的能量。外界能量每一次都會被完全吸收，這樣鐘擺本身所具有的能量就會急劇增加。如果外力的步調與鐘擺不一致，那么上一次吸收的能量，下一次可能就被外力抵消掉，鐘擺本身的重力勢能也會被外力不時地抵消掉，這就使鐘擺本身所具有的能量總是保持在一個波動的水平，并且峰值不會太高，能量在反復地吸收、散失、吸收、散失。
簡言之，共振的威力就在于外力以最精準的方式(或者說節奏)作用于物體最微觀的層次(或者說特定的層次)，使物體在該層次的每個基本單元(比如鐘擺、原子、分子)不斷吸收能量，進而發生劇烈位移，并最終在該層次產生極大的破壞作用。
1．什么是共振現象？
提示：受迫振動的振幅達到最大值的現象。
2．發生共振的條件是什么？
提示：驅動力的頻率等于受迫振動物體的固有頻率。6．受迫振動　共振
1．知道什么是阻尼振動和受迫振動，會用能量觀點分析阻尼振動的振幅變化和受迫振動的共振現象。
2．通過實驗認識固有頻率、驅動力頻率與振動頻率之間的區別和聯系。
3．了解產生共振的條件，認識共振是受迫振動的一種特殊情況。
4．能夠根據實際生活中的振動特點，應用振動的規律解釋與解決相關問題。
　振動中的能量損失
1．固有振動和固有頻率
如果振動系統在沒有________干預的情況下做簡諧運動，周期或頻率僅由系統自身的性質決定，這種振動叫作固有振動，其振動頻率稱為____________。
　系統的固有頻率由系統自身的性質決定，與振幅無關。
2．阻尼振動
(1)阻尼振動。
________隨時間逐漸減小的振動。阻尼振動的圖像如圖所示，振幅越來越小，最后停止振動。
(2)振動系統能量衰減的兩種方式。
①振動系統受到________阻力作用，機械能逐漸轉化為________。
②振動系統引起鄰近介質中各________的振動，能量向外輻射出去。
如圖所示，一位大人帶著小朋友蕩秋千。
問題1　如果大人開始時只推了小朋友一次，使小朋友自己蕩起秋千，以后秋千振動是什么振動？振幅怎樣變化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　為了保證秋千的振幅不變，每次小朋友蕩到最高點時大人就適當用力推一次小朋友，則秋千振動可以認為是什么振動？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．阻尼振動
產生原因：當振動系統受到阻力的作用時，即振動受到了阻尼時，系統克服阻尼的作用要做功，消耗機械能，因而振幅減小，最后停下來。其振動圖像如圖所示。
2．阻尼振動系統能量衰減的方式
(1)振動系統受到摩擦阻力的作用，使振動系統的機械能逐漸轉化為內能。
(2)振動系統引起鄰近介質中各質點的振動，使能量向四周散射出去，從而自身機械能減少。
3．對阻尼振動的理解
(1)同一振動系統做簡諧運動能量的大小由振幅決定。
(2)阻尼振動振幅減小的快慢跟所受阻尼的大小有關。阻尼越大，振幅減小得越快。
(3)物體做阻尼振動時，振幅雖不斷減小，但振動的頻率仍由系統自身的結構特點決定，并不會隨振幅的減小而變化。例如，用力敲鑼，由于鑼受到空氣的阻尼作用，振幅越來越小，鑼聲減弱，但音調不變。
【典例1】　(多選)如圖所示是單擺做阻尼振動的振動圖線，下列說法正確的是(　　)
A．振動過程中周期變小
B．振動過程中周期不變
C．擺球A時刻的勢能等于B時刻的勢能
D．擺球A時刻的動能等于B時刻的動能
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　理解阻尼振動的兩個角度：
(1)從振動能量上來講，由于阻力做負功，振動物體的機械能逐漸減小，振幅逐漸變小，但由于振動中動能與勢能相互轉化，不能說下一時刻的動能或勢能變小。
(2)從振動周期、頻率上看，周期與頻率由振動系統本身決定，阻尼振動中周期、頻率不變。
[跟進訓練]
1．(多選)一單擺在空氣中振動，振幅逐漸減小，下列說法正確的是(　　)
A．振動的機械能逐漸轉化為其他形式的能
B．后一時刻的動能一定小于前一時刻的動能
C．后一時刻的勢能一定小于前一時刻的勢能
D．后一時刻的機械能一定小于前一時刻的機械能
　受迫振動
1．驅動力
如果存在阻尼作用，振動系統最終會停止振動。為了使系統持續振動下去，對振動系統施加周期性的________，外力對系統________，________系統的能量損耗，這種________的外力叫作驅動力。
2．受迫振動
(1)定義：系統在________作用下的振動，叫作受迫振動。
(2)受迫振動的頻率(周期)。
物體做受迫振動達到穩定后，物體振動的頻率等于________的頻率，與物體的________無關。
(1)在圖中，三個不同的彈簧將三個質量相同的小球固定在搖桿上，使驅動力的頻率由小逐漸變大。觀察三個小球的振動情況。
(2)將三個不同的彈簧換成三個相同的彈簧，將三個質量相同的小球換成三個質量不同的小球，重復操作，觀察三個小球的振動情況。
問題1　三個小球的振動屬于哪種振動？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　三個小球的振動頻率有什么變化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．受迫振動
(1)條件：受到阻力和驅動力。
(2)能量：機械能轉化為內能，其他形式的能轉化為機械能。
2．受迫振動的特點
系統做受迫振動時，振動穩定后的頻率等于驅動力的頻率，跟系統的固有頻率無關。
3．受迫振動的振幅
受迫振動的振幅與驅動力的頻率和固有頻率有關。驅動力的頻率與固有頻率相差越大，受迫振動的振幅越小；驅動力的頻率與固有頻率相差越小，受迫振動的振幅越大；當驅動力的頻率與固有頻率相等時，受迫振動的振幅最大。
【典例2】　如圖所示，曲軸上懸掛一彈簧振子，轉動搖把，曲軸可以帶動彈簧振子上下振動。開始時不轉動搖把，而讓振子自由上下振動，測得其頻率為2 Hz，然后勻速轉動搖把，轉速為240 r/min，當振子振動穩定時，它振動的周期為(　　)
A．0.5 s　　　　　 B．0.25 s
C．2 s D．4 s
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
2．下列振動中屬于受迫振動的是(　　)
A．用重錘敲擊一下懸吊著的鐘后，鐘的振動
B．電磁打點計時器接通電源后，振針的振動
C．小孩睡在自由擺動的吊床上，隨吊床一起擺動
D．不受外力的彈簧振子在豎直方向上沿上下方向振動
　共振現象及其應用
1．共振
(1)定義：當驅動力的頻率________固有頻率時，物體做受迫振動的振幅達到________的現象。
(2)條件：驅動力頻率________物體的固有頻率。
(3)特征：共振時受迫振動的________最大。
(4)共振曲線：如圖所示。表示受迫振動的________與__________的關系圖像，圖中f0為振動物體的固有頻率。
2．共振的應用和防止
(1)共振的應用。
在應用共振時，應使驅動力頻率________或________振動系統的固有頻率。
(2)共振的防止。
在防止共振時，應使驅動力頻率與系統的固有頻率相差________越好。
唐朝洛陽有個和尚喜歡彈撥一種叫磬的樂器，如圖所示。奇怪的是磬在無人彈撥時經常自發鳴響，無緣無故地發出嗡嗡的聲音，使和尚感到大為驚奇，漸漸由驚而疑，由疑而怯，以為是妖孽作怪，結果憂慮成疾，病倒在床。一天，和尚向前來探望他的朋友訴說了內心的憂慮，正在說話時，寺院里的鐘聲響了，說來奇怪，磬也發出了嗡嗡的響聲。和尚的朋友明白了原因，悄悄用鋼銼在磬上銼了幾處，從此之后，磬再也不會無故發聲了。和尚以為妖怪已被趕走，心事頓消，病也不治而愈。
問題1　磬為什么會不敲自鳴呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　和尚的朋友悄悄用鋼銼在磬上銼了幾處之后，為什么磬再也不會無故發聲？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．對共振條件的理解
共振的條件：f驅＝f固(或T驅＝T固)。
(1)從受力角度看：當振動物體所受驅動力的方向跟它的運動方向相同時，驅動力對它起加速作用，使它的振幅增大，當驅動力的頻率等于物體的固有頻率時，它的每一次作用都使物體的振幅增加，從而振幅達到最大。
(2)從功能關系看：當驅動力的頻率等于物體的固有頻率時，驅動力始終對物體做正功，使振動能量不斷增加，振幅不斷增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用損耗的能量，振幅才不再增加。
2．對共振曲線的理解
(1)共振曲線的意義：反映了物體做受迫振動的振幅與驅動力頻率的關系，如圖所示。
(2)f0的意義：表示做受迫振動物體的固有頻率。
(3)規律：①當f＝f0時，發生共振，振幅最大；
②當f③當f>f0時，f增大，振幅減小；
(4)結論：驅動力的頻率f越接近振動系統的固有頻率f0，受迫振動的振幅越大，反之振幅越小。
【典例3】　如圖甲所示，上海某學校實驗室中的五個單擺懸掛于同一根繃緊的水平繩上。圖乙是E單擺做受迫振動時的共振曲線，它表示振幅與驅動力的頻率的關系。問(擺角不超過5°，重力加速度g取π2)：
(1)先讓A、B、C、D其中的哪一個擺擺動起來，E單擺的振動最為劇烈？
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)E單擺的擺長大小？
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分析共振問題的方法
(1)在分析解答有關共振問題時，要抓住產生共振的條件：驅動力的頻率等于固有頻率，此時振動的振幅最大。
(2)在分析有關共振的實際問題時，要抽象出受迫振動這一物理模型，弄清驅動力頻率和固有頻率，然后利用共振的條件進行求解。
[母題變式]
1．若將[典例3]中E擺從該學校移至北京某高中的實驗室中，共振曲線的“峰”將怎樣移動？(已知該學校當地的重力加速度比北京的小)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．如果將[典例3]中的共振曲線換成“雙峰值”的共振曲線，如圖所示。
(1)若兩個“峰值”表示在地球上同一地點的兩個不同單擺的共振曲線，求兩個單擺的擺長之比。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若兩個“峰值”表示同一單擺分別在地球和另一個星球上的共振曲線，求地球和該星球表面的重力加速度之比。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．由于存在空氣阻力，嚴格來講，任何物體的機械振動都不是簡諧運動，在振動過程中(　　)
A．振幅減小，周期減小，機械能減小
B．振幅減小，周期不變，機械能減小
C．振幅不變，周期減小，機械能減小
D．振幅不變，周期不變，機械能減小
2．古代盥洗用的臉盆，多用青銅鑄成，現代亦有許多仿制的工藝品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就會發出嗡嗡聲，還會濺起層層水花。某同學用雙手摩擦盆耳，起初頻率非常低，逐漸提高摩擦頻率，則關于濺起水花強弱的描述正確的是(　　)
A．濺起水花越來越弱
B．濺起水花越來越強
C．濺起水花先變弱后變強
D．濺起水花先變強后變弱
3．(2022·河南安陽月考)如圖所示的裝置中，在曲軸AB上懸掛一個彈簧振子，若不轉動把手C，讓其上下自由振動，周期為T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)勻速轉動，當運動都穩定后(　　)
A．彈簧振子的振動周期為T1
B．彈簧振子的振動周期為
C．要使彈簧振子的振幅增大，可讓把手轉速減小
D．要使彈簧振子的振幅增大，可讓把手轉速增大
4．(多選)(2022·廣東深圳實驗學校高二段考)一個單擺在地球表面做受迫振動，其共振曲線(受迫振動的振幅A與驅動力頻率f的關系)如圖所示，則(　　)
A．此單擺的固有周期約為0.5 s
B．此單擺的擺長約為1 m
C．若擺長增大，單擺的固有頻率減小，共振曲線的峰將向左移動
D．若將該單擺運到月球上，共振曲線的峰將向右移動
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．做阻尼振動的物體，振幅和頻率有什么特點？
2．做受迫振動的物體，其頻率由什么決定？
3．物體發生共振的條件是什么？
共振的本質
共振的過程類似于一個強烈的正反饋過程，可以使系統能量在短時間內劇烈增加，那么共振的本質是什么？
一切的振動其表現形式必然是位移，其背后則必然是能量的流動。共振威力巨大的根本原因在于共振使外界的力量直接作用于分子、原子層次(或者某個其他的特定層次)，并不斷地吸收能量，使其發生小范圍的劇烈位移。如果外界的頻率與固有頻率不一致，那么外力的作用對象就是整個物體，但是如果與固有頻率一致，那作用對象就直接變成了一個個的分子、原子，共振破壞了粒子之間的團結，使之互相內斗，結果可能使整個系統瞬間崩潰。從鐘擺這個宏觀的振動系統來看，如果外力的步調和鐘擺的固有頻率相同(比如總是在鐘擺運動到最高點時，給予鐘擺一個斜向下的力)，那鐘擺就會不斷地吸收外界的能量。外界能量每一次都會被完全吸收，這樣鐘擺本身所具有的能量就會急劇增加。如果外力的步調與鐘擺不一致，那么上一次吸收的能量，下一次可能就被外力抵消掉，鐘擺本身的重力勢能也會被外力不時地抵消掉，這就使鐘擺本身所具有的能量總是保持在一個波動的水平，并且峰值不會太高，能量在反復地吸收、散失、吸收、散失。
簡言之，共振的威力就在于外力以最精準的方式(或者說節奏)作用于物體最微觀的層次(或者說特定的層次)，使物體在該層次的每個基本單元(比如鐘擺、原子、分子)不斷吸收能量，進而發生劇烈位移，并最終在該層次產生極大的破壞作用。
1．什么是共振現象？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．發生共振的條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

展開更多......

收起↑