資源簡介

素養提升課(三)　摩擦力的綜合分析
學習任務 1．進一步理解摩擦力，掌握滑動摩擦力和靜摩擦力的區別。 2．知道摩擦力可以發生突變，并能解決摩擦力的突變問題。
　摩擦力的理解與分析
1．靜摩擦力與滑動摩擦力對比
名稱 靜摩擦力 滑動摩擦力
定義 兩個具有相對運動趨勢的物體間在接觸面上產生的阻礙相對運動趨勢的力 兩個具有相對運動的物體間在接觸面上產生的阻礙相對運動的力
產生 條件 (1)接觸面粗糙 (2)接觸處有壓力 (3)兩物體間有相對運動趨勢 (1)接觸面粗糙 (2)接觸處有壓力 (3)兩物體間有相對運動
大小 (1)靜摩擦力為被動力，與正壓力無關，滿足0方向 與受力物體相對運動趨勢的方向相反 與受力物體相對運動的方向相反
作用 效果 總是阻礙物體間的相對運動趨勢 總是阻礙物體間的相對運動
2．分析計算摩擦力時的四點注意
(1)首先分清摩擦力的性質，因為一般只有滑動摩擦力才能利用公式F＝μFN計算，靜摩擦力通常只能根據物體的運動狀態求解。
(2)公式F＝μFN中，FN為兩接觸面間的壓力，與物體的重力沒有必然關系，不一定等于物體的重力。
(3)滑動摩擦力的大小與物體速度的大小無關，與接觸面面積的大小也無關。
(4)摩擦力的方向與物體間的相對運動或相對運動趨勢方向相反，但與物體的實際運動方向可能相同、可能相反，也可能不共線。
角度1　兩類摩擦力的理解
【典例1】　(2022·甘肅蘭州高一期末)關于摩擦力，下列說法正確的是(　　)
A．物體受到靜摩擦力作用時，一定處于靜止狀態
B．只有運動的物體才有可能受滑動摩擦力作用
C．具有相對運動的兩物體間一定存在摩擦力作用
D．摩擦力的方向可能與物體運動方向相同
D　[運動的物體也可能受靜摩擦力，比如在水平路面上，汽車啟動時，車廂地板上的物體會受到靜摩擦力作用，A錯誤；靜止的物體也可以受到滑動摩擦力，如物體在地面上滑動時，地面雖靜止，地面仍受到滑動摩擦力，B錯誤；如果發生相對運動的兩物體接觸面光滑，也沒有摩擦力，C錯誤；摩擦力的方向可能與運動方向相同，如放在傳送帶上的物體，其在摩擦力的作用下運動，則受到的摩擦力與運動方向相同，D正確。]
角度2　摩擦力的計算
【典例2】　(2022·浙江金華高一期末)如圖所示，重為800 N的沙發放在水平地面上，體重600 N的小王至少要用96 N的水平力推沙發，才能使沙發從原地開始運動。沙發開始運動以后，小王用80 N的水平力推沙發，就可以使沙發保持勻速直線運動。以下說法正確的是(　　)
A．沙發與地面之間的動摩擦因數為0.12
B．若用90 N的水平力推這個靜止的沙發，則此時沙發所受的摩擦力大小為80 N
C．若用96 N的水平力推這個已經在運動的沙發，則此時沙發所受的摩擦力大小為96 N
D．小王盤腿坐在沙發上，小李用140 N的水平力推已經在運動的沙發，可使小王和沙發保持勻速運動
D　[由題意知用80 N的水平力推沙發，就可以使沙發保持勻速直線運動，由平衡條件得T＝μmg，解得沙發與地面之間的動摩擦因數為μ＝＝0.1，故A錯誤；由題意知至少要用96 N的水平力推沙發，才能使沙發從原地開始運動，即沙發與地面間的最大靜摩擦為96 N，所以若用90 N的水平力推這個靜止的沙發，則此時沙發不動，所受的摩擦力大小與推力相等，即為90 N，故B錯誤；若用96 N的水平力推這個已經在運動的沙發，則此時沙發所受的摩擦力為滑動摩擦力，大小仍為80 N，故C錯誤；小王盤腿坐在沙發上，想使小王和沙發保持勻速運動，則小李需要的水平力為F＝μ(M＋m)g＝140 N，故D正確。]
[跟進訓練]
1．(2022·北京市順義區第九中學高一期中)在中學秋季田徑運動會上，李好同學奮力拼搏，勇奪男子100 m冠軍，如圖為該同學奔跑途中的兩個瞬間，用Ff 1、Ff 2分別表示該同學在圖甲、乙兩瞬間所受到的摩擦力，則關于Ff 1、Ff 2的方向，以下說法正確的是(　　)
A．Ff 1向后，Ff 2向后　　 B．Ff 1向前，Ff 2向前
C．Ff 1向前，Ff 2向后　　 D．Ff 1向后，Ff 2向前
C　[當該同學奔跑途中，后腳用力向后蹬，人才向前運動，正是由于地面給后腳有個向前的靜摩擦力，使運動員能向前運動。而當前腳向前跨時，正是由于地面給前腳有個向后的靜摩擦力，否則運動員會向前滑動。所以前腳受到地面的向后的靜摩擦力。]
2．(2022·安徽馬鞍山高一期末)如圖所示，質量為m的物塊和質量為M的木板疊放在水平地面上，物塊在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始終處于靜止狀態，物塊與木板間動摩擦因數為μ1，木板與地面間動摩擦因數為μ2，那么下列說法正確的是(　　)
A．物塊受到的摩擦力大小一定為F
B．物塊對木板的摩擦力方向水平向左
C．地面對木板的摩擦力是水平向左的靜摩擦力
D．地面對木板的摩擦力大小一定是μ2(M＋m)g
C　[物塊在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始終處于靜止狀態，物塊運動的情況不清楚，當物塊勻速運動時物塊受到的摩擦力大小為F，A錯誤；物塊相對木板向右運動，則木板相對物塊向左運動，木板受到物塊的滑動摩擦力方向水平向右，B錯誤；木板受到物塊的滑動摩擦力方向水平向右，木板始終處于靜止狀態，則地面對木板的摩擦力是水平向左的靜摩擦力，C正確；木板受到物塊的滑動摩擦力為μ1mg ，木板始終處于靜止狀態，則地面對木板的摩擦力大小一定是μ1mg，D錯誤。]
　摩擦力的突變問題
摩擦力的突變問題，無論怎樣變化，其本質就是靜摩擦力和滑動摩擦力大小或方向的變化分析問題，以下是摩擦力突變的常見情況：
分類 說明 案例圖示
靜—靜 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下處于平衡狀態，當作用在物體上的其他力發生突變時，如果物體仍能保持靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力的大小或方向將會發生“突變” 在水平力F作用下物體靜止于斜面，F突然增大時物體仍靜止，則所受靜摩擦力大小或方向將“突變”
靜—動 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下處于靜止狀態，當其他力變化時，如果物體不能保持靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力將“突變”為滑動摩擦力 放在粗糙水平面上的物體，水平作用力F從零逐漸增大，物體開始滑動時，物體受到地面的摩擦力由靜摩擦力“突變”為滑動摩擦力
動—靜 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下做減速運動，突然停止滑行時，物體將不受摩擦力作用，或受到的滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力 滑塊以速度v0沖上斜面做減速運動，當到達某位置靜止時，滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力
動—動 “突變” 某物體相對于另一物體滑動的過程中，若突然相對運動方向變了，則滑動摩擦力方向發生“突變” 水平傳送帶的速度v1大于滑塊的速度v2，滑塊受到的滑動摩擦力方向向右，當傳送帶突然被卡住停止傳動時滑塊受到的滑動摩擦力方向“突變”為向左
【典例3】　(2022·浙江湖州高一期末)小張同學利用如圖甲所示的裝置研究物塊受到的摩擦力情況。質量為4 kg的物塊放置在粗糙的長木板上，通過輕繩與固定在水平實驗操作臺上的力傳感器連接。現用水平向左的力F將長木板從物塊下面拉出，傳感器記錄的FT-t圖像如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
A．2.5～3.5 s內物塊受到的是滑動摩擦力
B．長木板受到的摩擦力總是水平向右
C．物塊與長木板間的動摩擦因數約為0.25
D．向左拉長木板的F-t圖線和圖乙的圖線相同
B　[2.5～3.5 s內物塊受到的FT一直在變化，根據平衡調節，故摩擦力也在變化，正壓力和接觸面不變，說明這段時間物塊受到的是靜摩擦力，A錯誤；根據平衡條件物塊受到長木板對它的摩擦力水平向左，根據牛頓第三定律，長木板受到的摩擦力總是水平向右，B正確；根據圖像可得繩的拉力穩定時為8 N，故滑動摩擦力大小為8 N，則有Ff＝μFN＝μmg，解得μ＝＝0.2，C錯誤；長木板與操作臺間有摩擦力，且不能保證長木板勻速運動，故拉長木板的力和圖乙的細線所受的力不同，D錯誤。]
　物體受到的外力發生變化時，物體受到的摩擦力就有可能發生突變。解決這類問題的關鍵：正確對物體進行受力分析和運動狀態分析，從而找到物體摩擦力的突變“臨界點”。
[跟進訓練]
3．如圖所示為一同學從t＝0時刻起逐漸增加水平推力推動箱子過程中三個時刻(t1、t2、t3)的漫畫圖。假設t1時刻同學對箱子的推力為5 N，t2時刻推力為10 N，t3時刻推力為15 N。下列說法正確的是(　　)
A．箱子對地面的壓力就是箱子的重力
B．t1時刻，箱子所受地面的摩擦力大于5 N
C．t2時刻，箱子所受合外力與t1時刻相同
D．箱子與地面的滑動摩擦力一定為15 N
C　[重力和壓力是兩種不同性質的力，只能說箱子對地面的壓力大小等于箱子的重力，A錯誤；t1時刻，箱子沒動，水平方向由二力平衡可知，箱子所受地面的靜摩擦力等于5 N，B錯誤；t2時刻和t1時刻箱子都處于平衡狀態，所受的合力均為零，C正確；t3時刻推力為15 N，此時箱子動了，但不能確定箱子的運動狀態，故不能確定與地面的滑動摩擦力是否等于15 N，D錯誤。]
4．(多選)如圖甲所示，重為G的物體在水平向右的壓力F作用下靜止在豎直墻上，F隨時間t均勻減小，如圖乙所示。物體與墻之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體始終靜止。設墻
對物體的彈力為N、物體與墻的最大靜摩擦力為Fmax、物體受到的摩擦力為Ff，下列圖像能正確表示各力隨時間變化的是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
AB　[在水平方向上對物體分析可知，物體受到的墻的彈力一直與壓力大小相等，方向相反，故變化規律與F的規律相同，故A正確；最大靜摩擦力Fmax＝μF，故說明最大靜摩擦力也隨著壓力的減小而減小，故變化規律與F相同，故B正確；物體保持靜止，則說明物體處于平衡狀態，摩擦力大小一直等于重力，故C、D錯誤。]素養提升課(三)　摩擦力的綜合分析
學習任務 1．進一步理解摩擦力，掌握滑動摩擦力和靜摩擦力的區別。 2．知道摩擦力可以發生突變，并能解決摩擦力的突變問題。
　摩擦力的理解與分析
1．靜摩擦力與滑動摩擦力對比
名稱 靜摩擦力 滑動摩擦力
定義 兩個具有相對運動趨勢的物體間在接觸面上產生的阻礙相對運動趨勢的力 兩個具有相對運動的物體間在接觸面上產生的阻礙相對運動的力
產生 條件 (1)接觸面粗糙 (2)接觸處有壓力 (3)兩物體間有相對運動趨勢 (1)接觸面粗糙 (2)接觸處有壓力 (3)兩物體間有相對運動
大小 (1)靜摩擦力為被動力，與正壓力無關，滿足0方向 與受力物體相對運動趨勢的方向相反 與受力物體相對運動的方向相反
作用 效果 總是阻礙物體間的相對運動趨勢 總是阻礙物體間的相對運動
2．分析計算摩擦力時的四點注意
(1)首先分清摩擦力的性質，因為一般只有滑動摩擦力才能利用公式F＝μFN計算，靜摩擦力通常只能根據物體的運動狀態求解。
(2)公式F＝μFN中，FN為兩接觸面間的壓力，與物體的重力沒有必然關系，不一定等于物體的重力。
(3)滑動摩擦力的大小與物體速度的大小無關，與接觸面面積的大小也無關。
(4)摩擦力的方向與物體間的相對運動或相對運動趨勢方向相反，但與物體的實際運動方向可能相同、可能相反，也可能不共線。
角度1　兩類摩擦力的理解
【典例1】　(2022·甘肅蘭州高一期末)關于摩擦力，下列說法正確的是(　　)
A．物體受到靜摩擦力作用時，一定處于靜止狀態
B．只有運動的物體才有可能受滑動摩擦力作用
C．具有相對運動的兩物體間一定存在摩擦力作用
D．摩擦力的方向可能與物體運動方向相同
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角度2　摩擦力的計算
【典例2】　(2022·浙江金華高一期末)如圖所示，重為800 N的沙發放在水平地面上，體重600 N的小王至少要用96 N的水平力推沙發，才能使沙發從原地開始運動。沙發開始運動以后，小王用80 N的水平力推沙發，就可以使沙發保持勻速直線運動。以下說法正確的是(　　)
A．沙發與地面之間的動摩擦因數為0.12
B．若用90 N的水平力推這個靜止的沙發，則此時沙發所受的摩擦力大小為80 N
C．若用96 N的水平力推這個已經在運動的沙發，則此時沙發所受的摩擦力大小為96 N
D．小王盤腿坐在沙發上，小李用140 N的水平力推已經在運動的沙發，可使小王和沙發保持勻速運動
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1．(2022·北京市順義區第九中學高一期中)在中學秋季田徑運動會上，李好同學奮力拼搏，勇奪男子100 m冠軍，如圖為該同學奔跑途中的兩個瞬間，用Ff1、Ff2分別表示該同學在圖甲、乙兩瞬間所受到的摩擦力，則關于Ff1、Ff2的方向，以下說法正確的是(　　)
A．Ff1向后，Ff2向后　　　 B．Ff1向前，Ff2向前
C．Ff1向前，Ff2向后　　 D．Ff1向后，Ff2向前
2．(2022·安徽馬鞍山高一期末)如圖所示，質量為m的物塊和質量為M的木板疊放在水平地面上，物塊在拉力F作用下在木板上向右滑行，木板始終處于靜止狀態，物塊與木板間動摩擦因數為μ1，木板與地面間動摩擦因數為μ2，那么下列說法正確的是(　　)
A．物塊受到的摩擦力大小一定為F
B．物塊對木板的摩擦力方向水平向左
C．地面對木板的摩擦力是水平向左的靜摩擦力
D．地面對木板的摩擦力大小一定是μ2(M＋m)g
　摩擦力的突變問題
摩擦力的突變問題，無論怎樣變化，其本質就是靜摩擦力和滑動摩擦力大小或方向的變化分析問題，以下是摩擦力突變的常見情況：
分類 說明 案例圖示
靜—靜 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下處于平衡狀態，當作用在物體上的其他力發生突變時，如果物體仍能保持靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力的大小或方向將會發生“突變” 在水平力F作用下物體靜止于斜面，F突然增大時物體仍靜止，則所受靜摩擦力大小或方向將“突變”
靜—動 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下處于靜止狀態，當其他力變化時，如果物體不能保持靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力將“突變”為滑動摩擦力 放在粗糙水平面上的物體，水平作用力F從零逐漸增大，物體開始滑動時，物體受到地面的摩擦力由靜摩擦力“突變”為滑動摩擦力
動—靜 “突變” 物體在摩擦力和其他力作用下做減速運動，突然停止滑行時，物體將不受摩擦力作用，或受到的滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力 滑塊以速度v0沖上斜面做減速運動，當到達某位置靜止時，滑動摩擦力“突變”為靜摩擦力
動—動 “突變” 某物體相對于另一物體滑動的過程中，若突然相對運動方向變了，則滑動摩擦力方向發生“突變” 水平傳送帶的速度v1大于滑塊的速度v2，滑塊受到的滑動摩擦力方向向右，當傳送帶突然被卡住停止傳動時滑塊受到的滑動摩擦力方向“突變”為向左
【典例3】　(2022·浙江湖州高一期末)小張同學利用如圖甲所示的裝置研究物塊受到的摩擦力情況。質量為4 kg的物塊放置在粗糙的長木板上，通過輕繩與固定在水平實驗操作臺上的力傳感器連接。現用水平向左的力F將長木板從物塊下面拉出，傳感器記錄的FT-t圖像如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
A．2.5～3.5 s內物塊受到的是滑動摩擦力
B．長木板受到的摩擦力總是水平向右
C．物塊與長木板間的動摩擦因數約為0.25
D．向左拉長木板的F-t圖線和圖乙的圖線相同
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　物體受到的外力發生變化時，物體受到的摩擦力就有可能發生突變。解決這類問題的關鍵：正確對物體進行受力分析和運動狀態分析，從而找到物體摩擦力的突變“臨界點”。
[跟進訓練]
3．如圖所示為一同學從t＝0時刻起逐漸增加水平推力推動箱子過程中三個時刻(t1、t2、t3)的漫畫圖。假設t1時刻同學對箱子的推力為5 N，t2時刻推力為10 N，t3時刻推力為15 N。下列說法正確的是(　　)
A．箱子對地面的壓力就是箱子的重力
B．t1時刻，箱子所受地面的摩擦力大于5 N
C．t2時刻，箱子所受合外力與t1時刻相同
D．箱子與地面的滑動摩擦力一定為15 N
4．(多選)如圖甲所示，重為G的物體在水平向右的壓力F作用下靜止在豎直墻上，F隨時間t均勻減小，如圖乙所示。物體與墻之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體始終靜止。設墻對物體的彈力為N、物體與墻的最大靜摩擦力為Fmax、物體受到的摩擦力為Ff，下列圖像能正確表示各力隨時間變化的是(　　)
A　　　B　　　　C　　　　D素養提升課(四)　共點力平衡條件的應用
學習任務 1．進一步理解平衡狀態和平衡條件。 2．知道物體動態平衡問題的特點，掌握動態平衡問題的求解方法。 3．知道平衡中臨界問題的特點，掌握平衡中臨界問題的求解方法。
　物體的動態平衡問題
1．動態平衡：“動態平衡”是指物體所受的力一部分是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變化，但變化過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態，所以叫動態平衡。
2．分析動態平衡問題的方法
方法 步驟
解析法 (1)列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式 (2)根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況
圖解法 (1)根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化 (2)確定未知量大小、方向的變化
相似三 角形法 (1)根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式 (2)確定未知量大小的變化情況
角度1　解析法、圖解法的應用
【典例1】　如圖所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設墻面對球的壓力大小為N1，球對木板的壓力大小為N2。以木板與墻連接點為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置。不計摩擦，在此過程中(　　)
A．N1始終減小，N2始終增大
B．N1始終減小，N2始終減小
C．N1先增大后減小，N2始終減小
D．N1先增大后減小，N2先減小后增大
B　[法一　解析法
對球進行受力分析，如圖甲所示，小球受重力G、墻面對球的壓力N1、木板對小球的支持力N2′而處于平衡狀態。則有tan θ＝＝，N1＝ ，從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置過程中，θ逐漸增大，tan θ逐漸增大，故N1始終減小。從圖中可以看出，N2′＝，從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置， θ逐漸增大，sin θ逐漸增大，故N2′始終減小。球對木板的壓力N2與木板對小球的支持力N2′是一對作用力與反作用力，大小相等，故N2始終減小。選項B正確。
法二　圖解法
小球受重力G、墻面對球的壓力N1、木板對小球的支持力N2′而處于平衡狀態。此三力必構成一封閉三角形，如圖乙所示。從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置的過程中，α逐漸減小，據圖可知N1始終減小，N2′始終減小。由于N2與N2′是一對作用力與反作用力，大小相等，所以N2始終減小。選項B正確。]
　圖解法解題的步驟
(1)首先確定研究對象，并對研究對象進行受力分析。
(2)再根據平行四邊形定則畫出不同狀態下的力的矢量圖，為了便于比較，畫在同一個圖上。
(3)最后根據有向線段(表示力)的長度變化判斷各個力的大小變化情況。
角度2　相似三角形法的應用
【典例2】　如圖所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重為G的重物，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A。用力F拉繩，開始時∠BCA>90°，現使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC。此過程中，桿BC所受的力(　　)
A．大小不變　　　 B．逐漸增大
C．先減小后增大　　　 D．先增大后減小
A　[重物對B點的拉力大小等于重力，根據作用效果分解為F1、F2，F1等于桿BC所受的力，F2等于繩AB所受拉力。如圖所示，△GF1B∽△ABC，則＝，因為LAC、LBC均不變，所以F1不變。因此A項正確。
]
[跟進訓練]
1．(多選)(2022·福建莆田一中高一期末)如圖所示，用豎直擋板將光滑小球夾在擋板和斜面之間，若逆時針緩慢轉動擋板，使其由豎直轉至水平的過程中，以下說法正確的是(　　)
A．擋板對小球的壓力先增大后減小
B．擋板對小球的壓力先減小后增大
C．斜面對小球的支持力先減小后增大
D．斜面對小球的支持力逐漸減小
D　[取小球為研究對象，小球受到重力G、擋板對小球的支持力FN1和斜面對小球的支持力FN2三個力作用，如圖所示，FN1和FN2的合力與重力大小相等，方向相反，FN2總垂直接觸面(斜面)，方向不變，根據圖解可以看出，在FN1方向改變時，其大小(箭頭)只能沿PQ線變動。顯然在擋板移動過程中，FN1先變小后變大，FN2一直減小，故B、D正確。
]
2．(多選)(2022·青海海東市第一中學高一檢測)如圖甲所示，一名登山愛好者正沿著豎直崖壁向上攀爬，繩的一端固定在較高處的A點，另一端拴在人的腰間C點(重心處)。在人向上攀爬的過程中可以把人簡化為乙圖所示的物理模型：腳與崖壁接觸點為O點，人的重力G全部集中在C點，O到C點可簡化為輕桿，AC為輕繩。已知OC長度不變，人向上攀爬過程中的某時刻AOC構成等邊三角形，則(　　)
A．輕繩對人的拉力與人對輕繩的拉力是一對平衡力
B．在此時刻，輕繩對人的拉力大小等于G
C．在虛線位置時，輕繩AC承受的拉力更小
D．在虛線位置時，OC段承受的壓力不變
BD　[輕繩對人的拉力與人對輕繩的拉力是一對作用力和反作用力，故A錯誤；重力、輕繩對人的拉力、OC的支持力構成等邊三角形，所以輕繩對人的拉力和OC的支持力大小都等于人的重力大小G，故B正確；根據相似三角形，有＝＝，則有T＝N＝G，在虛線位置時，AC更長，則輕繩承受的拉力更大，OC段受到的壓力一直不變，故C錯誤，D正確。]
　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
(1)問題界定：物體所處平衡狀態將要發生變化的狀態為臨界狀態，涉及臨界狀態的問題為臨界問題。
(2)問題特點：
①當某物理量發生變化時，會引起其他幾個物理量的變化。
②注意某現象“恰好出現”或“恰好不出現”的條件。
(3)分析方法：基本方法是假設推理法，即先假設某種情況成立，然后根據平衡條件及有關知識進行論證、求解。
2．極值問題
(1)問題界定：物體平衡的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。
(2)分析方法：
①解析法：根據物體平衡的條件列出方程，在解方程時，采用數學知識求極值或者根據物理臨界條件求極值。
②圖解法：根據物體平衡的條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或者矢量三角形進行動態分析，確定最大值或最小值。
【典例3】　如圖所示，物體的質量為2 kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個方向與水平線成θ＝60°的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍(g取10 m/s2)。
[解析]　設繩AB彈力為F1，繩AC彈力為F2，A的受力情況如圖，由平衡條件得
F sin θ＋F1sin θ－mg＝0
F cos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述兩式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
綜合得F的取值范圍為 N≤F≤ N。
[答案]　 N≤F≤ N
　臨界與極值問題的分析技巧
(1)求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡中的臨界點和極值點。
(2)臨界條件必須在變化中尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而是要把某個物理量推向極端，即極大或極小，并依此作出科學的推理分析，從而給出判斷或結論。
[跟進訓練]
3．如圖所示，滑塊A置于水平地面上，滑塊B在一水平力F作用下緊靠滑塊A(A、B接觸面豎直)，此時A恰好不滑動，B剛好不下滑。已知A與B間的動摩擦因數為μ1，A與地面間的動摩擦因數為μ2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。A與B的質量之比為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[B恰好不下滑時，以滑塊B為研究對象，μ1F＝mBg；A恰好不滑動時，以A、B整體為研究對象，則F＝μ2(mAg＋mBg)，所以＝，選項B正確。]
4．一個人最多能提起質量m0＝20 kg的重物。如圖所示，在傾角θ＝15°的固定斜面上放置一物體(可視為質點)，物體與斜面間的動摩擦因數μ＝。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，圖中F是人拖重物的力，求人能夠向上拖動該重物質量的最大值m。已知sin 15°＝，cos 15°＝。
[解析]　設F與斜面的夾角為α時，人能拖動重物的最大質量為m，由平衡條件可得
F cos α－mg sin 15°－μFN＝0 ①
FN＋F sin α－mg cos 15°＝0 ②
由已知可得F＝m0g ③
聯立①②③式得m＝，其中μ＝，
得重物質量的最大值為mmax＝20 kg。
[答案]　20 kg素養提升課(四)　共點力平衡條件的應用
學習任務 1．進一步理解平衡狀態和平衡條件。 2．知道物體動態平衡問題的特點，掌握動態平衡問題的求解方法。 3．知道平衡中臨界問題的特點，掌握平衡中臨界問題的求解方法。
　物體的動態平衡問題
1．動態平衡：“動態平衡”是指物體所受的力一部分是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變化，但變化過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態，所以叫動態平衡。
2．分析動態平衡問題的方法
方法 步驟
解析法 (1)列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式 (2)根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況
圖解法 (1)根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化 (2)確定未知量大小、方向的變化
相似三 角形法 (1)根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式 (2)確定未知量大小的變化情況
角度1　解析法、圖解法的應用
【典例1】　如圖所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設墻面對球的壓力大小為N1，球對木板的壓力大小為N2。以木板與墻連接點為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置。不計摩擦，在此過程中(　　)
A．N1始終減小，N2始終增大
B．N1始終減小，N2始終減小
C．N1先增大后減小，N2始終減小
D．N1先增大后減小，N2先減小后增大
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　圖解法解題的步驟
(1)首先確定研究對象，并對研究對象進行受力分析。
(2)再根據平行四邊形定則畫出不同狀態下的力的矢量圖，為了便于比較，畫在同一個圖上。
(3)最后根據有向線段(表示力)的長度變化判斷各個力的大小變化情況。
角度2　相似三角形法的應用
【典例2】　如圖所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重為G的重物，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A。用力F拉繩，開始時∠BCA>90°，現使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC。此過程中，桿BC所受的力(　　)
A．大小不變　　　 B．逐漸增大
C．先減小后增大　　 D．先增大后減小
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[跟進訓練]
1．(多選)(2022·福建莆田一中高一期末)如圖所示，用豎直擋板將光滑小球夾在擋板和斜面之間，若逆時針緩慢轉動擋板，使其由豎直轉至水平的過程中，以下說法正確的是(　　)
A．擋板對小球的壓力先增大后減小
B．擋板對小球的壓力先減小后增大
C．斜面對小球的支持力先減小后增大
D．斜面對小球的支持力逐漸減小
2．(多選)(2022·青海海東市第一中學高一檢測)如圖甲所示，一名登山愛好者正沿著豎直崖壁向上攀爬，繩的一端固定在較高處的A點，另一端拴在人的腰間C點(重心處)。在人向上攀爬的過程中可以把人簡化為乙圖所示的物理模型：腳與崖壁接觸點為O點，人的重力G全部集中在C點，O到C點可簡化為輕桿，AC為輕繩。已知OC長度不變，人向上攀爬過程中的某時刻AOC構成等邊三角形，則(　　)
A．輕繩對人的拉力與人對輕繩的拉力是一對平衡力
B．在此時刻，輕繩對人的拉力大小等于G
C．在虛線位置時，輕繩AC承受的拉力更小
D．在虛線位置時，OC段承受的壓力不變
　平衡中的臨界、極值問題
1．臨界問題
(1)問題界定：物體所處平衡狀態將要發生變化的狀態為臨界狀態，涉及臨界狀態的問題為臨界問題。
(2)問題特點：
①當某物理量發生變化時，會引起其他幾個物理量的變化。
②注意某現象“恰好出現”或“恰好不出現”的條件。
(3)分析方法：基本方法是假設推理法，即先假設某種情況成立，然后根據平衡條件及有關知識進行論證、求解。
2．極值問題
(1)問題界定：物體平衡的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。
(2)分析方法：
①解析法：根據物體平衡的條件列出方程，在解方程時，采用數學知識求極值或者根據物理臨界條件求極值。
②圖解法：根據物體平衡的條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或者矢量三角形進行動態分析，確定最大值或最小值。
【典例3】　如圖所示，物體的質量為2 kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個方向與水平線成θ＝60°的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍(g取10 m/s2)。
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　臨界與極值問題的分析技巧
(1)求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡中的臨界點和極值點。
(2)臨界條件必須在變化中尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而是要把某個物理量推向極端，即極大或極小，并依此作出科學的推理分析，從而給出判斷或結論。
[跟進訓練]
3．如圖所示，滑塊A置于水平地面上，滑塊B在一水平力F作用下緊靠滑塊A(A、B接觸面豎直)，此時A恰好不滑動，B剛好不下滑。已知A與B間的動摩擦因數為μ1，A與地面間的動摩擦因數為μ2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。A與B的質量之比為(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
4．一個人最多能提起質量m0＝20 kg的重物。如圖所示，在傾角θ＝15°的固定斜面上放置一物體(可視為質點)，物體與斜面間的動摩擦因數μ＝。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，圖中F是人拖重物的力，求人能夠向上拖動該重物質量的最大值m。已知sin 15°＝，cos 15°＝。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素養提升練(三)　摩擦力的綜合分析
一、選擇題
1．如圖甲所示的平板小車在搬運貨物方面有著廣泛的應用，圖乙是某同學用平板小車運送貨物的原理圖，小車在拉力作用下由靜止向右滑行了一段距離x，同時車上的貨物A相對車向左滑行L，則下列說法正確的是(　　)
A．物體A受到的摩擦力為阻力，方向水平向左
B．物體A受到的摩擦力為阻力，方向水平向右
C．物體A受到的摩擦力為動力，方向水平向左
D．物體A受到的摩擦力為動力，方向水平向右
2．一物塊m在水平力F拉動下，沿靜止的水平傳送帶由左端勻速運動到右端，如圖甲所示，這時物塊所受摩擦力為Ff1；現開動機械讓傳送帶向左勻速傳動，再次將同樣的物塊m由傳送帶的左端勻速拉動到右端，這時物塊所受摩擦力大小為Ff2，如圖乙所示。則Ff1、Ff2的大小關系滿足(　　)
A．Ff1＝Ff2
B．Ff1C．Ff1>Ff2
D．上述三種情況都有可能
3．(多選)如圖所示，A、B兩長方體物塊疊放在水平地面上，物塊A受到水平向右的力F作用，兩物塊均處于靜止狀態，下列說法正確的是(　　)
A．A、B之間沒有摩擦力
B．A、B之間有摩擦力
C．地面對B有水平向右的摩擦力
D．地面對B有水平向左的摩擦力
4．一塊質量為1 kg、長為0.4 m的勻質長木板放在固定的水平桌面上，已知木板與桌面間的動摩擦因數為μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，當用水平力F＝3 N推木板，使它經過如圖所示的位置時，桌面對木板的摩擦力為(　　)
A．3 N　B．2 N　　　　C．1.5 N　D．0.5 N
5．用如圖所示裝置研究靜摩擦力，物塊放在水平桌面上，彈簧秤對物塊的拉力沿水平方向，逐漸增大拉力。當拉力小于10 N時，物塊保持靜止，等于10 N時，物塊剛剛開始運動，由此可知(　　)
A．物塊和桌面間的最大靜摩擦力是10 N
B．當彈簧秤的示數為5 N時，物塊受到的摩擦力是15 N
C．當彈簧秤的示數為15 N時，物塊受到的摩擦力是15 N
D．當彈簧秤的示數為15 N時，物塊受到的摩擦力是0
6．如圖所示，將一張A4紙(質量可忽略不計)夾在物理習題冊內，A4紙上方書頁總質量為0.3 kg，A4紙下方書頁總質量為0.5 kg，A4紙與書頁之間、書與桌面之間的動摩擦因數均為0.4，要把A4紙從書中拉出，拉力至少應為(取g＝10 m/s2)(　　)
A．4 N B．5.6 N C．2.4 N D．3.2 N
7．(多選)如圖甲所示，一人用由零逐漸增大的水平力F推靜止于水平地面上質量為10 kg的木箱，木箱所受的摩擦力Ff與F的關系如圖乙所示，g取10 m/s2，下列說法正確的是(　　)
A．木箱所受的最大靜摩擦力fm＝21 N
B．木箱所受的最大靜摩擦力fm＝20 N
C．木箱與地面間的動摩擦因數μ＝0.21
D．木箱與地面間的動摩擦因數μ＝0.2
8．(2022·江蘇省南通中學高一階段檢測)用水平力F拉著一物體在水平地面上做勻速直線運動，從t＝0時刻起水平力F的大小隨時間均勻減小，到t1時刻F減小為零，則物體所受的摩擦力Ff隨時間t的變化圖像可能是如圖中的(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
9．如圖所示，一個質量為m的物體A，向其施加一個水平方向的力F，使A沿豎直墻壁勻速下滑，若物體A與墻面間的動摩擦因數為μ，那么A物體與墻面間的摩擦力為(　　)
A．Ff＝μmg　向上
B．Ff＝mg　向下
C．Ff＝F　向下
D．Ff＝μF　向上
二、非選擇題
10．如甲圖所示把一根長20 cm的輕質彈簧上端固定，下端系一質量為1 kg的木塊，當木塊靜止時，彈簧長為25 cm；把此木塊放在水平桌面上，用這個輕質彈簧水平拉它，當彈簧長為22 cm時，木塊沿桌面勻速運動，如乙圖所示。(g取10 m/s2)求：
(1)彈簧的勁度系數；
(2)木塊與桌面間的動摩擦因數。
11．如圖所示，一質量M＝2 kg的物體放在動摩擦因數μ＝0.2的粗糙水平面上，用一條質量不計的細繩繞過定滑輪和一只m0＝0.1 kg的小桶相連。已知M與水平面間的最大靜摩擦力Fm＝4.5 N，滑輪的摩擦不計，g取10 N/kg，求在以下情況中M受到的摩擦力的大小。
(1)只掛m0，處于靜止狀態時；
(2)只掛m0，但在M上再放一個M′＝3 kg的物體時；
(3)在桶內加入m1＝0.33 kg的沙子時。
素養提升練(三)
1．D　2．A
3．BD　[以A物塊為研究對象進行受力分析，其處于靜止狀態，受到水平向右的力F作用，A物塊有向右運動的趨勢，則A、B之間有摩擦力，A錯誤，B正確；對整體進行受力分析，兩物塊均處于靜止狀態，在水平方向上整體受到向右的拉力，有向右運動的趨勢，則地面對B有向左的摩擦力，D正確。]
4．B　5．A　6．C　
7．AD　[由題圖乙知木箱受的最大靜摩擦力為fm＝21 N，故A正確，B錯誤；當木箱運動后受的是滑動摩擦力，大小為f＝μmg＝20 N，解得μ＝0.2，故C錯誤，D正確。]
8．D　9．D　
10．解析：(1)當彈簧上端固定時，根據胡克定律得F1＝mg＝k(l1－l0)
則k＝＝ N/m＝200 N/m。
(2)木塊沿桌面勻速運動時，彈簧對物塊的拉力的大小F2＝k(l2－l0)＝200×(0.22－0.20) N＝4 N
由平衡條件得：F2＝μmg，解得μ＝0.4。
答案：(1)200 N/m　(2)0.4
11．解析：(1)因為m0g＝1 N(2)在M上再放一個M′＝3 kg的物體，M仍靜止，故所受靜摩擦力F2＝F1＝m0g＝1 N。
(3)因為(m0＋m1)g＝4.3 N答案：(1)1 N　(2)1 N　(3)4.3 N素養提升練(四)　共點力平衡條件的應用
一、選擇題
1．如圖所示是給墻壁粉刷涂料用的涂料滾的示意圖，使用時，用撐桿推著粘有涂料的涂料滾沿墻上下緩慢滾動，把涂料均勻地粉刷到墻上，撐桿的重力和墻壁的摩擦均不計，且撐桿足夠長，粉刷工人站在離墻壁一定距離處緩緩向上推涂料滾，設該過程中撐桿對涂料滾的推力為F1，涂料滾對墻壁的壓力為F2，則(　　)
A．F1增大，F2減小 B．F1增大，F2增大
C．F1減小，F2減小 D．F1減小，F2增大
2．如圖所示，用兩根等長輕繩將木板懸掛在豎直木樁上等高的兩點，制成一簡易秋千。某次維修時將兩輕繩剪去一小段，但仍保持等長且懸掛點不變。木板靜止時，F1表示木板所受合力的大小，F2表示單根輕繩對木板拉力的大小，則維修后(　　)
A．F1不變，F2變大 B．F1不變，F2變小
C．F1變大，F2變大 D．F1變小，F2變小
3．如圖所示，一根粗糙的水平橫桿上套有A、B兩個輕環，系在兩環上的等長細繩將書本靜止懸掛，現將兩環距離變大后書本仍處于靜止狀態，若桿對A環的支持力為FN，桿對A環的摩擦力為Ff，則(　　)
A．FN減小，Ff不變 B．FN減小，Ff增大
C．FN不變，Ff不變 D．FN不變，Ff增大
4．(2022·山東師大附中高一檢測)如圖所示，光滑的四分之一圓弧軌道AB固定在豎直平面內，A端與水平面相切。穿在軌道上的小球在拉力F作用下，緩慢地由A向B運動，F始終沿軌道的切線方向，軌道對球的彈力為FN。在運動過程中(　　)
A．F增大，FN減小 B．F減小，FN減小
C．F增大，FN增大 D．F減小，FN增大
5．(多選)氣象研究小組用如圖所示簡易裝置測定水平風速。在水平地面上豎直固定一根直桿，質量為m的薄空心塑料球用細線懸于桿頂端O，當水平風吹來時，球在水平風力的作用下飄起來。已知風力大小正比于風速，當風速v0＝3 m/s 時，測得球平衡時細線與豎直方向的夾角θ＝30°，重力加速度為g，則(　　)
A．θ＝30°時，細線拉力大小為
B．風速增大到某一值時，θ可能等于90°
C．細線拉力與風力的合力大于mg
D．θ＝30°時，風力大小F＝mg
6．(多選)木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈，如圖所示。輕彈簧一端與鉸鏈O固定連接，另一端系一質量為m的小球A。現將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的小滑輪O′由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統處于靜止狀態。現改變力F的大小使小球A和輕彈簧從圖示位置緩慢運動到O′正下方，且彈簧的長度始終不變，木板始終保持靜止，則在整個過程中(　　)
A．外力F逐漸減小
B．彈簧彈力大小始終不變
C．地面對木板的支持力逐漸減小
D．地面對木板的摩擦力逐漸減小
7．將兩個質量均為m的小球a、b用細線相連后，再用細線懸掛于O點，如圖所示。用力F拉小球b，使兩個小球都處于靜止狀態，且細線Oa與豎直方向的夾角保持θ＝30°，則F達到最小值時Oa繩上的拉力為(　　)
A．mg　B．mg　　　　C．mg　D．mg
8．如圖所示，三根長度均為L的輕繩分別連接于C、D兩點，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2L，現在C點上懸掛一個質量為m的重物，為使CD繩保持水平，在D點上可施加力的最小值為(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
9．(2022·河北卷)如圖，用兩根等長的細繩將一勻質圓柱體懸掛在豎直木板的P點，將木板以直線MN為軸向后方緩慢轉動直至水平，繩與木板之間的夾角保持不變，忽略圓柱體與木板之間的摩擦，在轉動過程中(　　)
A．圓柱體對木板的壓力逐漸增大
B．圓柱體對木板的壓力先增大后減小
C．兩根細繩上的拉力均先增大后減小
D．兩根細繩對圓柱體拉力逐漸增大
10．(2022·浙江1月選考)如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是(　　)
A．輕繩的合拉力大小為
B．輕繩的合拉力大小為
C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小
D．輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小
二、非選擇題
11．如圖所示，質量為m的物體放在一固定斜面上，當斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑。對物體施加一大小為F、方向水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求：
(1)物體與斜面間的動摩擦因數；
(2)這一臨界角θ0的大小。
12．如圖所示，質量M＝2 kg的木塊A套在水平桿上，并用輕繩將木塊與質量m＝ kg的小球B相連。今用與水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉著小球帶動木塊一起向右勻速運動，運動中M、m相對位置保持不變，g取10 m/s2，求：
(1)運動過程中輕繩與水平方向的夾角θ；
(2)木塊與水平桿間的動摩擦因數μ；
(3)當α為多大時，使小球和木塊一起向右勻速運動的拉力最小？
素養提升練(四)
1．C　2．A　3．D　4．A　
5．AD　[選取小球為研究對象，則小球受重力、細線拉力和風力而處于平衡狀態，如圖所示，根據平衡條件可得FT＝＝，F＝mg tan θ＝mg，故A、D正確；因為風力和重力的合力方向不可能水平向右，可知拉力方向不可能水平向左，則θ不可能等于90°，故B錯誤；根據共點力平衡條件可知，細線拉力和風力的合力大小等于mg，故C錯誤。]
6．ABD　[對小球A進行受力分析，三力構成矢量三角形，如圖所示，根據幾何關系可知兩三角形相似，因此＝＝，緩慢運動過程O′A越來越小，則F逐漸減小，A正確；由于彈簧的形變量保持不變，彈簧彈力大小始終不變，B正確；對木板，由于彈簧對木板的彈力大小不變，方向向右下，但彈簧的彈力與豎直方向的夾角越來越小，所以地面對木板的支持力逐漸增大，地面對木板的摩擦力逐漸減小，C錯誤，D正確。
]
7．A　8．C　9．B　10．B
11．解析：(1)斜面傾角為30°時，物體恰能勻速下滑，滿足mg sin 30°＝μmg cos 30°
解得μ＝。
(2)設斜面傾角為α，由勻速直線運動的條件：F cos α＝mg sin α＋Ff
FN＝mg cos α＋F sin α，Ff＝μFN
解得：F＝
當cos α－μsinα＝0，即cot α＝μ時，F→∞，
即“不論水平恒力F多大”，都不能使物體沿斜面向上滑行此時，臨界角θ0＝α＝60°。
答案：(1)　(2)60°
12．解析：(1)對B進行受力分析
設細繩對B的拉力為T，由平衡條件可得
F cos 30°＝T cos θ，F sin 30°＋T sin θ＝mg
解得tan θ＝，T＝10 N
即θ＝30°。
(2)對A進行受力分析，由平衡條件有
T sin θ＋Mg＝FN，T cos θ＝μFN
解得μ＝。
(3)對A、B進行受力分析，由平衡條件有F sin α＋FN＝(M＋m)g，F cos α＝μFN
解得F＝
令sin β＝，cos β＝，即tan β＝
則F＝＝
顯然，當α＋β＝90°時，F有最小值，所以tan α＝μ＝，即α＝arctanF的值最小。
答案：(1)30°　(2)　(3)arctan

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