資源簡介

　必修2《平面解析幾何初步》教材分析
浙江省臺州中學(xué)　吳蘭水
一、《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于平面解析幾何初步的表述
解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。在本模塊中，學(xué)生將在平面直角坐標(biāo)系中建立直線和圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，并了解空間直角坐標(biāo)系。體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。
在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。
平面解析幾何初步（18課時）
（1）直線與方程???? 　①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率計算公式。
③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據(jù)確定直線位置的幾何量，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。
⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)。
⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
（2）圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。
②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
（3）在平面解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
（4）空間直角坐標(biāo)系
①通過具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置。
②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式。
二、教學(xué)大綱與課程標(biāo)準(zhǔn)的比較
1、《教學(xué)大綱》與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的比較
《教學(xué)大綱》
《課程標(biāo)準(zhǔn)》
主要變化點
直線和圓的方程(22課時)
直線的傾斜角和斜率。直線方程的點斜式和兩點式。直線方程的一般式。
兩條直線平行與垂直的條件。兩條直線的交角。點到直線的距離。
用二元一次不等式表示平面區(qū)域。簡單線性規(guī)劃問題。
實習(xí)作業(yè)。
曲線與方程的概念。由已知條件列出曲線方程。
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。圓的參數(shù)方程。
教學(xué)目標(biāo)
(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法；掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程。
(2)掌握兩條直線平行與垂直的條件，掌握兩條直線所成的角和點到直線的距離公式；能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。
(3)會用二元一次不等式表示平面區(qū)域。
(4)了解簡單的線性規(guī)劃問題，了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單應(yīng)用。
(5)了解解析幾何的基本思想，了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。
(6)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。
(7)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進行對立統(tǒng)一觀點的教育。
(8)實習(xí)作業(yè)以線性規(guī)劃為內(nèi)容，培養(yǎng)解決實際問題的能力。
平面解析幾何初步(約18課時)
(1)直線與方程
①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。
⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)。
⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
(2)圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中。探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。
②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
(3)在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
(4)空間直角坐標(biāo)系
①通過具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置。 ②通過表示特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式。
教學(xué)建議：
在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終。幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。
1．平面解析幾何分層為三塊：初步（必修）、圓錐曲線（必選）和坐標(biāo)系與參數(shù)方程（自選）。
2．線性規(guī)劃問題移到《數(shù)學(xué)5》“不等式”部分；原立幾B教材“空間直角坐標(biāo)系”移至解幾初步。
3．注重過程教學(xué)，加大了師生共同探索知識的力度。如“①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。”
4．刪除了直線到直線的角、兩直線夾角的概念及相應(yīng)公式。
5．圓的參數(shù)方程移至選修4-5“坐標(biāo)系及參數(shù)方程”中。
6．“曲線與方程”移至選修2-1（文科不學(xué)）。
7、由已知條件列出曲線方程（求軌跡）部分的內(nèi)容要求降低，不講“純粹性和完備性”，只是在選修內(nèi)容部分講解“充分必要條件”。
2、課時安排上的差異
《教學(xué)大綱》
《課程標(biāo)準(zhǔn)》
差異點
直線與方程10課時，線性規(guī)劃7課時，曲線和圓的方程6課時，復(fù)習(xí)2課時，共約25課時。
直線與方程10課時，圓的方程6課時，空間直角坐標(biāo)系2課時，復(fù)習(xí)2課時，共約18課時。
直線與方程和圓的方程兩部分綱標(biāo)課時一致，“標(biāo)準(zhǔn)”中去掉了“曲線與方程”2課時，但安排了直線與圓、圓與圓和直線與圓的應(yīng)用。
3、新老教材內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上的差異
老教材
新教材
差異
（1）先用“章頭話”、本章研究對象以及研究本章的重要的方法（坐標(biāo)法），即用代數(shù)的方法研究幾何問題（解析幾何的本質(zhì)），點出了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。
（2）以一次函數(shù)為依托，引出“直線的方程”和 “方程”的直線兩個重要概念；
（1）用恩格斯的一句話點出本章的主題和本章的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合）；
（2）描述了本章知識用途；
（3）曲線與方程的關(guān)系；
（4）本章的學(xué)習(xí)任務(wù)。
本章的章頭頁看似只有一頁，但它敘述了本章的靈魂，以初中的函數(shù)為依托，首先講解方程與函數(shù)的關(guān)系，滲透函數(shù)與方程思想；其次重點復(fù)習(xí)初中階段一次函數(shù)的有關(guān)知識。
4、學(xué)生學(xué)習(xí)的知識背景
學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識
突出問題
初中階段
1．函數(shù)及其圖象。已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)；
2．銳角三角函數(shù)，解直角三角形；
3．三角形的相似和全等。
1．斜率、兩點間距離公式等是否可以用向量方法推導(dǎo)？(必修４Ｐ135題9)
2．圓的參數(shù)方程有沒有必要提早引入？(必修４Ｐ81題10)
3．可不可以用向量方法來求直線與直線的夾角？(必修４Ｐ135題9)
4．線性規(guī)劃要不要放回解幾初步？
5．聯(lián)系不等式、函數(shù)知識是否過早？
6．空間直角坐標(biāo)系為什么要與立體幾何初步分離？
高中階段
1．集合與基本初等函數(shù)；
2．平面向量；
3．三角（函數(shù)、變形與解三角形）；
4．立體幾何初步；
5．不等式。
三、浙江省數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)于《解析幾何初步》的教學(xué)指導(dǎo)建議
第三章　直線與方程
教學(xué)要求
3.1直線的傾斜角與斜率
基本要求
理解直線的斜率，掌握過兩點的直線的斜率公式。
理解直線的傾斜角的定義，掌握直線傾斜角的范圍。
掌握用判定兩條直線平行和垂直的方法。
能利用斜率解決具體問題。
發(fā)展要求
說　明
三角知識已學(xué)，可以用三角函數(shù)描述斜率。
3.2直線的方程
基本要求
掌握直線方程的點斜式、斜截式、兩點式，能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程。
了解直線方程的截距式。
能正確理解直線方程一般式的含義。
能將直線方程的點斜式、斜截式、兩點式等幾種形式化為一般式，知道這幾種形式的直線方程的局限性。
發(fā)展要求
根據(jù)所給的條件靈活選取適當(dāng)?shù)男问胶头椒ǎ炀毜厍蟪鲋本€方程。
使學(xué)生感受到直線和直線方程之間的對應(yīng)關(guān)系，知道要說明點在直線上，只要說明點的坐標(biāo)滿足直線方程，反之與成立。
說　明
直線與方程之間的關(guān)系只要了解即可，不必展開。
截距式方程只作為兩點式方程的一種應(yīng)用例子，不必單獨提出這種直線的形式。
3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式
基本要求
會求兩條直線的交點坐標(biāo)。
理解兩條直線的平行、相交與相應(yīng)的直線方程所組成的二元一次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系。
掌握平面上兩點間的距離公式。
掌握平面上兩點的線段的中點坐標(biāo)公式。
能運用距離公式和中點坐標(biāo)公式解決一些簡單的問題。
掌握點到直線的距離公式，能運用它解決一些簡單問題。
發(fā)展要求
通過對點到直線距離公式的推導(dǎo)，滲透化歸思想，并使學(xué)生進一步了解用代數(shù)方程研究幾何問題的方法。
滲透數(shù)形結(jié)合的思想，對學(xué)生進行對立統(tǒng)一觀點的教育。
重視直線垂直時，斜率關(guān)系的運用。
說　明
兩條平行線的距離公式不必記憶。
教學(xué)建議
1、課時分配（9課時）
內(nèi)　　　　　　　　容
課時數(shù)
3.1.1　傾斜角與斜率
1課時
3.1.2　兩條直線平行與垂直的判定
1課時
3.2.1　直線的點斜式方程
1課時
3.2.2　直線的兩點式方程
1課時
3.2.3　直線的一般式方程
1課時
3.3.1　兩條直線的交點坐標(biāo)
1課時
3.3.2　兩點間的距離
1課時
3.3.3　點到直線的距離
1課時
3.3.4　兩條平行直線間的距離
復(fù)習(xí)小結(jié)
1課時
2、重點難點
3.1.1節(jié)重點是斜率的概念，用代數(shù)的方法刻畫直線斜率的過程，過兩點的直線斜率的計算公式。難點是直線的斜率和傾斜角的關(guān)系。
3.1.2節(jié)重點是根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。難點是根據(jù)斜率判定兩條直線垂直。
3.2.1節(jié)重點是直線點斜式方程推導(dǎo)，直線的斜截式方程以及由已知條件求直線方程。難點是直線點斜式方程的推導(dǎo)及適用范圍的的討論。
3.2.2節(jié)重點是直線兩點式方程推導(dǎo)，以及由已知條件求直線方程。難點是直線兩點式方程的推導(dǎo)及對這種形式的理解。
3.2.3節(jié)重點是直線的一般式方程。難點是直線一般式方程的理解與應(yīng)用。
3.3.1節(jié)重點是兩條直線交點坐標(biāo)的求解，難點是根據(jù)直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系。
3.3.2節(jié)重點是兩點間距離公式的推導(dǎo)及坐標(biāo)法的基本步驟，難點是兩點間距離公式的應(yīng)用。
3.3.3節(jié)重點是兩點間的距離公式，點到直線的距離公式。難點是點到直線距離公式的推導(dǎo)。　　　　　
3、分析說明
由于直線的傾斜程度在初中研究一次函數(shù)圖象的時候已經(jīng)作過分析，建議讓學(xué)生回憶這些內(nèi)容，為后面研究直線方程和一次函數(shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。直線的傾斜角和直線的斜率一樣，也是刻畫直線傾斜程度的量，直線的傾斜角側(cè)重于直觀形象，直線的斜率則側(cè)重于數(shù)量關(guān)系。教學(xué)中要讓學(xué)生知道：任何直線都有傾斜角，但不是任何直線都有斜率。
通過分析“坡度”這一學(xué)生熟悉的概念，得到研究直線傾斜程度的量――斜率。對于直線的斜率公式要注意：（1）斜率公式與兩點順序無關(guān)；（2）對于不垂直于x軸的直線，直線的斜率是確定的，與所選擇的直線上的兩點位置無關(guān)；（3）與x軸垂直的直線，它的斜率不存在。通過例子幫助理解經(jīng)過兩點的直線的斜率公式。
在處理直線的斜率和傾斜角的關(guān)系時，可以通過計算機演示或計算器操作，使學(xué)生觀察并體會直線的傾斜角變化時，直線斜率的變化規(guī)律。
直線是點的集合，求直線的方程實際上是求直線上點的坐標(biāo)之間所滿足的一個等量關(guān)系。直線的方程是本章的一個核心概念，教學(xué)中要充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，建議將教學(xué)的過程設(shè)計成一個一個問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生自主探索解決。
在求直線方程的過程中，既要說明直線上點的坐標(biāo)滿足方程，也要說明以方程的解為坐標(biāo)的點在直線上，滿足了這兩點，我們就可以說這個方程是直線的方程，直線是這個方程的直線。讓學(xué)生意識到這一點就可以了，不必展開。
直線斜截式方程是直線點斜式方程的一種特殊情形，教學(xué)過程中，要與一次函數(shù)進行比較，并注意分析方程中k和b的幾何意義。
由于兩點決定了直線的斜率，將兩點式方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程，體現(xiàn)了化歸的思想。在教學(xué)中，可以讓學(xué)生討論并獨立得到結(jié)論。在求兩點式方程時，學(xué)生有可能直接利用直線上的點和兩個已知點的連線的斜率相等獲得方程，這種方法也應(yīng)肯定，它體現(xiàn)了求軌跡方程的基本思想。要注意引導(dǎo)學(xué)生分析以上三種形式應(yīng)用時的局限性。
直線的截距式方程作為直線的兩點式方程的特殊情形，不必單獨提出。對于直線的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全為0），常常轉(zhuǎn)為斜截式加以研究。在教學(xué)中，可以讓學(xué)生直線方程的三種形式（點斜式、斜截式、兩點式）以及它們與直線的一般式方程的聯(lián)系。由于垂直于x軸的直線斜率不存在，因此，應(yīng)提醒學(xué)生判斷兩直線平行和垂直時，要注意對斜率的存在性進行講論。教材通過構(gòu)造相似三角形得到兩直線垂直的條件。推證中實際上用到了有向線段的概念，只要求學(xué)生能夠理解，不必作深入說明。有了直線方程，對直線間的位置關(guān)系的研究就可以轉(zhuǎn)化為對它們方程的研究。從兩條直線的平行、相交、重合問題轉(zhuǎn)化為方程組是否有解、有惟一解、有無數(shù)個解的問題中，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會解析法的本質(zhì)。在推導(dǎo)點到直線的距離公式的過程中，要重視對推導(dǎo)過程的分析。建立坐標(biāo)系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的基礎(chǔ)，合理地建立坐標(biāo)系可以減少解題的計算量，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生在如何合理建立坐標(biāo)系方面展開討論。
在直線與方程的這一章中，傾斜角是幾何概念，直線的斜率是代數(shù)化概念，計算公式是又一次公式代數(shù)化，它一次一次地重復(fù)解析幾何的本質(zhì)。
第四章　圓與方程
教學(xué)要求
4.1圓的方程
基本要求
探索與掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。
會根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑。
能用代數(shù)方法判定點與圓的位置關(guān)系。
會用待定系數(shù)法求圓的方程。
體驗求曲線方程（點的軌跡）的基本方法，概括其基本步驟。
發(fā)展要求
認(rèn)識圓的方程與二次項系數(shù)相同的二元二次方程之間的聯(lián)系。
說　明
4.2直線、圓的位置關(guān)系
基本要求
能判斷直線與圓、圓與圓位置關(guān)系。
有利用位置關(guān)系解決一些簡單的問題。
理解坐標(biāo)法解決幾何問題的一般步驟。
初步會在已知直線與圓位置關(guān)系的條件下，求直線或圓的方程。
發(fā)展要求
研究圓上任意點與直線上任意點之間距離的最值問題，體會數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。
通過圓關(guān)于直線對稱問題的研究，促進解析法思想的運用。
說　明
教學(xué)時不宜作太多引伸。
4.3空間直角坐標(biāo)系
基本要求
了解空間直角坐標(biāo)系，理解三維空間的點可以用三個量來表示。
通過棱與坐標(biāo)軸平行的特殊長方體的頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式。
會用空間兩點間的距離公式。
發(fā)展要求
能建立空間直角坐標(biāo)系表示一些特殊的幾何體（如正三棱錐、正三棱柱）。
說　明
該內(nèi)容主要為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，重點應(yīng)放在空間直角坐標(biāo)系的理解。
教學(xué)建議
1、課時分配（9課時）
4.1.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1課時
4.1.2　圓的一般方程
1課時
4.2.1　直線與圓的位置關(guān)系
1課時
4.2.2　圓和圓的位置關(guān)系
1課時
4.2.3　直線與圓的方程的應(yīng)用
1課時
小結(jié)與復(fù)習(xí)
1課時
4.3.1　空間直角坐標(biāo)系
1課時
4.3.2　空間兩點間的距離公式
1課時
小結(jié)與復(fù)習(xí)
1課時
2、重點難點
4.1節(jié)教學(xué)重點是掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，難點是圓的方程的應(yīng)用。
4.2節(jié)教學(xué)重點是能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。教學(xué)難點是直線與圓的方程的應(yīng)用。
4.3節(jié)教學(xué)重點、難點都是建立空間直角坐標(biāo)系。
3、分析說明
圓的方程教學(xué)時，首先，通過回顧確定圓的幾何要素，建立直角坐標(biāo)系，探索并導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一、正確找出圓心和半徑，一是要求學(xué)生能通過計算，解決點與圓的位置關(guān)系的判定問題；二是能在已知三個條件的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。其次，通過對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的展開，提出探索問題：二次項系數(shù)相等的二元二次方程是不是圓的方程？在學(xué)生獨立探索基礎(chǔ)上，導(dǎo)出圓的一般方程。并引導(dǎo)學(xué)生理解兩種圓方程各自的特點，能熟練進行兩者的互化。會用選定系數(shù)法，求圓的一般方程，并概括出求解的大致步驟。
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)時，要通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生回憶起它們的幾何特征，在此基礎(chǔ)上，運用解析思想，代數(shù)方法進行研究，研究方法：一是轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，二是利用距離判定。對基礎(chǔ)好的學(xué)生，可以材料，讓學(xué)生進行圓關(guān)于直線對稱問題的研究。
空間直角坐標(biāo)系教學(xué)時，首先要充分利用學(xué)生已有的空間感指出引入空間直角坐標(biāo)系的必要性，其次，借助模型使學(xué)生理解三維空間的點可以用三個量來表示，并用類比的方法建立空間直角坐標(biāo)系。通過寫出特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）的頂點的坐標(biāo)、各棱中點坐標(biāo)，促進學(xué)生理解空間直角坐標(biāo)系。通過表示特殊長方體的頂點坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式，通過與平面直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式的類比，掌握公式。

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