資源簡介

人教A版模塊5第三章《不等式》解讀
臺州市第一中學　　　　梅紅衛
課程目標：不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。在本模塊中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數之間的聯系。
知識結構

大綱教材中，一元二次不等式安排在集合之后、簡易邏輯之前，作為初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步內容之一，而課標教材把一元二次不等式安排在模塊5，根據浙江省高中新課程實施意見，應在高二（上）學習；二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題從大綱教材解析幾何部分的一個單元移到模塊5；刪除一元高次、分式不等式，把絕對值不等式移到選修4－5，把不等式證明也移到選修4－5、1－2（文）、2－2（理）。
教學要求──立足基礎、螺旋上升，促進主動學習、激勵自主發展
基本要求
了解不等式（組）的實際背景。
理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。
會用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，能用不等式（組）研究含有不等關系的實際問題。
了解不等式一些基本的性質。
了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次不等式的概念。
理解并掌握一元二次不等式、二次函數及一元二次方程之間的關系。
理解并掌握解一元二次不等式的過程。
會求一元二次不等式的解集。
掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想。
了解從實際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程。
理解二元一次不等式（組）及其解集的概念。
了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區域）邊界的概念及其實、虛線的含義。
會用二元一次不等式（組）表示平面區域。
了解線性約束條件、目標函數、線性目標函數、線性規劃、可行域、可行解、最優解的概念。
掌握簡單的二元線性規劃問題的解法。
了解基本不等式的代數、幾何背景及其證明過程。
理解算術平均數、幾何平均數的概念。
會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。
通過基本不等式的實際應用，感受數學的應用價值。
發展要求
理解并掌握不等式的基本性質。
體會不等式的基本性質在不等式證明中所起的作用。
一元二次不等式解法及應用。
能把一些簡單的實際問題轉化成二元線性規劃問題并加以解決。
掌握基本不等式應用及其使用的條件。
課標教材特點分析
教學內容
通過前后移動、左右拆分等動作試圖把體現和刻畫不等關系的意義、價值、方法和思想的有關內容進行了一次整編，使得內容上 “形式的大拼盤”在不等關系和不等思想這個層次上得到“實質性的統一”。從多角度（實際背景、幾何意義、代數算理、不等思想等）體現課程標準基礎性、發展性、應用性和思想性的要求。
教學要求
（1）在解不等式方面，課標教材有二個特點：基本要求進一步降低、重視直觀合情推理。在大綱教材刪除指、對數不等式和根式不等式之后又刪除了一元高次不等式、分式不等式，絕對值不等式移到選修4－5（選修IB之一，不作高考要求）；在課標教材的例題中，解一元二次不等式前都是先研究相應的一元二次方程的根、二次函數的圖象，這是大綱教材所不及的。
（2）在不等式證明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但現階段浙江省高考對不等式證明的要求是降低的。雖然在選修1－2（文）、2－2（理）的推理與證明中提出用綜合法與分析法是選修IA之一，作為浙江高考要求；但選修4－5中不等式選講中不等式證明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其應用，還介紹了數學歸納法與貝努利不等式，這些內容是選修IB之一，不作為浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代數、幾何背景及證明過程，應用上只要求用于求簡單的最值問題。
教學意義
數學是思維的體操，不等式作為大綱教材的一個重點和難點，在培養學
生演繹推理能力方面起到重要作用，但大綱教材在推理的技巧性和嚴密性上多層次人為的過度強調，在演繹推理難度上不斷提升，往往使得學生成為思維的機器，而不是思維的主人。課標教材強調合情推理和演繹推理并重，強調不等式的背景和實際應用，把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的數學工具，作為描述優化問題的一種數學模型，而不是從數學到數學的純理論，使思維成為自然的可能，將使學生成為思維的主人。
課時分配（16課時）──基本滿足、拓展較緊
3．1不等關系與不等式
2課時
3．2一元二次不等式及其解法
3課時
小結
1課時
3．3．1二元一次不等式（組）與平面區域
2課時
3．3．2簡單的線性規劃問題
3課時
小結
1課時
3．4基本不等式：
3課時
小結
1課時
教學建議──強調概念本質和實際背景，淡化大量人為的繁瑣訓練；強調學生體驗知識的形成過程，淡化一些技巧性的要求；強調利用圖象的直觀性和合情推理，淡化純演繹推理。
3.1不等關系與不等式
這一節讓學生從大文化和實際背景認識不等關系的普遍性，如章頭圖及其說
明詩：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”（這首蘇東坡的《題西林壁》的后二句大家更熟悉：不識廬山真面目，只緣身在此山中）；具體要求也和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎，先結出實數大小比較的基本原理，再歸結出五大定理和幾個推論，部分還結出了證明。而課標教材也先結出實數大小比較的基本原理，但把五大定理和幾個推論整理為不等式的八大性質，并只作一些簡要的說明，并強調這些關于不等式的事實和性質是解決不等式問題的依據，所以在教學中，我們不必在這些性質的證明中化過多的時間，而應該著眼于通過實際背景、幾何意義、具體例子來說明這些性質的合理性，對一些不等式的推斷作一些分析驗證；在此過程中更要重視學生的參與，師生在實際背景、幾何意義、具體例子的共同作用下接受合情推理及其結論，盡可能減少學習過程中被迫無奈的成分（包括教師作為成人已具有的，而學生未具備的文化背景和經驗）。另外，我個人認為引入不等關系和性質的實際背景、具體例子和性質本身都可以根據實際情況（當地學生情況和我省模塊1－4－5－2－3的現實）作一些必要的調整，如問題1的內容（點到平面的距離）、章頭圖的形式（人教A版用熔巖峰嶺圖、上海教材用城市道路和高樓圖）、八條性質的設置（如減對稱性，增倒數性質）。
3.2一元二次不等式及其解法
在大綱教材中，集合和邏輯聯結詞之后簡易邏輯和函數之前安排了借助二次
函數解決二次不等式有關問題，究其用意，一是讓使學生進一步完善二次函數這一中學里最重要的函數的認識結構，并在理解抽象的函數概念時有一個具體的函數模型；二是鞏固有關集合的基本概念；三是鞏固并熟悉使用“或”、“且”二個邏輯聯結詞，并為學習“簡易邏輯”打好基礎；四是為下一章研究某些函數的定義域、值域、單調性作準備。課標教材為了防止師生在學習集合和函數概念時，借助二次不等式對函數的定義域、值域、單調性等細小問題進行大量繁瑣的所謂重點訓練，而忽視對函數概念的本質的理解、忽視對函數性質的討論、忽視函數的實際應用，故課標教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已經參與實驗的教師中，特別是在一些多次使用傳統教材的教師中，有許多人對此提出質疑，我認為這主要是受使用大綱教材（把二次不等式放在集合與函數之間）的經驗和習慣性的影響。對此，我有二個建議：部分現階段一時難以適應的老教師，在盡可能實現課標教材設計意圖的情況下可以暫時沿用以往的辦法來處理；學生數學基本能力和思想（主要是本節內容學習過程中的蘊含的有關能力，如實際背景抽象出數學模型的能力、數形結合的能力、從直觀到理性和從特殊到一般的認識能力）較好的班級也可以暫時沿用以往的辦法來處理。但我們應努力改變這種情況。
人教A版先通過一個上網費用問題引入一元二次不等式的概念，讓學生了解
從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具體二次函數的圖象研究二次函數的零點和一元二次方程根的關系，并觀察當一點P在二次函數圖象上移動（即點P的橫坐標x變化）時，其縱坐標y有什么變化？進而歸納出一般一元二次不等式的解法，最后讓學生自主完成求解一般一元二次不等式的過程的程序框圖。從實際背景到數學模型，從直觀感受到理性認識，從特殊到一般，這種處理符合學生的認知規律，有助于學生認清知識的形成過程，加深對知識的理解，更重要的是在此過程中學生能有體驗的感受，往往使學生領悟到數學的思想方法。故教學中要重體驗淡模式、重應用淡技巧、重背景控難度。總之，要重視理解并掌握解一元二次不等式的過程，突出數形結合的思想，理解二次函數、方程、不等式的關系，達到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相關內容在選修4－5中將進一步討論。
3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題
不等關系在日常生活、現實生產、科學實驗中大量存在，如上網時間費用、
剎車距離與車速關系、資源利用、人力調配、生產安排等問題。不等式是用來刻畫不等關系的優化工具，二元一次不等式（組）刻畫區域的準確性和可活動性使之成為解決二元線性規劃問題的有效工具。本節安排了線性規劃及其實習作業內容，教學中要立足于實際問題是數學問題的源泉，解決實際問題是數學研究的主要目的之一；同時，由于浙江省先安排上模塊5，后上模塊2，故高一教學時應作適當調整，一種是把整節切割到直線方程之后，另一種是適當補充直線方程有關內容（如傾斜角、斜率等），我傾向選擇后一種方案（主要基于二點理由：傾斜角、斜率比較直觀，三角函數已學），主要理由是遵循教材設計意圖（不等關系）；另外，多元條件極值是有一定難度的，教學中不應再過多展開，要讓學生通過自主研究理解掌握基本解法即可，如可讓學生自主探究完成二元一次不等式表示的平面區域（象探究一元二次不等式的解法一樣，經歷觀察、嘗試、思考等探究的過程）；最后，要幫助學生實現從實際問題中抽象出二元一次不等式（組），這是本節的難點。
3.4基本不等式：
首先，我們應明確，本節的重點是應用數形結合的思想理解基本不等式，從
不同角度探索它的證明過程（證明意識的培養），難點是利用之求最大（小）值，一般不等式證明不是本節的重點和難點，選修1－2（文）、2－2（理）、4－5中將會繼續研究；其次，基本不等式只限于二元；第三，教學中應突出用基本不等式解決簡單問題，特別是實際問題（如周長、面積、造價等）的最大（小）值；第四，不要有意設置一些特殊問題去強調所謂“一正、二定、三相等”。

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