資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.5 解直角三角形的新定義模型
模塊1：學習目標
解直角三角形的新定義模型，是體現選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數學為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數學的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數學知識內容包裝、初中試題命制技術設置）處理，命制出具有高中數學背景味道的試題。這類試題往往對學生思維能力和創新能力要求較高，能有效檢驗學生是否具備進入高中學習的潛能，所以平時教學挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當地構建模型可以拓寬解題思路，優化解題過程，豐富解題內涵。
模塊2：知識梳理
模型1、新定義模型
此類模型主要包含高中數學中的三角函數和解三角形的相關定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數學知識證明。
若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應邊a、b、c；
1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。
圖1 圖2
2）余弦定理：如圖2，； ； ．
3）正弦面積公式：如圖2，.
4）同角三角函數的基本關系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
模塊3：核心模型與典例
例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：
在中， CD=asinB； 在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數表示AD后，即可建立關聯并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數分別求出AE和BC，即可求解．
(1)證明：如圖2，過點作于點，在中，，
在中，，，；
(2)解：如圖3，過點作于點，，，，
在中，
又，即，，．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的定義是解決問題的前提．
例2．（2023秋·廣東九年級課時練習）我們知道，直角三角形的邊角關系可用三角函數來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關系呢？（已知）
如圖，銳角中，、、所對的邊分別為a、b、c，過點C作，
在中，，∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理可得：，同理可得：．
利用上述結論解答下列問題：（1）在中，，求a和的大??；
（2）在中，，其中，求邊長c的長度．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根據給出的公式，把已知條件代入計算，求出a的值，根據勾股定理的逆定理證明直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得到答案；
（2）把數據代入相應的公式，得到關于c的一元二次方程，解方程得到答案．
【詳解】解：（1）在中，，∴，
∵，即，∴為直角三角形，，
又∵，∴；
（2）∵，
∴，化簡得，解得，，
∵，∴．
【點睛】本題考查的是新定義和解直角三角形的知識，理解新定義并正確運用新定義的公式是解題的關鍵，注意應熟記特殊角的三角函數值．
例3．（2023·山西·九年級統考期中）閱讀下列內容，并解答問題：三角形的一個面積公式
小明喜歡通過多渠道學習數學知識，一天，他運用網絡搜索學會了一個三角形面積公式，這個公式敘述如下：在中，已知，，，則的面積為.
請你完成以下活動：問題探究：（1）如圖1，已知是銳角三角形，，，，請證明上述三角形面積公式仍然成立；
問題解決：（2）如圖2，在中，，，.則的面積是______.

【答案】（1）證明見解析；（2）9
【分析】（1）過點作于點，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的長度，運用求解即可.
【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，

在中，.∵，∴.
（2）在△ABC中，∵，，，∴.
【點睛】本題考查了三角形的面積公式，解題的關鍵是做輔助線，通過解直角三角形表示出三角形對應邊上的高.
例4．（2022春·遼寧沈陽·九年級校考開學考試）設一個三角形的三邊長分別為，，，，則有下面的面積公式
（海倫公式） （秦九韶公式）
若一個三角形的三邊長依次為5，6，7，則這個三角形的面積為 （可以直接利用上面的面積公式）
【答案】
【分析】利用兩個公式分別代入即可．
【詳解】解：，
由海倫公式可得；
由秦九昭公式可得．故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次根式的應用，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
例5．（2023·北京市·九年級校考期末）關于三角函數有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數值轉化為特殊角的三角函數來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計算下列三角函數①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分別代入計算得出答案．
【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此選項正確；②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此選項正確；
③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項正確；
④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項正確；
故正確的有4個．故選D．
【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值以及公式的應用，正確應用公式是解題關鍵．
例6．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．
(1)已知α，β兩角和的余弦公式為： ，請利用公式計算；
(2)求風葉的長度．

【答案】(1)(2)風葉的長度為米
【分析】（1）根據題中公式計算即可；（2）過點A作，連接，，先根據題意求出，再根據等腰對等邊證明，結合第一問的結論用三角函數即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
∴；
（2）解：過點A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，
∵三片風葉兩兩所成的角為，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，
∵三片風葉兩兩所成的角為，且三片風葉長度相等，∴，
∴米，∴風葉的長度為米．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，正確理解題意和作出輔助線是關鍵．
例7．（2022·山東濟南·統考模擬預測）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數值為，那么的值為___________．
【答案】
【分析】過點作于，利用的正弦函數值，設出的長，根據勾股定理求出，最后根據的規定求值即可．
【詳解】解：過點作于，如圖所示，
，設，，
，，，；故答案為：．
【點睛】此題是新定義運算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數等知識，熟練掌握勾股定理、三角函數的定義以及新定義運算的規定是解答此題的關鍵．
例8．（2023·湖南·統考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結合材料，若（為銳角），則的度數是 ．
【答案】
【分析】設，先根據公式可得到一個關于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根據特殊角的正切函數值即可得出答案．
【詳解】設 由題意得：
解得經檢驗，是分式方程的根即
為銳角故答案為：．
【點睛】本題考查了分式方程的解法、特殊角的正切函數值，熟記特殊角的正切函數值是解題關鍵．
例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．
證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點D(異于點A)，過點D作DE⊥AB，垂足為E．
∵DE⊥AB于點E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：學習了三角函數之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.
應用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．
(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導過程；如果不可以，說明理由．
【答案】(1)(2)能，過程見解析
【分析】(1) 過點A作于點D，根據解直角三角形即可求得；
(2) 過點A作于點D，根據解直角三角形即可求得．
【詳解】（1）解：過點A作于點D
，
（2）解：如圖，過點A作于點D
，
．
【點睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構造直角三角形是解決本題的關鍵．
例10．（2023春·湖北·九年級專題練習）在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題：
(1)若，則角α的三角函數值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；
(3)若角α是鈍角，其終邊上一點，且，求的值；
(4)若，則的取值范圍是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由題意可得，，，然后依據定義進行判斷即可；（2）設點，則，然后分為和兩種情況求解即可；（3）由題意可得，然后依據定理列出關于x的方程，從而求出x的值，然后依據正切的定義求解即可；（4）依據三角形的三邊關系可得，然后再得到，再求得的取值范圍，即可求得結果．
【詳解】（1）解：當時，，，，
，，，故答案為：．
（2）解：∵若角α的終邊與直線重合，，，
當時，，當時，，
的值為或．
（3）解：，點，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，又，
，故答案為：．
【點睛】本題考查了正比例函數的性質、三角函數的定義及完全平方公式，理解三角函數的定義是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·廣東東莞·九年級?？茧A段練習）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數學定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現已知在中，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式直接解答即可．
【詳解】解：∵，，∴，
∵，∴，整理得，，
解得或（負值舍去），故選：B．
【點睛】此題考查了三角函數的應用、解一元二次方程，正確理解公式并靈活運用是解題的關鍵．
2．（2020·四川廣元市·中考真題）規定：給出以下四個結論：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正確的結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據題目所規定的公式，化簡三角函數，即可判斷結論．
【詳解】解：（1），故此結論正確；
（2），故此結論正確；
（3）故此結論正確；
（4）==
，故此結論錯誤.故選：C．
【點睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數的知識，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的基礎知識，理解題中公式.
3．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題利用三角函數間的關系和面積相等進行變形解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴ 即，
，，故選：A．
【點睛】本題考查等式利用等式的性質解題化簡，熟悉是解題的關鍵．
4．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L分別為a、b、c，求其面積問題．中外數學家曾經進行過深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若 一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題目中的秦九韶公式，可以求得一個三角形的三邊長分別為5，6，7的面積，從而可以解答本題．
【詳解】∵S=∴若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，
則面積是：S=，故選A.
【點睛】此題考查二次根式的應用，解題關鍵在于結合題意列相應的二次根式并將其化簡.
5．（2023·廣東深圳·校聯考一模）由三角函數定義，對于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個數是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據勾股定理的逆定理以及解直角三角形一一判斷即可.
【詳解】解：∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正確，
∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴，
∴，不妨設，則a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'＋bb'＝cc'，∴a2k＋b2k＝c2k，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故②正確，
∵sin2A＋sin2B＝1，sin2A＋cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，∴sinB＝cosA，
∵sinA＝cos（90° A），∴90° ∠B＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故③正確，
∵+=，∴+=1，∴sin2B＋sin2A＝1，∴△ABC是直角三角形，故④正確．故選D．
【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，三角函數，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
6．（2023秋·福建莆田·九年級?？茧A段練習）我們給出定義：如果兩個銳角的和為，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要求的值，想到構造直角三角形，根據已知可得的補角為，所以過點B作，交的延長線于點D，分別在和中利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．
【詳解】解：過點B作，交的延長線于點D，

∵，∴設，，
，互為半余角，，，
在中，，，
，，在中，，故選：B．
【點睛】本題考查了余角和補角，解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
7．（2023春·九年級課時練習）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】連結OD、過點D作DF⊥AC于F，根據是半圓弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根據，求出OD=OC=OA=，利用三角函數ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【詳解】解：連結OD、OC，過點D作DF⊥AC于F，
∵是半圓弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD為等邊三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵點C在半圓弧的中點處，∴=半圓弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵，∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故選擇：D．
【點睛】本題考查弧與圓心角，圓周角的關系，等邊三角形判定與性質，銳角三角函數，掌握弧與圓心角，圓周角的關系，等邊三角形判定與性質，銳角三角函數是解題關鍵．
8．（2023春·廣東深圳·九年級校聯考開學考試）數學中余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為、、，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍，用公式可描述為：，，．在中，，，，則的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據題目中給出的信息列式解答即可．
【詳解】解：根據題意得：
，
∴或（舍去），故C正確．故選：C．
【點睛】本題考查新定義計算，特殊角的三角函數值，余弦定理，解題的關鍵是理解題意，熟練進行計算．
9．（2022·廣東東莞·?？家荒＃╆P于三角函數有如下的公式：，由該公式可求得的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據，代入特殊三角函數值計算即可．
【詳解】解： ，故選：B．
【點睛】本題考查了實數的運算，特殊角的三角函數值，靈活運用公式把一般角轉化為特殊角的和或者差是解題的關鍵．
10．（2023春·湖南湘西·八年級統考階段練習）已知三角形的三邊長分別為，求其面積問題，中外數學家曾經進行過深入研究，古希臘的幾何學家海倫（，約公元50年）給出求其面積的海倫公式，其中；我國南宋時期數學家秦九韶（約1202-約1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式．若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分別代入題目所給兩個公式，即可進行解答．
【詳解】解：法一：∵，∴，
∴；
法二：∵，∴；故選：B．
【點睛】本題主要考查了求代數式的值，解題的關鍵是掌握已知字母的值求代數式值的方法．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為 ．
【答案】或
【分析】此題需要分類討論：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性質求出，然后利用余切的定義求解．
【詳解】解：若，
過A作于D，如圖，
∴，∴，∴；
若，過A作于D，如圖，
∴，∴，∴；故答案為：或．
【點睛】此題主要考查了余切的定義，同時也利用了等腰三角形的性質和勾股定理，有一定的綜合性．
12．（2023·江蘇蘇州·統考一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即： ．如圖，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】如圖，作，垂足為H，然后根據三角函數的定義即可可解答．
【詳解】解：如圖，作，垂足為H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．故答案為．
【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．
13．（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據代入進行計算即可．
【詳解】解：=
===．故答案為：．
【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵．
14．（2022秋·上海青浦·九年級校考期中）若定義等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即，若等腰，，且，則 ．
【答案】/0.28
【分析】過點A作于D，過點B作于E，設，，根據勾股定理得， ，進而判斷是銳角三角形，點E在AC邊上，從而得，由三角函數的定義即可求解．
【詳解】如圖，過點A作于D，過點B作于E，
∵，∴設，，∵，∴，
根據勾股定理得， ，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴是銳角三角形，∴點E在AC邊上，
∵，，∴即，∴，
∴，∴．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理以及三角函數，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
15．（2023·湖南婁底·統考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
【答案】
【分析】先根據求出，把變為，然后根據計算即可．
【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．
∵，∴．∵為銳角，∴．
∵
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了三角函數的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關鍵．
16．（2023·山東濰坊·統考二模）一般地，當α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請根據以上材料，求得tan75°的值為 ．
【答案】2+．
【分析】根據給定的公式，將，代入中計算化簡即可．
【詳解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+．
故答案為：2+．
【點睛】本題考查了三角函數的計算以及用平方差公式進行分母有理化，讀懂新定義的含義是關鍵.
17．（2023·成都市九年級期中）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣．對于任意三角形，任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．定理解讀：如圖，在任意中，以邊為例，其它兩邊是和，和的夾角為，根據余弦定理有，類似的可以得到關于和的關系式．已知在中，，，是和的比例中項，那么的余弦值為 ．
【答案】/0.75
【分析】據余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB，再根據AC是BC和AB的比例中項，即可推出結果．
【詳解】解：根據余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB，
∵AC是BC和AB的比例中項，∴AC2=AB BC，
∴AB BC=AB2+BC2-2AB BC cosB，即1×2=12+22-2×1×2×cosB，∴cosB=，故答案為：．
【點睛】本題是閱讀理解題，考查了線段比例中項的定義，讀懂題意，采用類比的方法是解題的關鍵．
18．（2023·河北石家莊·九年級統考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；
……
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
【答案】 1 1 1 1
【詳解】sin230°＋cos230°＝=1 ，
sin245°＋cos245°＝=1 ，
sin260°＋cos260°＝=1 ，
即可猜想出：對任意銳角，都有 故答案為：1；1；1；1
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·浙江杭州·九年級期中）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D(如圖1)，則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素(至少有一條邊)，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．根據上述材料，完成下列各題．
(1)如圖2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，則∠A＝_____；AC＝_____；
(2)如圖3，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上(如圖3)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB．
【答案】(1)60°，；(2)貨輪距燈塔的距離AB＝15海里．
【分析】（1）利用題目總結的正弦定理，將有關數據代入求解即可；
（2）在△ABC中，分別求得BC的長和三個內角的度數，利用題目中總結的正弦定理求AC的長即可．
【詳解】(1)∠A＝60°，AC＝；
(2)如圖，依題意：BC＝60×0.5＝30(海里) ∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150° ∵∠ABE＝75°．∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°，
在△ABC中，，即 解之得：AB＝15．
答：貨輪距燈塔的距離AB＝15海里．
【點睛】本題考查了方向角的知識，更重要的是考查了同學們的閱讀理解能力，通過材料總結出學生們沒有接觸的知識，并根據此知識點解決相關的問題，是近幾年中考的高頻考點．
20．（2023·浙江·九年級專題練習）親愛的同學們，在我們進入高中以后，將還會學到三角函數公式：，．
例：．
（1）試仿照例題，求出的準確值；（2）我們知道：，試求出的準確值；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把75°化為30°+45°直接代入三角函數公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ計算即可；（2）把tan75°代入，再把（1）及例題中的數值代入即可．
【詳解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，=；
（2）∵，∴tan75°===．
【點睛】本題是信息題，解答此題的關鍵是具備三角函數的基礎知識，讀懂題干中的運算方法．
21．（2022春·浙江·九年級專題練習）閱讀材料：
一般地，當α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）== == =．
根據以上材料，解決下列問題：（1）求tan75°的值；
（2）都勻文峰塔，原名文筆塔，始建于明代萬歷年間，系五層木塔，文峰塔的木塔年久傾毀，僅存塔基，1983年，人民政府撥款維修文峰塔，成為今天的七層六面實心石塔（圖1），小華想用所學知識來測量該鐵搭的高度，如圖2，已知小華站在離塔底中心A處5.7米的C處，測得塔頂的仰角為75°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.72米，請幫助小華求出文峰塔AB的高度．（精確到1米，參考數據≈1.732，≈1.414）
【答案】（1）；（2）23．
【詳解】試題分析：（1）利用題中的公式和特殊角的三角函數值計算75度的正切值；
（2）如圖2，先在Rt△BDE中利用正切的定義計算出BE，然后計算BE+AE即可．
（1）tan75°=tan（45°+30°）====；
（2）如圖2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=，∴BE=DEtan75°=5.7×（）≈21.2724，∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）．
答：文峰塔AB的高度約為23m．
點睛：本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決．
22．（2022·湖南湘潭·校考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，；，．
例：．
(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把化為直接代入三角函數公式計算即可；
（2）把化為直接代入三角函數公式計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，α為銳角，解得，
∴．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值的應用，屬于新題型，解答本題的關鍵是根據題目中所給信息結合特殊角的三角函數值來求解．
23．（2023·四川成都·成都外國語學校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．
根據上述材料，完成下列各題．
（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=　 ；AC=　 ??；
（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政船距釣魚島A的距離AB．
【答案】（1）60°,20;(2)10
【詳解】（1）先利用三角形內角和定理求出∠A，再利用題目總結的正弦定理，將有關數據代入求解即可；（2）在△ABC中，分別求得BC的長和三個內角的度數，利用題目中總結的正弦定理AB的長即可．
解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
根據材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案為60°，20；
（2）如圖，依題意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，
∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，
在△ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，
所以漁政船距釣魚島A的距離為10海里．
【點睛】本題考查的閱讀理解題，涉及到三角函數等知識，弄清材料中知識，并能應用解決相關的問題是關鍵.
24．（2023春·山東濟寧·九年級統考期中）某校九年級數學興趣小組，探究出下面關于三角函數的公式：
；；．
利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如：
．
根據上面的知識，選擇適當的公式解決下面的實際問題：
(1)計算：；(2)如圖，直升飛機在一建筑物上方點處測得建筑物頂端點的俯角，底端點的俯角，此時直升飛機與建筑物的水平距離為，求建筑物的高．

【答案】(1)(2)建筑物AB的高為120米
【分析】（1）利用求解；
（2）利用求出，解直角三角形求出和B，C垂直距離，即可求解．
【詳解】（1）解：；
（2）解：，，，，
，
，
B，C垂直距離為，∴（米）．
答：建筑物的高為120米．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是根據提供的公式計算出非特殊角的三角函數值．
25．（2023·湖南株洲·?？寄M預測）閱讀、理解、應用
研究間的角的三角函數，在初中我們學習過銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么
為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線點O逆時針旋轉后所得到的．和原點的距離為（總是正的）然后把角的三角函數規定為：
（其中分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角的大小有關，四個比值的正、負取決于角的終邊所在的象限，而與點在角的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題， (1)如圖3，若，則角的三角函數值，其中取正值的是________．
(2)若角的終邊與直線重合，則________．
(3)若角是銳角，其終邊上一點且，則________．
(4)若，則的取值范圍是________．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由點在第四象限，推出，根據，即可判斷；（2）分兩種情形討論即可解決問題；（3）如圖2中，作軸于E．求出的長，根據三角函數的定義即可解決問題；（4）根據題意可得，根據，可得，再由，可得，從而得到，由此即可解決問題．
【詳解】（1）解：∵，
∴點在第四象限，∴，
∵，∴，
∴取取正值的是；故答案為：
（2）解：如圖1中，

①當點P在第一象限時，作軸于E．設，則，
∴．
②當點P在第三象限時，作軸于E．設，則，
∴．
綜上所述， 或；故答案為：或；
（3）解：如圖2中，作軸于E．
由題意， ，∴，
∴，∴；
（4）解：根據題意得：，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查一次函數綜合題、三角函數的定義、解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數解決問題，屬于中考創新題目．
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專題1.5 解直角三角形的新定義模型
模塊1：學習目標
解直角三角形的新定義模型，是體現選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數學為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數學的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數學知識內容包裝、初中試題命制技術設置）處理，命制出具有高中數學背景味道的試題。這類試題往往對學生思維能力和創新能力要求較高，能有效檢驗學生是否具備進入高中學習的潛能，所以平時教學挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當地構建模型可以拓寬解題思路，優化解題過程，豐富解題內涵。
模塊2：知識梳理
模型1、新定義模型
此類模型主要包含高中數學中的三角函數和解三角形的相關定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數學知識證明。
若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應邊a、b、c；
1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。
圖1 圖2
2）余弦定理：如圖2，； ； ．
3）正弦面積公式：如圖2，.
4）同角三角函數的基本關系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
模塊3：核心模型與典例
例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：
在中， CD=asinB； 在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
例2．（2023秋·廣東九年級課時練習）我們知道，直角三角形的邊角關系可用三角函數來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關系呢？（已知）
如圖，銳角中，、、所對的邊分別為a、b、c，過點C作，
在中，，∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理可得：，同理可得：．
利用上述結論解答下列問題：（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求邊長c的長度．
例3．（2023·山西·九年級統考期中）閱讀下列內容，并解答問題：三角形的一個面積公式
小明喜歡通過多渠道學習數學知識，一天，他運用網絡搜索學會了一個三角形面積公式，這個公式敘述如下：在中，已知，，，則的面積為.
請你完成以下活動：問題探究：（1）如圖1，已知是銳角三角形，，，，請證明上述三角形面積公式仍然成立；
問題解決：（2）如圖2，在中，，，.則的面積是______.

例4．（2022春·遼寧沈陽·九年級校考開學考試）設一個三角形的三邊長分別為，，，，則有下面的面積公式
（海倫公式） （秦九韶公式）
若一個三角形的三邊長依次為5，6，7，則這個三角形的面積為 （可以直接利用上面的面積公式）
例5．（2023·北京市·九年級校考期末）關于三角函數有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數值轉化為特殊角的三角函數來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計算下列三角函數①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例6．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．
(1)已知α，β兩角和的余弦公式為： ，請利用公式計算；
(2)求風葉的長度．

例7．（2022·山東濟南·統考模擬預測）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數值為，那么的值為___________．
例8．（2023·湖南·統考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結合材料，若（為銳角），則的度數是 ．
例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．
證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點D(異于點A)，過點D作DE⊥AB，垂足為E．
∵DE⊥AB于點E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：學習了三角函數之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.
應用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．
(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導過程；如果不可以，說明理由．
例10．（2023春·湖北·九年級專題練習）在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題：
(1)若，則角α的三角函數值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；
(3)若角α是鈍角，其終邊上一點，且，求的值；
(4)若，則的取值范圍是 ．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·廣東東莞·九年級?？茧A段練習）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數學定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現已知在中，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川廣元市·中考真題）規定：給出以下四個結論：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正確的結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L分別為a、b、c，求其面積問題．中外數學家曾經進行過深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若 一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·廣東深圳·校聯考一模）由三角函數定義，對于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個數是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2023秋·福建莆田·九年級校考階段練習）我們給出定義：如果兩個銳角的和為，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則的值為（ ）

A． B． C． D．
7．（2023春·九年級課時練習）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（ ）
A． B． C． D．1
8．（2023春·廣東深圳·九年級校聯考開學考試）數學中余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為、、，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍，用公式可描述為：，，．在中，，，，則的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
9．（2022·廣東東莞·?？家荒＃╆P于三角函數有如下的公式：，由該公式可求得的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·湖南湘西·八年級統考階段練習）已知三角形的三邊長分別為，求其面積問題，中外數學家曾經進行過深入研究，古希臘的幾何學家海倫（，約公元50年）給出求其面積的海倫公式，其中；我國南宋時期數學家秦九韶（約1202-約1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式．若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為 ．
12．（2023·江蘇蘇州·統考一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即： ．如圖，若，則的值為 ．
13．（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為 ．
14．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤舳x等腰三角形頂角的值為等腰三角形底邊和底邊上高的比值，即，若等腰，，且，則 ．
15．（2023·湖南婁底·統考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
16．（2023·山東濰坊·統考二模）一般地，當α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請根據以上材料，求得tan75°的值為 ．
17．（2023·成都市九年級期中）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣．對于任意三角形，任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．定理解讀：如圖，在任意中，以邊為例，其它兩邊是和，和的夾角為，根據余弦定理有，類似的可以得到關于和的關系式．已知在中，，，是和的比例中項，那么的余弦值為 ．
18．（2023·河北石家莊·九年級統考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；……
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·浙江杭州·九年級期中）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題．
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D(如圖1)，則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素(至少有一條邊)，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．根據上述材料，完成下列各題．
(1)如圖2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，則∠A＝_____；AC＝_____；
(2)如圖3，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上(如圖3)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB．
20．（2023·浙江·九年級專題練習）親愛的同學們，在我們進入高中以后，將還會學到三角函數公式：，．
例：．
（1）試仿照例題，求出的準確值；（2）我們知道：，試求出的準確值；
21．（2022春·浙江·九年級專題練習）閱讀材料：
一般地，當α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）== == =．
根據以上材料，解決下列問題：（1）求tan75°的值；
（2）都勻文峰塔，原名文筆塔，始建于明代萬歷年間，系五層木塔，文峰塔的木塔年久傾毀，僅存塔基，1983年，人民政府撥款維修文峰塔，成為今天的七層六面實心石塔（圖1），小華想用所學知識來測量該鐵搭的高度，如圖2，已知小華站在離塔底中心A處5.7米的C處，測得塔頂的仰角為75°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.72米，請幫助小華求出文峰塔AB的高度．（精確到1米，參考數據≈1.732，≈1.414）
22．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，；，．
例：．
(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．
23．（2023·四川成都·成都外國語學校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素．
根據上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=　 ；AC=　 ??；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政船距釣魚島A的距離AB．
24．（2023春·山東濟寧·九年級統考期中）某校九年級數學興趣小組，探究出下面關于三角函數的公式：
；；．
利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如：
．
根據上面的知識，選擇適當的公式解決下面的實際問題：
(1)計算：；(2)如圖，直升飛機在一建筑物上方點處測得建筑物頂端點的俯角，底端點的俯角，此時直升飛機與建筑物的水平距離為，求建筑物的高．

25．（2023·湖南株洲·?？寄M預測）閱讀、理解、應用
研究間的角的三角函數，在初中我們學習過銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么
為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線點O逆時針旋轉后所得到的．和原點的距離為（總是正的）然后把角的三角函數規定為：
（其中分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角的大小有關，四個比值的正、負取決于角的終邊所在的象限，而與點在角的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題， (1)如圖3，若，則角的三角函數值，其中取正值的是________．
(2)若角的終邊與直線重合，則________．
(3)若角是銳角，其終邊上一點且，則________．
(4)若，則的取值范圍是________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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