資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
1.1集合
【備考指南】 1
【思維導(dǎo)圖】 1
【考點(diǎn)梳理】 7
考點(diǎn)一：集合中元素的特性 7
考點(diǎn)二：空集 8
考點(diǎn)三：子集與真子集 9
考點(diǎn)四：交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算 10
考點(diǎn)五：Venn圖 11
考點(diǎn)六：集合的應(yīng)用 12
考點(diǎn)七：集合新定義 14
【真題在線】 15
【專項(xiàng)突破】 16
考點(diǎn) 考情分析 考頻
集合的運(yùn)算 2023年新高考Ⅰ卷T1 2023年全國甲卷T1 2023年全國乙卷T2 2022年新高考Ⅰ卷T1 2022年新高考Ⅱ卷T1 2022年全國甲卷T3 2021年Ⅰ卷T1 2021年Ⅱ卷T2 2021年全國甲卷T1 2021年全國乙卷T2 3年10考
集合間的關(guān)系 2023年新高考Ⅱ卷T2 2022年全國乙卷T1 3年2考
預(yù)測：
1：主要考察集合間的關(guān)系與集合的運(yùn)算，重點(diǎn)考察集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算.
考點(diǎn)一：集合中元素的特性
【典例精析】（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）已知集合，， ，則C中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）已知集合，，且，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，集合，若在集合M中任取兩個(gè)數(shù)，則其和為零的概率為 ．
5．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)
.
【解題技巧】
利用集合中元素的互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)
(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中的元素的互異性對求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).
(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.
考點(diǎn)二：空集
【典例精析】（多選）（2021·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若時(shí)，則或
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2014·全國·統(tǒng)考一模）下列四個(gè)集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016·遼寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021上·福建龍巖·高一福建省長汀縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2020·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【解題技巧】
1.空集是不含任何元素的集合；
2.{0}是含有元素0的集合.
3.集是任何集合的子集.所以在處理子集與真子集的問題時(shí)一定要考慮是否為空集的情況.
考點(diǎn)三：子集與真子集
【典例精析】（多選）（2021下·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知全集，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．的真子集個(gè)數(shù)是7
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
2．（2021·內(nèi)蒙古通遼·校考模擬預(yù)測）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）設(shè)集合，則集合M的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
二、填空題
4．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個(gè)數(shù)為 .
5．（2020上·上海黃浦·高一格致中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為 ．
【解題技巧】
1.假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：(1)A的子集有2n個(gè)；(2)A的非空子集有(2n－1)個(gè)；(3)A的真子集有(2n－1)個(gè).
2.求給定集合的子集的兩個(gè)注意點(diǎn)：
(1)按子集中元素個(gè)數(shù)的多少，以一定的順序來寫；(2)在寫子集時(shí)要注意不要忘記空集和集合本身.
3.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法
(1)注意點(diǎn)：
①不能忽視集合為空集的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論.
(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤.
考點(diǎn)四：交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算
【典例精析】（多選）（2021上·江蘇宿遷·高三沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知、均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）已知全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知全集，集合，集合，則 ．
5．（2020·山西·統(tǒng)考三模）設(shè)全集為，集合，，則 .
【解題技巧】
1.解決與不等式有關(guān)的集合問題時(shí)，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時(shí)端點(diǎn)的值是否能取到.
2.解決集合的混合運(yùn)算時(shí)，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，再計(jì)算其他部分.
3.由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法
(1)由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識求解.
(2)與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個(gè)時(shí)，一般利用數(shù)軸分析法求解.
考點(diǎn)五：Venn圖
【典例精析】（多選）（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預(yù)測）已知為實(shí)數(shù)集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋? ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
3．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022·江西九江·校考模擬預(yù)測）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會，某班所有同學(xué)都參加了羽毛球或乒乓球比賽，已知該班共有23人參加羽毛球賽，35人參加乒乓球賽，既參加羽毛球又參加乒乓球賽有6人，則該班學(xué)生數(shù)為 ．
5．（2022·甘肅·統(tǒng)考二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中 ； ； .
【解題技巧】
1. 在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個(gè)數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個(gè)集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.
考點(diǎn)六：集合的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·全國·鄭州中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中，不正確的是（ ）
A．對于任何兩個(gè)集合，恒成立
B．“對于，”的否定是“，”
C．對于成對樣本數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越小，相關(guān)性越弱
D．一元線性回歸模型中，其中的，叫做，的最小二乘估計(jì)
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·吉林長春·校聯(lián)考一模）學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會，某班共有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會都參賽的有3人.兩次運(yùn)動(dòng)會中，這個(gè)班總共的參賽人數(shù)為
A．20 B．17 C．14 D．23
2．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021下·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考開學(xué)考試）設(shè)非空集合，滿足，則（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
二、填空題
4．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于有限數(shù)列，定義集合，，其中且，若，則的所有元素之和為 .
5．（2022·上海徐匯·高三統(tǒng)考期中）若X是一個(gè)集合，是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)?已知集合，對于下面給出的四個(gè)集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓?fù)涞募系男蛱柺? .
【解題技巧】
知識綜合性強(qiáng)，要靈活的運(yùn)用各類知識點(diǎn)處理問題.
考點(diǎn)七：集合新定義
【典例精析】（多選）（2023·河南安陽·安陽一中校考模擬預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義集合．已知集合，，則的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）已知U是非實(shí)數(shù)集，若非空集合A1，A2滿足以下三個(gè)條件，則稱（A1，A2）為集合U的一種真分拆，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為集合U的同一種真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素個(gè)數(shù)不是中的元素.
則集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的種數(shù)是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
二、填空題
4．（2013下·湖南長沙·高二階段練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè)．
5．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于復(fù)數(shù)a、b、c、d，若集合具有性質(zhì)“對任意，必有”，則當(dāng)時(shí)， ．
【解題技巧】
對于集合新定義問題，首先是要認(rèn)真讀題，審題，清楚的知道新定義的具體含義；然后從特殊到一般進(jìn)行綜合的分析；最后解決問題并進(jìn)行驗(yàn)證.
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全國·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）集合，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
5．（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．（2023·北京·校考模擬預(yù)測）設(shè)是中兩個(gè)子集，對，定義：，若對任意，，則的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合有15個(gè)真子集，則的一個(gè)值為 .
10．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是 ．
11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）已知集合，則 ．
四、解答題
12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，
.
(1)求;
(2)從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
①；②；③.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
13．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）已知集合，集合，集合
(1)設(shè)全集，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
14．（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）已知集合，，且，若，.
(1)求集合A、B；
(2)求p，q，r.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
1.1 集合
【備考指南】 1
【思維導(dǎo)圖】 1
【考點(diǎn)梳理】 7
考點(diǎn)一：集合中元素的特性 7
考點(diǎn)二：空集 10
考點(diǎn)三：子集與真子集 12
考點(diǎn)四：交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算 15
考點(diǎn)五：Venn圖 18
考點(diǎn)六：集合的應(yīng)用 21
考點(diǎn)七：集合新定義 24
【真題在線】 27
【專項(xiàng)突破】 32
考點(diǎn) 考情分析 考頻
集合的運(yùn)算 2023年新高考Ⅰ卷T1 2023年全國甲卷T1 2023年全國乙卷T2 2022年新高考Ⅰ卷T1 2022年新高考Ⅱ卷T1 2022年全國甲卷T3 2021年Ⅰ卷T1 2021年Ⅱ卷T2 2021年全國甲卷T1 2021年全國乙卷T2 3年10考
集合間的關(guān)系 2023年新高考Ⅱ卷T2 2022年全國乙卷T1 3年2考
預(yù)測：
1：主要考察集合間的關(guān)系與集合的運(yùn)算，重點(diǎn)考察集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算.
考點(diǎn)一：集合中元素的特性
【典例精析】（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件分析a，b取值即可判斷作答.
【詳解】集合，，
則當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，
所以，集合B有中5個(gè)元素.
故選：A
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)求解即可
【詳解】由題，當(dāng)時(shí)最小為，最大為，且可得，故集合
故選：D
2．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）已知集合，， ，則C中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意寫出集合C的元素，可得答案.
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)，時(shí)， ，
當(dāng)，時(shí)， ，
即C中有三個(gè)元素，
故選：C
3．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）已知集合，，且，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的關(guān)系及并集的定義討論即可.
【詳解】由題意可得：或
若，此時(shí)，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；
若，解得或，顯然時(shí)符合題意，而同上，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；
故.
故選：B
二、填空題
4．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，集合，若在集合M中任取兩個(gè)數(shù)，則其和為零的概率為 ．
【答案】
【分析】由題意解出，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及集合的互異性確定，根據(jù)古典概型處理運(yùn)算．
【詳解】，即，解得
當(dāng)時(shí)，
則，，，
當(dāng)時(shí)，
則，，，
則集合有4個(gè)元素：，，，，即
若在集合M中任取兩個(gè)數(shù)，共有如下可能：，共6個(gè)基本事件，其和為零的有，共2個(gè)基本事件，則其和為零的概率為
故答案為：．
5．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)得或，分類討論結(jié)合集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】由，可得或，
當(dāng)時(shí)，集合不滿足集合的互異性；
當(dāng)時(shí)，或1（舍去），集合，符合題意.
綜上，.
故答案為：.
【解題技巧】
利用集合中元素的互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)
(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中的元素的互異性對求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).
(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.
考點(diǎn)二：空集
【典例精析】（多選）（2021·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若時(shí)，則或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．
【詳解】，若，則，且，故A正確.
時(shí)，，故D不正確.
若，則且，解得，故B正確.
當(dāng)時(shí)，，解得或，故C正確.
故選：ABC．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2014·全國·統(tǒng)考一模）下列四個(gè)集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】對每個(gè)集合進(jìn)行逐一檢驗(yàn)，研究集合內(nèi)的元素是否存在即可選出.
【詳解】選項(xiàng)A，；
選項(xiàng)B，；
選項(xiàng)C，；
選項(xiàng)D，，方程無解，.
選:D.
2．（2017上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】∵，∴，所以選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，
由空集是任何集合的子集，可得選項(xiàng)C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合、集合與集合關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2016·遼寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)集合間的計(jì)算及集合間的關(guān)系直接判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋瑸閿?shù)集，是任何集合的子集，所以A選項(xiàng)，D選項(xiàng)正確； ，B選項(xiàng)正確；所以空集不屬于數(shù)集，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C.
4．（2021上·福建龍巖·高一福建省長汀縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】由，知，因?yàn)椋?br/>若，則方程無解，所以滿足題意；
若，則，
因?yàn)椋裕瑒t滿足題意；
故實(shí)數(shù)取值的集合為.
故選：D.
二、填空題
5．（2020·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)解不等式，得到集合,再根據(jù)交集的定義和空集的定義得有公共元素,進(jìn)而得到.
【詳解】由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，可得
又∵集合，，則有公共元素，
所以
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的運(yùn)算，涉及利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)不等式，屬基礎(chǔ)題.
【解題技巧】
1.空集是不含任何元素的集合；
2.{0}是含有元素0的集合.
3.集是任何集合的子集.所以在處理子集與真子集的問題時(shí)一定要考慮是否為空集的情況.
考點(diǎn)三：子集與真子集
【典例精析】（多選）（2021下·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知全集，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．的真子集個(gè)數(shù)是7
【答案】ACD
【分析】求出集合，再由集合的基本運(yùn)算以及真子集的概念即可求解.
【詳解】，，
，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，所以，故C正確；
由，則的真子集個(gè)數(shù)是，故D正確.
故選：ACD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.
【詳解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集個(gè)數(shù)為.
故選：C
2．（2021·內(nèi)蒙古通遼·校考模擬預(yù)測）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化簡集合，得到集合的元素個(gè)數(shù)，繼而可以得到真子集的個(gè)數(shù)
【詳解】解：集合，
所以集合中的元素個(gè)數(shù)為9，
故其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選:
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）設(shè)集合，則集合M的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定義求解．
【詳解】由題意，
因此其真子集個(gè)數(shù)為．
故選：D．
二、填空題
4．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個(gè)數(shù)為 .
【答案】
【分析】對集合中奇數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，確定每種情況下集合的個(gè)數(shù)，綜合可得結(jié)果.
【詳解】集合中只有個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合的可能情況為：、、、、、，共種，
若集合中只有個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合，只有一種情況，
若集合中只含個(gè)偶數(shù)，共種情況；
若集合中只含個(gè)偶數(shù)，則集合可能的情況為、、，共種情況；
若集合中只含個(gè)偶數(shù)，則集合，只有種情況.
因?yàn)槭堑呐甲蛹忠韵聨追N情況討論：
若集合中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為；
若集合中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，共種；
若集合中的元素是個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種；
若集合中的元素為個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，共種.
綜上所述，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
5．（2020上·上海黃浦·高一格致中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為 ．
【答案】
【分析】由得到，則的子集有，，，，分別求解即可.
【詳解】因?yàn)椋剩?br/>則的子集有，，，，
當(dāng)時(shí)，顯然有；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，；
當(dāng)，不存在，
所以實(shí)數(shù)的集合為；
故答案為．
【解題技巧】
1.假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：(1)A的子集有2n個(gè)；(2)A的非空子集有(2n－1)個(gè)；(3)A的真子集有(2n－1)個(gè).
2.求給定集合的子集的兩個(gè)注意點(diǎn)：
(1)按子集中元素個(gè)數(shù)的多少，以一定的順序來寫；(2)在寫子集時(shí)要注意不要忘記空集和集合本身.
3.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法
(1)注意點(diǎn)：
①不能忽視集合為空集的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論.
(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤.
考點(diǎn)四：交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算
【典例精析】（多選）（2021上·江蘇宿遷·高三沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知、均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先根據(jù)已知條件得到集合與集合的包含關(guān)系，然后通過交并補(bǔ)運(yùn)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.
【詳解】∵∴，
若是的真子集，則，故A錯(cuò)誤；
由可得，故B正確；
由可得，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算和補(bǔ)集運(yùn)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又，
所以.
故選：D
2．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）已知全集，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，先求得，然后根據(jù)并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由全集，，則，
又，所以．
故選：A．
3．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的交集、并集基本運(yùn)算即可求出結(jié)果.
【詳解】由集合，，，
可得，
所以．
故選：A．
二、填空題
4．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知全集，集合，集合，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)槿希希?br/>所以，所以.
故答案為：
5．（2020·山西·統(tǒng)考三模）設(shè)全集為，集合，，則 .
【答案】
【分析】利用集合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)?br/>所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
【解題技巧】
1.解決與不等式有關(guān)的集合問題時(shí)，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時(shí)端點(diǎn)的值是否能取到.
2.解決集合的混合運(yùn)算時(shí)，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，再計(jì)算其他部分.
3.由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法
(1)由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識求解.
(2)與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個(gè)時(shí)，一般利用數(shù)軸分析法求解.
考點(diǎn)五：Venn圖
【典例精析】（多選）（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，從而可得答案
【詳解】解：由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，
所以陰影部分用集合符號可以表示為或，
故選：AD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預(yù)測）已知為實(shí)數(shù)集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解指數(shù)不等式，再結(jié)合Ven圖求集合的交、補(bǔ)運(yùn)算即可.
【詳解】由Ven圖可知，陰影部分表示為，
因?yàn)椋颍?br/>所以，
所以，
故選：C.
2．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋? ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】B
【分析】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.
【詳解】因?yàn)楸硎境螧以外的所有部分，即為Ⅰ和Ⅱ，
所以表示與集合A的公共部分，即為Ⅱ.
故選：B.
3．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)求集合A，解一元二次方程求集合B，根據(jù)韋恩圖、集合的并、補(bǔ)運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)得，則，
由圖知：陰影部分為.
故選：D
二、填空題
4．（2022·江西九江·校考模擬預(yù)測）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會，某班所有同學(xué)都參加了羽毛球或乒乓球比賽，已知該班共有23人參加羽毛球賽，35人參加乒乓球賽，既參加羽毛球又參加乒乓球賽有6人，則該班學(xué)生數(shù)為 ．
【答案】
【分析】依題意畫出韋恩圖，計(jì)算可得；
【詳解】解：設(shè)參加羽毛球賽為集合，參加乒乓球賽為集合，
依題意可得如下韋恩圖：
所以該班一共有人；
故答案為：
5．（2022·甘肅·統(tǒng)考二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中 ； ； .
【答案】
【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
【解題技巧】
1. 在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個(gè)數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個(gè)集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.
考點(diǎn)六：集合的應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·全國·鄭州中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中，不正確的是（ ）
A．對于任何兩個(gè)集合，恒成立
B．“對于，”的否定是“，”
C．對于成對樣本數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越小，相關(guān)性越弱
D．一元線性回歸模型中，其中的，叫做，的最小二乘估計(jì)
【答案】CD
【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系以及含有量詞的命題的否定，相關(guān)系數(shù)的概念和最小二乘估計(jì)的概念依次判斷即可．
【詳解】解：對于任何兩個(gè)集合，都有，所以恒成立，故A正確；
“對于，”的否定是“，”，故B正確；
對于成對樣本數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)的絕對值越小，相關(guān)性越弱，故C錯(cuò)誤；
一元線性回歸模型中，其中的，叫做b，a的平均值，，叫做b，a的最小二乘估計(jì)，故D錯(cuò)誤.
故選：CD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·吉林長春·校聯(lián)考一模）學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會，某班共有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會都參賽的有3人.兩次運(yùn)動(dòng)會中，這個(gè)班總共的參賽人數(shù)為
A．20 B．17 C．14 D．23
【答案】B
【分析】兩次運(yùn)動(dòng)會總?cè)藬?shù)減去兩次運(yùn)動(dòng)會都參加的人數(shù)，即為所求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閰⒓犹飶竭\(yùn)動(dòng)會的有8名同學(xué)，參加球類運(yùn)動(dòng)會的有12名同學(xué)，兩次運(yùn)動(dòng)會都參加的有3人，
所以兩次運(yùn)動(dòng)會中，這個(gè)班總共的參賽人數(shù)為.
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合中元素個(gè)數(shù)的問題，熟記集合之間的關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題型.
2．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題目中的基底定義求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>，
，
，
，
，
所以能作為集合的基底，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2021下·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考開學(xué)考試）設(shè)非空集合，滿足，則（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
【答案】B
【分析】由已知可得即可判斷.
【詳解】，，，有.
故選：B.
二、填空題
4．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于有限數(shù)列，定義集合，，其中且，若，則的所有元素之和為 .
【答案】660
【分析】可得，得出中的每個(gè)元素就是從中挑選3個(gè)出來求平均值，求出每個(gè)數(shù)字被選中的次數(shù)即可求解.
【詳解】
，
則中的每個(gè)元素就是從中挑選3個(gè)出來求平均值，
每個(gè)被選出的次數(shù)是相同的，
若被選中，則共有種選法，即每個(gè)被選出的次數(shù)為，
則的所有元素之和為.
故答案為：660.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出中的每個(gè)元素就是從中挑選3個(gè)出來求平均值，再求出每個(gè)數(shù)字被選中的次數(shù).
5．（2022·上海徐匯·高三統(tǒng)考期中）若X是一個(gè)集合，是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)?已知集合，對于下面給出的四個(gè)集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓?fù)涞募系男蛱柺? .
【答案】②④.
【分析】根據(jù)集合X上的拓?fù)涞募系亩x，逐個(gè)驗(yàn)證即可：①，③，因此①③都不是；②④滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于，因此②④是，從而得到答案.
【詳解】①；而，故①不是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>②，滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于，因此②是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>③；而，故③不是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>④.滿足：①X屬于，屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于，因此④是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>故答案為②④.
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生理解能力和對知識掌握的靈活程度的問題，重在理解題意.本題是開放型的問題，要認(rèn)真分析條件，探求結(jié)論，對分析問題解決問題的能力要求較高，此題是基礎(chǔ)題.
【解題技巧】
知識綜合性強(qiáng)，要靈活的運(yùn)用各類知識點(diǎn)處理問題.
考點(diǎn)七：集合新定義
【典例精析】（多選）（2023·河南安陽·安陽一中校考模擬預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.
【詳解】對于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
對于B，若，則滿足戴德金分割，
此時(shí)M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；
對于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，
則，而內(nèi)也有有理數(shù)，
則，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，，
則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，
故選：BD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義集合．已知集合，，則的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)題中條件，直接進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，故的元素的個(gè)數(shù)為4．
故選：
2．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結(jié)合新定義可知，求得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.
【詳解】結(jié)合新定義可知，又，
所以．
故選：A
3．（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）已知U是非實(shí)數(shù)集，若非空集合A1，A2滿足以下三個(gè)條件，則稱（A1，A2）為集合U的一種真分拆，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為集合U的同一種真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素個(gè)數(shù)不是中的元素.
則集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的種數(shù)是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】A
【分析】由真分拆的定義及規(guī)定即可求解.
【詳解】解：由題意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5種，
故選：A.
二、填空題
4．（2013下·湖南長沙·高二階段練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè)．
【答案】7
【解析】根據(jù)集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，利用列舉法，即可求解.
【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，
則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個(gè)．
故答案為：7.
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義的應(yīng)用，其中解答中正確理解新定義，合理轉(zhuǎn)化求解是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.
5．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于復(fù)數(shù)a、b、c、d，若集合具有性質(zhì)“對任意，必有”，則當(dāng)時(shí)， ．
【答案】
【分析】由題意可得，，結(jié)合題意分類討論確定集合．
【詳解】∵，則，即，則
若，則取，則
若，則取，則，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意
∴
故答案為：．
【解題技巧】
對于集合新定義問題，首先是要認(rèn)真讀題，審題，清楚的知道新定義的具體含義；然后從特殊到一般進(jìn)行綜合的分析；最后解決問題并進(jìn)行驗(yàn)證.
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得，則.
故選：A.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)槿希裕?br/>又，所以，
故選：A.
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)椋?br/>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁剑挥惺共坏仁匠闪ⅲ裕?br/>故選：C．
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)椋剩蔬x：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>故選：A.
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>故選：A.
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.
【詳解】任取，則，其中，所以，，故，
因此，.
故選：C.
15．（2021·全國·高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：B.
16．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可
【詳解】因?yàn)椋?
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.
一、單選題
1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）集合，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的意義求出即得.
【詳解】集合，，則，
所以集合中元素的個(gè)數(shù)為3.
故選：B
2．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】集合為絕對值不等式的解集, 根據(jù)絕對值的意義解出, 再求交集即可.
【詳解】已知集合,，
則,故選B正確；A錯(cuò)誤；
, 故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
., 故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B.
3．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先將集合A化簡，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>故.
故選：C．
4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到，再結(jié)合求解即可.
【詳解】，，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，共有個(gè)元素.
當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，
此時(shí)，共有個(gè)元素.
當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，
此時(shí)，有重復(fù)數(shù)字，去掉，共有個(gè)元素.
綜上中元素的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B
5．（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，結(jié)合集合間的包含關(guān)系，即可求解.
【詳解】因?yàn)榧希傻茫?br/>又由集合，要使得，可得，則滿足.
故選：C.
6．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，，則集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的含義得到集合，，然后求并集即可.
【詳解】，，所以.
故選：B.
二、多選題
7．（2023·北京·校考模擬預(yù)測）設(shè)是中兩個(gè)子集，對，定義：，若對任意，，則的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，由時(shí)，，或時(shí)，求解.
【詳解】解：因?yàn)椋覍θ我猓?br/>所以m，n的值一個(gè)為0，另一個(gè)為1，即時(shí)，，或時(shí)，，
所以的關(guān)系為或，
故選；AC
8．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)榍遥裕瑒t，故選項(xiàng)正確；
由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
三、填空題
9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合有15個(gè)真子集，則的一個(gè)值為 .
【答案】（或，或，填其中一個(gè)即可）
【分析】根據(jù)題意，得到集合中含有4個(gè)元素，則有4個(gè)因數(shù)，則除1和它本身外，還有2個(gè)因數(shù)，即可求解.
【詳解】由集合有15個(gè)真子集，
可得集合中含有4個(gè)元素，則有4個(gè)因數(shù)，則除1和它本身外，還有2個(gè)因數(shù)，
所以的值可以為，故的一個(gè)值為6（或8，或10）.
故答案為：（或，或，填其中一個(gè)即可）.
10．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是 ．
【答案】
【分析】先確定集合中的元素，然后結(jié)合子集的概念，分，兩種情況討論即可得出結(jié)果．
【詳解】集合，，
當(dāng)，即時(shí)，顯然滿足條件；
當(dāng)時(shí)，即，則，
因?yàn)椋曰颍椿颍獾没颍?br/>綜上，實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是．
故答案為：．
11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）已知集合，則 ．
【答案】
【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.
【詳解】對于集合，解不等式，
所以，即，等價(jià)于，
解得或，所以，
，則.
故答案為：.
四、解答題
12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，
.
(1)求;
(2)從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
①；②；③.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)；
(2)答案見解析
【分析】（1）解不等式結(jié)合集合的運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）結(jié)合所選條件判定集合間的關(guān)系，注意分類討論解含參不等式一一計(jì)算即可.
【詳解】（1）由，得，
由，即，
所以；
（2）因?yàn)榈膬筛謩e為，
若選擇①，由（1）得，，故.
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇②，由（1）得，，故，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇③，由（1）得，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)成立，
滿足題意，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
13．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）已知集合，集合，集合
(1)設(shè)全集，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由集合的基本運(yùn)算求解即可；
（2）得，分類討論求解即可.
【詳解】（1）由，解得，
由，解得
，
（2）∵，∴，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，或
解得
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為
14．（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）已知集合，，且，若，.
(1)求集合A、B；
(2)求p，q，r.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)集合交集的性質(zhì)和并集的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以有且，或，
當(dāng)且且時(shí)，此時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)且且時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋圆淮嬖冢?br/>綜上所述：
（2）由（1）可知：，
所以有，，，
即.
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