資源簡介

高考數學的解題研究
陜西師范大學數學系 羅增儒
郵編 710062 電話 029-85308872 Emil :[email protected]
1 從數學高考到高考數學
從1977年恢復高考（各省單獨命題）到2006年陜西高考單獨命題，歷史走過了波瀾壯闊的30個春秋，環繞著高考工作的文化積累正在考試學、數學等維度形成學術成果。
1-1 數學高考
（1）數學高考的性質
●畢業考是基礎教育的終點，高考是高等教育的起點.
●水平考試與選拔考試（有競爭）
●平時教學按教學規律進行，高考復習按考試規律進行.
（2）數學高考命題的風格
高考命題一直在“穩中求進，穩中求變、穩中求新”，探索 公平選拔、為素質教育服務的道路，已形成了一些穩定性的風格和值得注意的導向.
●在明確考查“三基四能力”的基礎上，更突出數學思想方法的考查，突出數學與現實生活的聯系.
●在主體上考查中學數學的同時，體現進一步學習高等數學的需要.特別是一些有挑戰性的壓軸題，尤其各省獨立命題之后，“注重理論數學，檢測考生后繼學習的潛能”（有人看到了高考與競賽的相互滲透）.
●新課程理念的滲透.雖然新世紀課程改革剛剛起步（高中教材才開始試用），但其三維目標和十個基本理念已開始滲透（課程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命題范圍拓展了，出現人文關懷，體現“情感、態度、價值觀”課程目標.
●在命題技術上，可以看到：
①以教材為依據，又不拘泥于教材.
②在知識交匯處設計命題.
③能力立意.改變了過去的知識立意.
④減少題量，降低難度，增加學生分析思考的時間.
⑤對三類題型設計了兩個從易到難的三個小高潮.
⑥變小量難題把關為全卷把關.
⑦試題切入容易深入難（階梯題）.
⑧避免死記硬背的內容和繁瑣的運算（試卷提供難記易忘的公式）.
⑨文理分卷，難度有區別（姐妹題）.
研究或了解高考命題的動向，能使我們的高考指導工作思想更明確，操作更有針對性.
●平穩過渡，降低難度；控制滿分，提高總分；總體形似，少量創新；
（3）數學高考復習的組織
①指導思想
●以考試規律為指導,以近年高考命題的穩定性風格為導向.
●依綱靠本.
●以解題訓練為中心，以中檔綜合題為重點，以近年高考試題為基本素材.
②高考復課的三階段安排已經是一個常規，
第一階段全面復習
第二階段專題講座，
第三階段模擬訓練.
其實質應是思維素質豎向提升的三個層次，是從知識到方法、到能力的拾級登高.
（4）數學復習題的編擬
（5）數學模擬考試的組織與講評
（6）數學高考臨場的策略
①高考臨場的基本建議
●保持內緊外松的臨戰狀態.
●使用適應高考的答題策略.
●運用應對選拔的考試技術.
②高考答題的技術
●提前進入角色.
●迅速摸清“題情”.
●執行“三個循環”.
●做到“四先四后”.
●答題“一慢一快”.
●立足中下題目，力爭高上水平.
●立足一次成功，重視復查環節.
●內緊外松.
③從解題策略到分段得分
●分解分步 —— 缺步解答.
●引理思想 —— 跳步解答.
●以退求進 —— 退步解答.
●正難則反 —— 倒步解答.
●掃清外圍 —— 輔助解答.
（7）高考填報志愿.
●升學優先.
●就業優先.
●專業優先.把個人興趣、
●成本優先.把收費較低、
●地區優先.
●幾項兼顧.
●家長決定.
（8）……如高考無效題的研究
例1 已知，求.（1978年，多余，用表示，不唯一）
例2 拋物線的方程是，有一個半徑為1的圓，圓心在軸上運動，問這個圓運動到什么位置時，圓與拋物線在交點處的切線互相垂直？（1980年）
例3 設甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲
（A）充分條件 （B）必要條件
（C）充要條件
（D）既不充分又不必要條件
（1986年）
例4 一個正三棱臺的下底與上底周長分別為30㎝,12㎝,側面積等于兩底面積之差，求斜高.（1987年，高為零）
例5 如果函數的最小正周期是，那么常數為（ ）.（1992年,默認）
例6 已知直線和的夾角的平分線為如果的方程是，.那么的方程是
（A） （B）
（C） （D）
（1992年，不可能平分）
例7 設，則 .（1993年23題）
例8 設為全集，集合，若，則（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（1995年）
例9 設等比數列的前項和為，若，求數列的公比（1996年文史21）（實數還是復數？）
例10 如果函數的圖象與軸有兩個交點，則點（）在平面上的區域（不包含邊界）為（ ）
（2003年，標準答案（圖C））．
例11 下面是關于三棱錐的四個命題：
①底面是等邊三角形，側面與底面所組成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；
②底面是三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
③底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側棱與底面所組成的角都相等，且側面與底面所組成的二面角都相等的三棱錐市政三棱錐．
其中，真命題的編號是____________（寫出所有真命題的編號）
（2005年全國文科（16）題，答案為①、④）
例12 是定義在R上的以3為周期的奇函數，且則方程在區間內解的個數的最小值是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（2005年福建）
例13 已知向量
令是否存在實數使？若存在，則求出的值；若不存在，則證明之.（2005年江西）
例14
1-2高考數學
（1）高考數學的特征
（2）數學高考試題的由來
（3）數學高考解題的特點
（4）數學高考選擇題的求解
（5）數學高考填空題的求解
（6）數學高考解答題的求解
（7）數學高考解題的錯誤分析（解對了也會有策略性錯誤）
（8）……
2 數學高考解題的案例分析
用教育敘事的方式進行解題經驗的積累與提煉。
2-1 案例1—2006陜西理-2的討論
知識基礎
例1 復數等于
（A） （B） （C） （D）

解法1：先處理分母

解法2：先處理分子
解法3：分子分母乘以
解法4：分母提取
解法5：分子提取
解法6：用恒等式
解法7：用 的定義，
解法8：倒推，把四個選項代入驗證（結論也是已知信息）
（A）
（B）
（C）
（D）
解法9：輻角象限的直觀選擇（結論也是已知信息）
解法10 ……
2-2 案例2—2006陜西理-8的討論
邏輯基礎
例1 已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
這是一道不等式恒成立的參數確定問題，結論似乎不難得出，但解題依據卻未必能說清楚．
2-2-1 多種解法的思考
解法1 條件變形后，應用二元均值不等式.
①

②
于是，只要，得的最小值為4.選（B）.
解法2. 條件變形后，應用三元均值不等式.

③
④
于是，只要得的最小值為選擇支無一為所求.
解法3 條件變形后，應用四元均值不等式.

于是，只要得的最小值為選擇支無一為所求.
解法4 應用二元均值不等式消去，有
于是，只要得的最小值為選擇支無一為所求.
解法5 由

得等號成立的條件是
解方程得，得的最小值為4. 選（B）.
解法6 同上有

得
2-2-2 思考：錯在那里？原因是什么？
（1）選擇支設計的典型性：2，6，8是本題的典型錯誤嗎？
（2）為什么用不同的均值不等式會得出不同的結果？哪些解法是對的？哪些解法是錯的？
（3）對能否說當等號成立時取最小值.？為什么由
≥ ，
能推出≥9？
（4）不等式
≥ ，

能取等號碼？對任意正實數恒成立嗎？
（5）設，有
一般地，函數的最小值與定義域有關.請思考
例2 （c為非負常數），
（c為非負常數
的最小值？
2-2-3. 解法
解法7 轉化為.由條件變形后配方有



當時，函數=取到最小值故有
，
得，故的最小值為4.選（B）.
說明 這個解法的實質步驟是用二維柯西不等式求的最小值.
解法8 轉化為
由
得，不等式對任意正實數恒成立，因而

當時，正實數取最小值4. 選（B）.
解法9 由
把依次代入

不能對任意正實數恒大于9（就不成立）.
，
可以保證對任意正實數恒大于9.
故得的最小值為4. 選（B）.
2-3 案例3—2006陜西理-19的討論
模式識別
這是一道常規立體幾何題，對學生來說情境并不陌生，課本有這樣的原型（人教版《數學》第二冊下A第40頁），近年高考有 “形似題”．它的求解體現了高考解題的基本策略(模式識別)：
●化歸為課本已經解決過的問題.
●化歸為往屆高考題.
例1 如圖1，點在直線上的射影為，點在直線上的射影為已知，，求：
（1）直線分別與平面所成角的大小； 圖1
（2）二面角的大小.

這道題目的一個突出特征是垂直：條件中，平面是互相垂直的（），射影也源于垂直（）；結論中，線面所成的角依賴于線面垂直，面面所成的角依賴于線面垂直或線線垂直.為什么高考立體幾何題這么喜歡垂直呢？我們認為這與立體幾何的學科特點有關．
2-3- 1 立體幾何解題要抓垂直
從學科特點和高考命題上分析，垂直都是解立體幾何題的一個關鍵突破口，可以從三個方面提出論據．
（１）垂直是立體幾何核心知識中的核心．
●一方面它是定義立體幾何新概念的重要工具．如異面直線的距離，線線、線面、面面所成角等異于平面幾何的全新概念都與“垂直”有關；
●另方面，它是空間位置關系轉化的立交橋．如三垂線定理、眾多的性質定理或者判定定理都依賴于垂直條件；
●同時它還是各類計算公式（角、距離、面積、體積等）的必要構成．可以說，“垂直”的知識容量大，關聯元素多，發散余地大，在客觀上是處于核心地位的．
在立體幾何中，可謂“處處有垂直，垂直無處不在”.
　
（２）垂直是高考立體幾何命題重點中的重點．
●由于垂直的核心地位，在高考立體幾何命題中它理所當然的成為重點考察的對象．
●近年來，由于教材的原因，垂直的地位又被進一步強化，因為高中教材的立體幾何有兩個版本，一個是傳統的綜合幾何體系（主體），一個是空間向量的體系．命題中為了雙方兼顧，常常有便于建立空間坐標系的考慮，因而都故意設計有垂直的條件．
　 （３）垂直是探索解題思路的重要突破口
從探索解題思路的角度看問題，垂直也需要放在優先考慮的地位．面對多個已知條件不妨優先選擇垂直的條件；構造輔助線不妨優先作出垂直的輔助線（垂線或垂面）；面對關系的轉化也不妨優先使用垂直關系來促進轉化．
抓住了垂直（不是只抓垂直），并做上一批高考立體幾何題，臨場的立體幾何成績一定能有立竿見影的提高．立體幾何中的垂直包括線線垂直、線面垂直、面面垂直，其中最基本的是線線垂直，而最關鍵、最體現空間特征的是線面垂直．
解法1 如圖2，直線分別與平面所成的角為，直線分別與平面所成角的為，二面角的平面角為.（略）
圖2 圖3

解法2 如圖3建立空間直角坐標系，使.（略）
解法3 （1）如圖4，將已知條件實現在長方體中，則直線與平面所成的角為，直線與平面所成角的為.在直角中，有，故=；在直角中，有，故=.
（2）如圖4，作有

設二面角的平面角為，則 圖4

得.
2-3-3 變題
變題1 如圖5，四邊形中，是直角三角形，；是直角三角形，.現將繞旋轉，使.求：
（1）直線分別與平面、所成角的大?。?br/>（2）二面角的大小.
圖5 圖6
變題2 如圖6，中，有現將三角形沿高線對折，使，求：
（1）直線分別與平面、所成角的大?。?br/>（2）二面角的大小.
變題3 在三棱錐中，面，面，已知，.求：
（1）直線分別與平面、所成角的大小；
（2）二面角的大小.
2-4 案例4—2006陜西理21的討論
化歸為課本已經解決的問題
如果要用一句話回答“怎樣解答高考數學題？”我認為最實用也最重要的是：化歸為課本已經解決的問題．
2-4-0 理由
（1）因為課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導。
離開了課本，學生還能從哪里找到解題依據、解題方法、解題體驗？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個根本。
(2)課本是高考命題的基本依據。
●有的試題直接取自教材，或為原題、或為類題．
●有的試題是課本概念、例題、習題的改編．
●有的試題是教材中的幾個題目、幾種方法的串聯、并聯、綜合與開拓．
●少量難題也是按照課本內容設計的，在綜合性、靈活性上提出較高要求．
按照高考怎樣出題來處理高考怎樣解題應是順理成章的．
（3）這是一種行之有效解題策略．
這種做法體現了化歸思想和模式識別的解題策略，對50%~80%的高考題都是有效的．所以，拿到一道高考題，在理解題意后，應立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節？與這一章節的哪個類型比較接近？解決這個類型有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向也大體確定了．就是說，從辨認題型模式入手，向著提取相應方法、使用相應方法解題的方向前進．
當然化歸為課本已經解決的問題是有層次的，可分為
●直接用；
●轉化用；
●整合用．
2-4-1例證1——最新的高考題
例1 如圖1，三定點；三動點D，E，M滿足
．
（1）求動直線DE斜率的變化范圍；
（2）求動點M的軌跡方程．
[2006年陜西省理科21題，12分]
說明1 本題以平面向量為載體， 圖1
設計了6個點（3定、3動）的3個等式：
，
求直線斜率及軌跡的方程，是平面向量與解析幾何的綜合，叫做在知識的交匯處命題．
說明2 題目的知識背景可以作多角度的理解：
⑴解析幾何的參數方程背景．見人教版高中課本§5．5，三次用定比分點公式可得動點的參數方程．若去掉向量載體，題目可變為純解析幾何題：
例2 如圖2，在中，直線的方程為，直線的方程為，．在斜邊上取點，使滿足求點的軌跡方程.
圖2
⑵課本的例題背景．人教版高中《數學》第一冊（下）第109頁例5為
例3 ，不共線，用，表示．
如圖3，運用向量的加減運算可得：
圖3
這表示了聯結的直線，也表示了定比分點公式，三次利用上式即可求得動點．
⑶平面幾何背景．
例4 在等腰直角三角形中，為斜邊的中點，又在上，在上，在上，過作，過作．
若則
圖4
這表明點到定點的距離，等于到定直線的距離，按定義，點的軌跡為拋物線．
⑷伯恩斯坦多項式（算子）背景．對

引進位移算子，可得

這正是二階伯恩斯坦多項式（算子），也是例1中的．這個數學工具在汽車設計和飛機制造中有廣泛的應用（貝齊爾曲線），因而也可以認為，此高考題來源于生產實踐（飛機制造）．
說明3 解法．根據題目的結構與背景，可分為四大類：
●以向量運算為主；（解法1，解法2）
●向量運算與解析幾何運算結合；（解法3）
●以解析幾何運算為主；（解法4）
●綜合幾何方法（解法5）
來自閱卷現場的信息是：本題得分率不高，難度系數為0．32，得0分的占45%（未必都是不會，部分人是沒時間做）；學生的解法基本上都是轉化為坐標（以解析幾何運算為主），不會用向量來直接求解．不管本題的原始設計如何，對教學來說，選擇課本背景引導高考解題是明智的．
●第（1）問的講解——數形結合、差異分析
直觀很明顯：由DE夾在AB，CB之間知，
，
但是，怎樣將明顯的直觀、表達為嚴格的數學運算呢？據知，有20%的考生都看到了直觀，卻沒有幾個能嚴格表達的．我們認為，這只不過是斜率公式變形為定比分點公式：
左右兩邊的差異在于點B的坐標.
當時，；當時，；當時，有


其中，得；加上端點，得 ．
●第（2）問的解法
解法1 設，由人教版高
中課本例5有

圖5

把代入，得

消去參數，得．
注：這就把一道高考題化歸為課本的例題了，其主體是向量運算．如果一開始就把表示為單位向量，那書寫還可以連貫．
解法2 設，由已知有，
進而由人教版高中課本例5，有
同理 ，
得

消去參數，得． 圖6
注：這個方法很容易得出推廣. 若則
得。
解法3 （向量法）
解法4 （定比分點）
解法5 （平面幾何解法）
1-4-2 例證2——往年的高考題
引例 （ 由糖水加糖變甜了，學校擴招后新生的比例增大了等情景，可得課本的真分數不等式）若，，則
．
這個例題有10多種解法．在89年廣東，85年上海，以及95、98、01、04年全國高考中多次用到．請看高考題：
例1 如果，那么（ ）．
[1989年廣東高考題]
例2 設是由正數組成的等比數列，是其前項和．
（1）證明；
（2）是否存在常數，使得
．
[1995年理科第（25）題（12分）]
例3 對一切大于1的自然數，求證：
．
[1985年上海高考題]
例4 已知數列是等差數列，，
（1）求數列的通項；
（2）設數列的通項（其中）,記前項和．試比較與的大小，并證明你的結論．
[1998年理科第（25）題（12分）]
例5 已知是正整數，且．
（1）證明：；
（2）證明：．
[2001年理科第20題]
例6 已知數列為等比數列，，
（1）求數列的通項公式
（2）設是數列的前項和，證明．
[2004年文科第（18）題]
這幾道題目課本都沒有出現過，但例2-1可以認為是真分數不等式的直接用（加上余弦函數的單調性）；例2-2（1）與例2-6（2）可以認為是真分數不等式的變形用，如果我們沒有“化歸為課本已經解決的問題”的思想準備，可能就想不到用真分數不等式，或在變形式
與
之間猶豫，而一旦想到用真分數不等式，則③已接近完成：（為遞增的正項數列）
。
2-4-3 積累
上面的一題多解與一解多題說的是化歸，這要求我們首先有“課本已經解決的問題”．但是，平時“已經解決的問題”太多了，我們不可能（也沒有必要）記住平時做過的所有題目．其實我們說的“課本已經解決的問題”，是指在學習數學的過程中，把所積累的知識和經驗加工為一些有長久保存價值或基本重要性的典型模式與重要類型．當我們遇到一個新問題時，首先辨認它屬于我們已經掌握的哪個基本模式，然后檢索出相應的解題方法來解決，這是我們在數學解題中的基本思考，當然也是解高考題的重要策略．那么，怎樣積累典型模式與重要類型呢？我們有兩個基本的建議：
●總結課本內容，歸納基本模式．
學完一章節（或跨章節）后，總結一共有幾個題目類型，每個題型有哪些解決方法？
●分析解題過程，提煉深層結構．
可以重點分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質同”的深層結構。
2-5 案例5—2006陜西理22的討論
學會分析
這是一道有高等數學背景、對學生來說情境比較陌生的壓軸題．然而，雖然問題本身具有智力上的挑戰性（俗稱試卷高蹺尾巴），但用到的都是通理通法．
題目 已知函數且存在使
（1）證明：是上的單調增函數；
（2）設 其中，證明

（3）證明：
2-5-1 第（1）問——模式識別、配方法
回想單調性問題的證明方法，最早有作差法，后來有求導法，這些都是可行的．這種想法體現了高考解題的模式識別策略．
（1）求導法證單調性
這可以分為兩步：第一，求導；第二，證明導函數在上恒大于零．
證明1 由 而二次項系數3>0，判別式
，
得，從而 是上的單調增函數．
說明1 判別式是配方法的結果，因而能用判別式法求解的問題也就能用配方法求解，我們首先給出三個配方．
證明2 由
得是上的單調增函數．
證明3 由
其中兩個非負項不能同時為零，得是上的單調增函數．
證明4 由
得是上的單調增函數．
說明2 證明4的配方也可以直接用基本不等式來代替，因為基本不等式本來就源于“實數的平方非負”．
說明3 這三個配方雖然形式各異，但基本思想是相同的，即都 “用非負項去抵消可能的負值”，解法2首先用二次項去抵消可能的負值，常數項還剩余，從而還求出了函數的最小值；解法3首先用常數項去抵消可能的負值，二次項還剩余，這已達到了的目的；解法4則同時用兩個非負項去抵消可能的負值．從證明的目的上看，只會用證明2的配方是認識的一種自我封閉，而認為上述三個配方已經窮盡了所有可能也是一種自我封閉的認識．根據題目的不同要求，配方是可以靈活而多樣的（參見 《數學解題學引論》P．302配方法的研究），如
證明5 由
得是上的單調增函數．
說明4 在這里，我們看到了求導法之下，判別式法——配方法——基本不等式法等的溝通，特別是領會了配方法產生非負數的樸素思想：用非負項去抵消可能的負值．這個想法后面還會用到．
（2）作差法證單調性
用作差法證單調性的基本過程分為三步：作差——變形——判號，其中最核心的是變形——或者分解因式、或者配方，本例主要用到配方．
證明6 任取有

得是上的單調增函數．
說明5 在這個解法中，對二元二次多項式的配方使用了主元法，即首先視為主元、為系數，然后再對配方；而對 的配方首先用去抵消可能的負項，如上所說還可以用1或去抵消可能的負項．如
證明7 任取有
證明8 任取有
說明6 主元法可以理解為先處理字母，再處理字母，當然，也可以同時處理兩個字母，下面是一些有用的變形（詳見文[1]P．305）：
證明9 任取有
說明7 對這個配方可以作出兩種解釋．其一是首先用非負數去抵消可能的負項，非負數自動剩余 ；其二是首先用非負數去抵消可能的負項，然后與一起抵消可能的負項．
證明10 任取有
證明11 任取有
說明8 還可以寫出更多的配方，不過對于說明“怎樣配方”目前的篇幅已經夠慷慨的了，我們將轉而說明，兩種證明單調性的方法存在內在的統一性．
（3） 作差法與求導法的統一
這由導數的定義可以看得很清楚：

①

在①式中，若求極限之前配方，則對應著“作差法”；若求極限之后配方，則對應著“求導法”．比如，當時，由證明7可得證明5，由證明9可得證明3，由證明10可得證明2．

2-5-2 第（2）問——模式識別、數學歸納法
對于自然數的命題想起用數學歸納法，應該說是自然的，但同時證5個量的不等式卻是陌生情境，學生對此普遍不習慣．怎么辦？可分兩次分別證（單調遞增有上界）與（單調遞減有下界），每一次都化歸為基本模式．這個想法主要還是模式識別的解題策略．
證明1 先用數學歸納法證．
第1步，由得又由上證是上的單調增函數，有
，
得
這表明，時命題成立．
第2步，假設時命題成立，有由上證是上的單調增函數，得
即
這表明時不等式成立．
由數學歸納法得，對一切都有
同理可由證得（略）．
從而合并得
說明9 回顧分兩次證明存在簡單重復的情況，因而可改寫為一次完成．
證明2 用數學歸納法．第1步，由得又由上證是上的單調增函數，得
，
進而 ，
得
這表明，時命題成立．
第2步，假設時命題成立，有由上證是上的單調增函數，得
即
這表明時不等式成立．
由數學歸納法得，對一切都有
2-5-3 第（3）問——分析法、配方法
（1）分析法探路、綜合法書寫
可以作這樣的分析：
欲證 ，
只需
，
只需 ，
只需 ．
而由第（2）問有，得．式是成立的．
證明1 由第（2）問知得
有 ，
得 ，
即 ．
（2） 配方法改寫
證明2 由第（2）問知有

得
證明3 由第（2）問知得
有
證明4 由第（2）問知有

得

3-3 第（1）、（3）問的溝通
從語言形式上看，第（1）問與第（3）問好像沒有多少共同的地方，但從實質運算上看，則都是對
作放縮處理，第（1）問是證明，第（2）問是證明．而由第（1）問的證明2、證明6 、證明10可知
因而第（3）問可以有更一般性的結論：
這一結果也可由微分中值定理得出，由
知當時，有

展開更多......

收起↑