資源簡介

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對數函數的圖像與性質
知識歸納
一、對數式的運算
1、對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．
2、常見對數：
①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；
②常用對數：以為底，記為；
③自然對數：以為底，記為；
3、對數的性質和運算法則：
①特殊對數：；；其中且
②對數恒等式：(其中且，)
③對數換底公式： 如：．
4、對數的運算法則：
①外和內乘原理：；
②外差內除原理：；
③提公次方法：，；
④指中有對，沒心沒肺：和 如：，．
5、換底公式和對數運算的一些方法：
①常用換底： 如：．
②倒數原理： 如：．
③約分法則： 如： ；．
④歸一法則：．
二、對數函數的定義及圖像
1、對數函數的定義：函數 且叫做對數函數。
2、對數函數的圖象：
圖象
性質 定義域：
值域：
過定點，即時，
在上增函數 在上是減函數
當時，，當時， 當時，，當時，
3、底數變化與圖象變化的規律
在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)
典例分析
題型一、對數的運算
【例1-1】計算：
(1)_________．
(2)_________．
(3)=_________．
(4)lg－lg＋lg=_________．
(5)_________．
(6)_________．
(7)_________．
【例1-2】已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】已知，，則（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【例1-4】若均為不等于1的正數，且滿足,則 .
【例1-5】已知，若，則___________.
【例1-6】若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個實根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
題型二、對數函數的概念
【例2】已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
題型三、對數函數的定義域
【例3-1】函數的定義域為（ ）.
A． B． C． D．
【例3-2】已知函數的定義域是，則函數的定義域是
A． B． C． D．
【例3-3】（1）若函數的定義域為，則實數的取值范圍是___________；
（2）若函數的值域為，則實數的取值范圍是___________.
題型四、對數函數的定點問題
【例4-1】函數（，且）的圖象一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
題型五、對數函數的值域
【例5-1】已知函數（，且）在上的值域為，則實數a的值是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】函數的值域是________.
【例5-3】已知函數，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】函數的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【例5-5】已知的值域為R，那么a的取值范圍是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【例5-6】已知函數的定義域是，值域為，則下列四個函數①；②；③；④，其中值域也為的函數個數是（ ）
A． B． C． D．
【例5-7】已知的值域為R，那么a的取值范圍是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【例5-8】已知函數，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數的定義域為，則實數的取值范圍是
B．若函數的值域為，則實數
C．若函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
題型六、對數函數的圖象問題
【例6-1】如圖所示的曲線是對數函數，，，的圖象，則a，b，c，d，1的大小關系為（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【例6-2】作出下列函數的圖象：
(1)； (2).
【例6-3】已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6-4】若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】已知函數，則函數的圖象是（　　）
A．B．C．D．
【例6-6】已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．以上選項均有可能
【例6-7】已知，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例6-8】若函數（且）在R上既是奇函數，又是減函數，則的大致圖象是（ ）
A．B．C． D．
題型七、對數函數的奇偶性
【例7-1】判斷下列函數的奇偶性：
（1） （2）
【例7-2】設為偶函數，且當時，，則當時，（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】已知函數，若定義在上的奇函數，有，則　　
A．2 B．0 C． D．
【例7-4】函數為奇函數，則實數__________．
【例7-5】關于函數說法正確的是（ ）
A．定義域為 B．圖象關于軸對稱
C．圖象關于原點對稱 D．在內單調遞增
【例7-6】函數，則（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【例7-7】已知函數，則_______；
【例7-8】已知函數，則=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
題型八、對數函數的單調性
【例8-1】函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】若函數在區間內單調遞增，則實數的取值范圍為__________．
【例8-3】已知函數在上為增函數，則實數的取值范圍為_____．
【例8-4】設函數，則使得成立的的取值范圍是
（A） （B）（C）（D）
【例8-5】已知定義在R上的函數在區間上單調遞增，且的圖象關于對稱，若實數a滿足，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例8-6】已知函數，當，，且時，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例8-7】設函數f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，則f（x）（　　）
A．是偶函數，且在 單調遞增
B．是奇函數，且在 單調遞增
C．是偶函數，且在單調遞增
D．是奇函數，且在 單調遞增
【例8-8】已知函數，下列結論中正確的是（ ）
A．當時，的定義域為
B．一定有最小值
C．當時，的值域為R
D．若在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是
【例8-9】已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【例8-10】已知定義在上的函數單調遞增，且對任意，恒有，則的值為_______．
【例8-11】已知定義在上函數為單調函數,且對任意的實數 ,都有,則 ( )
A. B. C. D.
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對數函數的圖像與性質
知識歸納
一、對數式的運算
1、對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．
2、常見對數：
①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；
②常用對數：以為底，記為；
③自然對數：以為底，記為；
3、對數的性質和運算法則：
①特殊對數：；；其中且
②對數恒等式：(其中且，)
③對數換底公式： 如：．
4、對數的運算法則：
①外和內乘原理：；
②外差內除原理：；
③提公次方法：，；
④指中有對，沒心沒肺：和 如：，．
5、換底公式和對數運算的一些方法：
①常用換底： 如：．
②倒數原理： 如：．
③約分法則： 如： ；．
④歸一法則：．
二、對數函數的定義及圖像
1、對數函數的定義：函數 且叫做對數函數。
2、對數函數的圖象：
圖象
性質 定義域：
值域：
過定點，即時，
在上增函數 在上是減函數
當時，，當時， 當時，，當時，
3、底數變化與圖象變化的規律
在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)
典例分析
題型一、對數的運算
【例1-1】計算：
(1)_________．
(2)_________．
(3).
(4)lg－lg＋lg；
(5)____.
(6)；
(7)；
【答案】(1)0.25；(2)-12；(3)1；(4)0.5；(5)1；(6)0.5；(7)-0.25.
【解析】(1)原式
(2)原式
(3)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
(4)原式＝×(lg32－lg49)－＋lg245＝×(lg25－lg72)－×lg2＋lg(5×72)
＝×(5lg2－2lg7)－2lg2＋×(lg5＋2lg7)＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7
＝lg2＋lg5＝lg(2×5)＝.
(5)原式
(6)原式＝＝＝＝.
(7)原式
【例1-2】已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，，所以．
【例1-3】已知，，則（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【詳解】∵，，∴，，
．
【例1-4】若均為不等于1的正數，且滿足,則 .
【答案】3
【詳解】因，所以，因，所以，
所以，
因為，所以
【例1-5】已知，若，則___________.
【答案】8
【詳解】由，且
所以是方程的兩根，解得或，
又，所以，即，又
從而，且，則，．
所以.
【例1-6】若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個實根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】12
【詳解】原方程可化為2(lg x)2－4lg x＋1＝0.設t＝lg x，則方程化為2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個實根，∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.
題型二、對數函數的概念
【例2】已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【詳解】根據對數函數的定義，只有符合（且）形式的函數才是對數函數，其中x是自變量，a是常數.易知，①是指數函數；②中的自變量在對數的底數的位置，不是對數函數；③中，是對數函數；④中，是對數函數；⑤⑥中函數顯然不是對數函數，由此可知只有③④是對數函數.
題型三、對數函數的定義域
【例3-1】函數的定義域為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意知，得，所以，所以．
【例3-2】已知函數的定義域是，則函數的定義域是
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，得，所以，所以．故選：D.
【例3-3】（1）若函數的定義域為，則實數的取值范圍是___________；
（2）若函數的值域為，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】（1）當時，符合題意；
當時，欲使在上恒成立，則,解得，
綜上，實數a的取值范圍是；
（2）當時，，不符合題意；
當時，欲使取遍所有正數，只須使，解得，
綜上，實數a的取值范圍是.
故答案為：；.
題型四、對數函數的定點問題
【例4-1】函數（，且）的圖象一定經過的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，則，即函數圖象過定點．故選：B．
題型五、對數函數的值域
【例5-1】已知函數（，且）在上的值域為，則實數a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分類討論最值，當時，當時，分別求出最值解方程，即可得解.
【詳解】若，則在上單調遞減，則，不符合題意；
若，則在上單調遞增，則，
又因為的值域為，所以，解得．
【例5-2】函數的值域是________.
【答案】
【詳解】令，則，
因為，所以的值域為，
因為在是減函數，所以，
所以的值域為.
【例5-3】已知函數，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，則得，所以的定義域為，
令，故，
，
即，，當時，的最小值為
函數的最小值為.
【例5-4】函數的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【分析】利用換元法，令，則，先求出的范圍，從而可求出函數的最小值
【詳解】設，則，
因為，
所以，所以的最小值為1，
【例5-5】已知的值域為R，那么a的取值范圍是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【答案】C
【詳解】當x≥1時，f(x)=lnx，其值域為[0，+∞)，那么當x<1時，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.
【例5-6】已知函數的定義域是，值域為，則下列四個函數①；②；③；④，其中值域也為的函數個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對于①，因為，則，①不滿足條件；
對于②，對于函數，，則函數的值域為，②滿足條件；
對于③，因為，則，③滿足條件；
對于④，因為，，則，④滿足條件.
【例5-7】已知的值域為R，那么a的取值范圍是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【答案】C
【詳解】當x≥1時，f(x)=lnx，其值域為[0，+∞)，那么當x<1時，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.
已知函數，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數的定義域為，則實數的取值范圍是
B．若函數的值域為，則實數
C．若函數在區間上為增函數，則實數的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
【答案】AC
【詳解】對于A，因為的定義域為，所以恒成立，
則，解得，故A正確；
對于B，因為的值域為，所以的最小值為，
所以，解得，故B錯誤；
對于C，因為函數在區間上為增函數，所以，解得，故C正確；
對于D，當m=0時，，由，可得，解得，故D錯誤.
題型六、對數函數的圖象問題
【例6-1】如圖所示的曲線是對數函數，，，的圖象，則a，b，c，d，1的大小關系為（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【答案】C
【詳解】由圖可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
【例6-2】作出下列函數的圖象：
(1)； (2).
【答案】(1)，(2)
【例6-3】已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【詳解】因為函數為減函數，所以
又因為函數圖象與軸的交點在正半軸，所以，即
又因為函數圖象與軸有交點，所以，所以.
【例6-4】若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出，，的圖象，根據圖象可得結果.
【詳解】在同一平面直角坐標系中作出函數
，，的圖象如下圖所示，
數形結合可知：當時，，的取值范圍為.
【例6-5】已知函數，則函數的圖象是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當時，，故排除A、D選項；當時，，則，排除B選項．
【例6-6】已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．以上選項均有可能
【答案】C
【詳解】作出函數的圖象，如圖：
由題意可知，，且由圖象可知，，
所以即，
所以，即，，
即.
【例6-7】已知，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：圖像如圖所示:
根據圖象得：的解為，
將換成得.
【例6-8】若函數（且）在R上既是奇函數，又是減函數，則的大致圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為函數在R上是奇函數，
所以，所以，經檢驗，滿足題意，
又因為為減函數，所以，則（）
由
可知的圖象關于直線軸對稱，排除選項CD ；
又，可知選項A錯誤.所以的大致圖象為B．
題型七、對數函數的奇偶性
【例7-1】判斷下列函數的奇偶性：
（1） （2）
【解析】（1）由題意知定義域為
，所以，
所以，所以為奇函數。
（2）由題意知定義域為
，所以
，所以，所以為奇函數
注：形如類型的函數均為奇函數
【例7-2】設為偶函數，且當時，，則當時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為偶函數，且當時，，
因此，當時，，，所以.
【例7-3】已知函數，若定義在上的奇函數，有，則　　
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【詳解】因為為奇函數，也為奇函數，設，則為奇函數，所以，所以，，因
，又因為奇函數，所以
【例7-4】函數為奇函數，則實數__________．
【答案】
【詳解】因為為奇函數，所以，
所以，即，
所以，所以，所以，所以，經檢驗知均滿足題意
【例7-5】關于函數說法正確的是（ ）
A．定義域為 B．圖象關于軸對稱
C．圖象關于原點對稱 D．在內單調遞增
【答案】ACD
【詳解】因為,所以，
所以定義域為，故A正確；
因為，所以圖象關于原點對稱，故B錯誤，C正確;
又在上單調遞減，所以在上單調遞增，
又在上單調遞增，所以在上單調遞增，故D正確.
【例7-6】函數，則（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【答案】C
【詳解】設，則為奇函數，所以，
所以，，因，
所以
【例7-7】已知函數，則_______；
【答案】
【詳解】設，則為奇函數，所以，所以，，因，所以
【例7-8】已知函數，則=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【詳解】，設，則為奇函數，所以，所以，，
因，所以
題型八、對數函數的單調性
【例8-1】函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由得：，即定義域為；
令，則在上單調遞增，在上單調遞減；
又在上單調遞減，的單調遞減區間為.
【例8-2】若函數在區間內單調遞增，則實數的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，
函數是由和復合而成，
又對稱軸為，開口向下，
所以 在上單調遞增，在上單調遞減，
因為為減函數，所以的單調增區間為，
因為在區間內單調遞增，所以，解得，
所以實數的取值范圍為，故答案為：．
【例8-3】已知函數在上為增函數，則實數的取值范圍為_____．
【答案】
【解析】令，則，因為的對稱軸為，且在上為增函數，所以，解得
由題意知在內遞增，所以．又在上恒大于0，
所以，即．
綜上，實數a的取值范圍是：．故答案為：.
【例8-4】設函數，則使得成立的的取值范圍是
（A） （B）（C）（D）
【答案】A
【解析】因為函數，所以是定義在上的偶函數，在上是單調遞增的，，又因在上遞增，所以，解得
【例8-5】已知定義在R上的函數在區間上單調遞增，且的圖象關于對稱，若實數a滿足，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為的圖象關于對稱，向左平移1個單位得到，所以關于對稱，所以是定義在上的偶函數，在上是單調遞增的，，又因在上遞增，所以，即，所以解得
【例8-6】已知函數，當，，且時，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為當，，且時，，
所以在定義域內為單調減函數，因此，解得：，
所以實數的取值范圍是.
【例8-7】設函數f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，則f（x）（　　）
A．是偶函數，且在 單調遞增 B．是奇函數，且在 單調遞增
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在 單調遞增
【答案】B
【詳解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．
可得內層函數t＝||的圖象如圖，
在（﹣∞，），（，+∞）上單調遞減，在（，）上單調遞增，
又對數式y＝是定義域內的增函數，
由復合函數的單調性可得，f（x）在（，）上單調遞增，
在（﹣∞，），（，+∞）上單調遞減．
【例8-8】已知函數，下列結論中正確的是（ ）
A．當時，的定義域為
B．一定有最小值
C．當時，的值域為R
D．若在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是
【答案】AC
【詳解】對于A，當時，，令，解得或，
則的定義域為，故A正確；
對于B、C，當時，的值域為R，無最小值，故B錯誤，C正確；
對于D，若在區間上單調遞增，則在上單調遞增，
且當時，，則，解得，故D錯誤．
【例8-9】已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】令，則，由題意知在內遞減，
所以在上為增函數，所以且，解得，
又在上恒大于0，所以，即．
綜上，實數a的取值范圍是：．故答案為：.
【例8-10】已知定義在上的函數單調遞增，且對任意，恒有，則的值為_______．
【答案】2
【詳解】因函數單調遞增，所以為定值，設，
由題意知，又因，令，得，所以，
所以，所以
【例8-10】已知定義在上函數為單調函數,且對任意的實數 ,都有,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【詳解】因是定義在上得單調函數，所以為定值，
設，由題意知，又因，令，
得，所以，所以，所以
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