資源簡介

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指數函數的圖像與性質
知識歸納
1.指數函數的定義及圖像
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 在定義域上是單調增函數
⑤時，；時， 時，；時，
⑥ 既不是奇函數，也不是偶函數
(1)當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數函數與的圖象關于軸對稱．
函數①；②；③；④的圖象如圖2-3-1所示，則；
即，(底大冪大)；時，．
圖2-3-1 圖2-3-2
(4)特殊函數：函數，，，的圖象如圖2-3-2所示．
2.指數式大小比較方法
①單調性法：化為同底數指數式，利用指數函數的單調性進行比較．
②中間量法：當指數式的底數和指數各不相同時，需要借助中間量“0”和“1”作比較．
③分類討論法：指數式的底數不定時，需要分類討論底數的情況，在利用指數函數的單調性進行比較．
④比較法：有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：
1)若；若；若；
2)當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．
典例分析
題型一、指數函數的概念
【例1-1】若函數(，且)是指數函數，則______，______.
【例1-2】指出下列函數哪些是指數函數？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
題型二、指數函數的圖像
【例2-1】在同一直角坐標系中，函數，且的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】下圖中的函數圖象所對應的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】函數的圖象的大致形狀是（ ）
A．B．C． D．
【例2-5】（多選題）已知函數，實數，滿足，則（ ）
A． B．，，使得
C． D．
題型三、指數函數的定點
【例3-1】當且時，函數必過定點 .
【例3-2】已知函數（且）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數的圖象上，其中實數m，n滿足，則的最小值為______．
題型四、指數函數的奇偶性、單調性
【例4-1】判斷函數的奇偶性
【例4-2】已知函數，下面說法正確的有（　　）
A．的圖象關于原點對稱
B．的圖象關于y軸對稱
C．的值域為
D．，且，
【例4-3】已知定義域為R的函數則關于t的不等式的解集為________.
【例4-4】設函數是偶函數，則實數a的值為________．
【例4-5】已知，則下列正確的是（ ）
A．奇函數，在R上為增函數 B．偶函數，在R上為增函數
C．奇函數，在R上為減函數 D．偶函數，在R上為減函數
【例4-6】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】若函數是R上的增函數，則實數a的取值范圍為
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【例4-8】已知函數,則使得不等式成立的實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
題型五、利用指數函數性質比較大小
【例5-1】判斷下列各數的大小關系：
(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【例5-2】已知a= 0.80.7,b= 0.80.9,c= 1.20.8，則a、b、c的大小關系是
【例5-3】已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】若實數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
題型六、解指數函數不等式
【例6-1】若滿足不等式，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知函數，若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型七、指數函數的值域問題
【例7-1】已知，求的最小值與最大值。
【例7-2】若關于的不等式在區間上恒成立，則的取值范圍為____________
【例7-3】已知實數且,若函數值域為,則的取值范圍是( )
A. B. C D.
【例7-4】函數的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【例7-5】高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數": 設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如: ，已知，則函數 的值域為（ ）
A． B． C． D．
【例7-6】（多選題）已知函數，則（ ）
A．函數的定義域為R B．函數的值域為
C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減
題型八、指數函數解答題
【例8-1】已知定義域為R函數是奇函數．
（1）求實數a，b：
（2）定義證明f（x）在(-∞，+∞)上的單調性，
（3）若不等式對有解，求t的范圍．
【例8-2】已知函數在區間上的最大值為，最小值為
（1）求實數，的值
（2）若方程在上有兩個不同的實數解，求的取值范圍
【例8-3】雙曲函數是一類與常見的三角函數類似的函數，最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數和雙曲余弦函數（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關）．記雙曲正弦函數為，雙曲余弦函數為，已知這兩個最基本的雙曲函數具有如下性質：
①定義域均為，且在上是增函數；
②為奇函數，為偶函數；
③（常數是自然對數的底數，）．
利用上述性質，解決以下問題：
(1)求雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的解析式；
(2)證明：對任意實數，為定值；
(3)已知，記函數，的最小值為，求．
【例8-4】設函數（且）是定義域為的奇函數．
(1)求實數k的值；
(2)若，，且當時，恒成立，求實數m的取值范圍．
【例8-5】已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
【例8-6】已知函數．
(1)若對任意的，恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)若的最大值為2，求實數m的值；
(3)若對任意的，，，均存在以，，為三邊長的三角形，求實數m的取值范圍．
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指數函數的圖像與性質
知識歸納
1.指數函數的定義及圖像
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 在定義域上是單調增函數
⑤時，；時， 時，；時，
⑥ 既不是奇函數，也不是偶函數
(1)當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數函數與的圖象關于軸對稱．
函數①；②；③；④的圖象如圖2-3-1所示，則；
即，(底大冪大)；時，．
圖2-3-1 圖2-3-2
(4)特殊函數：函數，，，的圖象如圖2-3-2所示．
2.指數式大小比較方法
①單調性法：化為同底數指數式，利用指數函數的單調性進行比較．
②中間量法：當指數式的底數和指數各不相同時，需要借助中間量“0”和“1”作比較．
③分類討論法：指數式的底數不定時，需要分類討論底數的情況，在利用指數函數的單調性進行比較．
④比較法：有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：
1)若；若；若；
2)當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．
典例分析
題型一、指數函數的概念
【例1-1】若函數(，且)是指數函數，則______，______.
【答案】；2．
【詳解】根據指數函數的定義，得解得故答案為：；2．
【例1-2】指出下列函數哪些是指數函數？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】由指數函數的定義可知
題型二、指數函數的圖像
【例2-1】在同一直角坐標系中，函數，且的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】當時，為指數函數，且遞減，
為冪函數，且在時遞增，遞增的幅度隨x的增大而增加的更快，故A錯誤，B正確；
當時，為指數函數，且遞增，
為冪函數，且在時遞增，遞增的幅度越往后越平緩，故C,D錯誤,
【例2-2】函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為定義域為，又，
所以為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故排除B；
當時，，，所以，所以，故排除D；
當時，因為，所以，即，故排除C；
【例2-3】下圖中的函數圖象所對應的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：根據圖象可知，函數關于對稱，且當時，，故排除B、D兩項；
當時，函數圖象單調遞增，無限接近于0，對于C項，當時，單調遞減，故排除C項.
【例2-4】函數的圖象的大致形狀是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】分和去掉絕對值化簡函數解析式，即可判斷函數圖像.
【詳解】∵，又，
∴根據指數函數圖像即可判斷選項C符合.
故選：C.
【例2-5】（多選題）已知函數，實數，滿足，則（ ）
A． B．，，使得
C． D．
【答案】CD
【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯，C對．
由基本不等式可得，所以，則，故B錯，D對．
題型三、指數函數的定點
【例3-1】當且時，函數必過定點 .
【答案】
【詳解】法一：必過定點，將向右平移2個單位得到，所以必過定點，將向下平移3個單位得到，所以函數必過定點
法二：令，得到，所以，所以函數必過定點
【例3-2】已知函數（且）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數的圖象上，其中實數m，n滿足，則的最小值為______．
【答案】4
【詳解】∵函數且的圖象恒過定點，可得 ，∵點在一次函數的圖象上，∴，∵，所以 ，當且僅當時取得等號；
題型四、指數函數的奇偶性、單調性
【例4-1】判斷函數的奇偶性
【答案】奇函數
【詳解】的定義域為，因，所以為奇函數
【例4-2】已知函數，下面說法正確的有（　　）
A．的圖象關于原點對稱
B．的圖象關于y軸對稱
C．的值域為
D．，且，
【答案】AC
【詳解】對于A中，由，可得函數為奇函數，函數的圖象關于原點對稱，故選項A正確，選項B錯誤；
對于C中，設，可得，所以，即，解得，
即函數的值域為，所以C正確；
對于D中，對，且，，可得函數為減函數，
而為單調遞增函數，所以D錯誤.
故選：AC.
【例4-3】已知定義域為R的函數則關于t的不等式的解集為________.
【答案】.
【詳解】函數的定義域為R.
因為，所以，所以，
即是奇函數.
因為為增函數，所以為減函數，所以在R上為減函數.
所以可化為.
所以，解得：或.
【例4-4】設函數是偶函數，則實數a的值為________．
【答案】
【詳解】因為為偶函數，所以為奇函數，所以，解得
【例4-5】已知，則下列正確的是（ ）
A．奇函數，在R上為增函數 B．偶函數，在R上為增函數
C．奇函數，在R上為減函數 D．偶函數，在R上為減函數
【答案】A
【詳解】因，所以為奇函數，因為增函數，為減函數，所以為增函數，所以在R上為增函數
【例4-6】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】函數的定義域為，解得，設，此函數為減函數，，對稱軸為，所以在為增函數，在為減函數，所以原函數在為減函數，在為增函數（符合函數單調性：同增異減）
【例4-7】若函數是R上的增函數，則實數a的取值范圍為
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【答案】D
【詳解】當時，為增函數，所以，當時，為增函數，所以，解得，因為在上為增函數，所以，解得，綜上可知。
【例4-8】已知函數,則使得不等式成立的實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】因，設，則在上為偶函數，并且為增函數，所以，因為為增函數，所以，，即，解得。
題型五、利用指數函數性質比較大小
【例5-1】判斷下列各數的大小關系：
(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【詳解】
（1）因為在上為增函數，且，所以
（2）因為，且在上為減函數，且，所以
（3）因為，，，所以
【例5-2】已知a= 0.80.7,b= 0.80.9,c= 1.20.8，則a、b、c的大小關系是
【答案】C
【詳解】因為在上為減函數，且，所以，又因，，所以
【例5-3】已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題得，，，，因為函數在上單調遞增，所以．又因為指數函數在上單調遞增，所以．
故選:D．
【例5-4】若實數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】令，由于，均為上的增函數，所以是上的增函數．
因為，所以，即，所以，所以．
故選：C．
題型六、解指數函數不等式
【例6-1】若滿足不等式，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由可得，
因為在上單調遞增，所以即，解得：，
所以，即函數的值域是，故選：B.
【例6-2】已知函數，若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，當時單調遞減，且，當時，單調遞減，且，所以函數在定義域上單調遞減，因為，所以，解得，即不等式的解集為故選：A
題型七、指數函數的值域問題
【例7-1】已知，求的最小值與最大值。
【答案】
【詳解】設，則原題即化為在上的最大值與最小值，對稱軸，所以當，，當，。
【例7-2】若關于的不等式在區間上恒成立，則的取值范圍為____________
【答案】
【詳解】，設，則原題即化為在上恒成立，所以，因在上為增函數，所以，所以
【例7-3】已知實數且,若函數值域為,則的取值范圍是( )
A. B. C D.
【答案】D
【詳解】當時，為減函數，可得，由函數的值域為可知，當時，為增函數，即，且，解得
【例7-4】函數的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】令，則，
故原函數化為，
當時，可得最小值為．
故選：D．
【例7-5】高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數": 設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如: ，已知，則函數 的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因為，所以，則，所以函數的值域為，故的值域為-1或0.
【例7-6】（多選題）已知函數，則（ ）
A．函數的定義域為R B．函數的值域為
C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減
【答案】ABD
【分析】由函數的表達式可得函數的定義域可判斷A；令，則，，結合指數函數的單調性得到函數的值域，可判斷B；根據復合函數單調性的判斷方法可得函數的單調性可判斷C、D.
【詳解】令，則．
對于A，的定義域與的定義域相同，為R，故A正確；
對于B，，的值域為，所以函數的值域為，故B正確；
對于C、D，因為在上單調遞增，且，在定義域上單調遞減，所以根據復合函數單調性法則，得函數在上單調遞減，所以C不正確，D正確.
故選：ABD.
題型八、指數函數解答題
【例8-1】已知定義域為R函數是奇函數．
（1）求實數a，b：
（2）定義證明f（x）在(-∞，+∞)上的單調性，
（3）若不等式對有解，求t的范圍．
解析：（1）因為函數是上的奇函數，所以，解得，所以，又因為奇函數，所以，即，所以，化簡可得，即，所以，解得，所以
（2）由（1）知，所以在上為減函數，證明略
（3），由（2）知所以在上為減函數，所以對有解，即對有解，所以，因，所以，所以
【例8-2】已知函數在區間上的最大值為，最小值為
（1）求實數，的值
（2）若方程在上有兩個不同的實數解，求的取值范圍
解析：（1）設，則原題即化為，因，對稱軸為，所以當，①，當，②，由①②解得，
（2）設，則原題即化為，即，由于函數在單調遞減，在上單調遞增，當時，，當時，，當時，，所以要使方程有兩個不同的實數解，則
【例8-3】雙曲函數是一類與常見的三角函數類似的函數，最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數和雙曲余弦函數（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關）．記雙曲正弦函數為，雙曲余弦函數為，已知這兩個最基本的雙曲函數具有如下性質：
①定義域均為，且在上是增函數；
②為奇函數，為偶函數；
③（常數是自然對數的底數，）．
利用上述性質，解決以下問題：
(1)求雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的解析式；
(2)證明：對任意實數，為定值；
(3)已知，記函數，的最小值為，求．
【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)
(1)解：由性質③知，所以，
由性質②知，，，所以，
即，解得，.
因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，合乎題意.
(2)證明：由（1）可得：
.
(3)函數，設，
由性質①，在是增函數知，當時，，
所以原函數即，，
設，，
當時，在上單調遞減，此時．
當時，函數的對稱軸為，
當時，則，在上單調遞減，此時，
當時，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
此時．
當時，即時，在上單調遞減，此時．
綜上所述，.
【例8-4】設函數（且）是定義域為的奇函數．
(1)求實數k的值；
(2)若，，且當時，恒成立，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)函數（且）是定義域為的奇函數,
則，
所以，
又時，，對任意的，都有成立，
滿足題意，所以；
(2)由（1）知，，且，
所以，，
所以，或（舍），
令，則，
由當時，恒成立，得在時恒成立，
則在時恒成立，又在上單調遞增，
所以，，
所以，.
【例8-5】（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；(2)單調遞減，理由見解析；(3).
【解析】(1)依題意，函數，因是R上的偶函數，即，，
因此，，，
而當時，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函數在上單調遞減，
，，，
因，則，，，因此，，即，
所以函數在上單調遞減.
(3)依題意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
【例8-6】已知函數．
(1)若對任意的，恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)若的最大值為2，求實數m的值；
(3)若對任意的，，，均存在以，，為三邊長的三角形，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)4；(3)
【解析】（1）因為對任意的，恒成立，
所以恒成立，
因為，所以，當且僅當時取等號，所以，
所以.
（2）
因為，所以,
當時：，不符合題意,
當時：，不符合題意,
當時：，即,
所以.
（3）由題意知：對任意的，，恒成立，
當時，，且，
所以；
當時：，符合題意；
當時：，且，
所以;
綜上所述：實數m的取值范圍為
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