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專題三十二 橢圓及其性質
知識歸納
一、橢圓的定義
平面內與兩個定點的距離之和等于常數（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當時，點的軌跡是線段；
當時，點的軌跡不存在．
二、橢圓的方程、圖形與性質
橢圓的方程、圖形與性質所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
統一方程
參數方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
范圍 且 且
頂點 、、、 、、、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
點和橢圓的關系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為,換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關系是
焦半徑 左焦半徑：又焦半徑： 上焦半徑：下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關于的一元二次方程的的系數，是判別式）
方法技巧與總結
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
典例分析
題型一、橢圓的標準方程充要條件
【例1-1】“”是“曲線：（）是焦點在軸上的橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件
C．必要不充分條件 D．充分不必要條件
【答案】C
【解析】因為（）是焦點在軸上的橢圓，
所以,解得：，由可得成立，反之不能推出成立.
所以”是“曲線：（）是焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件．
【例1-2】“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,
顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，
故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
[解法二]
當時，滿足“，”，此時題中方程可化為：,表示的曲線是圓而不是橢圓，當時，不滿足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點，半長軸為1，半短軸為的橢圓，
故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件.
【例1-3】已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述錯誤的是（ ）
A．曲線可表示為焦點在軸的橢圓 B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線
C．曲線可表示為離心率是的橢圓 D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線
【答案】B
【解析】由為3與5的等差中項，得，即，由為4與16的等比中項，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點在軸的橢圓，此時它的離心率，故A正確，C正確；
其中表示焦點在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．
題型二、橢圓的定義與標準方程
【例2-1】（多選題）平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（ ）
A．M到兩定點，的距離之和為4
B．M到兩定點，的距離之和為6
C．M到兩定點，的距離之和為6
D．M到兩定點，的距離之和為8
【答案】BD
【解析】因為兩定點，的距離為，所以選項A不符合橢圓定義，選項B符合橢圓定義；
因為兩定點，的距離為，所以選項C不符合橢圓定義，選項D符合.
【例2-2】已知、動點滿足，則動點的軌跡方程_______．
【答案】
【解析】因為，所以，點的軌跡是以、的橢圓，
且，則，，則，
因此，動點的軌跡方程為.
【例2-3】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸長為4，短軸長為2，焦點在y軸上；
(2)經過點，；
(3)一個焦點為，一個頂點為；
(4)一個焦點為，長軸長為4；
(5)一個焦點為，離心率為；
(6)一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為6，2.
【解析】（1）由題設，，又焦點在y軸上，故橢圓標準方程為；
（2）設橢圓方程為，又，在橢圓上，
所以，即，故橢圓標準方程為.
（3）由題設，，則，又焦點為
所以橢圓標準方程為.
（4）由題設，，則，又焦點為
所以橢圓標準方程為.
（5）由題設，，則，，又焦點為
所以橢圓標準方程為.
（6）由題設，，則，故，
所以橢圓標準方程為或.
【例2-4】已知是兩個定點且的周長等于則頂點的軌跡方程為______．
【答案】或
【解析】，且△ABC的周長等于16，
，故頂點的軌跡是以為焦點的橢圓，除去與軸的交點，
，，
故頂點的軌跡方程為或
【例2-5】過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為________.
【答案】
【解析】因為所求橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在軸上，且.
設它的標準方程為，
因為，且，故①，
又點在所求橢圓上，所以②
由①②得，，所以所求橢圓的標準方程為.
【例2-6】已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，
所以，而，
所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．設其方程為，
，，，則，所以點軌跡方程是．
【例2-7】動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數，則動點的軌跡方程是___________.
【答案】
【解析】因為動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數，
所以，即，整理可得：，即.
【例2-8】已知定點,直線相交于點，且它們的斜率之積為，則動點的軌跡方程為_______．
【答案】
【解析】設點，
動點的軌跡方程為
【例2-9】設F1，F2為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】由題意，延長F1D，F2A并交于點B，
易證Rt△ABD≌Rt△AF1D，則|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，
又O為F1F2的中點，連接OD，則OD∥F2B，
從而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，
設點D的坐標為(x，y)，則x2＋y2＝4.
【例2-10】已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
【答案】()．
【解析】由圓，圓得到，半徑，，半徑，
設動圓的半徑為，∵圓在圓內，∴動圓只能在內與圓內切，不能是在動圓內，即：，
∵動圓與圓外切，∴，∵動圓與圓內切，∴，
∴，即到和到的距離之和為定值，
∴是以、為焦點的橢圓，且，，所以，
∴動圓圓心的軌跡方程為，
又圓過點，橢圓也過點，而點顯然不在圓上，
所以所求軌跡方程為：.
【例2-11】如圖，已知△ABC的兩頂點坐標，，圓E是△ABC的內切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=2，動點C的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】由題意結合切線長定理可得，，，
所以，
所以動點C的軌跡是以，為焦點的橢圓（不在x軸上），
且該橢圓滿足，，所以，所以該橢圓方程為.
【例2-12】已知圓，點，點為動點，以線段為直徑的圓內切于圓，則動點的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設的中點為，切點為，
連，，則三點共線，
且，
取關于軸的對稱點，連，
根據中位線的性質有．
且當在時也滿足題意.
所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為6的橢圓．
其中，，，則動點的軌跡方程是．
【例2-13】已知、是橢圓C：的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，且.若坐標原點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，
因為，所以，即，所以為的中點，
又因為，所以，
過點O作OM⊥AB于點M，則，
根據，可得，所以，
因為A為上頂點，所以
根據雙曲線定義可知：，所以，
由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：，即，
所以，故，
所以橢圓方程為：
【例2-14】已知橢圓的兩個焦點為和，直線l過點，點關于l的對稱點A在C上，且，則C的方程為__________．
【答案】
【解析】因為A與關于直線l對稱，所以直線l為的垂直平分線，
又，
所以，由橢圓的定義可得，
設直線l與交于點M，則M為的中點，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，則C的方程為：．
【方法技巧與總結】
（1）定義法：根據橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數法：根據橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
題型三、橢圓的簡單幾何性質問題
【例3-1】已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為橢圓的方程為，
所以，，，又橢圓的離心率為
所以，解得，所以,
所以橢圓E的長軸長為．
【例3-2】橢圓的焦點為，，與軸的一個交點為，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在橢圓中，，，.
易知.又，所以為等邊三角形，
即，所以，即.
【例3-3】已知橢圓為其左焦點，過點且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，若（為原點），則橢圓的長軸長等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】因為橢圓的左焦點為，所以，又垂直于軸，在橢圓上，
故可設，所以，又，所以，又
所以．，解得從而.
【例3-4】橢圓的焦距為4，則m的值為___________.
【答案】7或11
【解析】在橢圓中，由已知可得，解得.
若橢圓的焦點在x軸上，可得，解得；
若橢圓的焦點在y軸上，可得，解得.
因此，或11.
【例3-5】已知橢圓的焦點為，，橢圓上的動點坐標在第一象限，且為銳角，的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由已知可得P在以O為圓心，半徑為c的圓的外部，，
所以該圓的方程為：，
由，消去y得：解得，
又∵P在橢圓上，且由為銳角，可知P不在x軸上，
由于的左右頂點橫坐標分別為-3和3，
∴為使為銳角，的取值范圍是
又動點坐標在第一象限．
【例3-6】已知橢圓滿足，長軸上2021個等分點從左至右依次為點，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；以此類推，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；則4042條直線的斜率乘積為___________．
【答案】
【解析】由橢圓的對稱性可知：，
同理可得：，
所以4042條直線的斜率乘積為.
【例3-7】（多選題）已知為坐標原點，橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于點，（在第一象限），，P為軸上一點，，面積的最大值為1，且直線與橢圓的另一個交點為，則當的面積最大時，下列結論正確的是（ ）
A． B．點為橢圓的右焦點
C． D．的面積為
【答案】AD
【解析】如圖，取橢圓的右焦點為，連接
由對稱性可得，
所以，則橢圓C的方程為，
又由題可知，將代入橢圓方程，
得，
得點M的坐標為，
因為，
所以，
當且僅當，即時取等號，
因為面積的最大值為1，所以，得，則，
當的面積最大時，，則，，，
故直線NP的方程為，代入橢圓方程，得，則，
因為，所以與MQ不垂直；
又，點Q到直線的距離為，
故的面積為
綜上可知A，D正確，B，C錯誤；故選：AD．
【例3-8】已知雙曲線的左、右頂點為，，焦點在y軸上的橢圓以，為頂點，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點，交橢圓于另一點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設所求橢圓的標準方程為，半焦距為，
雙曲線的左頂點為，右頂點為，
由于橢圓以，為頂點，則，該橢圓的離心率為，
所以，，解得，所以，橢圓的方程為，
設點，由于，則點，
由于點在橢圓上，點在雙曲線上，
所以，，聯立得：，解得或，
當，所以，此時點與點重合，不滿足題意舍去；
當，所以，所以.
【例3-9】（多選題）已知，為橢圓左、右頂點，為的右焦點，是的上頂點，，的垂直平分線交于，，若，，三點共線，則（ ）
A．
B．的離心率為
C．點到直線的距離為
D．直線，的斜率之積為
【答案】ABD
【解析】由題知，，，，
所以，，的中點為，
所以，的垂直平分線的方程為，
因為，，三點共線，所以，整理得，
所以，即
所以，，故A選項正確；
所以，即，解得或（舍）
所以，橢圓的離心率為，故B選項正確；
因為直線的方程為，即，
所以，點到直線的距離為，故C選項錯誤；
設，則，故，
由于，
所以，故D選項正確；故選：ABD
【方法技巧與總結】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型四、橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【例4-1】已知分別為橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于P，Q兩點，則的周長為______．
【答案】
【解析】橢圓，所以，即、，
直線過左焦點，所以，，，
所以.
【例4-2】設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于_______.
【答案】
【解析】由，且，
在中，∠
.
【例4-3】橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．
【答案】
【解析】，．
在中，，．
【例4-4】已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率，點P為橢圓的上頂點，若的面積為1，則右焦點的坐標為___________.
【答案】
【解析】由已知，解得，故右焦點的坐標為.
【例4-5】已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】因為，
，所以，又
記，則，
②2-①整理得：，所以
【例4-6】已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
又，解得，
.
【例4-7】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，橢圓方程，可得，
所以焦點，
又由橢圓的定義，可得，因為，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
【例4-8】已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由橢圓可得，所以，
因為點在上，所以，所以，
當且僅當時等號成立，最大值為9.
【例4-9】若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為________.
【答案】
【解析】易知當點為橢圓與軸的交點時，最大，
因為橢圓方程為，所以，，
此時，，滿足，
所以為等腰直角三角形，所以．
【例4-10】已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為______．
【答案】10
【解析】橢圓的方程為，∴，，，
連接，，則由橢圓的中心對稱性可得
的周長，
當AB位于短軸的端點時，取最小值，最小值為，．
【例4-11】已知橢圓C:的焦點為，，第一象限點P在C上，且，則的內切圓半徑為_________.
【答案】
【解析】由已知條件得，，，
則（－1，0），（1，0）.
設點P的坐標為（，），則，
，即①，
∵第一象限點P在C上，∴則，即②，
聯立解得，由橢圓的定義得
設的內切圓半徑為r，則
又∵，∴，即.
【例4-12】設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點．若為等腰三角形，則的內切圓半徑為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由題意知橢圓，則其長半軸，短半軸，焦距，
當M點位于橢圓的短軸端點時，不妨設為A點，
此時的面積為 ，
設內切圓半徑為r,則,
即；
三角形內切圓半徑公式的推導：
當M點不在橢圓短軸端點時，根據橢圓的對稱性，不妨假設在第一象限內，
此時,此時，由為等腰三角形，
可知,則，
的面積為，
則,即，
綜合可得的內切圓半徑為或，故選：D
【例4-13】已知點P是橢圓C：上一點，點、是橢圓C的左、右焦點，若的內切圓半徑的最大值為，若橢圓的長軸長為4，則的面積的最大值為（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，，
設的內切圓半徑為，
所以，
因為的內切圓半徑的最大值為，
所以
因為，所以，可得，
又橢圓的長軸長為4，即，
由，求得，所以的面積的故選：A
【例4-14】設F1，F2是橢圓C： =1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由橢圓的定義，，
由余弦定理有：
，
化簡整理得：，又，
由以上兩式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.
【例4-15】（多選題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與該橢圓相交于，兩點，點在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（ ）
A．不存在點，使得 B．滿足為等腰三角形的點有2個
C．若，則 D．的取值范圍為
【答案】CD
【解析】根據題意:可得，的最小值為1，所以，
則，所以橢圓方程
當為該橢圓頂點時，此時,所以存在點，使得，故A錯誤；
當點在橢圓的上，下頂點時，滿足為等腰三角形，
又因為，，所以滿足的點有兩個，
同理，滿足的點有兩個，故B錯誤.
若，則，所以C正確.
因為,
分析可得，，所以D正確.
題型五、橢圓的最值問題
【例5-1】已知橢圓C：的左焦點為，為橢圓C上任意一點，則的最小值為______．
【答案】1
【解析】由橢圓C：知：，故，
所以，所以，的最小值為.
【例5-2】已知橢圓的右頂點為，為上一點，則的最大值為______.
【答案】
【解析】橢圓的右頂點為，設點，則，即，且，
于是得，
因，則當時，，所以的最大值為.
【例5-3】已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，求的最小值為___．
【答案】1
【解析】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，
所以.
所以，所以（當且僅當時等號成立）.
所以,即的最小值為1.
【例5-4】設點是橢圓：上的動點，點是圓：上的動點，且直線與圓相切，則的最小值是______.
【答案】
【解析】由題可知，＝1，設，
，，
則
，
∴當時，.
【例5-5】（多選題）已知橢圓C：的左，右焦點為F1，F2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（ ）
A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2
C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3
【答案】ABD
【解析】對于，由橢圓的方程可知，橢圓焦點在軸上，故正確；
對于，因為，而的周長為，故B正確；
對于，因為不在軸上，所以，
所以的取值范圍為，故C不正確；
對于，設橢圓的上頂點為，則，
所以的最大值為.設，則，且，
而，所以的最大值為，故D正確.
【例5-6】已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為___．
【答案】9
【解析】根據題意可得：
則點B為橢圓的左焦點，取橢圓的右焦點
∴，即
∵，即點A在橢圓內
，
當且僅當點P在AF的延長線上時，等號成立.
【例5-7】設，分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點Q的坐標為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據橢圓的定義可得，，則，
因為，則當三點共線時，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
如上圖，當點位于圖中時，根據三角形三邊關系取值最大.
.
如上圖，當點位于圖中時，根據三角形三邊關系取值最大.
.
【例5-8】已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．
【答案】
【解析】由題, 設圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點為.
又,,故,
當且僅當分別在的延長線上時取等號.
此時最大值為.
【例5-9】點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為____________
【答案】
【解析】記橢圓的左焦點為，
由橢圓的定義可得，，
所以，
由得，
即圓的圓心為，半徑為，
作出圖形如下：
由圓的性質可得，，
（當且僅當四點共線時，等號成立.）
【例5-10】過橢圓上一動點P分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為________．
【答案】
【解析】，，，
易知、為橢圓的兩個焦點，
，
根據橢圓定義，
設，則，即，
則，
當時，取到最小值．
【例5-11】已知橢圓：，為橢圓上的一個動點，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點，則的取值范圍是_________．
【解析】由橢圓方程可得，則，
如圖所示：
設銳角，在中，，
因為，即，故，
所以.
【例5-12】為橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】由題意，圓心為橢圓的右焦點，圓的半徑為，
因為為圓的任意一條直徑，
，
由橢圓的定義可得，
所以．
【例5-13】若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，則，且，
不妨設，
則，
由，即，
故點的軌跡為以為焦點的橢圓，
∴，
則，當且僅當點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，
，當且僅當點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，
即，故.故選：D.
【例5-14】（多選題）已知點，，為圓上的點，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】AB
【解析】對于A，以為兩個焦點，長軸長為的橢圓可表示為：，
由得：，
若橢圓與圓有交點，則可設交點橫坐標為，則，
，解得：，
則此時可令一交點為，則，A正確；
對于B，（當且僅當在線段延長線上時取等號），
當時，，B正確；
對于C，設，，則，
；
，
，當時，，C錯誤；
對于D，，令
，
，
在上單調遞增，且，，
，使得，則當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
又，，
，即的最大值為，D錯誤.故選：AB.
題型六、離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉換
【例6-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意四邊形為平行四邊形，
又由四點共圓，可得平行四邊形為矩形，即
又直線的傾斜角為，則有
則，，則，即
則橢圓的離心率
【例6-2】古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了它們的光學性質．比如橢圓，他發現如果把橢圓焦點F一側做成鏡面，并在F處放置光源，那么經過橢圓鏡面反射的光線全部都會經過另一個焦點．設橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．
【答案】
【解析】由橢圓的光學性質可知，都經過，
且在中，，
如圖，
所以，
由橢圓的定義可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
【例6-3】已知，分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】如圖所示：延長，交于點Q，
∵PA是的外角平分線，
，，
又O是的中點，，且.
又，
，，∴離心率為.
【例6-4】已知橢圓的左 右焦點分別為，，AB是橢圓過點的弦，點A關于原點O的對稱點為，，且，則橢圓的離心率為___________.
【答案】
【解析】連接，，，設，
因為，所以四邊形為平行四邊形，
而，故四邊形為矩形，故.
又，
由橢圓的定義可得，，
，即，
解得，∴是短軸的端點，且，，.
【例6-5】設，是橢圓：的左、右焦點，過點斜率為的直線交橢圓于點，若，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因過點斜率為的直線交橢圓于點，則有，，
因此，在中，，
令橢圓半焦距為c，于是得，，
由橢圓定義得：，，
所以橢圓的離心率是.
【例6-6】已知橢圓的上頂點，左右焦點分別為，連接，并延長交橢圓于另一點P，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，
所以，則，
由橢圓的定義可得，
所以，因為，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因為，所以，即，所以
所以.
【例6-7】設橢圓的兩個焦點是，過的直線與交于P，Q兩點，若，且，則橢圓的離心率為_____________．
【答案】
【解析】設橢圓 ，，
設 由橢圓的定義可得，
可得
取 的中點 ，連接 ，則
由勾股定理可得
即為
將帶入上式化簡可得，所以，
所以，所以或者，所以或（舍），所以 .
【例6-8】已知分別為橢圓的左 右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可根據條件做出下圖：
因為，令，
所以，，由橢圓的定義可知，
所以，所以，，，，
由橢圓的定義可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的離心率是.
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
【例6-9】設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，
∴四邊形是矩形，其中，，
設，則，
根據勾股定理，，，
整理得，
由于點M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
【例6-10】橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，點在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，
化簡得，即，則，，
因為 ，所以,解得或（舍）.
【例6-11】已知橢圓以為左右焦點，點P、Q在橢圓上，且過右焦點，，若，則該橢圓離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意可得如圖橢圓，是直角三角形，
，不妨設，則，
因為，
所以，
，
所以離心率．
【例6-12】已知橢圓）的左 右焦點分別為和為C上一點，且的內心為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接，延長交軸于，則
，又，，
所以，
故，即，
又，所以，即.
【例6-13】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的左，右焦點分別是，，點P是橢圓C上一點，點Q是線段靠近點的三等分點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意作圖如下：
設 ， ，則有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化簡得： ，即 ，P點也在以 為圓心半徑為c的圓上，
即圓與橢圓必定有不與右頂點重合的交點
（與右頂點重合顯然不滿足題意），
圓 與x軸除原點外的另一個交點的坐標是 ，并且該交點必須在橢圓外，
，即 ，因為是橢圓，所以 ；故選：A.
【例6-14】設橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A
(﹣c,c)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為( )
A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]
【答案】D
【解析】如圖：設橢圓的另一個焦點為，
因為，所以
由，所以，
所以，即，所以.
因為點在橢圓內，所以，所以，
所以，解得，因為，所以.
【例6-15】已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解： 因為，，不妨設，，，
由橢圓定義可知：，，
由勾股定理可知：，即，化簡可得：，
點在延長線上，且在橢圓內部，所以，，解得：.
令在上單調遞增，所以，解得：，，又，且在橢圓內部，所以，則，.
方向3：利用最大頂角滿足
【例6-16】已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是C上的一個動點，若橢圓C上有且僅有4個點P滿足是直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】當和垂直于時，恰有4個點滿足是直角三角形，
由條件可知，點不是直角頂點，則以為直徑的圓與橢圓無交點，
則，得，解得：，
所以橢圓離心率的取值范圍是.
【例6-17】已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由橢圓的定義可知：，在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，當且僅當時等號成立，故，
所以，，解得：.
方向4：坐標法
【例6-18】已知橢圓的左、右焦點為為橢圓上一點，過P點作橢圓的切線l，PM垂直于直線l且與x軸交于點M，若M為的中點，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為為橢圓 上一點，所以過P作橢圓的切線，
切線斜率，所以PM的斜率，直線PM的方程為，
令，得，所以，由題， ，所以，．
【例6-19】已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓的焦點在軸上，方程為，，，
設，由，且，故，，
由點在橢圓上，故，整理得，故離心率.
【例6-20】已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，FO（O為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設點，，中，，
而點P，Q均在橢圓上，由橢圓對稱性得，
令橢圓半焦距為c，，
由得：，解得，
而，因此，即，又，則，
整理得，而，則有，解得，
所以該橢圓的離心率為.
【例6-21】已知橢圓的左 右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為，的平分線與軸交于點，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.
【答案】
【解析】如圖，設與軸的交點為，連接，
因為平行于軸，故為的中點，且，
故，又，故，
因為，故，所以，
故四邊形為：
，故即離心率為.
【例6-22】若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】記中點為，則，
由題意點在線段的中垂線上，
將坐標代入橢圓方程得
兩式相減可得，
所以，得，
所以的中垂線的方程為，令得，
由題意，，故，所以所以
方向5：找幾何關系，利用余弦定理
【例6-23】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因為，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，解得或（舍去）.
【例6-24】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.
【答案】
【解析】設關于平分線的對稱點為Q，則三點共線，
設，則，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由橢圓定義可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
【例6-25】已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，，過作外角平分線的垂線交的延長線于N點．若，則橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設與外角平分線的交點為,設，
由于，,所以,進而，所以,
設，則，在中，由余弦定理得,，兩式聯立得，即，解得或，
由于，故，
【例6-26】分別過橢圓的左、右焦點、作平行直線、，直線、在軸上方分別與交于、兩點，若與之間的距離為，且（表示面積，為坐標原點），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意知直線、的斜率一定存在，
設、，過點作于點，
由題意知，，
所以，設，則，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因為，所以，即，即，所以.
【例6-27】已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
如圖，在上取一點M，使得，連接，則，
則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，
所以，
設，則，
由橢圓定義可知：，即，所以，
所以，，,故點A與上頂點重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以橢圓離心率為.
方向6：找幾何關系，利用正弦定理
【例6-28】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
【例6-29】已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,結合題意可得，所以，根據橢圓的定義可得，所以，，易知.
因為為橢圓上一點，所以，即，
整理得，所以，解得.故選D.
【例6-30】過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率.
方向7：利用基本不等式
【例6-31】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為.
【例6-32】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，
則，，因為，
所以
，
所以，則，解得.
【例6-33】已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，
∴
當且僅當取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴,即，
∴，即，所以，
故橢圓離心率的最大值為.
【例6-34】已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
【答案】；
【解析】設為橢圓的另一焦點，如圖，連接，
根據橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，
又因為，所以.
在中，，
所以，
當且僅當時，等號成立，
即，
又因為，所以，
又因為，故.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
【例6-35】已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率.
【例6-36】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
【例6-37】已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設點的橫坐標為，，則由橢圓的定義可得，
，由題意可得，
，，，
則該橢圓的離心率的取值范圍是，．
【例6-38】已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內各有一個，
設是第一象限內使得為等腰三角形的點，
若，則，又，消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，所以，即，
時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當點與短軸的頂點重合時，構成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；
②當構成以為一腰的等腰三角形時，根據橢圓的對稱性，只要在第一象限內的橢圓上恰好有一點滿足為等腰三角形即可，則或
當時，則，即，則，
當時，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
方向9：利用橢圓第三定義．
【例6-39】橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法1：設而不求
設，則
則由得：，
由，得，所以，即，
所以橢圓的離心率.
解法2：第三定義
設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，由橢圓第三定義得：，故
所以橢圓的離心率.
【例6-40】已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設，
由點P在橢圓上，得，
所以，
可得，所以．
題型七、橢圓的中點弦問題
【例7-1】已知橢圓E：的右焦點為，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點、，則的中點為，
則，可得.
若直線軸，則線段的中點在軸上，不合題意；
故直線的斜率存在，且，
由于A、兩點都在橢圓上，則，
兩式相減得，即，
因為在直線AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
【例7-2】若橢圓的中心在原點，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為______．
【答案】
【解析】法一：（直接法）橢圓的中心在原點，一個焦點為，
設橢圓方程為，
由，消去，得，
設直線與橢圓相交所得弦的端點分別為，，則
由題意知，解得．所求橢圓方程為．
法二：（點差法）橢圓的中心在原點，一個焦點為，
設橢圓的方程為．
設直線與橢圓相交所得弦的端點分別為，，
則得，
即，又弦的中點的縱坐標為1，故橫坐標為-2，
，代入上式得，解得，
故所求的橢圓方程為．
【例7-3】已知直線與橢圓交于A，B兩點，線段的中點為，則橢圓C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，則從而，
故．由題意可得，
則，從而，故橢圓C的離心率．
【例7-4】已知橢圓，過右焦點的直線交橢圓于、，且是線段的中點，是橢圓左焦點，則的面積是 ．
【答案】
【解析】因為直線過點、，
所以，所以直線，
設，，則，，所以、，
所以，即
所以，即，又，所以，
又，，所以，所以橢圓方程為，
聯立直線AB與橢圓方程為，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
題型八、橢圓與直線的綜合問題
【例8-1】已知橢圓，直線交于兩點，點，則的周長為__________．
【答案】
【解析】由題知，
所以橢圓的焦點坐標為
所以，由得，
所以，為等邊三角形，且
因為，當時，解方程得，
所以，直線過點，且傾斜角為，即，
所以，直線為為等邊三角形中角的角平分線，
所以，直線為邊的中垂線，
所以，
因為
所以，的周長為
，
【例8-2】已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，C的下頂點為A，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長為______.
【答案】
【解析】因為橢圓的離心率，所以，，
所以橢圓的方程為，即，
在中，，，所以為正三角形，
過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，
所以DE為線段的垂直平分線，直線DE的斜率為，
所以直線的方程為，
設，，由，
得，
所以，，
所以，解得，
所以，
因為為線段的垂直平分線，所以，，
所以的周長為.
【例8-3】已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）橢圓的四個頂點構成的四邊形的面積為，
由題意可得，解得，．
所以，橢圓的方程為．
（2）若直線與軸重合，此時直線與圓相交，不合乎題意，
設直線的方程為，由題意可得，即.
聯立消去得，即，
．
設、，則，．
所以，
．
令，則，則，
當且僅當時等號成立，此時，．
故的最大值為．
【例8-4】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，所以.
設橢圓方程為，將代入，得.
故橢圓方程為.
（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，
易得其中一條弦為長軸，
另一條弦長為橢圓的通徑為，即；
②當兩條弦斜率均存在且不為0時，設，，
設直線的方程為，則直線的方程為，
將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，則，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
綜合②可知，的取值范圍為.
【例8-5】已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數m的取值范圍.
【解析】（1）由題可知，解得
故橢圓的方程為.
（2）當直線l的斜率不存在時，設，，，
由，，得，
同理，當,時，得，所以，
當直線l的斜率存在時，即時，
設直線的方程為，
聯立，消去y得.
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q，所以，
即①.
設，則②，
則，
由，得③，
③代入②得，
化簡整理得④，
將④代入①得，化簡得，解得或.
綜上，m的取值范圍為.
【例8-6】已知橢圓C：的離心率為，且為C上一點．
（1）求C的標準方程；
（2）點A，B分別為C的左、右頂點，M，N為C上異于A，B的兩點，直線MN不與坐標軸平行且不過坐標原點О，點M關于原點О的對稱點為，若直線與直線BN相交于點P，直線OP與直線MN相交于點Q，證明：點Q位于定直線上．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）設橢圓C的焦距為，由題意得，解得，
∴C的標準方程為．
（2）由題可知，，設，，
則，設：．
聯立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵點P為直線AM'和BN的交點，
∴，
故
，
∴，故：．
聯立消去y得，
因此，點Q位于定直線上．
【例8-7】如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點分別為．過點的直線與該橢圓相交于兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與的斜率分別為．試問：是否存在實數，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）依題意可知，，
所以橢圓的方程為：；
（2）(方法一)設直線的方程為，直線的方程為，
聯立方程組，
則，則，所以點的坐標為，
同理，可解得點的坐標為，
當時，此時，因為，則，
當時，此時，
由三點共線，得，化簡有，
由題知同號，所以，故存在，使得成立．
(方法二)當直線垂直于軸時，點的坐標分別為，
所以此時直線與的斜率分別為，有，
由此猜想：存在滿足條件，下面證明猜想正確．
當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，
聯立方程組，
，，
，，
由此可得猜想正確，故存在，使得成立．
【例8-8】已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若△為等邊三角形，且點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設橢圓E的左、右頂點分別為，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線與y軸的交點分別為M、N，若，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
【答案】(1)；(2)點或
【詳解】（1）∵△為等邊三角形，且，∴，
又∵，∴，設橢圓的方程為，
將點代入橢圓方程得，解得，
所以橢圓E的方程為.
（2）由已知得，設，,
則直線的斜率為，直線的方程為，即點坐標為，
直線的斜率為，直線的方程為，即點坐標為,
∵,∴,∴，
又∵，，
∴，即，
整理得，
①若直線的斜率存在時,設直線的方程為，
將直線方程與橢圓方程聯立得，
其中，
，，
即，，，所以或，
當時，直線的方程為，此時直線恒過點，
當時，直線的方程為，此時直線恒過點，
②若直線的斜率不存在時，
由得，即，解得或，
此時直線的方程為或，所以此時直線恒過點或，
綜上所述，直線恒過點或.
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專題三十二 橢圓及其性質
知識歸納
一、橢圓的定義
平面內與兩個定點的距離之和等于常數（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當時，點的軌跡是線段；
當時，點的軌跡不存在．
二、橢圓的方程、圖形與性質
橢圓的方程、圖形與性質所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
統一方程
參數方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
范圍 且 且
頂點 、、、 、、、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
點和橢圓的關系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為,換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關系是
焦半徑 左焦半徑：又焦半徑： 上焦半徑：下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關于的一元二次方程的的系數，是判別式）
方法技巧與總結
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
典例分析
題型一、橢圓的標準方程充要條件
【例1-1】“”是“曲線：（）是焦點在軸上的橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件
C．必要不充分條件 D．充分不必要條件
【例1-2】“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例1-3】已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述錯誤的是（ ）
A．曲線可表示為焦點在軸的橢圓 B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線
C．曲線可表示為離心率是的橢圓 D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線
題型二、橢圓的定義與標準方程
【例2-1】（多選題）平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（ ）
A．M到兩定點，的距離之和為4
B．M到兩定點，的距離之和為6
C．M到兩定點，的距離之和為6
D．M到兩定點，的距離之和為8
【例2-2】已知、動點滿足，則動點的軌跡方程_______．
【例2-3】求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸長為4，短軸長為2，焦點在y軸上；
(2)經過點，；
(3)一個焦點為，一個頂點為；
(4)一個焦點為，長軸長為4；
(5)一個焦點為，離心率為；
(6)一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為6，2.
【例2-4】已知是兩個定點且的周長等于則頂點的軌跡方程為______．
【例2-5】過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為________.
【例2-6】已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【例2-7】動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數，則動點的軌跡方程是___________.
【例2-8】已知定點,直線相交于點，且它們的斜率之積為，則動點的軌跡方程為_______．
【例2-9】設F1，F2為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
【例2-10】已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
【例2-11】如圖，已知△ABC的兩頂點坐標，，圓E是△ABC的內切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=2，動點C的軌跡方程為___________.
【例2-12】已知圓，點，點為動點，以線段為直徑的圓內切于圓，則動點的軌跡方程是______．
【例2-13】已知、是橢圓C：的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，且.若坐標原點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例2-14】已知橢圓的兩個焦點為和，直線l過點，點關于l的對稱點A在C上，且，則C的方程為__________．
【方法技巧與總結】
（1）定義法：根據橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數法：根據橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
題型三、橢圓的簡單幾何性質問題
【例3-1】已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（ ）．
A． B． C． D．
【例3-2】橢圓的焦點為，，與軸的一個交點為，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【例3-3】已知橢圓為其左焦點，過點且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，若（為原點），則橢圓的長軸長等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【例3-4】橢圓的焦距為4，則m的值為___________.
【例3-5】已知橢圓的焦點為，，橢圓上的動點坐標在第一象限，且為銳角，的取值范圍為__________．
【例3-6】已知橢圓滿足，長軸上2021個等分點從左至右依次為點，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；以此類推，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；則4042條直線的斜率乘積為___________．
【例3-7】（多選題）已知為坐標原點，橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于點，（在第一象限），，P為軸上一點，，面積的最大值為1，且直線與橢圓的另一個交點為，則當的面積最大時，下列結論正確的是（ ）
A． B．點為橢圓的右焦點
C． D．的面積為
【例3-8】已知雙曲線的左、右頂點為，，焦點在y軸上的橢圓以，為頂點，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點，交橢圓于另一點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例3-9】（多選題）已知，為橢圓左、右頂點，為的右焦點，是的上頂點，，的垂直平分線交于，，若，，三點共線，則（ ）
A．
B．的離心率為
C．點到直線的距離為
D．直線，的斜率之積為
【方法技巧與總結】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型四、橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【例4-1】已知分別為橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于P，Q兩點，則的周長為______．
【例4-2】設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于_______.
【例4-3】橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．
【例4-4】已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率，點P為橢圓的上頂點，若的面積為1，則右焦點的坐標為___________.
【例4-5】已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．9
【例4-6】已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【例4-8】已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【例4-9】若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為________.
【例4-10】已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為______．
【例4-11】已知橢圓C:的焦點為，，第一象限點P在C上，且，則的內切圓半徑為_________.
【例4-12】設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點．若為等腰三角形，則的內切圓半徑為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【例4-13】已知點P是橢圓C：上一點，點、是橢圓C的左、右焦點，若的內切圓半徑的最大值為，若橢圓的長軸長為4，則的面積的最大值為（ ）
A．2 B．2 C． D．
【例4-14】設F1，F2是橢圓C： =1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（ ）
A． B． C． D．
【例4-15】（多選題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與該橢圓相交于，兩點，點在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（ ）
A．不存在點，使得 B．滿足為等腰三角形的點有2個
C．若，則 D．的取值范圍為
題型五、橢圓的最值問題
【例5-1】已知橢圓C：的左焦點為，為橢圓C上任意一點，則的最小值為______．
【例5-2】已知橢圓的右頂點為，為上一點，則的最大值為______.
【例5-3】已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，求的最小值為___．
【例5-4】設點是橢圓：上的動點，點是圓：上的動點，且直線與圓相切，則的最小值是______.
【例5-5】（多選題）已知橢圓C：的左，右焦點為F1，F2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（ ）
A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2
C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3
【例5-6】已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為___．
【例5-7】設，分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點Q的坐標為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例5-8】已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．
【例5-9】點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為____________
【例5-10】過橢圓上一動點P分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為________．
【例5-11】已知橢圓：，為橢圓上的一個動點，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點，則的取值范圍是_________．
【例5-12】為橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是____________．
【例5-13】若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例5-14】（多選題）已知點，，為圓上的點，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
題型六、離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉換
【例6-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了它們的光學性質．比如橢圓，他發現如果把橢圓焦點F一側做成鏡面，并在F處放置光源，那么經過橢圓鏡面反射的光線全部都會經過另一個焦點．設橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．
【例6-3】已知，分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為______.
【例6-4】已知橢圓的左 右焦點分別為，，AB是橢圓過點的弦，點A關于原點O的對稱點為，，且，則橢圓的離心率為___________.
【例6-5】設，是橢圓：的左、右焦點，過點斜率為的直線交橢圓于點，若，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】已知橢圓的上頂點，左右焦點分別為，連接，并延長交橢圓于另一點P，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-7】設橢圓的兩個焦點是，過的直線與交于P，Q兩點，若，且，則橢圓的離心率為_____________．
【例6-8】已知分別為橢圓的左 右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是( )
A． B． C． D．
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
【例6-9】設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-10】橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，點在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【例6-11】已知橢圓以為左右焦點，點P、Q在橢圓上，且過右焦點，，若，則該橢圓離心率是（ ）
A． B． C． D．
【例6-12】已知橢圓）的左 右焦點分別為和為C上一點，且的內心為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-13】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的左，右焦點分別是，，點P是橢圓C上一點，點Q是線段靠近點的三等分點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例6-14】設橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A
(﹣c,c)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為( )
A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]
【例6-15】已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用最大頂角滿足
【例6-16】已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是C上的一個動點，若橢圓C上有且僅有4個點P滿足是直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例6-17】已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
方向4：坐標法
【例6-18】已知橢圓的左、右焦點為為橢圓上一點，過P點作橢圓的切線l，PM垂直于直線l且與x軸交于點M，若M為的中點，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-19】已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-20】已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，FO（O為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-21】已知橢圓的左 右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為，的平分線與軸交于點，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.
【例6-22】若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方向5：找幾何關系，利用余弦定理
【例6-23】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-24】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.
【例6-25】已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，，過作外角平分線的垂線交的延長線于N點．若，則橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
【例6-26】分別過橢圓的左、右焦點、作平行直線、，直線、在軸上方分別與交于、兩點，若與之間的距離為，且（表示面積，為坐標原點），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-27】已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
方向6：找幾何關系，利用正弦定理
【例6-28】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-29】已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【例6-30】過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
方向7：利用基本不等式
【例6-31】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例6-32】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-33】已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【例6-34】已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
【例6-35】已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-36】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【例6-37】已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【例6-38】已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
方向9：利用橢圓第三定義．
【例6-39】橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-40】已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
題型七、橢圓的中點弦問題
【例7-1】已知橢圓E：的右焦點為，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】若橢圓的中心在原點，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為______．
【例7-3】已知直線與橢圓交于A，B兩點，線段的中點為，則橢圓C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【例7-4】已知橢圓，過右焦點的直線交橢圓于、，且是線段的中點，是橢圓左焦點，則的面積是 ．
題型八、橢圓與直線的綜合問題
【例8-1】已知橢圓，直線交于兩點，點，則的周長為__________．
【例8-2】已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，C的下頂點為A，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長為______.
【例8-3】已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．
【例8-4】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
【例8-5】已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數m的取值范圍.
【例8-6】已知橢圓C：的離心率為，且為C上一點．
（1）求C的標準方程；
（2）點A，B分別為C的左、右頂點，M，N為C上異于A，B的兩點，直線MN不與坐標軸平行且不過坐標原點О，點M關于原點О的對稱點為，若直線與直線BN相交于點P，直線OP與直線MN相交于點Q，證明：點Q位于定直線上．
【例8-7】如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點分別為．過點的直線與該橢圓相交于兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與的斜率分別為．試問：是否存在實數，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【例8-8】已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若△為等邊三角形，且點在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設橢圓E的左、右頂點分別為，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線與y軸的交點分別為M、N，若，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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