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5.1.2 數(shù)列的遞推公式 同步練習(xí)
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知數(shù)列滿足，，等于的個(gè)位數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
5．若數(shù)列滿足：，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B．
C． D．
7．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，若，則的取值為（ ）
A． B． C． D．或
二、多選題
8．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A． B．是周期數(shù)列 C． D．
9．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為111221，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對(duì)于外觀數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則從開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)字2 B．若，則
C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6 D．若，則中沒(méi)有數(shù)字4
三、填空題
10．古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是 .
11．斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家．他在自己的著作《算盤(pán)書(shū)》中記載著這樣一個(gè)數(shù)列：其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列．那么是斐波那契數(shù)列中的第 項(xiàng)．
四、解答題
12．2500多年前的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究數(shù)時(shí)，喜歡把數(shù)描述成沙灘上的小石子．他們發(fā)現(xiàn)1，3，6，10，15，…這些數(shù)量的石子，都可以排成三角形（如圖），并稱這樣的數(shù)為“三角形數(shù)”，記圖中小圓的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．

13．根據(jù)下列條件，寫(xiě)出各數(shù)列的前項(xiàng)，并歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)，；
(2)，.
14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求，；
(2)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.1.2 數(shù)列的遞推公式同步練習(xí)解析
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】數(shù)列滿足，，
則，.
故選：A.
2．已知數(shù)列滿足，，等于的個(gè)位數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由，則，，
又，則，.
故選：B.
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由可得，
則，
則，
則，
故選：D
4．下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，，，，，，，
等式兩邊同時(shí)累加得，即，也符合該式，
所以第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是．
故選：C
5．若數(shù)列滿足：，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，，，
所以數(shù)列是以為周期的數(shù)列，
又因?yàn)椋裕?br/>故選：A．
6．已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以，
當(dāng)時(shí)，由，，
兩式相減得，
此時(shí)，，也滿足，
所以的通項(xiàng)公式為.
故選：B.
7．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，若，則的取值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【詳解】由“冰雹猜想”可知：若，則，，
若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；
綜上所述：或.
故選：D.
二、多選題
8．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A． B．是周期數(shù)列 C． D．
【答案】ABC
【詳解】由題意，數(shù)列滿足，，
當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n=3時(shí)，；當(dāng)n=4時(shí)，；
當(dāng)n=5時(shí)，；當(dāng)n=6時(shí)，，，
歸納可得數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，所以A正確，B正確；
又由，所以C正確；
因?yàn)椋裕訢錯(cuò)誤．
故選：ABC．
9．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為111221，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對(duì)于外觀數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則從開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)字2 B．若，則
C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6 D．若，則中沒(méi)有數(shù)字4
【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，即“個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，故，故A項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于B項(xiàng)，，即“2個(gè)2”， ，即“2個(gè)2”，以此類推，該數(shù)列的各項(xiàng)均為22，則，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，，即“1個(gè)6”， ，即“1個(gè)1，1個(gè)6”， ，即“3個(gè)1，1個(gè)6”，故，即“1個(gè)3，2個(gè)1，1個(gè)6”，以此類推可知，的最后一個(gè)數(shù)字均為6，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，，則，，，，
若數(shù)列中，中為第一次出現(xiàn)數(shù)字，則中必出現(xiàn)了個(gè)連續(xù)的相同數(shù)字，
如，則在的描述中必包含“個(gè)，個(gè)”，
即，顯然的描述應(yīng)該是“ 2個(gè)1 ”，矛盾，不合乎題意，
若或，同理可知均不合乎題意，
故不包含數(shù)字，故D項(xiàng)正確.
故選：BCD.
三、填空題
10．古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是 .
【答案】66
【詳解】依題意，設(shè)三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則，，
所以，
上式相加得，
所以，
則第11個(gè)三角形數(shù)是.
故答案為：66.
11．斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家．他在自己的著作《算盤(pán)書(shū)》中記載著這樣一個(gè)數(shù)列：其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列．那么是斐波那契數(shù)列中的第 項(xiàng)．
【答案】2016
【詳解】由，，，……，，
可得：
故是斐波那契數(shù)列中的第2016項(xiàng)．
故答案為：2016
四、解答題
12．2500多年前的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究數(shù)時(shí)，喜歡把數(shù)描述成沙灘上的小石子．他們發(fā)現(xiàn)1，3，6，10，15，…這些數(shù)量的石子，都可以排成三角形（如圖），并稱這樣的數(shù)為“三角形數(shù)”，記圖中小圓的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．

【答案】，為數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．
【詳解】依題意，可知，，，，，，
而且，由圖可知，在第個(gè)“三角形數(shù)”圖案的下面添加個(gè)小圓，即得到第個(gè)“三角形數(shù)”圖案，
因此，為數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．
13．根據(jù)下列條件，寫(xiě)出各數(shù)列的前項(xiàng)，并歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)，，，，歸納猜想
(2)，，，，歸納猜想
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>則，，，
歸納猜想.
（2）因?yàn)椋瑒t，
，，
歸納猜想.
14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求，；
(2)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)18，；(2).
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，
所以，則；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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