資源簡介

Ⅰ．考試性質(zhì)
普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學(xué)力的考生參加的選拔性考試．高等學(xué)校根據(jù)考生成績，按已確定的招生計(jì)劃，德、智、體全面衡量，擇優(yōu)錄取．因此，高考應(yīng)具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度．
Ⅱ．命題原則及指導(dǎo)思想
2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)學(xué)科的命題，將按照“有利于科學(xué)選拔人才，有利于促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展，有利于維護(hù)社會(huì)公平”的原則，遵循“注重能力考查，體現(xiàn)課改理念，力求平穩(wěn)推進(jìn)”的指導(dǎo)思想，依據(jù)《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版）》和《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）考試說明》規(guī)定的范圍和要求命制試題．命題堅(jiān)持以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在考查考生基本知識(shí)、基本能力的同時(shí)，注重考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和科學(xué)探究能力，突出考查學(xué)科意識(shí)、學(xué)科思維、科學(xué)素質(zhì)和人文素養(yǎng)，力求做到科學(xué)、準(zhǔn)確、公平、規(guī)范．
Ⅲ．考試內(nèi)容
一、考核目標(biāo)與考查要求
數(shù)學(xué)科高考注重考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)．具體考試內(nèi)容根據(jù)教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》、教育部考試中心頒布的《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科·課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)）》確定．
數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的深刻性，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的考試要從本質(zhì)上體現(xiàn)這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)．
數(shù)學(xué)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，努力體現(xiàn)對(duì)考生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及潛能的考查．
2015四川高考理科數(shù)學(xué)考試說明
1．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)
知識(shí)是指《課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的必修課程、選修課程中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算，處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能.
各部分知識(shí)的整體要求參照《課程標(biāo)準(zhǔn)》相應(yīng)模塊的有關(guān)說明．
對(duì)知識(shí)的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（分別用A、B、C表示），且高一級(jí)的層次要求包含低一級(jí)的層次要求．
（1）了解（A）：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有初步的、感性的認(rèn)識(shí)，知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會(huì)）在有關(guān)的問題中識(shí)別、認(rèn)識(shí)它．
“了解”層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：了解，知道、識(shí)別，模仿，會(huì)求、會(huì)解等．
（2）理解（B）：要求對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性的認(rèn)識(shí)，知道知識(shí)間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R(shí)作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠利用所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容對(duì)有關(guān)問題進(jìn)行比較、判斷、討論，具備利用所學(xué)知識(shí)解決簡單問題的能力．
“理解”層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：描述，說明，表達(dá)、表示，推測(cè)、想象，比較、判別、判斷，初步應(yīng)用等．
（3）掌握（C）：要求能夠?qū)λ械闹R(shí)內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明，能夠利用所學(xué)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決．
“掌握”層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：掌握、導(dǎo)出、分析，推導(dǎo)、證明，研究、討論、運(yùn)用、解決問題等．
對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查既要全面又要突出重點(diǎn)，對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體．考查應(yīng)注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面．從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度設(shè)計(jì)問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度．
2．?dāng)?shù)學(xué)能力
能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．
（1）空間想象能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)．
空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的想象能力．識(shí)圖是指觀察研究所給的圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對(duì)圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對(duì)圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志．
（2）抽象概括能力：抽象是指舍棄事物非本質(zhì)屬性，揭示其本質(zhì)的屬性；概括是指把僅僅屬于某一類對(duì)象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.抽象和概括是相互聯(lián)系的，沒有抽象就不可能有概括，概括必須在抽象的基礎(chǔ)上得出某種觀點(diǎn)或某個(gè)結(jié)論.
抽象概括能力要求在對(duì)具體的、生動(dòng)的實(shí)例進(jìn)行抽象概括的過程中，能夠發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)，從給定的大量信息材料中概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷．
（3）推理論證能力：根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性的初步的推理能力．推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法．一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明．
中學(xué)數(shù)學(xué)的推理論證能力是根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的初步的推理能力．
（4）運(yùn)算求解能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確的運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算．
運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合．運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估算和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等．運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力．
（5）數(shù)據(jù)處理能力：會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，并作出判斷、解決給定的實(shí)際問題．?dāng)?shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問題．
數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并確定給定的實(shí)際問題．
（6）應(yīng)用意識(shí)：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解對(duì)問題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明．應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決．
（7）創(chuàng)新意識(shí)：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．
創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn)．對(duì)數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測(cè)、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng)．
對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，體現(xiàn)對(duì)考生各種數(shù)學(xué)能力的要求．高考的數(shù)學(xué)命題，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．能力的考查以推理論證能力和抽象概括能力的考查為核心，全面涉及各種數(shù)學(xué)能力，并要切合考生實(shí)際，強(qiáng)調(diào)其科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性和應(yīng)用性．對(duì)空間想象能力的考查主要體現(xiàn)在對(duì)文字語言、符號(hào)語言及圖形語言的互相轉(zhuǎn)化上；對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要是對(duì)算法和推理的考查，考查以代數(shù)運(yùn)算為主；對(duì)數(shù)據(jù)處理能力的考查主要是考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的基本方法和思想解決實(shí)際問題的能力．
對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式．應(yīng)用問題的命題要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設(shè)計(jì)要充分考慮中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際和考生的年齡特點(diǎn)，并結(jié)合考生具有的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度符合考生的實(shí)際水平．
對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查．在考試中通過創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行考查．試題設(shè)計(jì)要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，著眼數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)；試題主要以反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化及其相互聯(lián)系的問題出現(xiàn)，主要為研究型、探索型、開放型等類型的問題．
3．?dāng)?shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)方法主要包括歸納推理、類比推理、演繹推理、綜合法、分析法、反證法等．
（1）歸納推理：歸納推理就是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，從已知的特殊的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題等的推理．簡言之，歸納推理是由特殊到一般的推理．
（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．
（3）演繹推理：演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式，是一種必然性推理．演繹推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理．
（4）綜合法：綜合法就是利用已知條件和數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3 →…→QnQ（其中P表示已知條件，Q表示結(jié)論）．綜合法是“執(zhí)因?qū)Ч保瑥囊阎霭l(fā)，順著推理，逐漸地靠近結(jié)論．
（5）分析法：分析法就是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）的證明方法．即QP1→P1P2→P2P3→…→．分析法是“執(zhí)果索因”，從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知．
（6）反證法：反證法就是假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立的證明方法．它是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得，主要步驟是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立．
數(shù)學(xué)思想主要包括函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無限思想等．
（1）函數(shù)與方程的思想：函數(shù)思想就是利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲解．方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程問題，然后通過解方程（組）使問題獲解．函數(shù)與方程的思想既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想．
（2）數(shù)形結(jié)合的思想：數(shù)形結(jié)合的思想就是充分運(yùn)用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，變抽象思維為形象思維，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，有利于達(dá)到優(yōu)化解題的目的．
（3）分類與整合的思想：分類與整合就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答．分類與整合就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)思想．
（4）化歸與轉(zhuǎn)化的思想：化歸與轉(zhuǎn)化的思想是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式，借助某些數(shù)學(xué)知識(shí)，將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化、未知問題已知化等，進(jìn)而達(dá)到解決問題的數(shù)學(xué)思想．
（5）特殊與一般的思想：特殊與一般的思想就是通過對(duì)問題的特殊情形（如特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解決，尋求一般的、抽象的、運(yùn)動(dòng)變化的、不確定的等問題的解決思路和方法的數(shù)學(xué)思想．
（6）有限與無限的思想：有限與無限的思想就是通過對(duì)有限情形的研究和解決，使無限情形的問題得以解決；反之當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，也可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決，即無限化有限，有限化無限的解決問題的數(shù)學(xué)思想．
對(duì)數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查．考查時(shí)，必然要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，從而反映考生對(duì)數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的掌握程度．
4．個(gè)性品質(zhì)
個(gè)性品質(zhì)是指考生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀. 要求考生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義．
就考試而言，要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時(shí)間，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神．
二、考試內(nèi)容
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
集合與常用邏輯用語
集合
集合的概念
√
集合的表示方法
√
集合間的基本關(guān)系
√
集合的基本運(yùn)算
√
（續(xù)表）
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
集合與常用邏輯用語
常用邏輯用語
命題的概念
√
“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題
√
四種命題的相互關(guān)系
√
充分條件、必要條件與充要條件
√
簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
√
全稱量詞與存在量詞
√
函數(shù)概念與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)
函數(shù)
函數(shù)的概念
√
映射的概念
√
函數(shù)的表示法
√
二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
√
函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義
√
函數(shù)的奇偶性
√
運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)
√
指數(shù)函數(shù)
有理指數(shù)冪的概念
√
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念
√
冪的運(yùn)算
√
指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)
√
對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)的概念
√
對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
√
對(duì)數(shù)換底公式
√
對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)
√
指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（且）
√
冪函數(shù)
冪函數(shù)的概念
√
簡單冪函數(shù)（）
√
函數(shù)的應(yīng)用
實(shí)系數(shù)一元二次方程根的分布
√
函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根
√
二分法
√
函數(shù)模型及其應(yīng)用
√
（續(xù)表）
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形
任意角的三角函數(shù)
任意角和弧度制
√
任意角的正弦、余弦、正切的定義
√
單位圓中的三角函數(shù)線及其應(yīng)用
√
誘導(dǎo)公式
√
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
√
三角函數(shù)的
圖象與性質(zhì)
周期函數(shù)的定義
√
函數(shù)的圖象和性質(zhì)
√
函數(shù)的圖象和性質(zhì)
√
三角函數(shù)的簡單應(yīng)用
√
三角恒等變換
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
簡單的三角恒等變換
√
解三角形
正弦定理、余弦定理
√
正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用
√
數(shù)列
數(shù)列的概念及其表示法
數(shù)列的概念
√
數(shù)列的表示法
√
數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
√
等差數(shù)列、
等比數(shù)列
等差數(shù)列的概念
√
等比數(shù)列的概念
√
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
√
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
√
等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單應(yīng)用
√
不等式
不等式與
不等關(guān)系
不等式的性質(zhì)
√
一元二次
不等式
一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系
√
一元二次不等式的解法
√
簡單的線性
規(guī)劃
二元一次不等式組表示的平面區(qū)域
√
簡單的二元線性規(guī)劃問題
√
基本不等式
基本不等式及其應(yīng)用
√
（續(xù)表）
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
導(dǎo)數(shù)及其
應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
導(dǎo)數(shù)的概念
√
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
√
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
√
導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
√
簡單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)
√
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
√
函數(shù)的極值、最大（小）值與導(dǎo)數(shù)
√
數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
復(fù)數(shù)的概念
與運(yùn)算
復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件
√
復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義
√
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算
√
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法的幾何意義
√
平面向量
平面向量
平面向量的概念、平面向量相等的含義
√
平面向量的幾何表示
√
平面向量的
線性運(yùn)算
平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義
√
平面向量共線的條件
√
平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
平面向量的基本定理
√
平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
√
平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
√
平面向量共線的坐標(biāo)表示
√
平面向量的
數(shù)量積
平面向量數(shù)量積及其物理意義
√
平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系
√
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
√
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
√
兩個(gè)平面向量的夾角的數(shù)量積表示
√
平面向量的
應(yīng)用
平面向量的簡單應(yīng)用
√
（續(xù)表）
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
平面解析
幾何初步
直線與方程
直線的傾斜角和斜率
√
過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算
√
兩條直線平行或垂直的判定
√
直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式
√
兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
√
兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式
√
兩條平行線間的距離
√
圓與方程
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程
√
直線與圓的位置關(guān)系
√
兩圓的位置關(guān)系
√
用直線和圓的方程解決簡單的問題
√
圓錐曲線與方程
圓錐曲線
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)
√
雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)
√
拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)
√
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其簡單應(yīng)用
√
曲線與方程
曲線與方程的概念及對(duì)應(yīng)關(guān)系
√
立體
幾何
初步
空間幾何體
柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
√
簡單空間圖形的三視圖
√
簡單空間圖形的直觀圖
√
柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
√
點(diǎn)、直線、
平面間的位置關(guān)系
空間線、面的位置關(guān)系
√
公理1、公理2、公理3、公理4、
定理
√
空間線、面平行或垂直的判定
√
空間線、面平行或垂直的性質(zhì)
√
異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念
√
空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題的證明
√
（續(xù)表）
考試內(nèi)容
要求層次
A
B
C
空間向量與立體幾何
空間
直角坐標(biāo)系
空間直角坐標(biāo)系
√
空間兩點(diǎn)間的距離公式
√
空間向量
及其運(yùn)算
空間向量的概念
√
空間向量基本定理及其意義
√
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
√
空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示
√
空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示
√
用數(shù)量積判定空間向量的共線與垂直
√
空間向量
的應(yīng)用
直線的方向向量及平面的法向量
√
空間線、面平行與垂直關(guān)系的證明
√
空間線線、線面、面面的夾角的計(jì)算
√
算法
初步
算法及程序框圖
算法的概念
√
程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)
√
基本
算法語句
輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句
√
計(jì)數(shù)
原理
加法原理、
乘法原理
分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理
√
分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)的簡單應(yīng)用
√
排列與組合
排列、組合的概念
√
排列數(shù)公式、組合數(shù)公式
√
排列與組合的簡單應(yīng)用
√
二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用
√
統(tǒng)計(jì)
隨機(jī)抽樣
簡單隨機(jī)抽樣
√
分層抽樣和系統(tǒng)抽樣
√
用樣本估計(jì)
總體
頻率分布表、直方圖、折線圖、莖葉圖
√
樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）
√
用樣本估計(jì)總體分布和數(shù)字特征
√
變量的
相關(guān)性
相關(guān)關(guān)系及散點(diǎn)圖
√
線性回歸方程
√
概率
事件與概率
隨機(jī)事件的概率
√
兩個(gè)互斥事件的概率加法公式
√
古典概型
古典概型
√
幾何概型
幾何概型
√
隨機(jī)變量及其分布
取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列
√
超幾何分布
√
條件概率
√
事件的獨(dú)立性
√
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
√
取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值
√
Ⅳ．考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
一、考試形式
考試采用閉卷、筆試形式．考試時(shí)不允許使用計(jì)算器．
二、考試時(shí)間及分值
考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分為150分．
三、試卷結(jié)構(gòu)
全卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
試卷結(jié)構(gòu)如下：
卷別
題型
題數(shù)
分值
說明
第Ⅰ卷
選擇題
10
50
四選一型的單項(xiàng)選擇
第Ⅱ卷
填空題
5
25
只需直接填寫結(jié)果，不必寫出具體解答過程
解答題
6
75
要求寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程
四、試題難度
試題按其難度分為容易題、中等難度題和難題．難度系數(shù)在0.7以上的試題為容易題，難度系數(shù)為0.4～0.7的試題是中等難度題，難度系數(shù)在0.4以下的試題為難題．試卷由三種難度的試題組成，并以中等難度題為主．命題時(shí)根據(jù)有關(guān)要求和教學(xué)實(shí)際合理控制容易題、中等難度題和難題三種試題的分值比例及全卷總體難度．
Ⅴ．題型示例
一、選擇題
1．設(shè)集合，，則集合等于
（A）{(2} （B）{2}
（C）{(2,2} （D）
2．設(shè)，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：，則
（A）p： （B）p：
（C）p： （D）p：
3．已知為實(shí)數(shù)，且，則“”是“”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
4．若，，則一定有
（A） （B） （C） （D）
5．設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的所有a的值為
（A） （B）1,2,3 （C）1,3 （D）
6．設(shè)a=6，，，則
（A）c>b>a （B）b>c>a （C）a>c>b （D）a>b>c
7．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則a的取值范圍為
（A） （B） （C） （D）
8．如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在[0,]上的圖象大致為
（A） （B）
（C） （D）
9．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，，則
（A）在區(qū)間上單調(diào)遞減
（B）在區(qū)間上單調(diào)遞減
（C）在區(qū)間上單調(diào)遞增
（D）在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．已知等比數(shù)列滿足，，則
（A）64 （B）81 （C）128 （D）24
11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m=
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
12．不等式組的解集記為D，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：
其中的真命題是
（A）p2，p3 （B）p1，p4 （C）p1，p2 （D）p1，p3
13．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是
（A）1800元 （B）2400元 （C）2800元 （D）3100元
14．復(fù)數(shù)
（A）1 （B）(1 （C） （D）
15．平面向量，，()，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則
（A） （B） （C） （D）
16．過點(diǎn)(3,1)作圓(x(1)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為
（A）2x+y(3=0 （B）2x(y(3=0
（C）4x(y(3=0 （D）4x+y(3=0
17．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則
（A） （B） （C）4 （D）
18．已知直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長的2倍，C的離心率為
（A） （B） （C）2 （D）3
19.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△ ABO與△ AFO面積之和的最小值是
（A） （B） （C） （D）
20．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為
（A） （B） （C） （D）
21．已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為
（A） （B） （C） （D）
22．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面積是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為
（A） （B） （C） （D）
23．如圖，在正方體-中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
24．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的t∈[-1，3]，則輸出的s屬于
（A）[-3,4] （B）[-5,2] （C）[-4,3] （D）[-2,5]
25．在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有
（A）36個(gè) （B）24個(gè) （C）18個(gè) （D）6個(gè)
26．對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如下圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是
（A）46，45，56 （B）46，45，53
（C）47，45，56 （D）45，47，53
27．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射擊20次，兩人的測(cè)試成績?nèi)缦卤恚?br/>甲的成績
乙的成績
環(huán)數(shù)
7
8
9
10
環(huán)數(shù)
7
8
9
10
頻數(shù)
6
4
4
6
頻數(shù)
4
6
6
4
，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績的平均數(shù)，則有
（A）， （B），
（C）， （D），
28．從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為，則的概率是
（A） （B） （C） （D）
29．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈． 這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮． 那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是
（A） （B） （C） （D）
二、填空題：直接填寫結(jié)果，不必寫出具體解答過程．
1．的值是________．
2．已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2－4x． 那么，不等式f(x+2)<5的解集是__________．
3．設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ=______．
4．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于_______m．
（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：，，
，，）
5．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為．若，則角_________．
6．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的最小值為________．
7．已知函數(shù)f（x）=4x+（x>0,a>0）在x=3時(shí)取得最小值，則a=___________．
8．設(shè)D,E分別是(ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，,,若 (為實(shí)數(shù))，則的值為 ________．
9．橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于點(diǎn)、．當(dāng)△的周長最大時(shí)，△的面積是 ．
10．設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是_______．
11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．
12．如圖所示，在正方體中，M、N分別是棱CD、的中點(diǎn)，則異面直線與DN所成的角的大小是 ．
13．設(shè)a是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).將組成a的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)a，輸出的結(jié)果________．
14．已知（1+ax）(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=______．
15．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖．由圖中數(shù)據(jù)可知 ．若要從身高在[ 120 , 130)，[130 ，140), [140, 150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 ．
16．設(shè)P1，P2，…，Pn為平面(內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，在平面(內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1，P2，…，Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”．例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)．現(xiàn)有下列命題：
① 若三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；
② 直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；
③ 若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；
④ 梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．
其中的真命題是__________．（寫出所有真命題的序號(hào)）
17．以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．例如，當(dāng)，時(shí)，，．現(xiàn)有如下命題：
① 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“”的充要條件是“，，”；
② 函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；
③ 若函數(shù)，的定義域相同，且，則；
④ 若函數(shù)（，）有最大值，則．
其中的真命題有_______．（寫出所有真命題的序號(hào)）
三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．
1．在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和．
2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．
(Ⅰ) 證明：；
(Ⅱ) 是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．
3．某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．
(Ⅰ) 若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；
(Ⅱ) 花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．
（i）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
（ii）若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由．
4．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂
獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．
(Ⅰ) 設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求的分布列；
(Ⅱ) 玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？
(Ⅲ) 玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因．
5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若，，求向量在方向上的投影．
6．如圖所示，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘．在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130米/分鐘，山路AC長為1260米，經(jīng)測(cè)量，，．
(Ⅰ) 求索道AB的長；
(Ⅱ) 乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(Ⅲ) 為使兩位游客在C處相互等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
7．如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn)．
(Ⅰ) 在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；
(Ⅱ) 設(shè)(Ⅰ) 中的直線l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求二面角A—A1M—N的余弦值．
8．如圖所示，在三棱錐中，∠APB=90，
∠PAB=60，，平面PAB⊥平面ABC．
(Ⅰ) 求直線PC與平面ABC所成的角的正弦值；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值．
9．三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且．
(Ⅰ) 證明：P是線段BC的中點(diǎn)；
(Ⅱ) 求二面角A-NP-M的余弦值．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
(Ⅰ) 求k的取值范圍；
(Ⅱ) 設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
11．已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C．
(Ⅰ) 求C的方程；
(Ⅱ) l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|．
12．已知橢圓C：的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
(Ⅰ) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．
(ⅰ) 證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(ⅱ) 當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
13．已知函數(shù)滿足；
(Ⅰ) 求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若，求的最大值．
14．已知函數(shù)其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)A，B為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且．
(Ⅰ) 指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且，求的最小值；
(Ⅲ) 若函數(shù)f(x)的圖象在A，B處的切線重合，求a的取值范圍．
15．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(Ⅰ) 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(Ⅱ) 若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
16．已知函數(shù)．
(Ⅰ) 討論的單調(diào)性；
(Ⅱ) 設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的最大值；
(Ⅲ) 已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．
Ⅵ．題型示例參考解答
一、選擇題
1．A 2．D 3．B 4．D 5．C
6．D 7．B 8．C 9．A 10．A
11．C 12．C 13．C 14．B 15．D
16．A 17．B 18．B 19．B 20．A
21．B 22．B 23．B 24．A 25．A
26．A 27．B 28．D 29．C
二、填空題
1．1 2．((7,3) 3． 4．60
5． 6．(49 7．36 8．
9．3 10．5 11． 12．90°
13．495 14．(1 15．0.030，3 16．①④
17．①③④
三、解答題
1．設(shè)該數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為Sn．
由已知，可得
，．
所以，，，
解得或，即數(shù)列{an}首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為3．
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和或．
2．(Ⅰ) 由題設(shè)知，，
兩式相減得，
由于，所以．
(Ⅱ) 由題知，，可得．
由(Ⅰ)知，．
令，解得．
故，由此可得是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，；
是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，．
所以，，
因此存在，使得為等差數(shù)列．
3．(Ⅰ) 當(dāng)日需求量時(shí)，利潤．
所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為：．
(Ⅱ) （i）可能的取值為，，，并且
．
的分布列為
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
的數(shù)學(xué)期望為
．
的方差為：．
（ii）答案一：
花店應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的數(shù)學(xué)期望為
．
Y的方差為
DY==112.04．
由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，DX答案二：
花店應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的數(shù)學(xué)期望為
．
由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，EX4．(Ⅰ) 可能的取值為：10，20，100，．根據(jù)題意，有
，，
，．
所以的分布列為
10
20
100
-200
(Ⅱ) 設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai（i=1,2,3），則
．
所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為
．
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是．
(III) 的數(shù)學(xué)期望為 ．
這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，
因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大．
5．(Ⅰ) 由，得
，
即，
則，即．
(Ⅱ) 由，，得，
由正弦定理，有，所以，．
由題知，則，故，
根據(jù)余弦定理，有，
解得或（舍去）．
故向量在方向上的投影為．
6．(Ⅰ) 在△ABC中，，
，
．
,
．
所以索道AB的長為1040米．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 及已知有，米．
設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲到了處，乙到了E處,
則有,．
根據(jù)余弦定理,
即.
當(dāng)時(shí)，有最小值．
故乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短．
(Ⅲ) 設(shè)甲所用時(shí)間為，乙所用時(shí)間為，乙步行速度為．
由題意,
,
所以，．
解不等式得．
故為使兩位旅客在C處相互等待的事件不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：米/分鐘）范圍內(nèi)．
7．(Ⅰ) 如圖所示，在平面ABC內(nèi)，過P作直線l∥BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．
由已知，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD．
因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AA1⊥直線l．
又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交．
所以直線l⊥平面ADD1A1．
(Ⅱ) 解法一：
連接A1P，過A作AE⊥A1P于E，過E作EF⊥A1M于F，連接AF．
由(Ⅰ) 知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN．
所以AE⊥平面A1MN，則A1M⊥AE．
所以A1M⊥平面AEF，則A1M⊥AF．
故∠AFE為二面角A—A1M—N的平面角（設(shè)為θ）．
設(shè)AA1=1，則由AB=AC= 2AA1，∠BAC=120°,有∠BAD=60°，AB=2，AD=1．
又P為AD的中點(diǎn)，所以M為AB的中點(diǎn)，且，AM=1，
所以，在Rt△AA1P中，A1P=；在Rt△A1AM中，A1M=．
從而=，=，
所以sin( =．
所以cos( ===．
故二面角A—A1M—N的余弦值為．
解法二：
設(shè)AA1=1，如圖所示，過A1作A1E平行于B1C1，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz（點(diǎn)O與點(diǎn)A1重合）．
則A1(0，0，0)，A(0，0，1)．
因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)，所以M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，
故M()，N()，
所以，，．
設(shè)平面AA1M的一個(gè)法向量，則
即故有
從而
取，則，所以．
設(shè)平面A1MN的一個(gè)法向量，則
即故有
從而
取，則，所以．
設(shè)二面角A—A1M—N的平面角為θ,又θ為銳角，
則cosθ===．
故二面角A—A1M—N的余弦值為．
8．法一：
(Ⅰ) 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)PO、CO、CD．
由已知，為等邊三角形．
所以．
又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，
所以平面ABC．
所以為直線PC與平面ABC所成的角．
不妨設(shè)AB=4，則PD=2，，OD=1，．
在Rt△OCD中，，在Rt△POC中，．
所以在Rt△POC中，．
故直線PC與平面ABC所成的角的正弦值為．
(Ⅱ) 如圖所示，過D作DE⊥PA于點(diǎn)E，連結(jié)CE．
由已知可得，平面PAB，故．
又，，
故平面CDE．
所以．
所以∠DEC為二面角的平面角．
由(Ⅰ) 知，CD=，又在正△ADP中，DE=，
在Rt△CDE中，CE=，所以．
故二面角的余弦值為．
法二：
(Ⅰ) 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，作PO⊥AB于點(diǎn)O，連結(jié)CD．
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，
所以PO⊥平面ABC．
所以PO⊥CD．
由AB=BC=CA ，知CD⊥AB．
設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2．
所以O(shè)（0,0,0），A（(1,0,0），C（1,2,0），P（0,0,）．
所以，而為平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)為直線PC與平面ABC所成的角，
則sin===．
故直線PC與平面ABC所成的角的正弦值為．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，有，．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為，則
從而
取，則，所以．
設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角．
而平面ABP的一個(gè)法向量為m，則
．
故二面角的余弦值為．
9．(Ⅰ) 如圖，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO．
由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD為正三角形，
因此AO⊥BD，OC⊥BD．
因?yàn)锳O，OC平面AOC內(nèi)，且AOOC，
所以BD⊥平面AOC．
又因?yàn)锳C平面AOC，所以BD⊥AC．
取BO的中點(diǎn)H，連接NH，PH．
又M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，所以NH∥AO，MN∥BD．
因?yàn)锳O⊥BD，所以NH⊥BD．
因?yàn)镸N⊥NP，所以NP⊥BD．
因?yàn)镹H，NP平面NHP，且NHNP，所以BD⊥平面NHP．
又因?yàn)镠P平面NHP，所以BD⊥HP．
又OC⊥BD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HP∥OC．
因?yàn)镠為BO中點(diǎn)，
故P為BC中點(diǎn)．
(Ⅱ) 解法一：
如圖，作NQ⊥AC于Q，連接MQ．
由(Ⅰ)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP．
因?yàn)镸N⊥NP，所以為二面角A-NP-M的一個(gè)平面角．
由(Ⅰ)知，△ABD，△BCD為邊長為2的正三角形，所以．
由俯視圖可知，AO⊥平面BCD．
因?yàn)镺C平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰Rt△AOC中，．
作BR⊥AC于R，
在△ABC中，AB=BC，所以.
因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi)，NQ⊥AC，BR⊥AC，所以NQ∥BR．
又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以Q為AR的中點(diǎn)，
因此．
同理，可得．
所以在等腰△MNQ中，．
故二面角A-NP-M的余弦值是．
解法二：
由俯視圖及(Ⅰ)可知，AO⊥平面BCD．
因?yàn)镺C，OB平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.
又OC⊥OB，所以直線OA，OB，OC兩兩垂直．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
則A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)．
因?yàn)镸，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，
又由(Ⅰ)知，P為線段BC的中點(diǎn)，
所以，，．
于是，，
，．
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量，則
即 有 從而
取，則，，所以．
設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量，則
即有從而
取，所以．
設(shè)二面角A-NP-M的大小為，
則==．
故二面角A-NP-M的余弦值是．
10．(Ⅰ) 由已知條件，直線l的方程為
，
將其代入橢圓方程，得
，
整理得
． ①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，等價(jià)于
，
解得
或，
即k的取值范圍為．
(Ⅱ) 設(shè)，，則
．
由方程①，可得
． ②
又 ， ③
而，，，所以與共線等價(jià)于
．
將②③代入上式，解得．
由(Ⅰ) 知或，故沒有符合題意的常數(shù)k．
10．(Ⅰ) 由橢圓定義知，
，
所以．
又由已知，c=1，
所以橢圓C的離心率．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，橢圓C的方程為=1．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)．
（1） 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于（0，1），（0，(1）兩點(diǎn)，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
（2） 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1, kx1+2)，(x2,kx2+2)，則
|AM|2=，|AN|2=．
又 |AQ|2==，
由，得
，即
． ①
將y=kx+2代入=1中，得
． ②
由△=，得．
由②可知，，，
代入①中并化簡，得 x2=． ③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k=，代入③中并化簡，得
．
由③及k2>，可知0又滿足，故．
由題意，點(diǎn)Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以(1≤y≤1．
又由，有
且(1≤y≤1，則.
所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為，其中，．
11．由已知得圓M的圓心為M（(1,0），半徑；圓N的圓心為N（1,0），半徑．
設(shè)圓P的圓心為P（x,y）,半徑為R．
(Ⅰ) 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以
．
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左，右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為．
(Ⅱ) 對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)，
由于，所以R2，
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為（2,0）時(shí)，R=2，所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，
其方程為．
若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得．
若l的傾斜角不為90°，則知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，
則，可求得Q（(4,0），所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切，
解得k=±.
當(dāng)k=時(shí)，將y=x+代入，并整理得，
解得，所以.
當(dāng)k=時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知，.
綜上所述，.
12．(Ⅰ) 由已知可得
解得，，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為．
則直線TF的斜率kTF．
當(dāng)時(shí)，直線PQ的斜率kPQ．直線PQ的方程是．
當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程是，也符合的形式．
設(shè)，，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得
消去x，得，
其判別式．
所以，，
．
所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
所以直線OM的斜率kOM ，
又直線OT的斜率kOT ，所以點(diǎn)M在直線OT上，
因此OT平分線段PQ．
（ⅱ）由（ⅰ）可得，
|TF|，
|PQ|
．
所以≥．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值．
所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
13．(Ⅰ) 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得．
令得．
故,且有．
因此，．
由此可得，．
記，則，
所以在上單調(diào)遞增．
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，的解析式為，且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(Ⅱ) 記．
由已知，可得．
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，與矛盾．
（2）當(dāng)時(shí)，．
（3）當(dāng)時(shí)，
對(duì)求導(dǎo)可得．
若，則；若，則．
故當(dāng)時(shí)，．
則有．
令，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，；
從而．
當(dāng)時(shí)，．
綜上，的最大值為．
14．(Ⅰ) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．
(Ⅱ) 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為,點(diǎn)B處的切線斜率為,
故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有．
當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得．
因?yàn)闀r(shí)， 所以，
所以，．
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，的最小值為1．
(Ⅲ) 當(dāng)或時(shí)，，故．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
，即．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
，即．
兩切線重合的充要條件是
由①及知，．
由①②得，．
設(shè)，則．
所以，是減函數(shù)．
則，
所以．
又當(dāng)且趨近于(1時(shí)，無限增大，
所以a的取值范圍是．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是．
15．(Ⅰ) 由，有．
所以．
因此，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)≤時(shí)，≥0，所以在上單調(diào)遞增，
因此在上的最小值是；
當(dāng)≥時(shí)，≤0，所以在上單調(diào)遞減，
因此在上的最小值是；
當(dāng)＜時(shí)，令，得．
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
于是，在上的最小值是．
綜上所述，當(dāng)≤時(shí)，在上的最小值是；
當(dāng)＜時(shí)，在上的最小值是；
當(dāng)≥時(shí)，在上的最小值是．
(Ⅱ) 設(shè)為在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由可知，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．
則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．
故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．
同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．
所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
由(Ⅰ)知，當(dāng)≤時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)≥時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．
所以＜＜．
此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
因此，，必有
＞0，＞0．
由有＜2，有
＞0，＞0．
解得 ＜＜1．
當(dāng)＜＜1時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有最小值．
若≥0，則≥0（），
從而在區(qū)間單調(diào)遞增，這與矛盾，所以＜0．
又＞0，＞0，
故此時(shí)在和內(nèi)各只有一個(gè)零點(diǎn)和．
由此可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以＞，＜，
故在內(nèi)有零點(diǎn)．
綜上可知，a的取值范圍是．
16.(Ⅰ) =，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立．
所以在單調(diào)遞增．
(Ⅱ) =，
==．
( i ) 當(dāng)時(shí)，，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在單調(diào)遞增．而=0，所以對(duì)任意．
( ii ) 當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，
＜0．而=0，因此當(dāng)時(shí)，＜0，不滿足題意．
綜上，b的最大值為2.
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，.
當(dāng)b=2時(shí)，＞0；＞＞0.6928；
當(dāng)時(shí)，，
=＜0，＜＜0.6934．
所以的近似值為0.693．

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