資源簡介

平面向量的概念與運算
知識點一 平面向量的概念
1 向量的概念
既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的長度是向量的模，記作.
PS 平面向量在平面內是可以任意移動的.
2 常見向量的概念
名稱 定義 特點
零向量 長度為的向量 零向量的方向是任意的
單位向量 長度為一個單位長度的向量 與共線的單位向量是
相等向量 長度相等且方向相同的兩個向量 相等向量有傳遞性
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量，， 記作 零向量和任何向量平行
相反向量 長度相等方向相反的向量 的相反向量記作
PS
(1) 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
(2) 平行向量無傳遞性！(因為有；
(3) 因為平面向量在平面內是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點和終點，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.
圖一線段和在①中是，在②中是、共線；
(圖一)
圖二向量和對于向量來說共線與平行是同一概念，故①和②的情況是一樣.
(圖二)
知識點二 平面向量的運算
1 向量的加法
① 向量加法的三角形法則
已知向量非零向量在平面內取任意一點作，則向量叫做與的和，記作，即.(相當于”首尾相接”)
② 向量加法的平行四邊形法則
若， 則向量 叫做 與 的和，即；
作圖
(是平行四邊形)
2向量的減法
① 向量減法的幾何意義
已知向量在平面內任取一點，作，則，
即可以表示向量的終點指向向量的終點的向量.
② 一般地 , 我們有
當且僅當方向相同時等號成立.
③ 向量的加減法滿足交換律和結合律
④ 若
(1) 如圖一，若三點共線，則；
(2) 如圖二，若點和點在同側，則；
(3) 如圖三，若點和點在異側，則；
圖一 圖二 圖三
特殊的，在三角形中，點是的中點，則.
3 向量數乘運算
一般地，我們規定實數與向量 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作；
它的長度與方向規定如下：
(1)；
(2) 當時的方向與的方向相同；當時，的方向與方向相反；
4 兩個向量共線
共線定理 非零向量與向量共線有且只有一個實數，使得
當時的方向與的方向相同；
當時，的方向與方向相反；
當 時，.
【題型一】向量的相關概念
【典題1】給出下列命題
① 向量 與是共線向量，則四點必在一直線上；
② 若滿足且與同向，則；
③ 若 則；
④ 若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；
⑤ 若, 則；
⑥ 若∥∥，則∥.
其中正確命題數是哪些？
【題型二】共線定理
【典題1】點在直線上，且，若，則 .
【題型三】向量的加減法
【典題1】 若，則與的夾角為________.
【典題2】在中，，分別為邊，的中點，與交于點P，設，
，則 (　　)
A． B． C． D．
【典題3】點在的內部，且滿足，則的面積與的面積之比是 .
鞏固練習
1(★) 對下列命題：
若向量與同向，且，則；
若向量|，則與的長度相等且方向相同或相反；
對于任意向量，若與的方向相同，則；
由于方向不確定，故不與任意向量平行；
向量與平行，則向量與方向相同或相反．
其中正確的命題的個數為　 　.
2(★) 在中，，若點滿足，則＝______．(用、表示)
3(★★) 如圖，在中，是的中點，是上的一點，且，若，其中，則的值為______．
4(★★) 如圖，在中，，，和相交于點，則向量等于______．
5(★★★) 設是的重心，分別是角所對的邊，若，則的形狀是 ．
6(★★★) 已知點是內部一點，并且滿足的面積為，△ABC的面積為，則 ．
7(★★★) 在中，分別為中點，為線段上任意一點，實數滿足，設的面積分別為，記，則取得最大值時，的值為　　．
8(★★★) 已知是的重心，直線過點且與邊、分別交于點，，，則的值為　 　．
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9(★★★) 已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為　 　．21世紀教育網(www.21cnjy.com)平面向量的概念與運算
知識點一 平面向量的概念
1 向量的概念
既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的長度是向量的模，記作.
PS 平面向量在平面內是可以任意移動的.
2 常見向量的概念
名稱 定義 特點
零向量 長度為的向量 零向量的方向是任意的
單位向量 長度為一個單位長度的向量 與共線的單位向量是
相等向量 長度相等且方向相同的兩個向量 相等向量有傳遞性
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量，， 記作 零向量和任何向量平行
相反向量 長度相等方向相反的向量 的相反向量記作
PS
(1) 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
(2) 平行向量無傳遞性！(因為有；
(3) 因為平面向量在平面內是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點和終點，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.
圖一線段和在①中是，在②中是、共線；
(圖一)
圖二向量和對于向量來說共線與平行是同一概念，故①和②的情況是一樣.
(圖二)
知識點二 平面向量的運算
1 向量的加法
① 向量加法的三角形法則
已知向量非零向量在平面內取任意一點作，則向量叫做與的和，記作，即.(相當于”首尾相接”)
② 向量加法的平行四邊形法則
若， 則向量 叫做 與 的和，即；
作圖
(是平行四邊形)
2向量的減法
① 向量減法的幾何意義
已知向量在平面內任取一點，作，則，
即可以表示向量的終點指向向量的終點的向量.
② 一般地 , 我們有
當且僅當方向相同時等號成立.
③ 向量的加減法滿足交換律和結合律
④ 若
(1) 如圖一，若三點共線，則；
(2) 如圖二，若點和點在同側，則；
(3) 如圖三，若點和點在異側，則；
圖一 圖二 圖三
特殊的，在三角形中，點是的中點，則.
3 向量數乘運算
一般地，我們規定實數與向量 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作；
它的長度與方向規定如下：
(1)；
(2) 當時的方向與的方向相同；當時，的方向與方向相反；
4 兩個向量共線
共線定理 非零向量與向量共線有且只有一個實數，使得
當時的方向與的方向相同；
當時，的方向與方向相反；
當 時，.
【題型一】向量的相關概念
【典題1】給出下列命題
① 向量 與是共線向量，則四點必在一直線上；
② 若滿足且與同向，則；
③ 若 則；
④ 若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；
⑤ 若, 則；
⑥ 若∥∥，則∥.
其中正確命題數是哪些？
【解析】 對于①，對于向量來說，共線向量即是平行向量，所以向量 與是共線向量，
四點不一定在一直線上，①錯誤；
對于②，向量是有方向的量，不能比較大小，其模才能比較大小，故②錯誤；
對于③，若 則成立，故③對；
對于④，向量是可以平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；
對于⑤ 要還需要向量方向相同；
對于⑥ 當為零向量時不成立，零向量與任何向量都平行.
【點撥】
① 向量是可以平移的矢量，沒有固定的起點，共線向量即是平行向量 , 與線段、直線不一樣；
② 零向量與任何向量都平行，在判斷向量關系時要注意零向量的特殊情況.
【題型二】共線定理
【典題1】點在直線上，且，若，則 .
【解析】(點在直線上，注意分類討論)
(1)當點在線段上，如圖所示；
，所以；
若，則；
(2)當點在線段延長線上，如圖所示；
，所以；
若，則；
【點撥】體會下線段比與向量比之間的相互轉化，若，則或.
【題型三】向量的加減法
【典題1】 若，則與的夾角為________.
【解析】 構造平行四邊形分別對角線，因為，
所以平行四邊形的對角線相等，即是矩形，故與的的夾角為.
【典題2】在中，，分別為邊，的中點，與交于點P，設，
，則 (　　)
A． B． C． D．
【解析】 方法 首尾相接法
，其中
(利用平幾知識點求出)
如圖過點作
是中點，
即
.
方法 構造平行四邊形法
過點分別作則四邊形是平行四邊形，
則，
其中，
(問題化為線段比值問題)
由方法可得
，同理可得
.
方法3 中，分別為邊的中點，
．
三點共線，設，
三點共線，設，
，解得，
．故選：．
【點撥】
① 本題是用向量表示；
② 方法是利用三角形法則，“首尾相接法” , 思路是：先找到一個含的封閉圖形，比如則有，接著盡量向向量湊攏，得到后就只需要求出就行；
③ 方法是構造平行四邊形法：構造鄰邊在所在的直線上，為對角線的平行四邊形，再利用平行線成比例的性質與其他的幾何知識求解便可；
④ 方法是使用向量性質：在中，點在邊上，則存在，使得，其中.
【典題3】點在的內部，且滿足，則的面積與的面積之比是 .
【解析】如圖所示，作，以為鄰邊作平行四邊形，連接交于點.
滿足，
，
，
由可得，
(利用平行四邊形性質，注意圖象中的字型，字型)
，，
的面積與的面積之比是:．
(利用等高，三角形面積的比等于底的比， )
【點撥】
① 線段的比與向量之間的比可相互之間轉化，比如題目中由要求則只需要求向量與的倍數關系；
② 求解兩個三角形的面積之比，可利用兩個三角形等高，把問題轉化為求解邊長之比.
③ 類似題中已知條件是含三個向量的等式，可努力轉化為兩個向量的關系，這里利用了構造平行四邊形的手段.其實也可變形成，根據題目需求來便可.
鞏固練習
1(★) 對下列命題：
若向量與同向，且，則；
若向量|，則與的長度相等且方向相同或相反；
對于任意向量，若與的方向相同，則；
由于方向不確定，故不與任意向量平行；
向量與平行，則向量與方向相同或相反．
其中正確的命題的個數為　 　.
【答案】1
【解析】 (1)向量不能比較大小，故不正確；
(2)向量||=||，只能說長度相等，方向不定；故錯誤；
(3)由相等向量的定義可得其正確；
(4)錯誤，與任意向量平行；
(5)若其中一個是，其錯誤；
故真命題只有(3)即1個；
故答案為：1．
2(★) 在中，，若點滿足，則＝______．(用、表示)
【答案】
【解析】方法一 首尾相接法
方法二 （構造平行四邊形）
過作，作,易得是平行四邊形，且, (根據相似三角形性質),由向量的加法幾何意義，有
3(★★) 如圖，在中，是的中點，是上的一點，且，若，其中，則的值為______．
【答案】
【解析】因為，，
所以，，
又，
所以m，n，
故m+n，
4(★★) 如圖，在中，，，和相交于點，則向量等于______．
【答案】
【解析】設()=()，
∵(，
．
∵∥，∴，則(λ()．
∴，∴，，
∴．
5(★★★) 設是的重心，分別是角所對的邊，若，則的形狀是 ．
【答案】等邊三角形
【解析】∵G是△ABC的重心，，，，
又abc，
∴（a－b）（a－c）（b－c），
∴a－b=a－c=b－c，
∴a=b=c．
∴△ABC的形狀是等邊三角形．
6(★★★) 已知點是內部一點，并且滿足的面積為，△ABC的面積為，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示，延長OB到D使得BD=OB，延長OC到E使得CE=2OC，
∵滿足，
∴點O是△ADE的重心．
∴S△OAD=S△ODE=S△OAE．
S△OABS△OAD，S△OACS△OAE，S△OBCS△ODE．
∴S1S△ADE，S2=S△OAB+S△OAC+S△OBCS△ADE．
．
7(★★★) 在中，分別為中點，為線段上任意一點，實數滿足，設的面積分別為，記，則取得最大值時，的值為　　．
【答案】
【解析】如圖所示．∵點P在△ABC的中位線EF上，∴．
∴，即．
∴，當且僅當時取等號，此時S1S2取得最大值．
此時點P為線段EF的中點．
以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點O．
則，
化為．
∵，∴．
∴2x+3y．故答案為：．
8(★★★) 已知是的重心，直線過點且與邊、分別交于點，，，則的值為　 　．
【答案】3
【解析】如圖所示，
∵三點共線，∴存在實數三點，
∵，，∴．
∵是的重心，∴，，
（注 三角形的重心是三條中線的交點，到頂點距離為到對邊中點距離的2倍.）
∴．
∴，，
∴．
故答案為：3．
9(★★★) 已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為　 　．
【答案】
【解析】如圖，為單位圓，在上，，，
在的延長線上，，為中點，
為中點，在OB的延長線上，，
設，，為上一點，，
則，
∴△OCA′∽△OA″C，
，
同理，
2()=2()=2
22
∴2||||，
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