資源簡介

平面向量的基本定理及坐標表示
知識點一 平面向量的基本定理
1 平面向量的基本定理
設 ， 同一平面內的兩個不共線向量， 是該平面內任一向量，則存在唯一實數對，使 .
我們把，叫做表示這個平面內所有向量的一個基底.
如下圖，，其中，.
PS 唯一性的解釋
若不共線，且則
2 正交分解及其坐標表示
① 正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；
如上圖，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的壓力.
② 向量的坐標表示
在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量 為基底，則平面內的任一向量 可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示.
向量，就是以原點為起點，點為終點的向量.
知識點二 平面向量數乘運算與數量積的坐標表示
1 坐標運算
設，則
(1)向量的模
(2)向量的加減法運算 ，
(3)若，，則
(4)實數與向量的積
(5)數量積
(6)夾角余弦值
拓展 定比分點
線段的端點的坐標分別是，點是直線上的一點，
當時，點的坐標是.
2 平面向量位置關系
若 ，
.
【題型一】平面向量的基本定理的理解
【典題1】 如果，是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
【典題2】已知方程，其中是非零向量，且不共線，則該方程(　　)
A．至多有一個解 B．至少有一個解
C．至多有兩個解 D．可能有無數多個解
【題型二】平面向量的基本定理的運用
【典題1】已知在中，分別是邊上的點，且與相交于點記，用，表示的結果是(　　)
A． B． C． D．
【典題2】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若，求.
【典題3】 在直角梯形中，分別為的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，點在上運動(如圖)．若，其中，則的取值范圍是 .
鞏固練習
1(★) 下列各組向量中，可以作為基底的是(　　)
A． B．
C． D．
2 (★★)如圖，四邊形是正方形，延長至，使得．若動點從點出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中 ，下列判斷正確的是(　　)
A．滿足的點必為的中點 B．滿足的點有且只有一個
C．滿足的點P最多有3個 D．的最大值為
3 (★★) 如圖，在中，設的中點為的中點為的中點為，若，則對應的值為　 ．
4 (★★) 如圖，已知，，，，若， 　 ．
5(★★★) 在平面向量中有如下定理：設點為同一平面內的點，則三點共線的充要條件是：存在實數，使．試利用該定理解答下列問題：如圖，在中，點為邊的中點，點在邊上，且，交于點，設，則　 ．
6(★★★) 在梯形中，為線段上的動點(包括端點)，且，則的最小值為　 　．
7(★★★)如圖，正方形的邊長為分別為的動點，且，
設，則的最大值是　 ．
8(★★★) 如圖，在平面四邊形中，∠∠，∠，，點在線段上，且，若，則的值為　　 ．
【題型三】 向量位置關系
【典題1】 已知平面內三向量(，，，
(1)求滿足的實數；
(2)若，求實數的值；
(3)若，求實數的值．
【典題2】 設向量，其中 為坐標原點，，若 三點共線，則的最小值為 .
【典題3】 已知向量(2，1)，，若與夾角為鈍角，則的取值范圍是　　．
鞏固練習
1(★★) 已知兩個向量，則的最大值是(　　)
A．2 B． C．4 D．
2(★★) 已知點，則以為頂點的四邊形是(　　)
A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形
C．菱形 D．兩組對邊均不平行的四邊形
3(★★) 已知且點在的延長線上，，則點的坐標為　 ．
4(★★) 已知，，，則銳角等于　 ．
5 (★★)已知向量，，若，則實數　　．
6(★★) 在平面四邊形中，，，則四邊形的面積為　　．
【題型四】利用建系求解數量積
【典題1】如圖，在菱形中，，且為對角線上一點．
(1)求 ；
(2)若，求
(3)連結并延長，交于點，連結，設．當為何值時，可使最小，并求出的最小值．
鞏固練習
1(★) 已知向量，1)，，若向量的夾角為銳角，則實數的取值范圍為　 　．
2 (★★) 如圖所示，在梯形中，∠，點為的中點，則　 　．
3 (★★)在平直角坐標系中，，點在線段上運動，則的取值范圍為　 ．
4 (★★) 如圖，菱形的邊長為，對角線，邊上點與的延長線上點滿足，則向量的值是　 　．
5 (★★★) 是邊長為的正方形邊界或內部一點，且，則的最大值是　 　．
6 (★★★) 如圖，圓是邊長為的正方形的內切圓，是圓的內接正三角形，若繞著圓心旋轉，則的最大值是　 　．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)平面向量的基本定理及坐標表示
知識點一 平面向量的基本定理
1 平面向量的基本定理
設 ， 同一平面內的兩個不共線向量， 是該平面內任一向量，則存在唯一實數對，使 .
我們把，叫做表示這個平面內所有向量的一個基底.
如下圖，，其中，.
PS 唯一性的解釋
若不共線，且則
2 正交分解及其坐標表示
① 正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；
如上圖，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的壓力.
② 向量的坐標表示
在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量 為基底，則平面內的任一向量 可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示.
向量，就是以原點為起點，點為終點的向量.
知識點二 平面向量數乘運算與數量積的坐標表示
1 坐標運算
設，則
(1)向量的模
(2)向量的加減法運算 ，
(3)若，，則
(4)實數與向量的積
(5)數量積
(6)夾角余弦值
拓展 定比分點
線段的端點的坐標分別是，點是直線上的一點，
當時，點的坐標是.
2 平面向量位置關系
若 ，
.
【題型一】平面向量的基本定理的理解
【典題1】 如果，是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
【解析】 ，是平面內一組不共線的向量，作為基底的向量，前提為不共線向量，
所以對于選項都為不共線向量，選項 和為共線向量．
故選 ．
【典題2】已知方程，其中是非零向量，且不共線，則該方程(　　)
A．至多有一個解 B．至少有一個解
C．至多有兩個解 D．可能有無數多個解
，，
不共線，故存在唯一一對實數使，
若滿足，則方程有一個解；不滿足，則方程無解；
所以至多一個解，故選 ．
【點撥】本題考核對平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解.
【題型二】平面向量的基本定理的運用
【典題1】已知在中，分別是邊上的點，且與相交于點記，用，表示的結果是(　　)
A． B． C． D．
【解析】 由題意，可知，
設，
則有
①
又設，
則有
②
通過比較①②，可得關于的二元一次方程組：，
解此二元一次方程組，得，
將結果帶入①式，可得：，故選：．
【點撥】
① 這里給到的方法是以不共線向量為基底，通過兩個方式得到向量的表達式，即，再由平面向量的基本定理求出.
② 本題方法很多也可以用平行四邊形法則求解.
【典題2】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若，求.
【解析】以所在直線為軸，以為原點建立平面直角坐標系(如圖)．
令，則 ，
過作交的延長線為，由已知得故
則 ，則
，
即有.
【點撥】
① 本題也可以用平行四邊形法則求解；
② 這里講解的方法是建系法，常見步驟如下
(1) 找到合適的方式(一般是利用題中垂直關系等)建系；
(2) 通過一些幾何的知識點求出線段的長度，進而得到關鍵點的坐標；
(3) 關鍵向量用坐標形式表示，比如本題中的等；
(4) 得到方程組求解(其實就是利用平面向量的基本定理的唯一性).
③ 當根據題意發現容易建系(比如有明顯的垂直關系等)，可考慮建系法，它充分體現了“解析幾何的優勢”.
【典題3】 在直角梯形中，分別為的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，點在上運動(如圖)．若，其中，則的取值范圍是 .
【解析】 建立如圖所示的坐標系，
則，，，，，，
，(因為在單位圓上，為)
由得

即的取值范圍是．
【點撥】 利用建系法求解，點在單位圓上，巧妙的設為，引入參數，此處要注意，則是的函數，求最值不難了.
鞏固練習
1(★) 下列各組向量中，可以作為基底的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 只要兩向量不共線即可作為基底，
A．，∴共線，不能作為基底；
B．，∴不共線，可以作為基底；
C．，∴，∴不能作為基底；
D．，∴，∴不能作為基底．
故選 B．
2 (★★)如圖，四邊形是正方形，延長至，使得．若動點從點出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中 ，下列判斷正確的是(　　)
A．滿足的點必為的中點 B．滿足的點有且只有一個
C．滿足的點P最多有3個 D．的最大值為
【答案】D
【解析】以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
設正方形邊長為1，P(x，y)，則A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)；
∴；
∴由得，(x，y)=(λ－μ，μ)；
∴；
∴滿足λ+μ=2的點P有線段BC的中點和D點；
滿足λ+μ=1的點P有B點和線段AD的中點；
滿足λ+μ=a(a>0)的點最多有2個；x=1，y=1時，λ+μ取最大值3．故選 D．
3 (★★) 如圖，在中，設的中點為的中點為的中點為，若，則對應的值為　 ．
【答案】，
【解析】根據條件，；
；
∴，，；
∵；
∴；
∴；解得．
4 (★★) 如圖，已知，，，，若， 　 ．
【答案】3
【解析】建立如圖所以坐標系，根據條件不妨設A(1，0)，B(，)，C(，)，
則，)=x(1，0)+y(，)，所以，解得x=2，y=1，所以x+y=3，
5(★★★) 在平面向量中有如下定理：設點為同一平面內的點，則三點共線的充要條件是：存在實數，使．試利用該定理解答下列問題：如圖，在中，點為邊的中點，點在邊上，且，交于點，設，則　 ．
【答案】
【解析】如圖，E，M，C三點共線，∴存在實數λ，使，
∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴，又；
∴，∴①；
同樣，B，M，F三點共線，所以存在μ，使，
∵E為AB邊的中點，∴AB=2AE，
∴；
∴，∴，
∴聯立①可得：x，，∴．
6(★★★) 在梯形中，為線段上的動點(包括端點)，且，則的最小值為　 　．
【答案】
【解析】由題，梯形ABCD中，，，
P為線段DE上的動點(包括端點)，
設
，
∵，
∴(1－t)．
又∵(λ，μ∈R)，∴，
∴λ2+μ，
∴當t時，λ2+μ的最小值為．
7(★★★)如圖，正方形的邊長為分別為的動點，且，
設，則的最大值是　 ．
【答案】
【解析】建立如圖所示的直角坐標系，并設邊長為1，|CF|=a，
則A(0，0)，C(1，1)，E(1，2a)，F(1－a，1)，
故，
又，
∴，則，∴，
令，
則，當且僅當“”時取等號．
故答案為 ．
8(★★★) 如圖，在平面四邊形中，∠∠，∠，，點在線段上，且，若，則的值為　　 ．
【答案】
【解析】如圖建立直角坐標系 設AB=BC=t，
則A(－t，0)，C(0，t)，
點E在線段BC上，且3，所以E(0，)，
因為在Rt△ADC中，AC，∠ACD=30°，所以AD，
由題知Rt△ABC，是等腰三角形．所以∠DAF=45°，所以DF=AF，D(－(1)t，)，
(t，t)，，)，(t，)，
若λμ(λ，μ∈R)，
則(t，t)=λ(，)+μ(t，)，，解得，，所以．
故答案為 ．
【題型三】 向量位置關系
【典題1】 已知平面內三向量(，，，
(1)求滿足的實數；
(2)若，求實數的值；
(3)若，求實數的值．
【解析】 ，
，解得．
．
∥，，解得．
⊥，由可得．
．
【典題2】 設向量，其中 為坐標原點，，若 三點共線，則的最小值為 .
【解析】 ．
三點共線，，化為．
則，
當且僅當時取等號．
【點撥】三點共線，即.
【典題3】 已知向量(2，1)，，若與夾角為鈍角，則的取值范圍是　　．
【解析】 向量，，
若與夾角為鈍角，則， (注意排除共線的情況)
即，解得且，
的取值范圍是．
【點撥】由數量積可知
與夾角為鈍角與夾角為銳角.
鞏固練習
1(★★) 已知兩個向量，則的最大值是(　　)
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】 ∵向量，
，
，
當時，取“=”，
∴的最大值為4．
故選 C．
2(★★) 已知點，則以為頂點的四邊形是(　　)
A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形
C．菱形 D．兩組對邊均不平行的四邊形
【答案】B
【解析】∵(－4，3)，(－4，3)，(8，0)，
∴，可得AB、DC平行且相等，
可得四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵||5，||=8，
∴||≠||
由此可得四邊形ABCD是鄰邊不等的平行四邊形
故選 B．
3(★★) 已知且點在的延長線上，，則點的坐標為　 ．
【答案】(－2，11)
【解析】∵點P在線段P1P2的延長線上，且，∴2
∵P1(2，－1)，P2(0，5)
設P點(x，y)，
∴(x－2，y+1)，(－x，5－y)
∴∴x=－2，y=11
∴P點的坐標為(－2，11)．
故答案為 (－2，11)
4(★★) 已知，，，則銳角等于　 ．
【答案】45°
【解析】 由題意可得 ，
再由 可得，
化簡可得 ，，∴銳角等于45°，
5 (★★)已知向量，，若，則實數　　．
【答案】
【解析】∵向量(1，0)，(0，1)，
∴k(k，1)，3(3，－1)，
又(k)⊥(3)，∴3k－1=0，解得k，
故答案為 ．
6(★★) 在平面四邊形中，，，則四邊形的面積為　　．
【答案】15
【解析】在平面四邊形ABCD中，(1，3)，(－9，3)，
∵0，∴⊥．
∴||，||3，
∴四邊形ABCD的面積為 315，
【題型四】利用建系求解數量積
【典題1】如圖，在菱形中，，且為對角線上一點．
(1)求 ；
(2)若，求
(3)連結并延長，交于點，連結，設．當為何值時，可使最小，并求出的最小值．
【解析】．
，，
．
(3)以所在直線為軸，以為原點建立平面直角坐標系，
則．(點的坐標已求，故要出點坐標是關鍵)
，
由圖易得，可得
，則
，
當時，最小，最小值是．
【點撥】求數量積方法多樣
① 直接利用數量積的定義比如第一問求；
② 把數量積中的向量轉化為”信息量大”的向量，進而求解，比如第二問求，轉化為向量的關系；
③ 建系法，利用幾何的知識點求出關鍵點坐標，從而數量積問題轉化為代數問題，比如第三問求，因為易得的坐標，只要求出點的坐標，就可以把數量積轉化為含的式子，最值就易求了！
鞏固練習
1(★) 已知向量，1)，，若向量的夾角為銳角，則實數的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】 因為，，所以．
因為向量，的夾角為銳角，所以有，解得．
又當向量，共線時，，
所以，實數m的取值范圍為．
2 (★★) 如圖所示，在梯形中，∠，點為的中點，則　 　．
【答案】－2
【解析】以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建系，C(2，0)，，B(0，0)，，
∴，，所以．
故答案為：－2．
3 (★★)在平直角坐標系中，，點在線段上運動，則的取值范圍為　 ．
【答案】[，4]
【解析】由題意可知，線段AB滿足，x∈[0，1]，
設P(x，y)，所以y=2(1－x)，
則 (x，y) (x－1，y)=x2－x+y2=x2－x+4x2－8x+4
=5x2－9x+4，二次函數的對稱軸為x∈[0，1]，
所以5x2－9x+4在[0，1]是的最大值為：f(0)=4，
最小值為：f()=5()2－94．
所以 的取值范圍為：[，4]．
故答案為：[，4]．
4 (★★) 如圖，菱形的邊長為，對角線，邊上點與的延長線上點滿足，則向量的值是　 　．
【答案】
【解析】取AC的中點O，以點O為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：
A(－2，0)，D(0，1)，，
∴，∴．
故答案為：．
5 (★★★) 是邊長為的正方形邊界或內部一點，且，則的最大值是　 　．
【答案】5
【解析】建立如圖所示坐標系；
則A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，2)；
設P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2；
取BC的中點為E，則E(1，0)
∵，則2；
則 ) ()=() ( (222+12－[(x－1)2+y2]=5－[(x－1)2+y2]；
故當x=1，y=0時 取最大值5；
故答案為：5．
6 (★★★) 如圖，圓是邊長為的正方形的內切圓，是圓的內接正三角形，若繞著圓心旋轉，則的最大值是　 　．
【答案】
【解析】分別過點O作直線l⊥AB，直線m⊥BC，
以點O為坐標原點，直線m，l在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系．
則A(－1，1)，O(0，0)，設點R(cosθ，sinθ)，
則點，，
，
所以
．
因此，的最大值為．
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