資源簡介

平面向量的數量積
數量積的概念
1 概念
如果兩個非零向量 ，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作:，即規定：零向量與任一向量的數量積是.
PS 數量積是一個實數，不再是一個向量.
2 投影
向量在向量上的投影：，它是一個實數，但不一定大于.
3 運算法則
對于向量 和實數，有
(1) (2) (3) (
但是 不一定成立.
(當向量，不共線時，向量與向量肯定不共線，那怎么可能相等呢)
即向量的數量積滿足交換律，分配率，但不滿足結合律.
【題型一】求數量積
【典題1】 已知向量滿足，且，則 　 ?。?br/>【典題2】 在三角形中，若為邊的三等分點，則　 ?。?br/>【題型二】 求向量夾角
【典題1】 已知向量滿足，，，那么向量與的夾角為　 　．
【典題2】 已知向量滿足，，則與的夾角的最大值為　 ?。?br/>【題型三】 求數量積最值
【典題1】 如圖，已知等腰梯形中，是的中點，是線段上的動點，則的最小值是　　.
【典題2】如圖，已知矩形的邊長．點分別在邊上，且，則的最小值為　 　．
【典題3】 已知向量滿足，與所成的角為，則當時，的最小值是　?。?br/>鞏固練習
1(★) 已知向量，滿足，且，則 .
2(★★) 已知非零向量，滿足，若，則實數的值為 .
3(★★) 已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為 .
4(★★) 如圖，在梯形中，，則 .
5(★★)已知中，點在線段上，，且．若，則 .
6(★★★) 設是的垂心，且，則的值為 .
7(★★★)已知為所在平面內的一點，，，若點在線段上運動，則的最小值為 .
8(★★★) 已知非零向量滿足：0且不等式恒立，則實數的最大值為 .
9(★★★) 已知平面向量，對任意實數都有，成立．若，則()的最大值是 .
10(★★★) 設為兩個非零向量的夾角，已知對任意實數，的最小值為，則(　　)
A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)平面向量的數量積
1 概念
如果兩個非零向量 ，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作:，即規定：零向量與任一向量的數量積是.
PS 數量積是一個實數，不再是一個向量.
2 投影
向量在向量上的投影：，它是一個實數，但不一定大于.
3 運算法則
對于向量 和實數，有
(1) (2) (3) (
但是 不一定成立.
(當向量，不共線時，向量與向量肯定不共線，那怎么可能相等呢)
即向量的數量積滿足交換律，分配率，但不滿足結合律.
【題型一】求數量積
【典題1】 已知向量滿足，且，則 　 ?。?br/>【解析】因為|，即有，
所以，則，所以．
【點撥】① 由數量積的定義可知
② 題目中遇到類似||可嘗試利用性質達到去掉絕對值的目的.
【典題2】 在三角形中，若為邊的三等分點，則　 ?。?br/>【解析】 若，
則，即有0，
．
為邊的三等分點，
則
(利用首尾相接法把向量向、靠攏)
．
【點撥】
① 已知條件利用性質可得到，其實也可以通過平行四邊形法則和三角形法則得到的；
② 求數量積第一個想法用數量積公式但是發現題目已知條件中很難求解.又因為0，又知道的長度，故想到把轉化為用表示.
③ 在求數量積的時候，直接用公式很難求解，都盡量向“信息量大”的向量靠攏.
【題型二】 求向量夾角
【典題1】 已知向量滿足，，，那么向量與的夾角為　 ?。?br/>【解析】，
，
，
，且，
與的夾角為．
【典題2】 已知向量滿足，，則與的夾角的最大值為　 ?。?br/>【解析】，
，
，
，且，
時，的夾角最大為．
【題型三】 求數量積最值
【典題1】 如圖，已知等腰梯形中，是的中點，是線段上的動點，則的最小值是　　.
【解析】由等腰梯形的知識可知，
設，則，
，
當時，取得最小值，最小值為．
【典題2】如圖，已知矩形的邊長．點分別在邊上，且，則的最小值為　 ?。?br/>【解析】設∠，則∠，
，
，
當且僅當，
時取，當時，點恰在邊上，恰邊上，滿足條件，
綜上所述，的最小值為，
故答案為：．
【典題3】 已知向量滿足，與所成的角為，則當時，的最小值是　?。?br/>【解析】
，
又與所成的角為120°，，
(此時由平行四邊形法則和三角形法則構造出一個平行四邊形)
，
，
與共線，，設，
則(是直線上的動點)，
(其實由性質“若則點在直線上”很容易知道：直線上的存在一動點使得)
所以當垂直于時，最小，為.
【點撥】① 題中遇到類似的等式，很容易想到移項，再利用平行四邊形法則進行構造圖形求解；
② 本題中求|的最小值，那我們根據平行四邊形法則找到向量確定出
|的幾何意義從而求解成功.
鞏固練習
1(★) 已知向量，滿足，且，則 .
【答案】2
【解析】因為||=||，即有||2=||2，
所以2+222，則22=－4，
所以2，
2(★★) 已知非零向量，滿足，若，則實數的值為 .
【答案】
【解析】∵已知非零向量，滿足||||，cos，，
若(m4，
∴(m4) m4m || || 40，
求得，
3(★★) 已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為 .
【答案】30°
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴時，的夾角最大為30°．
4(★★) 如圖，在梯形中，，則 .
【答案】
【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，，
∴) ()=() (
3，
∴3242 3，
則；
5(★★) 已知中，點在線段上，，且．若，則 .
【答案】27
【解析】以CM為對角線作平行四邊形CPMQ，
∵CM平分∠ACB，∴四邊形XPMQ是菱形，
又CM=6，∠BCM=30°，
∴CP=CQ=2，
∴22cos60°=6，
∵λ，即λ，且A，M，B三點共線，
∴λ，
又，
∴，3，
∴) (3)
=33×12126=27．
6(★★★) 設是的垂心，且，則的值為 .
【答案】
【解析】由三角形垂心性質可得，，
不妨設x，
∵345，
∴，
∴，同理可求得，
∴．
7(★★★)已知為所在平面內的一點，，，若點在線段上運動，則的最小值為 .
【答案】－12
【解析】由題意，畫圖如下，
根據題意及圖，可知，，
∵2，∴2()，
整理，得23，
則 3=－3|| ||=－3|| (4－||)=3(||2－4||)，
設||=m，很明顯m∈[0，4]，
故=3(||2－4||)=3(m2－4m)=3(m－2)2－12，
根據二次函數的性質，可知：
當m=2時，取得最小值為－12．
8(★★★) 已知非零向量滿足：0且不等式恒立，則實數的最大值為 .
【答案】4
【解析】∵
，
∴，
∴，
∴，
又恒成立，
∴λ≤4，
∴λ的最大值為4．
9(★★★) 已知平面向量，對任意實數都有，成立．若，則()的最大值是 .
【答案】
【解析】如圖，
設，，，
若對任意實數x，y都有|x|≥||，|y|≥||成立，
則B，C在以MA為直徑的圓上，過O作OD∥AC，交MC于E，交圓于D，
在OD上的射影最長為|ED|，
(|DE| |AC|．
設∠AMC=θ，則|AC|=2sinθ，|OE|=sinθ，
|DE|=1－|OE|=1－sinθ，
∴ ()=2sinθ(1－sinθ)=－2sin2θ+2sinθ，
則當sinθ時， ()有最大值為．
10(★★★) 設為兩個非零向量的夾角，已知對任意實數，的最小值為，則(　　)
A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定
【答案】A
【解析】令f(t)22tt2；
∴△=4( )2－4 4 (cosθ－1)≤0恒成立，
當且僅當tcosθ時，f(t)取得最小值2，
∴(cosθ)22(cosθ) 2，
化簡 sin2θ=2．
∴θ確定，則||唯一確定
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