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平面向量的應用
1 平面幾何中的向量方法
① 由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.
② 用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”
建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
把運算結果“翻譯”成幾何關系.
Eg 點不在同一直線上
證明直線平行或共線：
證明直線垂直：
求線段比值：且
證明線段相等：
2 向量在物理中的應用
① 速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；
② 力的合成與分解符合平行四邊形法則.
【題型一】平面向量在幾何中的應用
【典題1】證明:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【典題2】 已知平行四邊形的對角線為，求證 (即對角線的平方和等于鄰邊平方和的倍).
【典題3】 用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.
【典題4】證明三角形三條中線交于一點.
鞏固練習
1(★★) 如圖，分別是四邊形的邊，的中點，，，，，則線段的長是　　．
2(★★) 證明勾股定理，在中，，則
3(★★) 用向量方法證明 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
4(★★)用向量方法證明 設平面上四點滿足條件，則．
5(★★)用向量方法證明 對角線相等的平行四邊形是矩形.
6(★★★) 已知向量、、滿足0，||=||=||=1．求證 △P1P2P3是正三角形．
【題型二】平面向量在物理中的應用
【典題1】 如圖，已知河水自西向東流速為，設某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為．
(1)若此人朝正南方向游去，且，求他實際前進方向與水流方向的夾角和的大小；
(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且，求他游泳的方向與水流方向的夾角和的大小．
【典題2】 在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，且，與的夾角為θ．給出以下結論
①越大越費力，越小越省力； ②的范圍為；
③當時，； ④當時，．
其中正確結論的序號是　 　．
【典題3】 如圖，重為的勻質球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端鎖定并能轉動，端用水平繩索拉住，板長，與墻夾角為，如果不計木板的重量，則為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？
鞏固練習
1(★★) 一條漁船以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，則這條漁船實際航行的速度大小為　 　．
2(★★) 如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是，且與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為　 　．
3(★★) 已知一艘船以的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成角，求水流速度和船實際速度．
4 (★★)一個物體受到同一平面內三個力的作用，沿北偏東的方向移動了．已知，方向為北偏東；，方向為東偏北30°；，方向為西偏北60°，求這三個力的合力所做的功．
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1 平面幾何中的向量方法
① 由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.
② 用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”
建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
把運算結果“翻譯”成幾何關系.
Eg 點不在同一直線上
證明直線平行或共線：
證明直線垂直：
求線段比值：且
證明線段相等：
2 向量在物理中的應用
① 速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；
② 力的合成與分解符合平行四邊形法則.
【題型一】平面向量在幾何中的應用
【典題1】證明:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【證明】 設四邊形的對角線交于點，且
，即且
所以四邊形是平行四邊形
即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
【點撥】
① 證明四邊形是平行四邊形且.
② 證明幾何中的平行和長度關系可以轉化為向量的倍數關系.
【典題2】 已知平行四邊形的對角線為，求證 (即對角線的平方和等于鄰邊平方和的倍).
【證明】由
兩式相加得
即
【點撥】利用可證明線段長度關系.
【典題3】 用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.
【證明】(分析 設是高線的交點，再證明，則三條高線就交于一點.)
設是高線的交點，
則有
化簡得
則
(向量中證明只需要證明)
所以三角形三條高線交于一點.
【典題4】證明三角形三條中線交于一點.
【證明】(分析 設、交于，證明三點共線便可)
是三角形的三條中線
設交于點，
點是中點，
連接，易證明,且相似比是，
,
即三點共線，
(向量中證明三點共線，只需證明)
交于一點，
即三角形三條中線交于一點.
鞏固練習
1(★★) 如圖，分別是四邊形的邊，的中點，，，，，則線段的長是　　．
【答案】
【解析】 由圖象，得，．
∵E，F分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，
∴．
∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴，
∴
．
∴EF的長為 ．
故答案為 ．
2(★★) 證明勾股定理，在中，，則
【證明】 由，得
即
故
3(★★) 用向量方法證明 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
【證明】如圖平行四邊形，
四邊形是菱形.
4(★★)用向量方法證明 設平面上四點滿足條件，則．
【證明】 因AD⊥BC，所以，
因BD⊥AC，所以，
于是，，
所以，，
即，所以，即AB⊥CD．
5(★★)用向量方法證明 對角線相等的平行四邊形是矩形.
【證明】如圖，平行四邊形對角線交于點,
設，對角線相等
即
四邊形是矩形.
6(★★★) 已知向量、、滿足0，||=||=||=1．求證 △P1P2P3是正三角形．
【證明】法一 ∵0，∴．∴||=||．
∴||2+||2+2 ||2．
又∵||=||=||=1，∴ ．
∴||||cos∠P1OP2，即∠P1OP2=120°．
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．
∴△P1P2P3為等邊三角形．
法二 以O點為坐標原點建立直角坐標系，設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
則(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．
由0，
得∴，
由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴||
同理||，||
∴△P1P2P3為正三角形
【題型二】平面向量在物理中的應用
【典題1】 如圖，已知河水自西向東流速為，設某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為．
(1)若此人朝正南方向游去，且，求他實際前進方向與水流方向的夾角和的大小；
(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且，求他游泳的方向與水流方向的夾角和的大小．
【解析】如圖，設，
則由題意知，，
根據向量加法的平行四邊形法則得四邊形為平行四邊形．
(1)由此人朝正南方向游去得四邊形為矩形，且，如下圖所示，
則在直角中，，
，又，所以；
(2)由題意知，且，如下圖所示，
則在直角△OBC中，，，
又，所以，
則，
答 (1)他實際前進方向與水流方向的夾角為的大小為；
(2)他游泳的方向與水流方向的夾角為的大小為．
【點撥】注意平行四邊形法則的使用！
【典題2】 在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，且，與的夾角為θ．給出以下結論
①越大越費力，越小越省力； ②的范圍為；
③當時，； ④當時，．
其中正確結論的序號是　 　．
【解析】 對于①，由為定值，
所以，
解得；
由題意知時，單調遞減，所以單調遞增，
即越大越費力，越小越省力；①正確．
對于②，由題意知，的取值范圍是，所以②錯誤．
對于③，當時，，所以，③錯誤．
對于④，當時，，所以，④正確．
綜上知，正確結論的序號是①④．
故答案為 ①④．
【典題3】 如圖，重為的勻質球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端鎖定并能轉動，端用水平繩索拉住，板長，與墻夾角為，如果不計木板的重量，則為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？
【解析】 如圖，設木板對球的支持力為，則，
設繩子的拉力為．又，
由動力矩等于阻力矩得，
，
當且僅當 即，亦即時，有最小值．
鞏固練習
1(★★) 一條漁船以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，則這條漁船實際航行的速度大小為　 　．
【答案】2
【解析】如圖所示，漁船實際航行的速度為；
大小為||=|| =2．
2(★★) 如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是，且與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為　 　．
【答案】20
【解析】如圖，∵，
∴，
∴物體的重力大小為20．
故答案為 20．
3(★★) 已知一艘船以的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成角，求水流速度和船實際速度．
【答案】5
【解析】如圖，設表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，||=||=5，
∴10，5．
故船實際航行速度的大小為，水流速度5．
4 (★★)一個物體受到同一平面內三個力的作用，沿北偏東的方向移動了．已知，方向為北偏東；，方向為東偏北30°；，方向為西偏北60°，求這三個力的合力所做的功．
【答案】24 J
【解析】 以三個力的作用點為原點，正東方向為x軸正半軸，建立直角坐標系．
則由已知可得(1，)，(2，2)，(﹣3，3)．
∴(22，42)．
又位移(4，4)．
∴ (22)×4(42)×424(J)．
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