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余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圓半徑)
② 變形
化邊為角
化角為邊
③ 正弦定理的“齊次角邊互換”
等式中含有三個式子(、、)，每個式子中都有一個值，并且它們的次數(shù)都是，則可以把直接轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊、！
同理.
思考以下轉(zhuǎn)化是否正確
(1) (錯)，
(2) (對)
④ 利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；
Eg 在，內(nèi)角所對的邊分別是，，，，，，則邊 .
(2) 已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.
Eg在，內(nèi)角所對的邊分別是，，則角 .
(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)
⑤ 三角形解的個數(shù)問題
已知兩邊和其中一邊的對角，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.
是銳角 是直角或鈍角
一解 無解 一解 兩解 一解 無解
Eg 求滿足的三角形△ABC個數(shù).
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，則，
，且為銳角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 圖像法
先做出角過點作此時可知，以為圓心，5為半徑畫個圓弧，由于，顯然圓弧與射線交于一個點，如圖可知滿足題意的三角形只有一個！
2 面積公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 變形
③ 利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知三邊，可求三個角；
Eg 在中，若，則角 .
(2) 已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.
Eg 在中，，則 .(角為兩邊的夾角)
在中，3，則邊 . (角不為兩邊的夾角)
④ 三角形類型的判斷
；
；
.
⑤ 射影定理

【題型一】正弦定理、余弦定理解單個三角形
【典題1】在中，角的對邊分別是，若，且三角形有兩解，則角的取值范圍是 .
【典題2】在中，角的對邊分別是，且面積為，若，，則角等于 .
【典題3】 的內(nèi)角的對邊分別為，若，，且，則下列選項不一定成立的是(　　)
A． B．的周長為
C．的面積為 D．的外接圓半徑為
鞏固練習(xí)
1(★) 在中，，，，則角的值為　 ．
2(★) 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，，3，則值為　 ．
3(★) 在中，若，則的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和為　 ．
4(★)【多選題】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的是(　　)
A． B．
C． D．
5(★★) 【多選題】下列命題中，正確的是(　　)
A．在中，，則
B．在銳角中，不等式恒成立
C．在中，若，則必是等腰直角三角形
D．在中，若，，則必是等邊三角形
6(★★) 【多選題】在中，已知，給出下列結(jié)論中正確結(jié)論是(　　)
A．由已知條件，這個三角形被唯一確定 B．一定是鈍三角形
C． D．若，則的面積是
7(★★) 在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且，則　 　；的面積　 ．
8(★★★) 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．且．
(1)求； (2)若的面積為，周長為8，求
【題型二】多個三角形問題
【典題1】 在中，是邊上一點，，，，
則　 　．
【典題2】 在平面四邊形中，，，則的取值范圍是　 　．
【典題3】 如圖，等腰直角三角形中，，，點為內(nèi)一點，
且，．
求； 求．
鞏固練習(xí)
1(★★) 已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，的面積為，邊上的中線長為，則的周長為　 　．
2(★★) 在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知，，．則的中線的長為　　．
3(★★) 已知中，，，為線段上一點，，，則　　，的面積是　　．
4(★★★) 在中，，是邊上一點，且滿足，若，
則　　．
5(★★★) 已知圓內(nèi)接四邊形，其中，，，，則 ．
6(★★★) 如圖，在梯形中，，，為上一點，，．
(1)若為等腰三角形，求；(2)設(shè)，若，求．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圓半徑)
② 變形
化邊為角
化角為邊
③ 正弦定理的“齊次角邊互換”
等式中含有三個式子(、、)，每個式子中都有一個值，并且它們的次數(shù)都是，則可以把直接轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊、！
同理.
思考以下轉(zhuǎn)化是否正確
(1) (錯)，
(2) (對)
④ 利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；
Eg 在，內(nèi)角所對的邊分別是，，，，，，則邊 .
(2) 已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.
Eg在，內(nèi)角所對的邊分別是，，則角 .
(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)
⑤ 三角形解的個數(shù)問題
已知兩邊和其中一邊的對角，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.
是銳角 是直角或鈍角
一解 無解 一解 兩解 一解 無解
Eg 求滿足的三角形△ABC個數(shù).
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，則，
，且為銳角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 圖像法
先做出角過點作此時可知，以為圓心，5為半徑畫個圓弧，由于，顯然圓弧與射線交于一個點，如圖可知滿足題意的三角形只有一個！
2 面積公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 變形
③ 利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知三邊，可求三個角；
Eg 在中，若，則角 .
(2) 已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.
Eg 在中，，則 .(角為兩邊的夾角)
在中，3，則邊 . (角不為兩邊的夾角)
④ 三角形類型的判斷
；
；
.
⑤ 射影定理

【題型一】正弦定理、余弦定理解單個三角形
【典題1】在中，角的對邊分別是，若，且三角形有兩解，則角的取值范圍是 .
【解析】方法 ，，為銳角，
，
.
方法 幾何法
如圖，，以為圓心為半徑作，則上任一點(與直線交點除外)可為點構(gòu)成，當(dāng)AB與相切時，，∠；當(dāng)與相交時，，因為三角形有兩解，所以直線與應(yīng)相交，.
【點撥】方法二想法與用(三角形有個解可得)這個結(jié)論一致的，但不太贊成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去套結(jié)論解題，應(yīng)理解結(jié)論的推導(dǎo)方法.
【典題2】在中，角的對邊分別是，且面積為，若，，則角等于 .
【解析】方法1 ，
由正弦定理可得，(把邊化為角)
即，()
，，故，
，，
，，
．
方法2
由余弦定理可得 (把角化邊)
化簡得 ，
接著同方法
【點撥】
① 對于一有角有邊的等式，可利用正弦定理或余弦定理化簡為只含角或只含邊的等式；
② 在三角形中.
【典題3】 的內(nèi)角的對邊分別為，若，，且，則下列選項不一定成立的是(　　)
A． B．的周長為
C．的面積為 D．的外接圓半徑為
【解析】 ，
，化簡得，
或，
(1)當(dāng)，時，由得，
，，；
(2)當(dāng)時，由正弦定理得，
，由余弦定理得，
則，解得，則，
此時滿足，即，
對于，當(dāng)時，，故錯誤；
對于，當(dāng)或時，的周長為，故正確；
對于C，當(dāng)時，的面積，
當(dāng)時，，故正確；
對于，當(dāng)或B時，由正弦定理得，得，故正確，
綜上可得，命題正確的，錯誤的為.故選：．
鞏固練習(xí)
1(★) 在中，，，，則角的值為　 ．
【答案】
【解析】由正弦定理可得，，
故，即，
因為，故，且為三角形內(nèi)角，
故．
2(★) 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，，3，則值為　 ．
【答案】或，
【解析】由余弦定理可得，
即，即，解得或，
3(★) 在中，若，則的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和為　 ．
【答案】
【解析】因為，由正弦定理可得，
設(shè)，三角形中由大邊對大角可得角最大，角最小，
由余弦定理可得，因為，
所以，所以.
4(★)【多選題】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】對于，：，，，是鈍角三角形，只有一解；
對于，，，，由正弦定理得，解得，
又，且，所以有個值，三角形有兩解；
對于，，，，由正弦定理得，解得，
由，所以，所以，三角形只有一解；
對于，2，，，由正弦定理得，解得，
又，所以，所以有兩個值，三角形有兩解．
故選：BD．
5(★★) 【多選題】下列命題中，正確的是(　　)
A．在中，，則
B．在銳角中，不等式恒成立
C．在中，若，則必是等腰直角三角形
D．在中，若，，則必是等邊三角形
【答案】ABD
【解析】對于A，由，可得：，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正確；
對于B，在銳角中，，
，
因此不等式恒成立，正確
對于C，在中，由，利用正弦定理可得：，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤．
對于D，由于，
由余弦定理可得：，可得，
解得，可得，故正確．
故選：ABD．
6(★★) 【多選題】在中，已知，給出下列結(jié)論中正確結(jié)論是(　　)
A．由已知條件，這個三角形被唯一確定 B．一定是鈍三角形
C． D．若，則的面積是
【答案】BC
【解析】
∴設(shè)，
得，
則，
則，故C正確，
由于三角形的邊長不確定，則三角形不確定，故錯誤，
，則是鈍角，
即是鈍角三角形，故B正確，
若，則，
則，即，
的面積．故D錯誤，
故選：BC．
7(★★) 在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且，則　 　；的面積　 ．
【答案】 1，
【解析】利用余弦定理整理化簡，，
即可得到：，
即可求出，可得，
再由，結(jié)合正弦定理可得：，
則：，
，或，，(舍去)，
當(dāng)，可得，三角形為等腰三角形，
利用余弦定理，可得，
可得：．
故答案為：1，．
8(★★★) 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．且．
(1)求； (2)若的面積為，周長為8，求
【答案】(1) (2)
【解析】(Ⅰ)中，，
；
由正弦定理得，
，即；
又，，即，
∴，解得；
(Ⅱ)的面積為，周長為8，
bc，
，…① ，…②
由余弦定理得：，…③
由①②③組成方程組，可得：，
可得：，解得：．
【題型二】多個三角形問題
【典題1】 在中，是邊上一點，，，，
則　 　．
【解析】如圖，設(shè)，則 (引入變量)
在中，可得，
在中，由余弦定理可得
，
，
即，解得，
．
【點撥】
① 題目中出現(xiàn)類似的倍數(shù)關(guān)系，可設(shè)未知數(shù)(比如設(shè));
② 本題其實是對于同一角在和共用了兩次余弦定理，得到了一條的方程最終求解成功.另一思路：解得.利用“同一角、鄰補角互補，對角互補”等，在兩個三角形里用正弦或余弦定理建立方程求解，這是在多三角形題目中常用技巧.
【典題2】 在平面四邊形中，，，則的取值范圍是　 　．
【解析】 方法 如圖所示，延長交于點，
則在中，，，，
(在三個內(nèi)角都已知，故三邊成比例)
設(shè)，，，，
，是等腰三角形，過點作的垂線可得
，即，
，，
，
的取值范圍是(，)．
方法 尺規(guī)作圖法
如下圖，作出底邊的等腰三角形，
與形成夾角的直線(圖中虛線)在平面內(nèi)移動，
分別交于，
則四邊形即為滿足題意的四邊形；
當(dāng)直線移動時，運用極限思想，
①直線接近點時，趨近最小值，為；
②直線接近點時，趨近最大值，為；
的取值范圍是(，)．
【點撥】方法通過輔助線得到兩個三角形，引入變量再解三角形，有些復(fù)雜；
那方法是怎么想到的呢？
下面我們試試運用“構(gòu)圖法”找思路
① 先思考滿足“．”的四邊形是否確定了呢？肯定不是，要不出題者讓你求長度了. 我們試試“尺規(guī)作圖”，如圖一，先畫出線段，再作角，那接著作，沒其他條件限制，點的位置無法確定，它可以移動；
② 當(dāng)點在射線上移動，如圖二，易知在線段上或在線段外是無法得到點構(gòu)造出四邊形，故；
③ 在和中利用正弦定理求出，利用極限的位置就得到.
這方法在幾何中很常用，可確定題中哪些量是變量哪些是不變量，更便于尋找解題思路.
【典題3】 如圖，等腰直角三角形中，，，點為內(nèi)一點，
且，．
求； 求．
【解析】(1)設(shè)，，
由，
可知，．
(三者知一得二)
．
．
(2)在中，利用正弦定理可得，
依題意易得，，
．
在中，利用余弦定理得
．
．
【點撥】
① 解題中要明確什么量是確定或不確定的，比如已知，，意味著角和是確定的(只是具體多少度不知道)，再加上，由三角形的型可知三角形是確定了，那可求，在等腰三角形中，則確定，這可求邊長則確定 , 可求. 這樣解題中能夠作到“心中有數(shù)”！
② 處理多個三角形問題，要大膽在各三角形中嘗試用正弦余弦定理，利用綜合法分析法進行推理分析！
鞏固練習(xí)
1(★★) 已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，的面積為，邊上的中線長為，則的周長為　 　．
【答案】10
【解析】∵由題意可得：，
∴解得，
，
∵由余弦定理可得，即，
∴解得，
的周長為．
故答案為：10．
2(★★) 在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知，，．則的中線的長為　　．
【答案】
【解析】如圖所示，
△ABC中，，cosC，
由余弦定理得，，即，
整理得，解得或(舍去)；
所以，
由余弦定理得，，解得，
所以的中線的長為．
故答案為：．
3(★★) 已知中，，，為線段上一點，，，則　　，的面積是　　．
【答案】，
【解析】設(shè)，
在中，由余弦定理可知，可知，
可得：，可得：，
可得：．
故答案為：，．
4(★★★) 在中，，是邊上一點，且滿足，若，
則　　．
【答案】
【解析】記，則，
設(shè)，因，所以，
設(shè)，由，得，，
因，所以，
因，即2 ，
整理得：，即，所以，
所以，
所以．
故答案為：．
5(★★★) 已知圓內(nèi)接四邊形，其中，，，，則 ．
【答案】
【解析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得．
連接，在中，有．
在中，，
所以，，
，
所以，
連接，同理可得，
所以．
所以．
6(★★★) 如圖，在梯形中，，，為上一點，，．
(1)若為等腰三角形，求；(2)設(shè)，若，求．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由，可得，
又為等腰三角形，所以，
從而，，
所以=2；
在中，由余弦定理得，
，
所以；
(2)因為，所以，
在中，由正弦定理得；
在，由正弦定理得，
由，得，
即，化簡得，
求得．
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
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