資源簡介

余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圓半徑)
② 變形
化邊為角
化角為邊
③ 正弦定理的“齊次角邊互換”
等式中含有三個式子(、、)，每個式子中都有一個值，并且它們的次數都是，則可以把直接轉化為對應的邊、！
同理.
思考以下轉化是否正確
(1) (錯)，
(2) (對)
④ 利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；
Eg 在，內角所對的邊分別是，，，，，，則邊 .
(2) 已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.
Eg在，內角所對的邊分別是，，則角 .
(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)
⑤ 三角形解的個數問題
已知兩邊和其中一邊的對角，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.
是銳角 是直角或鈍角
一解 無解 一解 兩解 一解 無解
Eg 求滿足的三角形△ABC個數.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，則，
，且為銳角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 圖像法
先做出角過點作此時可知，以為圓心，5為半徑畫個圓弧，由于，顯然圓弧與射線交于一個點，如圖可知滿足題意的三角形只有一個！
2 面積公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 變形
③ 利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知三邊，可求三個角；
Eg 在中，若，則角 .
(2) 已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.
Eg 在中，，則 .(角為兩邊的夾角)
在中，3，則邊 . (角不為兩邊的夾角)
④ 三角形類型的判斷
；
；
.
⑤ 射影定理

【題型一】三角形最值問題
【典題1】 銳角三角形的內角的對邊分別為，已知，，則周長的范圍為 .
【典題2】邊長為的正方形的邊上有一點，邊上有一點，滿足的周長為．
求的大小；求面積的最小值．
鞏固練習
1(★★) 設銳角的三內角所對邊的邊長分別為，，，且，，則的取值范圍為　 ．
2 (★★★) 在中，，，若恒成立，則的最小值為　　．
3 (★★★) 在中，分別是角的對邊，若，為的中點，且，則的最大值是　　．
4 (★★★) 在中，角的對邊分別為，若，，則的面積的最大值為　　．
5 (★★★) 已知在中，，點在邊上，且，．
(1)若，求．(2)求的取值范圍．
6(★★★) 如圖，在四邊形中，，，∠，．
(1)若∠，求；
(2)記∠，當為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值．
【題型二】解三角形應用舉例
【典題1】如圖，一架飛機以的速度，沿方位角的航向從地出發向地飛行，飛行了后到達地，飛機由于天氣原因按命令改飛地，已知，，，且，．問收到命令時飛機應該沿什么航向飛行，此時地離地的距離是多少？(參考數據：
鞏固練習
1(★★★) 如圖，海平面某區域內有，，三座小島，島在的北偏東方向，島在的北偏東方向，島在的南偏東方向，且，兩島間的距離為海里．
(1)求兩島間的距離；
(2)經測算海平面上一輪船位于島的北偏西方向，且與島相距海里，求輪船在島的什么位置．(注：小島與輪船視為一點)
2(★★★) 如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，現要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊，點在邊上，設；
(1)若，求三角形鐵皮的面積；
(2)求剪下的三角形鐵皮面積的最大值．
3(★★★★) 如圖，已知扇形是一個觀光區的平面示意圖，其中扇形半徑為米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設計方案：
(1)如圖，擬在觀光區內規劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點在弧上，另一頂點在半徑上，且，求周長的最大值；
(2)如圖，擬在觀光區內規劃一個三角形區域種植花卉，三角形花圃的一個頂點在弧上，另兩個頂點在半徑上，且，求花圃面積的最大值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
① 正弦定理
(其中是三角形外接圓半徑)
② 變形
化邊為角
化角為邊
③ 正弦定理的“齊次角邊互換”
等式中含有三個式子(、、)，每個式子中都有一個值，并且它們的次數都是，則可以把直接轉化為對應的邊、！
同理.
思考以下轉化是否正確
(1) (錯)，
(2) (對)
④ 利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；
Eg 在，內角所對的邊分別是，，，，，，則邊 .
(2) 已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.
Eg在，內角所對的邊分別是，，則角 .
(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)
⑤ 三角形解的個數問題
已知兩邊和其中一邊的對角，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.
是銳角 是直角或鈍角
一解 無解 一解 兩解 一解 無解
Eg 求滿足的三角形△ABC個數.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：，則，
，且為銳角，有一解，故三角形只有一解；
方法2 圖像法
先做出角過點作此時可知，以為圓心，5為半徑畫個圓弧，由于，顯然圓弧與射線交于一個點，如圖可知滿足題意的三角形只有一個！
2 面積公式
3 余弦定理
① 余弦定理
② 變形
③ 利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題
(1) 已知三邊，可求三個角；
Eg 在中，若，則角 .
(2) 已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.
Eg 在中，，則 .(角為兩邊的夾角)
在中，3，則邊 . (角不為兩邊的夾角)
④ 三角形類型的判斷
；
；
.
⑤ 射影定理

【題型一】三角形最值問題
【典題1】 銳角三角形的內角的對邊分別為，已知，，則周長的范圍為 .
【解析】 ，由正弦定理得，
，．
三角形是銳角三角形， (確定與，隱圓模型)
方法1 由正弦定理得
則
銳角三角形 ，
則，即 (當 時取到等號)
，
周長的范圍為．
方法2 由余弦定理得，
，，顯然
，
，當且僅當時等號成立，
，
，
即周長的范圍為．
【點撥】
① 方法把邊的最值問題轉化為三角函數最值處理，注意角度的范圍；
② 方法把看成一個整體，利用基本不等式求最值.
③ 本題屬于隱圓問題，的外接圓是確定的，由圖也可得到周長的范圍為(但不夠嚴謹).
【典題2】邊長為的正方形的邊上有一點，邊上有一點，滿足的周長為．
求的大小；求面積的最小值．
【解析】方法 變量法
(分析 由的周長為和勾股定理可知三線關系，而，故可引入變量表示各線段再進行求解.)
設，，(引入角度變量較好，還有可引入其他變量么？)
則，，，，
的周長為，，
由勾股定理可得，
展開整理可得，
變形可得1，即，
為銳角，，.
(2)，
又
，
， 當時取到等號，
故最小值為．
方法 坐標系法
(1)如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系
則可設其中 (相當引入線段變量)
則
的周長為，
中由勾股定理得，
化簡得，
(數量積處理)
(也可以在中用余弦定理處理)
；
(2)
(涉及面積，割補法也是很常見的)
由(1)可知，
即 解得(當時取到)
最小值為1．
【點撥】
① 本題還有一種方法，如圖，延長到使得，利用.
② 方法是引入角度變量，第二問用三角函數表示邊長，面積最值最后轉化為三角函數的最值問題(涉及到輔助角公式、二倍角公式等)；而方法是引入線段變量，而建系的方式使得每個量都能通過點的坐標得到，使得解題思路更簡潔些；
③ 涉及到三角形面積，求法有底高、、隔補法等.
鞏固練習
1(★★) 設銳角的三內角所對邊的邊長分別為，，，且，，則的取值范圍為　 ．
【答案】(2，2)
【解析】銳角中，角所對的邊分別為，
，且，
．
，
∴，
，
∴由正弦定理可得：，
∴可得：
則的取值范圍為(2，2)．
2 (★★★) 在中，，，若恒成立，則的最小值為　　．
【答案】
【解析】∵∠B=60°，，
由正弦定理可得，2，
，
，
，
∴，
，
恒成立，
則，即的最小值為，
故答案為：．
3 (★★★) 在中，分別是角的對邊，若，為的中點，且，則的最大值是　　．
【答案】
【解析】在中，分別是角的對邊，若，
利用正弦定理：，
所以，
由于，所以，
故A，
為的中點，且，
設，
則：，
故：，
利用余弦定理得：①，
同理：②
由①②得：，
所以，
故，
整理得，
解得，
故答案為：
4 (★★★) 在中，角的對邊分別為，若，，則的面積的最大值為　　．
【答案】
【解析】，
∴由正弦定理可得：，整理可得：，
，
，
，
當且僅當時等號成立，
即△ABC的面積的最大值為．
5 (★★★) 已知在中，，點在邊上，且，．
(1)若，求．(2)求的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵．，∠CAP，
∴在中，由余弦定理知：，
即：，解得：，(負值舍去)，
∴由正弦定理，可得：，解得：，
，
，
∴在中，由正弦定理，可得：，解得：2，
．
(2)設，則，
在中，，
在中，由正弦定理知 ，得，
于是 ，
由題意知 θ，，可得：)∈(，1]，
故 ，
可得：∈(1，]，即的取值范圍為：，
6(★★★) 如圖，在四邊形中，，，∠，．
(1)若∠，求；
(2)記∠，當為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值．
【答案】(1) (2) 時，取最小值．
【解析】(1)在四邊形中，因為，
所以，
在中，可得，
，由正弦定理得：，
解得：．
(2)因為可得，
四邊形內角和得，
∴在中，由正弦定理得：，解得：，
在中，由正弦定理得：，解得，
，
，
，
∴當即時，取最小值．
【題型二】解三角形應用舉例
【典題1】如圖，一架飛機以的速度，沿方位角的航向從地出發向地飛行，飛行了后到達地，飛機由于天氣原因按命令改飛地，已知，，，且，．問收到命令時飛機應該沿什么航向飛行，此時地離地的距離是多少？(參考數據：
【解析】連接，在中由余弦定理，得
，
，
則，即是直角三角形，且，
又，則，
，，
在中，由余弦定理得，則，
又，則是等腰三角形，且，
由已知有，
在中，由余弦定理有，
又，則．
由飛機出發時的方位角為600，則飛機由地改飛地的方位角為．
答：收到命令時飛機應該沿方位角的航向飛行，地離地．
【點撥】
① 在實際問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛錘面上所成的角)，方位角(它是在水平面上所成的角)；
② 方位角是相對于某點而言，在確定方位角時要弄清楚時哪一個點的方位角；
③ 處理實際問題時要根據題意把實際問題的圖形進行簡化，并在圖形上標出有關的角或邊，明確最后實際要求的量可轉化為三角形的什么量，再思考正弦定理或余弦定理解三角形.
鞏固練習
1(★★★) 如圖，海平面某區域內有，，三座小島，島在的北偏東方向，島在的北偏東方向，島在的南偏東方向，且，兩島間的距離為海里．
(1)求兩島間的距離；
(2)經測算海平面上一輪船位于島的北偏西方向，且與島相距海里，求輪船在島的什么位置．(注：小島與輪船視為一點)
【答案】(1) 海里 (2) 船在島北偏東方向上，距離島海里處．
【解析】(1)由題意可得，
，
在中，由正弦定理得，
即，解得海里)．
(2)由題意可知，
在中，由余弦定理得3，
在中，由余弦定理3，
由正弦定理得：，即，
解得，
∴船在島北偏東方向上，距離島海里處．
2(★★★) 如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，現要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊，點在邊上，設；
(1)若，求三角形鐵皮的面積；
(2)求剪下的三角形鐵皮面積的最大值．
【答案】(1)
【解析】(1)當時，，
到的距離為．
的面積為．
(2)，到直線的距離為，
的面積
S，
設，則，
(，
，
，
∴當時，取得最大值．
3(★★★★) 如圖，已知扇形是一個觀光區的平面示意圖，其中扇形半徑為米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設計方案：
(1)如圖，擬在觀光區內規劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點在弧上，另一頂點在半徑上，且，求周長的最大值；
(2)如圖，擬在觀光區內規劃一個三角形區域種植花卉，三角形花圃的一個頂點在弧上，另兩個頂點在半徑上，且，求花圃面積的最大值．
【答案】(1)周長的最大值為米
(2) 花圃面積的最大值為平方米，此時米．
【解析】(1)，∴，
又，設，
在中，由正弦定理可知，，
，
的周長．
化簡得．
∴時，的周長有最大值為米．
答：周長的最大值為米；
(2)∵圖2中與圖1中面積相等，
而在中，，
∴．
由余弦定理知，，
，
，當且僅當時取“=”．
∴平方米．
答：花圃面積的最大值為平方米，此時米．
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