資源簡介

復數
1 虛數單位的性質
叫做虛數單位，并規定：
① 可與實數進行四則運算；
② ，這樣方程就有解了，解為，.
③ 以為周期，即.
2 復數的概念
① 定義
形如的數叫做復數，其中叫做虛數單位，叫做實部，叫做虛部.全體復數所成的集合叫做復數集.復數通常用字母表示，即.
② 分類
3 復數相等
也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等.
PS 只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小.
4 共軛復數
的共軛復數記作，且.
5 復數的幾何意義
① 復平面的概念
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
② 復數的幾何意義
復數與復平面內的點及平面向量是一一對應關系(復數的實質是有序實數對，有序實數對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量)相等的向量表示同一個復數.
③ 復數的模
向量的模叫做復數的模，記作或，表示點到原點的距離，
即 ，
6 代數形式的四則運算
① 運算法則
設，
② 加減法的幾何意義
幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，
即
若，
(1) 表示到的距離，即
(2) 表示以為圓心，為半徑的圓.
復數的三角表示
① 一般地，任何一個復數都可以表示成
的形式，其中，是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形表示式.
規定：在范圍內的輻角的值為輻角的主值，通常記作，即.
② 復數的代數形式與三角形式的互換
③ 復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
設，
則，
.

【題型一】復數的概念與分類
【典題1】求解　 ?。?br/>【典題2】 求當為何實數時，復數滿足：
(1為實數； (2為純虛數；
【典題3】 已知關于的方程總有實數解，則的取值范圍是　 ?。?br/>【題型二】復數的幾何意義與運算
【典題1】 已知復數(i為虛數單位)，下列說法 其中正確的是 .
①復數在復平面內對應的點在第四象限；
②；
③的虛部為；
④．
【典題2】已知復數的實部為，虛部的絕對值為，則下列說法錯誤的是(　　)
A．是實數 B．
C． D．在復平面中所對應的點不可能在第三象限
【典題3】設復數滿足，則　 ?。?br/>【典題4】 若，且，則的最小值是 ．
【典題5】復數滿足，則的取值范圍是　?。?br/>【典題6】已知復數滿足，則的最大值是　?。?br/>鞏固練習
1(★) 已知兩非零復數，若，則一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
2(★) 已知為虛數單位，且，則的值為　 ?。?br/>3(★) 已知復數(i為虛數單位)，下列說法其中正確的有　 　個.
①復數在復平面內對應的點在第四象限；②；③z的虛部為；④．
4(★★) 設是復數，給出四個命題
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中真命題有　 　個．
5(★★) 設復數滿足，則的最大值為　 ?。?br/>6(★★) 若復數滿足，則復數的最大值為　 ?。?br/>7(★★) 若復數滿足，則的最大值是　 ?。?br/>8(★★) 已知三個復數，并且，所對應的向量，滿足，則的取值范圍是　 ?。?br/>9(★★) 當復數滿足時，則的最小值是　 ?。?br/>10(★★) 已知是復平面上的四個點，且向量，對應的復數分別為．
(1)若，求
(2)若，為實數，求的值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)復數
1 虛數單位的性質
叫做虛數單位，并規定：
① 可與實數進行四則運算；
② ，這樣方程就有解了，解為，.
③ 以為周期，即.
2 復數的概念
① 定義
形如的數叫做復數，其中叫做虛數單位，叫做實部，叫做虛部.全體復數所成的集合叫做復數集.復數通常用字母表示，即.
② 分類
3 復數相等
也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等.
PS 只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小.
4 共軛復數
的共軛復數記作，且.
5 復數的幾何意義
① 復平面的概念
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
② 復數的幾何意義
復數與復平面內的點及平面向量是一一對應關系(復數的實質是有序實數對，有序實數對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量)相等的向量表示同一個復數.
③ 復數的模
向量的模叫做復數的模，記作或，表示點到原點的距離，
即 ，
6 代數形式的四則運算
① 運算法則
設，
② 加減法的幾何意義
幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，
即
若，
(1) 表示到的距離，即
(2) 表示以為圓心，為半徑的圓.
復數的三角表示
① 一般地，任何一個復數都可以表示成
的形式，其中，是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形表示式.
規定：在范圍內的輻角的值為輻角的主值，通常記作，即.
② 復數的代數形式與三角形式的互換
③ 復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
設，
則，

【題型一】復數的概念與分類
【典題1】求解　 ?。?br/>【解析】 且以為周期
.
【典題2】 求當為何實數時，復數滿足：
(1為實數； (2為純虛數；
【解析】復數．
(1)若為實數，則，解得或；
(2)若為純虛數，則，解得.
【典題3】 已知關于的方程總有實數解，則的取值范圍是　 　．
【解析】
得有實數解，
，，
消去得，
，
，
即
，，即，
即的取值范圍是.
【點撥】
① 復數相等：，注意分辨出復數的實部和虛部.
② 若關于的方程有實數解，則.
【題型二】復數的幾何意義與運算
【典題1】 已知復數(i為虛數單位)，下列說法 其中正確的是 .
①復數在復平面內對應的點在第四象限；
②；
③的虛部為；
④．
【解析】 ，
復數在復平面內對應的點的坐標為，在第四象限；
；的虛部為；．
故①②正確；③④錯誤．
【點撥】
① 遇到復數的除法，分母分子同乘“分母的共軛復數”,把復數最終化簡成形式；
② 因為，，所以的模等于.
【典題2】已知復數的實部為，虛部的絕對值為，則下列說法錯誤的是(　　)
A．是實數 B．
C． D．在復平面中所對應的點不可能在第三象限
【解析】由已知得，或，
則， (，避免了分類討論與計算)
，則，正確，錯誤；
的實部大于，
故在復平面中所對應的點不可能在第三象限，正確．
故選．
【點撥】
① 若,則，, .
② 注意一些復數的性質可減輕計算量.
【典題3】設復數滿足，則　 　．
【解析】 方法1 ， ，
， (,)
．得．
．
又，故2．
方法2 向量法
，
在復平面上分別對應的點在以原點為圓心，半徑為的圓上,
,
在復平面上對應的點在圓上，
由向量的平行四邊形法則，可知四邊形是平行四邊形,
如下圖易知是等邊三角形且邊長為，易求,
由向量的三角形法則可知.
【點撥】
① ,；方法直接運用了代數方法求解；
② 復數加減法的幾何意義
復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義.
即
③ 方法運用的是復數與向量之間的關系，再借助幾何的手段進行求解.
【典題4】 若，且，則的最小值是 ．
【解析】 方法1 待定系數法
設
,
則
解得
當時，取到最小值.
方法2 幾何法
表示對應的點在以為圓心，半徑的圓上，
就是圓上的點到的距離，
其最小值為圓心到的距離減去半徑，即，
故答案為.
【點撥】
① 方法用了待定系數法，把問題轉化為式子的最值問題，用到函數思想，此時特別注意自變量的取值范圍；
② 方法利用了復數的幾何意義，
若
表示到的距離，即
表示以為圓心，為半徑的圓.
【典題5】復數滿足，則的取值范圍是　?。?br/>【解析】表示復數到兩點，的距離之和，
而．
又，
點在線段上，(確定點所在的軌跡)
表示點與線段上點的距離，
易得直線的方程，
原點到此直線的距離，而，．
則的取值范圍是．
【典題6】已知復數滿足，則的最大值是　?。?br/>【解析】 方法1
復數對應點在圓心，半徑的圓上，
而則表示點到點，的距離之和，
其中，
而，
的最大值為.
方法2 設，．
則
．
，．
當時，，的最大值是；
當(，]時，，的最大值是；
當∈(，時，，．
綜上，的最大值是．
【點撥】運用了待定系數法進行求解，由，設，巧妙的把問題轉化為三角函數的問題.，但要分離討論較方法1還是麻煩些.
鞏固練習
1(★) 已知兩非零復數，若，則一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 設z1＝a+bi，z2＝c+di，(a，b，c，d∈R)，
z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，
∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正確；
則(a+bi)(c－di)＝ac+bd+(bc－ad)i，
∴∈R不一定成立，故B不正確；
，
∴∈R不一定成立，故C不正確；
∵，且z1z2∈R，
∴∈R正確，故D成立．
故選 D．
2(★) 已知為虛數單位，且，則的值為　 ?。?br/>【答案】
【解析】由，可得
.
3(★) 已知復數(i為虛數單位)，下列說法其中正確的有　 　個.
①復數在復平面內對應的點在第四象限；②；③z的虛部為；④．
【答案】2
【解析】∵，
∴復數在復平面內對應的點的坐標為，在第四象限；
；z的虛部為－2；．
故①②正確；③④錯誤．
4(★★) 設是復數，給出四個命題
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中真命題有　 　個．
【答案】3
【解析】由z1，z2是復數，得
在①中，若|z1－z2|＝0，則z1，z2的實部和虛部都相等，∴，故①正確；
在②中，若z1，則z1，z2的實數相等，虛部互為相反數，∴z2，故②正確；
在③中，若|z1|＝|z2|，則z1 z2 |z1|2，故③正確；
在④中，若|z1|＝|z2|，則由復數的模的性質得，
如|1－i|＝|1+i|，但(1－i)2＝－2i≠(1+i)2＝2i，故④不正確．
5(★★) 設復數滿足，則的最大值為　 ?。?br/>【答案】49
【解析】設z＝x+yi，由，
得x2+(y－5)2＝4，
則復數在復平面內所對應的點的軌跡是以(0，5)為圓心，以2為半徑的圓，
，其幾何意義是原點到圓上一點距離的平方，
因此，的最大值為(2+5)2＝49．
6(★★) 若復數滿足，則復數的最大值為　 ?。?br/>【答案】
【解析】設z＝a+bi(a，b∈R)，
則由，得a2+b2+2a≤0，
即(a+1)2+b2≤1．
復數z在復平面內對應點的軌跡如圖
∴復數|z－1－i|的最大值為|PC|+1．
故答案為 ．
7(★★) 若復數滿足，則的最大值是　 ?。?br/>【答案】4
【解析】∵復數z滿足|z|＝1，∴1．
令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π)．
則(i)(z－i)＝1+(z)i+1＝2－2sinθ．
∴|(i)(z－i)|＝|2－2sinθ|≤4，當且僅當sinθ＝－1時取等號．
∴|(i)(z－i)|的最大值是4．
故答案為 4．
8(★★) 已知三個復數，并且，所對應的向量，滿足，則的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】[，]
【解析】 由題意可知 復數z1，z2，z3對應的點Z1，Z2，Z3在單位圓上，
又，∴OZ1⊥OZ2．
不妨設Z1(1，0)，Z2(0，1)，如圖
∴當Z3與A重合時，|z1+z2－z3|有最小值為；
當Z3與B重合時，|z1+z2－z3|有最大值為．
∴|z1+z2－z3|的取值范圍是[，]．
故答案為 [，]．
9(★★) 當復數滿足時，則的最小值是　 ?。?br/>【答案】1
【解析】∵|z+2|＝|(z+3－4i)+(－1+4i)|≥|－1+4i|－|z+3－4i|11
∴|z+2|的最小值是1．
10(★★) 已知是復平面上的四個點，且向量，對應的復數分別為．
(1)若，求
(2)若，為實數，求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】 (I)向量(a－1，－1)，(－3，b－3)對應的復數分別為z1＝(a－1)－i，z2＝－3+(b－3)i．
∴z1+z2＝(a－4)+(b－4)i＝1+i．
∴a－4＝1，b－4＝1．
解得a＝b＝5．
．
(II)|z1+z2|＝2，z1－z2為實數，
∴2，(a+2)+(2－b)i∈R，
∴2－b＝0，解得b＝2，
∴(a－4)2+4＝4，解得a＝4．
．
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