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簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積
1 柱體
① 棱柱
體積： (其中是棱柱的高)
② 圓柱
(1) 側(cè)面積：
(2) 全面積：
(3) 體積： (其中為底圓的半徑，為圓柱的高)
2 錐體
① 棱錐
棱錐體積：(其中為圓柱的高)；
② 圓錐
(1) 圓錐側(cè)面積：
(2) 圓錐全面積： (其中為底圓的半徑，為圓錐母線)
(3) 圓錐體積： (其中為底圓的半徑，為圓柱的高)
3臺(tái)體
① 圓臺(tái)表面積
其中是上底面圓的半徑，是下底面圓的半徑，是母線的長(zhǎng)度.
② 臺(tái)體體積
其中分別為上，下底面面積，為圓臺(tái)的高.
4 球體
面積，體積（其中為球的半徑）

【題型一】幾何體的表面積
【典題1】 已知正四棱柱中，，為上底面中心．設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為，，則　　．
　
【典題2】一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱，該圓柱側(cè)面積的最大值為（　　）
　
【典題3】 一個(gè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，高為，若其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則下列關(guān)系正確的是(　　)
　A．+ 　　　B．+ 　　 C．+ 　　　　 D．+
【題型二】幾何體的體積
【典題1】 正方形被對(duì)角線和以為圓心，為半徑的圓弧分成三部分，繞旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是(　　)
　A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．
【典題2】 如圖，圓錐形容器的高為，圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐的倒置，水面高為，則等于(　　)
　　A． 　　　　　B． 　　　 C． 　　 D．
　
【典題3】 已知球的直徑，，是該球球面上的兩點(diǎn)，，，則棱錐的體積 .
【題型三】與球有關(guān)的切、接問題
【典題1】 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，若，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時(shí)，球的表面積為（　　）
【典題2】 如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，則小球的體積為　　．
鞏固練習(xí)
1(★) 如圖1所示，一只封閉的圓柱形水桶內(nèi)盛了半桶水(桶的厚度忽略不計(jì))，圓柱形水桶的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，現(xiàn)將該水桶水平放置后如圖2所示，設(shè)圖1、圖2中水所形成的幾何體的表面積分別為，則與的大小關(guān)系是(　　)
A． B． C． D．
2(★) 若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為，且其側(cè)面積為其軸截面面積的倍，則該圓錐的高為(　　)
A．π B． C． D．
3(★★) 某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的(如圖)．則該幾何體共有　 　個(gè)面；如果被截正方體的棱長(zhǎng)是，那么石凳的表面積是　 　．
　
4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的長(zhǎng)度之比為，那么以垂直于底的腰所在的直線為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓臺(tái)上、下底面積和側(cè)面面積之比是　 　 .
5(★★) 如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是　 　 .
　
6(★★) 一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則這個(gè)圓錐的體積等于　 　 .
7(★★) 如圖①，一個(gè)圓錐形容器的高為，內(nèi)裝有一定量的水．如果將容器倒置，這時(shí)所形成的圓錐的高恰為(如圖②)，則圖①中的水面高度為　 　 .
8(★★★) 半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為　 .
9(★★★) 如圖所示，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，以為圓心畫一個(gè)扇形，以為圓心畫一個(gè)圓，為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的全面積與體積分別是　 　與　　．
　
10(★★★) 已知四面體的棱長(zhǎng)滿足，，現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為　 　．　
11(★★★) 在直三棱柱中，平面是下底面．是上的點(diǎn)，，，過三點(diǎn)作截面，當(dāng)截面周長(zhǎng)最小時(shí)，截面將三棱柱分成的上、下兩部分的體積比為　 .　
12(★★★) 如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為　　．
　
13(★★★) 已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為　 .　
14(★★★)如圖，在中，，．若平面外的點(diǎn)和線段上的點(diǎn)，滿足，，則四面體的體積的最大值是　　．
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1 柱體
① 棱柱
體積： (其中是棱柱的高)
② 圓柱
(1) 側(cè)面積：
(2) 全面積：
(3) 體積： (其中為底圓的半徑，為圓柱的高)
2 錐體
① 棱錐
棱錐體積：(其中為圓柱的高)；
② 圓錐
(1) 圓錐側(cè)面積：
(2) 圓錐全面積： (其中為底圓的半徑，為圓錐母線)
(3) 圓錐體積： (其中為底圓的半徑，為圓柱的高)
3臺(tái)體
① 圓臺(tái)表面積
其中是上底面圓的半徑，是下底面圓的半徑，是母線的長(zhǎng)度.
② 臺(tái)體體積
其中分別為上，下底面面積，為圓臺(tái)的高.
4 球體
面積，體積（其中為球的半徑）

【題型一】幾何體的表面積
【典題1】 已知正四棱柱中，，為上底面中心．設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為，，則　　．
【解析】 如圖，
正四棱柱中，，，
則正四棱柱的側(cè)面積分別為；
正四棱錐的斜高為．
正四棱錐的側(cè)面積．
．
【點(diǎn)撥】注意側(cè)面積和全面積的區(qū)別．
【典題2】一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱，該圓柱側(cè)面積的最大值為（　　）
【解析】
圓錐的底面半徑為，高為，
內(nèi)接圓柱的底面半徑為時(shí)，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為
因此，內(nèi)接圓柱的高；
圓柱的側(cè)面積為：
令，當(dāng)時(shí)；
所以當(dāng)時(shí)，．
即圓柱的底面半徑為時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為．
故選：C．
【點(diǎn)撥】
① 圓柱的側(cè)面積，則需要知道圓柱的高與底圓半徑；
② 在處理圓錐、圓柱問題時(shí)，要清楚母線、高、底圓的半徑之間的關(guān)系，則要看軸截面(如下圖),此時(shí)由相似三角形的性質(zhì)可以得到每個(gè)量的關(guān)系.
【典題3】 一個(gè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，高為，若其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則下列關(guān)系正確的是(　　)
　A．+ 　　　B．+ 　　 C．+ 　　　　 D．+
【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，
根據(jù)題意可得圓臺(tái)的上底面面積為，圓臺(tái)的下底面面積為，
圓臺(tái)的側(cè)面面積等于兩底面面積之和，
側(cè)面積，解之得
=，
+．故選．
【點(diǎn)撥】在處理圓臺(tái)問題時(shí)，要清楚母線、上底圓半徑、下底圓半徑、高之間的關(guān)系，則要看軸截面(如下圖),有.
【題型二】幾何體的體積
【典題1】 正方形被對(duì)角線和以為圓心，為半徑的圓弧分成三部分，繞旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是(　　)
　A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．
【解析】 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，可得
圖旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為以為軸的圓錐體，高且底面半徑
該圓錐的體積為；
圖旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以為半徑的一個(gè)半球，減去圖1旋轉(zhuǎn)所得圓錐體而形成，
該圓錐的體積為；
圖3旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以為軸的圓柱體，減去圖2旋轉(zhuǎn)所得半球而形成，
該圓錐的體積為
綜上所述，
由此可得圖中三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比為．故選．
【點(diǎn)撥】
① 圓錐是由直角三角形以某一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到；圓柱是由矩形以某一邊為軸旋轉(zhuǎn)得到；球是由半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)得到;
② 求解不規(guī)則圖形可用“割補(bǔ)法”.
【典題2】 如圖，圓錐形容器的高為，圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐的倒置，水面高為，則等于(　　)
　　A． 　　　　　B． 　　　 C． 　　 D．
【解析】方法一 設(shè)圓錐形容器的底面積為，則未倒置前液面的面積為．
水的體積=．
設(shè)倒置后液面面積為S′，則，∴．
水的體積．
，解得．
故選 ．
方法二 設(shè)容器為圓錐1，高為,體積為;倒置前液面上的錐體為圓錐2，高為,體積為;倒置后液面以下的錐體為圓錐3，高為,體積為.
，
在倒置后，又有
【點(diǎn)撥】
① 涉及圓臺(tái)的表面積和體積，可把圓臺(tái)補(bǔ)全為圓錐；
② 兩個(gè)相似幾何體，若相似比為,則對(duì)應(yīng)線段比為，對(duì)應(yīng)的平面面積比為,對(duì)應(yīng)的幾何體體積比是.
【典題3】 已知球的直徑，，是該球球面上的兩點(diǎn)，，，則棱錐的體積 .
【解析】由題可知一定在與直徑垂直的小圓面上，作過的小圓交直徑于，
如圖所示，
設(shè)，則，
此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐和，
在和中，由已知條件可得，
又因?yàn)闉橹睆剑裕?br/>所以，
所以在中，，
所以，解得，所以，
所以為正三角形，
所以.
【點(diǎn)撥】
① 圓內(nèi)直徑所對(duì)的圓周角為；
② 若垂直于三棱錐的某棱長(zhǎng)的截面面積為，棱長(zhǎng)長(zhǎng)，則三棱錐的體積為．
【題型三】與球有關(guān)的切、接問題
【典題1】 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，若，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時(shí)，球的表面積為（　　）
【解析】　如圖，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時(shí)，則平面平面，取的中點(diǎn)，連接，則分別取與的外心，分別過作平面與平面的垂線，相交于，則為四面體的球心，由，得正方形的邊長(zhǎng)為，則
四面體的外接球的半徑
球的表面積為，故選：A．
【典題2】 如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，則小球的體積為　　．
【解析】設(shè)為正方形的中心，的中點(diǎn)為，連接，則，
3，2，
如圖，在截面中，設(shè)為球與平面的切點(diǎn)，
則在上，且，設(shè)球的半徑為，則，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
，所以，
設(shè)球與球相切與點(diǎn)，
則，設(shè)球的半徑為，
同理可得，所以，
故小球的體積，
故答案為 ．
鞏固練習(xí)
1(★) 如圖1所示，一只封閉的圓柱形水桶內(nèi)盛了半桶水(桶的厚度忽略不計(jì))，圓柱形水桶的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，現(xiàn)將該水桶水平放置后如圖2所示，設(shè)圖1、圖2中水所形成的幾何體的表面積分別為，則與的大小關(guān)系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】Ｂ
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圖1水的表面積為．
對(duì)于圖2，
上面的矩形的面積的長(zhǎng)是，寬是．則面積是．
曲面展開后的矩形長(zhǎng)是，寬是．則面積是．
上下底面的面積的和是 ．
圖2水的表面積．
顯然．
故選B．
2(★) 若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為，且其側(cè)面積為其軸截面面積的倍，則該圓錐的高為(　　)
A．π B． C． D．
【答案】Ａ
【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為；
由圓錐的母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為；
又圓錐的軸截面面積為，
所以，解得；
所以該圓錐的高為．
故選：A．
3(★★) 某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的(如圖)．則該幾何體共有　 　個(gè)面；如果被截正方體的棱長(zhǎng)是，那么石凳的表面積是　 　．
　【答案】14，10000
【解析】由題意知，截去的八個(gè)四面體是全等的正三棱錐，8個(gè)底面三角形，再加上6個(gè)小正方形，
所以該幾何體共有14個(gè)面；
如果被截正方體的棱長(zhǎng)是，那么石凳的表面積是
．
故答案為：14，10000．
4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的長(zhǎng)度之比為，那么以垂直于底的腰所在的直線為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓臺(tái)上、下底面積和側(cè)面面積之比是　 　 .
　【答案】
【解析】由題意可設(shè)直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰為；
則圓臺(tái)的上、下底半徑和母線長(zhǎng)分別為，如圖所示；
所以上底面的面積為；下底面的面積為；
側(cè)面積為；
所以圓臺(tái)的上底、下底面積和側(cè)面面積之比是．
5(★★) 如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是　 　 .
　【答案】
【解析】如圖所示，過點(diǎn)P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點(diǎn)E為的等邊三角形ABC的中心．
AEAD，AD．
∴AE．
∴PE．
設(shè)圓柱底面半徑為R，則2R，
∴圓柱的側(cè)面積＝2πR PEπ，
6(★★) 一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則這個(gè)圓錐的體積等于　 　 .
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，
圓錐形物體的母線長(zhǎng)，側(cè)面展開圖的圓心角為，
故，解得，
故圓錐的高=，
故圓錐的體積=．
7(★★) 如圖①，一個(gè)圓錐形容器的高為，內(nèi)裝有一定量的水．如果將容器倒置，這時(shí)所形成的圓錐的高恰為(如圖②)，則圖①中的水面高度為　 　 .
　【答案】
【解析】 令圓錐倒置時(shí)水的體積為V′，圓錐體積為V，
則)3，∴，倒置后 ，
設(shè)此時(shí)水高為，則，．
故原來(lái)水面的高度為．
8(★★★) 半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為　 .
【答案】
【解析】如圖所示，設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，
則，在中，，
化為，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)．
9(★★★) 如圖所示，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，以為圓心畫一個(gè)扇形，以為圓心畫一個(gè)圓，為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的全面積與體積分別是　 　與　　．
　【答案】，
【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，高為，
由已知條件可得 ，解得，
，
又∵h(yuǎn)，．
故答案為 ，
10(★★★) 已知四面體的棱長(zhǎng)滿足，，現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為　 　．
　【答案】
【解析】因?yàn)樗拿骟w的棱長(zhǎng)滿足，
所以可以把其放到長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體中，四面體的棱長(zhǎng)是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，
，①；，②；，③
故四面體的外接球半徑滿足：；
．
∵四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，
使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，
要想圓錐的側(cè)面積最小；
故需滿足四面體的外接球恰好是圓錐的內(nèi)切球；
作圓錐的軸截面，如圖：設(shè)，則；
可得：；
；
故圓錐側(cè)面積的最小值為：．
故答案為：．
　
11(★★★) 在直三棱柱中，平面是下底面．是上的點(diǎn)，，，過三點(diǎn)作截面，當(dāng)截面周長(zhǎng)最小時(shí)，截面將三棱柱分成的上、下兩部分的體積比為　 .
　【答案】
【解析】由，得．
將平面與平面放在一個(gè)平面內(nèi)，
連接，與 的交點(diǎn)即為，此時(shí)，
設(shè)四棱錐的體積為，則，
三棱柱的體積．
∴當(dāng)截面周長(zhǎng)最小時(shí)，截面將三棱柱分成的上、下兩部分的體積比為．
12(★★★) 如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為　　．
　【答案】
【解析】將直三棱柱展開成矩形，如圖，
連結(jié)，交于，此時(shí)最小，
，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)最小時(shí)，，
此時(shí)三棱錐的體積
．
13(★★★) 已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為　 .
　【答案】
【解析】由題可知，平面平面，且時(shí)，三棱錐體積達(dá)到最大，如右圖所示，
則點(diǎn)，點(diǎn)分別為，的外心，并過兩個(gè)三角形的外心作所在三角形面的垂線，兩垂直交于點(diǎn)．
∴點(diǎn)是此三棱錐外接球的球心，即為球的半徑．
在中，，，
由正弦定理可知，，，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∴四邊形是矩形，且平面，則有，
又，
．．
14(★★★)如圖，在中，，．若平面外的點(diǎn)和線段上的點(diǎn)，滿足，，則四面體的體積的最大值是　　．
【答案】
【解析】如圖，是的中點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)高為到的距離，也就是到的距離，即圖中，
，由，可得，，
=，
②當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)高為到的距離，也就是到的距離，即圖中，
，由等面積，可得，
∴，
，
=，，2)
綜上所述，，
令，則，時(shí)，．
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
故答案為 ．21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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