資源簡(jiǎn)介

平面與空間點(diǎn)、直線、面之間的位置關(guān)系
1 平面
無(wú)限延展，無(wú)邊界.
判斷 一張紙是一個(gè)平面；平面就是四邊形；兩個(gè)平面可相交于一點(diǎn) .
原因均是平面是無(wú)限延展的.
2三個(gè)基本事實(shí)與三個(gè)推論
① 基本事實(shí)1
不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.
PS “確定”的意思是“有且只有”，過(guò)不共線三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，故說(shuō)確定一個(gè)平面.
判斷 三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ；原因是三點(diǎn)未必共線.
用途:用于確定平面.
② 基本事實(shí)2
如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi).
用途:常用于證明直線在平面內(nèi).
③ 基本事實(shí)3
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
用途:常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.
推論1:直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.
推論2:兩條相交直線確定一個(gè)平面.
推論3:兩條平行直線確定一個(gè)平面.
3 圖形語(yǔ)言，文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化
PS 點(diǎn)用大寫字母表示，直線用小寫字母表示，平面用希臘字母表示.
2 空間點(diǎn)，直線，面之間的位置關(guān)系
① 線線的位置關(guān)系
(1) 空間直線的位置關(guān)系
(2) 平行線的傳遞公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號(hào)表述:
(3) 等角定理:如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
(4) 異面直線:
定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
② 線面的位置關(guān)系
(1) 直線與平面的位置關(guān)系
(2) 圖形語(yǔ)言
例 若直線在平面內(nèi)，直線平行直線，則直線與平面的位置關(guān)系是
答案 或者.
③ 面面的位置關(guān)系
(1) 平面與平面的位置關(guān)系
(2) 圖形語(yǔ)言
【題型一】平面的確定
【典題1】 設(shè)表示一個(gè)點(diǎn)，表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是 (　　)．
【典題2】 在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線，，都相交的直線有________條．
【題型二】三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)、四點(diǎn)共面
【典題1】 如圖，在正方體中，點(diǎn) 分別在棱上，且，相交于點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線.
【典題2】 如圖所示，正方體中，分別是和的中點(diǎn)．
求證:(1)四點(diǎn)共面；(2)三線共點(diǎn)．
鞏固練習(xí)
1(★★) 一塊蛋糕切三道最多可以切 塊？
2(★) 下列命題正確的是 (　　)
Ａ.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 Ｂ.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
Ｃ.四邊形確定一個(gè)平面 Ｄ.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面
3(★) 以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 (　　)
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若點(diǎn)共面，點(diǎn)共面，則共面；
③若直線共面，直線共面，則直線共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
4(★★) 空間四邊形中，各邊長(zhǎng)均為，若，則的取值范圍是________．　
5(★★★) 如圖，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，證明 三線共點(diǎn)．
6(★★★) 如圖，在正方體中，點(diǎn) 分別是棱的中點(diǎn),
求證點(diǎn)，共面.
【題型三】點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系
【典題1】 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是 (　　)
Ａ.異面直線 Ｂ.相交直線 Ｃ.不相交直線 Ｄ.不平行直線
【典題2】 若直線不平行于平面，且，則 (　　)
A.內(nèi)所有直線與異面 B.內(nèi)不存在與平行的直線
C.內(nèi)存在唯一的直線與平行 D.內(nèi)的直線與都相交
【典題3】 如果三個(gè)平面將空間分成個(gè)互不重疊的部分，則這三個(gè)平面的位置是 (　　)
A．兩兩相交于三條交線
B．兩個(gè)平面互相平行，另一平面與它們相交
C．兩兩相交于同一條直線
D．B中情況或C中情況都可能發(fā)生
鞏固練習(xí)
1(★) 在圖中，分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))
2(★) 已知直線，若，則與的位置關(guān)系是 (　　)
A．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．相交直線或異面直線
3(★) 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( )
①若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則.
②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行.
③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.
④若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).
A．0 B．1 C．2 D．3
4(★) 平面與平面都相交，則這三個(gè)平面可能有（　　）
A．條或條交線 B．條或條交線
C．僅條交線 D．條或條或條交線
5(★) 若三個(gè)平面兩兩相交，則它們的交線條數(shù)是 (　　)
A．條 B．條 C．條 D．條或條
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)平面與空間點(diǎn)、直線、面之間的位置關(guān)系
1 平面
無(wú)限延展，無(wú)邊界.
判斷 一張紙是一個(gè)平面；平面就是四邊形；兩個(gè)平面可相交于一點(diǎn) .
原因均是平面是無(wú)限延展的.
2三個(gè)基本事實(shí)與三個(gè)推論
① 基本事實(shí)1
不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.
PS “確定”的意思是“有且只有”，過(guò)不共線三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，故說(shuō)確定一個(gè)平面.
判斷 三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ；原因是三點(diǎn)未必共線.
用途:用于確定平面.
② 基本事實(shí)2
如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi).
用途:常用于證明直線在平面內(nèi).
③ 基本事實(shí)3
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
用途:常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.
推論1:直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.
推論2:兩條相交直線確定一個(gè)平面.
推論3:兩條平行直線確定一個(gè)平面.
3 圖形語(yǔ)言，文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化
PS 點(diǎn)用大寫字母表示，直線用小寫字母表示，平面用希臘字母表示.
2 空間點(diǎn)，直線，面之間的位置關(guān)系
① 線線的位置關(guān)系
(1) 空間直線的位置關(guān)系
(2) 平行線的傳遞公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號(hào)表述:
(3) 等角定理:如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
(4) 異面直線:
定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
② 線面的位置關(guān)系
(1) 直線與平面的位置關(guān)系
(2) 圖形語(yǔ)言
例 若直線在平面內(nèi)，直線平行直線，則直線與平面的位置關(guān)系是
答案 或者.
③ 面面的位置關(guān)系
(1) 平面與平面的位置關(guān)系
(2) 圖形語(yǔ)言
【題型一】平面的確定
【典題1】 設(shè)表示一個(gè)點(diǎn)，表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是 (　　)．
【解析】對(duì)于① 當(dāng)時(shí)，，但，①錯(cuò)；
對(duì)于② 時(shí)，②錯(cuò)；
對(duì)于③ 如圖，由直線與點(diǎn)確定唯一平面，
又，由與確定唯一平面但經(jīng)過(guò)直線與點(diǎn)與重合，故③正確；
對(duì)于④ 點(diǎn)是平面的公共點(diǎn)，線是平面的交線，而兩平面的交點(diǎn)必在其交線上，故④正確．故選.
【點(diǎn)撥】
① 熟悉點(diǎn)、線、面及其之間關(guān)系的符號(hào)表示；
② 判斷盡量利用畫圖進(jìn)行思考，若要排除選項(xiàng)則舉出一反例；
③ 確定平面的方法---不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面、直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面、兩條相交直線確定一個(gè)平面、兩條平行直線確定一個(gè)平面.
【典題2】 在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線，，都相交的直線有________條．
【解析】 在上任意取一點(diǎn)，直線與確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與有不同的交點(diǎn)，而直線與這3條異面直線都有交點(diǎn)如圖所示．
【點(diǎn)撥】
其實(shí)就是過(guò)三直線，，中任一條直線的平面與另外兩直線分別交于點(diǎn)，
則直線為所求直線，而這樣的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，則直線有無(wú)數(shù)條.
【題型二】三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)、四點(diǎn)共面
【典題1】 如圖，在正方體中，點(diǎn) 分別在棱上，且，相交于點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線.
【證明】 直線直線，平面. 平面.
直線平面.
又直線， 平面. 同理可證，平面.
平面平面直線， 直線.
三點(diǎn)共線.
【點(diǎn)撥】
① 本題利用了基本事實(shí)：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
② 證明三點(diǎn)共線，一般思路是證明點(diǎn)在直線上.
【典題2】 如圖所示，正方體中，分別是和的中點(diǎn)．
求證:(1)四點(diǎn)共面；(2)三線共點(diǎn)．
【證明】　
(1) 連接
分別是的中點(diǎn)，
又，
四點(diǎn)共面．
(2)與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，
則由平面，得平面.
同理平面
又平面平面，
直線三線共點(diǎn)．
【點(diǎn)撥】
① 證明四點(diǎn)共面可轉(zhuǎn)化為兩線共面，即證明兩直線必定相交或平行(利用推論2：兩相交線確定一個(gè)平面和推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面)；
② 證明三線共點(diǎn)，一般思路是
(1) 先設(shè)兩直線相交于點(diǎn),再證明點(diǎn).
(2) 證明與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，再證明兩交點(diǎn)重合；
③ 證明多線共面，首先由其中兩直線確定平面，再證其余直線在此平面內(nèi).
鞏固練習(xí)
1(★★) 一塊蛋糕切三道最多可以切 塊？
【答案】8
2(★) 下列命題正確的是 (　　)
Ａ.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 Ｂ.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
Ｃ.四邊形確定一個(gè)平面 Ｄ.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面
【答案】D
【解析】對(duì)于A,若三點(diǎn)共線時(shí)就錯(cuò)了；對(duì)于B，若點(diǎn)在直線上，是不能確定一個(gè)平面的；對(duì)于C，空間四邊形就不屬于平面圖形，注意四邊形在立體幾何里分為平面四邊形和空間四邊形了。
3(★) 以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 (　　)
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若點(diǎn)共面，點(diǎn)共面，則共面；
③若直線共面，直線共面，則直線共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
【答案】B
【解析】 ①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面．這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)，但是若共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．
4(★★) 空間四邊形中，各邊長(zhǎng)均為，若，則的取值范圍是________．　
【答案】(0，)
【解析】如圖所示，與均為邊長(zhǎng)為的正三角形，當(dāng)與重合時(shí)，，將以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到四點(diǎn)再共面時(shí)，，故的取值范圍是.
5(★★★) 如圖，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，證明 三線共點(diǎn)．
【證明】
連結(jié)，由題意知//EB, ，
∴四邊形是平行四邊形．.
又，故，
，且，∴與相交．
設(shè)交點(diǎn)為，則，平面，平面.
∵，平面，平面.
∵平面平面，
∴，∴三線共點(diǎn)．
6(★★★) 如圖，在正方體中，點(diǎn) 分別是棱的中點(diǎn),
求證點(diǎn)，共面.
【證明】 連接，并分別延長(zhǎng)，使與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).
∵ 三點(diǎn)不共線，∴ 確定一個(gè)平面.∴ .
又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴ 點(diǎn)是的中點(diǎn).
同理可得，點(diǎn)是的中點(diǎn).
∴
又∵ 四邊形是正方形，.
連接. 是全等的等腰直角三角形.
.
.
三點(diǎn)共線.
又，∴，而， ∴ .
∴ 四點(diǎn)共面.
【題型三】點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系
【典題1】 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是 (　　)
Ａ.異面直線 Ｂ.相交直線 Ｃ.不相交直線 Ｄ.不平行直線
【解析】 已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交與點(diǎn)，，

根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，兩條直線異面．
下面證明兩條直線不平行
假設(shè)直線與直線平行，則四點(diǎn)共面，
所以直線與直線共面，
這與直線、直線異面相互矛盾，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線與直線不平行．
所以分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定不平行．
故選D．
【點(diǎn)撥】證明兩條直線不平行時(shí)，利用了反證法.
【典題2】 若直線不平行于平面，且，則 (　　)
A.內(nèi)所有直線與異面 B.內(nèi)不存在與平行的直線
C.內(nèi)存在唯一的直線與平行 D.內(nèi)的直線與都相交
【解析】若直線不平行于平面，且,則與平面相交，
內(nèi)與相交的直線在同一面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
直線與面相交的點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)的所有直線均與相交，平面內(nèi)其他的線則不與其相交，故，項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤．
若內(nèi)存在與平行的直線，則根據(jù)線面平行的判定定理可知與面平行，已知直線不平行于平面，故內(nèi)不存在與平行的直線，項(xiàng)說(shuō)法正確．
故選．
【點(diǎn)撥】
① 線面的位置關(guān)系有：
② 在證明選項(xiàng)的時(shí)候利用了反證法.
【典題3】 如果三個(gè)平面將空間分成個(gè)互不重疊的部分，則這三個(gè)平面的位置是 (　　)
A．兩兩相交于三條交線
B．兩個(gè)平面互相平行，另一平面與它們相交
C．兩兩相交于同一條直線
D．B中情況或C中情況都可能發(fā)生
【解析】 選項(xiàng)中，若三個(gè)平面兩兩相交，且有三條交線，則把空間分成或部分；故不正確．
選項(xiàng)中，若兩個(gè)平面互相平行，另一平面與它們相交，則把空間分成部分；故正確．
選項(xiàng)中，若三個(gè)平面兩兩相交于同一條直線，則把空間分成部分；故正確．故選．
【點(diǎn)撥】本題考核空間想象能力，要注意多種情況,可根據(jù)交線的條數(shù)進(jìn)行分類討論.
鞏固練習(xí)
1(★) 在圖中，分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))
【答案】　②④
【解析】　圖①中，直線；
圖②中，三點(diǎn)共面，但，因此直線與異面；
圖③中，連接，，因此與共面；
圖④中，共面，但面，因此與異面．
所以圖②、④中與異面．
2(★) 已知直線，若，則與的位置關(guān)系是 (　　)
A．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．相交直線或異面直線
【答案】 D
【解析】 如圖，，，∴與異面，
，∴與相交，
∴若，，則與的位置關(guān)系 相交或異面．故選D．
3(★) 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( )
①若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則.
②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行.
③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.
④若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 B,只有④對(duì)．
4(★) 平面與平面都相交，則這三個(gè)平面可能有（　　）
A．條或條交線 B．條或條交線
C．僅條交線 D．條或條或條交線
【答案】D
【解析】①若平面∥平面，平面與平面都相交，則它們有2條交線，且這2條交線互相平行；
②若平面平面，平面是經(jīng)過(guò)直線的平面，則三個(gè)平面只有一條交線，即直線；
③若平面平面，平面與平面都相交，但交線與直線不重合，則它們有3條交線，例如棱柱或棱錐的三個(gè)側(cè)面相交于三條直線，即三條側(cè)棱
綜上所述，這三個(gè)平面的交線的條數(shù)可能是1條、2條或3條
故選 D
5(★) 若三個(gè)平面兩兩相交，則它們的交線條數(shù)是 (　　)
A．條 B．條 C．條 D．條或條
【答案】D
【解析】如圖，三個(gè)平面有一條交線的情況，
三個(gè)平面有兩條交線的情況，
故選D．
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑