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空間直線、平面的平行
1 線面平行
① 直線與直線平行
基本事實(shí) 平行于同一條直線的兩條直線平行(平行線的傳遞公理)
符號(hào)表述：
等角定理 如果空間中兩個(gè)角度兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
② 直線與平面平行
(1) 定義
直線與平面無(wú)交點(diǎn).
(2) 判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
(俗說(shuō)：若，要證明，則在平面內(nèi)找一條直線與直線平行)
符號(hào)表述
(線線平行線面平行)
(3) 性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
符號(hào)表述
(線面平行線線平行)
(4) 證明線面平行的方法
定義法(反證) (用于判斷)
判定定理： (線線平行線面平行)
(面面平行線面平行)
2面面平行
① 定義：;
判斷
內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行 ；
內(nèi)的任何一條直線都與平行 ；
②判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；
符號(hào)表述：
【如圖】
推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.
符號(hào)表述：
【如圖】
③ 面面平行的性質(zhì)
(面面平行線面平行)
(面面平行線線平行)
夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.
④ 證明面面平行的方法
定義法；
判定定理及推論(常用)
【題型一】線面平行的證明
【典題1】 如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是， ，的中點(diǎn).
求證：平面； (2)求的長(zhǎng)；(3)求證：平面 .
【典題2】 如圖所示，正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為，分別為上的點(diǎn)，且.
(1)求證：直線∥平面； (2)求線段的長(zhǎng).
【題型二】線面平行的性質(zhì)
【典題1】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別為線段上一點(diǎn)，若，且∥平面，則 (　　)
A.41 B.31 C.32 D.21
鞏固練習(xí)
1(★) 如圖在正方體中，棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，則與平面的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定
2(★) 如圖所示，為所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，當(dāng)∥平面時(shí)，=　　.
3 (★★) 如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，若直線，都平行于平面，則四邊形面積的最大值是　　.
4 (★★) 如圖.在四棱錐中.底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱上一點(diǎn).點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，
(1)若，求證：∥平面；
(2)若平面，求證：.
5 (★★★) 如圖所示，四邊形為空間四邊形的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.
(1) 求證：平面，平面.
(2) 若，求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍.
【題型三】面面平行的證明
【典題1】 如圖，與均為平行四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面.
【典題2】 如圖，在四棱錐中，，，
⊥平面，，．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面∥平面；(2)求三棱錐的體積．
【典題3】 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且//截面，則線段P長(zhǎng)度的取值范圍是(　　)
【題型四】面面平行的性質(zhì)
【典題1】 已知兩條直線，，兩個(gè)平面，，則下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A．若，且，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【典題2】 已知平面∥面，為異面線段，，，且，，與所成的角為，平面∥面，且平面與分別相交于點(diǎn)．
(1)若，求截面四邊形的周長(zhǎng)；
(2)求截面四邊形面積的最大值．
鞏固練習(xí)
1(★) 已知直線，給出以下三個(gè)命題：
①若平面∥平面，則直線∥平面；
②若直線∥平面，則平面∥平面；
③若直線不平行于平面，則平面不平行于平面．
其中正確的命題是(　　)
A．② B．③ C．①② D．①③
2 在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：
①∥平面； ②∥平面；
③∥平面； ④平面∥平面
其中推斷正確的序號(hào)是 (　　)
A．①③ 　　　　B．①④ 　　　　　　C．②③ 　　　　　D．②④
3(★★) 已知平面∥平面，是，外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與，分別交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與，分別交于點(diǎn)，，且，，，則的長(zhǎng)為(　　)
A. B. C.或24 D.或12
4(★★) 已知兩平行平面與之間的距離為，直線，點(diǎn)，則平面內(nèi)到點(diǎn)的距離為，且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是(　　)
A．一組平行線 B．一條拋物線 C．兩段圓弧 D．四個(gè)點(diǎn)
5(★★) 如圖，已知平面，，，且，直線，分別與平面，，交于點(diǎn)，，和，，，若，，，則=　 　．
6(★★) 如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，分別是下底面的棱，的中點(diǎn)，是上底面的棱上的一點(diǎn)，，過(guò)的平面交上底面于，在上，則　 　．
7 (★★) 在長(zhǎng)方體，分別在對(duì)角線上取點(diǎn)，使得直線平面，則線段長(zhǎng)的最小值為 　．
8(★★) 已知：如圖，平面滿足，，，，，與異面，
且．求證：
9(★★★) 在正方體中，分別是和的中點(diǎn)，
求證：(1)∥
(2)∥平面．
(3)平面∥平面．
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1 線面平行
① 直線與直線平行
基本事實(shí) 平行于同一條直線的兩條直線平行(平行線的傳遞公理)
符號(hào)表述：
等角定理 如果空間中兩個(gè)角度兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
② 直線與平面平行
(1) 定義
直線與平面無(wú)交點(diǎn).
(2) 判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
(俗說(shuō)：若，要證明，則在平面內(nèi)找一條直線與直線平行)
符號(hào)表述
(線線平行線面平行)
(3) 性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
符號(hào)表述
(線面平行線線平行)
(4) 證明線面平行的方法
定義法(反證) (用于判斷)
判定定理： (線線平行線面平行)
(面面平行線面平行)
2面面平行
① 定義：;
判斷
內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行 ；
內(nèi)的任何一條直線都與平行 ；
②判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；
符號(hào)表述：
【如圖】
推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.
符號(hào)表述：
【如圖】
③ 面面平行的性質(zhì)
(面面平行線面平行)
(面面平行線線平行)
夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.
④ 證明面面平行的方法
定義法；
判定定理及推論(常用)
【題型一】線面平行的證明
【典題1】 如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是， ，的中點(diǎn).
求證：平面； (2)求的長(zhǎng)；(3)求證：平面 .
【解析】如圖所示，連接
，分別為的中點(diǎn)，
，
平面，平面，
平面.
由題意，可得：
連接，
分別是的中點(diǎn)，，
又且，，
又 平面，平面，
//平面.
【點(diǎn)撥】
① 在立體幾何中，遇到中點(diǎn)我們往往會(huì)想到中位線；
② 證明線面平行的過(guò)程中，經(jīng)常利用三角形的中位線(如第一問(wèn))和構(gòu)造平行四邊形的方法(如第三問(wèn));
③ 證明線面平行可轉(zhuǎn)化為證明線線平行或面面平行，本題第三問(wèn)還有多種方法.
【典題2】 如圖所示，正四棱錐的各棱長(zhǎng)均為，分別為上的點(diǎn)，且.
(1)求證：直線∥平面； (2)求線段的長(zhǎng).
【解析】(1)證明 連接并延長(zhǎng)交于，連接，如圖所示.
，，
，
又，
，，
又平面PBC，平面，
∥平面.
(2)解 在等邊中，，
在中由余弦定理知
，
，
，，
【點(diǎn)撥】
① 證明線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行，而本題是利用線段成比例證明線線平行；
② 由于線段與是異面直線，則條件不太好處理，一般要利用第三個(gè)“比例”把和聯(lián)系起來(lái)，本題充當(dāng)了這個(gè)角色;
③ 處理線段成比例中，要常注意以下幾個(gè)模型，往往跟相似三角形有關(guān)：
比如本題中的就是屬于“8字型”.
【題型二】線面平行的性質(zhì)
【典題1】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別為線段上一點(diǎn)，若，且∥平面，則 (　　)
A.41 B.31 C.32 D.21
【解析】 如圖，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，
由平面，可得，(此處是根據(jù)線面平行的性質(zhì))
，，為的中點(diǎn)，
作，，
，，，
故選：.
【點(diǎn)撥】
① 題目中出現(xiàn)線面平行平面，理當(dāng)想到線面平行的性質(zhì)；
② 線面平行的性質(zhì)可由線面平行得到線線平行;
③ 在處理很多比例時(shí)，利用“份”的概念，可快速清楚各線段之間比例
比如
(1) 中，，則設(shè)最短線(即為“份”)，則，則可得;
(2) 中，若，設(shè)(即線段共“份”，占了“份”)，則，由于線段成比例，易得類似等比例關(guān)系.
鞏固練習(xí)
1(★) 如圖在正方體中，棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，則與平面的位置關(guān)系是(　　)
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定
【答案】B
【解析】連結(jié)A1C、BC，取A1C的中點(diǎn)Q，A1B的中點(diǎn)P，
連結(jié)NQ、PQ、MN，
∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)，
∴NQ∥CC1，PQ∥BC，
∵PQ∩NQ=Q，CC1∩BC=C，PQ、NQ 平面PMN，CC1，BC 平面A1BC1，
∴平面PNQ∥平面A1BC1，
∵M(jìn)N 平面PNQ，∴MN∥平面BB1C1C．
故選：B．
2(★) 如圖所示，為所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，當(dāng)∥平面時(shí)，=　　.
【答案】
【解析】連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM．
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF=EM，
∴PA∥EM，∴===，故答案為：．
3 (★★) 如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，若直線，都平行于平面，則四邊形面積的最大值是　　.
【答案】
【解析】 ∵直線平行于平面，且平面交平面于，；
同理，，，所以，．
故：四邊形為平行四邊形．
又，的對(duì)稱性，可知．
所以：四邊形為矩形．
設(shè)，，，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：面積的最大值．
4 (★★) 如圖.在四棱錐中.底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱上一點(diǎn).點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，
(1)若，求證：∥平面；
(2)若平面，求證：.
【證明】(1)過(guò)N作NE∥CD交PD于E，連接AE．
則，∴EN=，
又AM=2MB，∴AM=．
又ABCD，∴AMEN，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，又MN 平面PAD，AE 平面PAD，∴MN∥平面PAD．
(2)過(guò)N作NE∥CD交PD于E，
∵NE∥CD∥AB，∴NE∥AB，
∴A，M，N，E四點(diǎn)共面，
∵M(jìn)N∥平面PAD，MN 平面AMNE，平面AMNE∩平面PAD=AE，∴MN∥AE，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴NE=AM==CD．
∴，∴PN=2NC．
5 (★★★) 如圖所示，四邊形為空間四邊形的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.
(1) 求證：平面，平面.
(2) 若，求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍.
(1)證明 ∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.
∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB. (線面平行的性質(zhì))
∴AB∥平面EFGH.
同理可證，CD∥平面EFGH.
(2)解 設(shè)EF=x(0＜x＜4)，由于四邊形EFGH為平行四邊形，
∴.則===1-.從而FG=6-.
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)l=2(x+6-)=12-x.又0＜x＜4,則有8＜l＜12,
∴四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是(8，12).
【題型三】面面平行的證明
【典題1】 如圖，與均為平行四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)求證：平面∥平面.
【解析】 方法1 連接交與，連接，如圖示
均為平行四邊形，是中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，
又平面平面
∥平面.
方法2 作的中點(diǎn)，連接，
與均為平行四邊形，
，，分別是，，的中點(diǎn).
，，且，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，
故平面∥平面，
∥平面；
，，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴平面∥平面.
【點(diǎn)撥】
① 遇到中點(diǎn)，可想到三角形的中位線；
② 利用三角形中位線和平行四邊形證明線線平行是常見的方法；
③ 第一問(wèn)中，證明線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行或面面平行，方法就是在平面內(nèi)找一直線平行，充分利用了三角形的中位線；方法是利用面面平行的性質(zhì)，需要找到過(guò)直線且平行平面的平面.
④ 第二問(wèn)，面面平行的證明轉(zhuǎn)化為線線平行: 平面∥平面，.
【典題2】 如圖，在四棱錐中，，，
⊥平面，，．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面∥平面；(2)求三棱錐的體積．
【解析】(1)證明分別為，的中點(diǎn)，
．
又平面，平面，
平面．
在中，分別為的中點(diǎn)，，
．
又，．
平面，平面，平面．
又，∴平面∥平面．
(2) 由(1)知，平面∥平面，
點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．
由已知，，，，∴，
∴三棱錐的體積
．
【點(diǎn)撥】
① 面面平行可轉(zhuǎn)化為線面平行：;要證明在平面∥平面，只需要在平面找到兩條相交線均平行平面便行;
② 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離;
③ 求三棱錐的體積常用等積法.三棱錐的體積表示為即以點(diǎn)到平面的距離為高、以平面為底面，而表示為是以平面為底面、點(diǎn)到面的距離為高，而較難求，故想到.等式(相當(dāng)連續(xù)用了兩次等積法).
【典題3】 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且//截面，則線段P長(zhǎng)度的取值范圍是(　　)
【解析】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
則，
故平面//平面，
平面，線段掃過(guò)的圖形是，
由，則
是直角，
∴線段長(zhǎng)度的取值范圍是：，即：.
故選：.
【點(diǎn)撥】
① 本題的關(guān)鍵是找到滿足條件的點(diǎn)的軌跡，由已知可知點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且平行面的平面與側(cè)面的交線；怎么找到呢？以下提供另一思路：想象將面沿著方向平移過(guò)點(diǎn)，較易得到面(如下圖1)，而面與側(cè)面的交線就是所求交線了，那把面拓展成面，易得交線為(如下圖2);
(圖1) (圖2)
② 線段掃過(guò)的圖形是，則需要求出三邊長(zhǎng)度，確定的長(zhǎng)度范圍.
【題型四】面面平行的性質(zhì)
【典題1】 已知兩條直線，，兩個(gè)平面，，則下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A．若，且，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【解析】 ，又，故正確；
，，若，則不可能與平行，故錯(cuò)誤；
，，若，則結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；
，，若，則結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；
故正確；
【點(diǎn)撥】
① 線面的位置關(guān)系有三種：；
② 證明某些選項(xiàng)是錯(cuò)只需要舉個(gè)反例，比如選項(xiàng)C是怎么會(huì)想到“”這個(gè)反例的呢？
運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的思想”，先由固定兩個(gè)平面，再由把線段由上至下“運(yùn)動(dòng)”下來(lái)，則的關(guān)系有兩種情況.選項(xiàng)也可類似.
【典題2】 已知平面∥面，為異面線段，，，且，，與所成的角為，平面∥面，且平面與分別相交于點(diǎn)．
(1)若，求截面四邊形的周長(zhǎng)；
(2)求截面四邊形面積的最大值．
【解析】 (1)∵平面∥面，平面，平面，
，
同理，有，同理，
∴四邊形是一個(gè)平行四邊形，
，，
∴，
，
，即四邊形的周長(zhǎng)是．
(2)設(shè)，，
由，得，同理，
又與所成的角為，
∴四邊形的面積是
∴當(dāng)時(shí)，的最大值是，
此時(shí)為的中點(diǎn)．
【點(diǎn)撥】
① 面面平行的性質(zhì)：，由面面平行可得到線線平行；
② 在處理線線平行中線段的問(wèn)題，注意“字型”、“字型”的模型；
③ 由三角形面積公式，可得平行四邊形的面積
④ 線線平行、線面px 、面面平行之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系
鞏固練習(xí)
1(★) 已知直線，給出以下三個(gè)命題：
①若平面∥平面，則直線∥平面；
②若直線∥平面，則平面∥平面；
③若直線不平行于平面，則平面不平行于平面．
其中正確的命題是(　　)
A．② B．③ C．①② D．①③
【答案】D
【解析】①若平面α∥平面β，則直線a∥平面β；因?yàn)橹本€a α，平面α∥平面β，則α內(nèi)的每一條直線都平行平面β．顯然正確．
②若直線a∥平面β，則平面α∥平面β；因?yàn)楫?dāng)平面α與平面β相加時(shí)候，仍然可以存在直線a α使直線a∥平面β．故錯(cuò)誤．
③若直線a不平行于平面β，則平面α不平行于平面β，平面內(nèi)有一條直線不平行與令一個(gè)平面，兩平面就不會(huì)平行．故顯然正確．
故選D．
2 在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：
①∥平面； ②∥平面；
③∥平面； ④平面∥平面
其中推斷正確的序號(hào)是 (　　)
A．①③ 　　　　B．①④ 　　　　　　C．②③ 　　　　　D．②④
【答案】A
【解析】∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；
∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯(cuò)誤；
∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，
∴FG∥BC1，∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正確；
∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
3(★★) 已知平面∥平面，是，外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與，分別交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與，分別交于點(diǎn)，，且，，，則的長(zhǎng)為(　　)
A. B. C.或24 D.或12
【答案】C
【解析】連接；
①當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，即在平面與平面的同側(cè)時(shí)，如圖1；
，平面，平面，
，∴；
，，，
，解得；
②當(dāng)點(diǎn)在線段上，即在平面與平面之間時(shí)，如圖2；
類似①的方法，可得，
，，，
∴，解得；
；
綜上，的長(zhǎng)為或．
故選：．
4(★★) 已知兩平行平面與之間的距離為，直線，點(diǎn)，則平面內(nèi)到點(diǎn)的距離為，且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是(　　)
A．一組平行線 B．一條拋物線 C．兩段圓弧 D．四個(gè)點(diǎn)
【答案】D
【解析】設(shè)滿足條件的點(diǎn)為，
過(guò)點(diǎn)做平面的垂線，則：．
平面內(nèi)一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，，
，即：為平面上以垂足為圓心，半徑的圓上，
過(guò)垂足做直線平行于直線，
則直線間距離，
在平面內(nèi)做直線使得到的距離，
設(shè)平面內(nèi)直線距離為，
則有：，解得，
即平面內(nèi)直線距離為，
所以同時(shí)滿足到點(diǎn)的距離為且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡為：與圓的四個(gè)交點(diǎn)．
故選：．
5(★★) 如圖，已知平面，，，且，直線，分別與平面，，交于點(diǎn)，，和，，，若，，，則=　 　．
【答案】6
【解析】AB=1，BC=2，DF=9，
若A，B，C，D，E，F(xiàn)，六點(diǎn)共面
由面面平行的性質(zhì)定理可得AB∥CD∥EF
根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：===
∴EF=6
若A，B，C，D，E，F(xiàn)，六點(diǎn)不共面
連接AF，交β于M，連接BM、EM、BE．
∵β∥γ，平面ACF分別交β、γ于BM、CF，
∴BM∥CF．∴=
同理，=．∴===∴EF=6
綜上所述：EF=6
6(★★) 如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，分別是下底面的棱，的中點(diǎn)，是上底面的棱上的一點(diǎn)，，過(guò)的平面交上底面于，在上，則　 　．
【答案】
【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN 平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．
∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=，ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，∴CQ=，從而DP=DQ=，
∴PQ===a．
故答案為：
7 (★★) 在長(zhǎng)方體，分別在對(duì)角線上取點(diǎn)，使得直線平面，則線段長(zhǎng)的最小值為 　．
【答案】
【解析】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
∵線段平行于對(duì)角面，
(面面平行的判定和性質(zhì))
設(shè)則，
(線段成比例)
在直角梯形中，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為．
8(★★) 已知：如圖，平面滿足，，，，，與異面，且．求證：
(Ⅰ)證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG
∵EG∥BD，
∴．
又∵，∴．
∴FG∥AC，
∴FG∥α，又α∥β，
∴FG∥β；
又因?yàn)镋G∩FG=G．
∴平面EFG∥β，
而EF 平面EFG；
∴EF∥β．
9(★★★) 在正方體中，分別是和的中點(diǎn)，
求證：(1)∥
(2)∥平面．
(3)平面∥平面．
證明：(1)∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別是AD1、BD和B1C的中點(diǎn)，
∴連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)N，
∴由三角形中位線定理得：MN∥CD1．
(2)∵M(jìn)N∥CD1，
MN 平面CC1D1D，CD1 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D．
(3)連結(jié)B1C、BC1，交于點(diǎn)P，則P是BC1的中點(diǎn)，
∴MP∥CD，
∵M(jìn)P 平面CC1D1D，CD 平面CC1D1D，
∴MP∥平面CC1D1D．
∵M(jìn)N∥平面CC1D1D，且MP∩MN＝M，MP、MN 平面MNP，
∴平面MNP∥平面CC1D1D．
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