資源簡介

空間直線、平面的垂直
1線面垂直
① 直線與直線垂直
(1) 異面直線所成的角
(i) 范圍:；
(ii) 作異面直線所成的角:平移法.
如圖，在空間任取一點，過作，則所成的角為異面直線所成的角.特別地，找異面直線所成的角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如線段中點，端點等)上，形成異面直線所成的角.
(2) 如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說兩條異面直線相互垂直.
② 直線與平面垂直
(1) 定義
若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.
符號表述:若任意都有，則
(2) 判定定理
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
(線線垂直線面垂直)
(3) 性質
(線面垂直線線垂直)
垂直同一平面的兩直線平行
(4) 證明線面垂直的方法
定義法(反證)
判定定理(常用)
(面面垂直線面垂直)
③ 線面所成的角
(1) 定義
如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內，則.
(2) 范圍
直線和平面所成的角的取值范圍是.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定義
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則射線和構成的叫做二面角的平面角.
(2) 范圍
二面角的平面角的取值范圍是.
② 面面垂直
(1) 定義
若二面角的平面角為，則；
(2) 判定定理
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.
(線面垂直面面垂直)
(3) 性質定理
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
(面面垂直線面垂直)
判斷
(1) 如果平面平面，平面平面，，那么
(2) 如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面
(3) 如果平面平面，過內任意一點作交線的垂線，那么此垂線必垂直于
(4) 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面
【題型一】線面垂直的判定與性質
【典題1】如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且，，是的中點，求證:(1)∥平面； (2)平面
【典題2】 為所在平面外一點，為在平面上的射影．
(1)若兩兩互相垂直，則點是的 心；
(2)若到三邊距離相等，且在內部，則點是的 心；
(3)若，則點是的 心；
(4)若與底面成等角，則點是的 心．
【典題3】 如圖，在矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，在折起過程中，有幾個正確(　　)
①平面 ②平面 ③平面 ④平面．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【題型二】面面垂直的判定與性質
【典題1】 如圖，已知四棱錐中，已知底面，且底面為矩形，則下列結論中錯誤的是（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【典題2】 如圖，直角中，，，分別是邊的中點，沿將折起至△FDE，且．
(Ⅰ)求四棱錐的體積；(Ⅱ)求證:平面平面．
【典題3】 長方形中，，，是線段上一動點，且．將沿折起，使平面平面，在平面內作于，設，則的值可能為(　　)
A． B． C． D．
鞏固練習
1(★★) 如圖：所在的平面，是的直徑，是上的一點，，，給出下列結論①，②，③，④平面，其中正確命題的序號是 (　　)
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
2(★★) 垂直于正方形所在平面，連接，則下列垂直關系正確的是（　　）
①面面 ②面⊥面 ③面⊥面 ④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3(★★) 已知邊長為的正的中線與中位線相交于點，現將沿翻折為，如圖是翻折過程中的一個圖形，則下列四個結論：
①動直線與直線互相垂直； ②恒有平面平面；
③四棱錐的體積有最大值；④三棱錐的側面積沒有最大值．
其中正確結論的個數是（　　）
A． B． C． D．
4(★★) 如圖所示，三棱錐的底面在平面α內，且，平面平面，點，是定點，則動點的軌跡是(　　)
A．一條線段 B．一條直線 C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點
5(★★) 如圖，已知平面平面，是平面與平面的交線上的兩個定點，，，且，，，，，在平面上有一個動點，使得∠∠，則的面積的最大值是(　　)
A． B． C． D．
6(★★) 如圖，在長方體中，底面是正方形，是的中點．
(1)求證：；(2)若平面，求的值．
7 (★★★) 如圖，在邊長為的菱形中，．點分別在邊上，點與點、不重合，沿將翻折到的位置，使平面平面．
(1)求證：平面；
(2)當取得最小值時，求四棱錐的體積．
8 (★★★) 如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，是上的動點，且，．
(1)試證明不論點在何位置，都有；
(2)求的最小值；
(3)設平面與平面的交線為，求證：．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)空間直線、平面的垂直
1線面垂直
① 直線與直線垂直
(1) 異面直線所成的角
(i) 范圍:；
(ii) 作異面直線所成的角:平移法.
如圖，在空間任取一點，過作，則所成的角為異面直線所成的角.特別地，找異面直線所成的角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如線段中點，端點等)上，形成異面直線所成的角.
(2) 如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說兩條異面直線相互垂直.
② 直線與平面垂直
(1) 定義
若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.
符號表述:若任意都有，則
(2) 判定定理
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
(線線垂直線面垂直)
(3) 性質
(線面垂直線線垂直)
垂直同一平面的兩直線平行
(4) 證明線面垂直的方法
定義法(反證)
判定定理(常用)
(面面垂直線面垂直)
③ 線面所成的角
(1) 定義
如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內，則.
(2) 范圍
直線和平面所成的角的取值范圍是.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定義
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則射線和構成的叫做二面角的平面角.
(2) 范圍
二面角的平面角的取值范圍是.
② 面面垂直
(1) 定義
若二面角的平面角為，則；
(2) 判定定理
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.
(線面垂直面面垂直)
(3) 性質定理
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
(面面垂直線面垂直)
判斷
(1) 如果平面平面，平面平面，，那么
(2) 如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面
(3) 如果平面平面，過內任意一點作交線的垂線，那么此垂線必垂直于
(4) 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面
【題型一】線面垂直的判定與性質
【典題1】如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且，，是的中點，求證:(1)∥平面； (2)平面
【證明】 (1) 分別是的中點，取的中點，
，
都垂直于平面，，
，又
∴四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面．
(2)因是的中點，是正三角形，所以
又 垂直于平面 ，
又 ，所以面，
面，
又，從而，
因是的中點，所以
，是平面內兩條相交直線，所以平面．
【點撥】
① 線面垂直的判定：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直；它可把線面垂直轉化為線線垂直，本題中平面在平面上找到兩條相交直線均垂直；
② 線面垂直的性質：；它可由線面垂直得到線線垂直；
③ 等腰三角形要注意“三線合一”的運用.
【典題2】 為所在平面外一點，為在平面上的射影．
(1)若兩兩互相垂直，則點是的 心；
(2)若到三邊距離相等，且在內部，則點是的 心；
(3)若，則點是的 心；
(4)若與底面成等角，則點是的 心．
【解析】如圖是所在平面外一點，是點在平面上的射影．
(1) 若兩兩互相垂直，由可證得，，，即此時點是三角形三邊高的交點，故此時點是三角形的垂心，故應填:垂．
(2) 若到三邊的距離相等，，，分別是點在三個邊上的垂足，故可證得，，分別垂直于三邊且相等，由內切圓的加心的定義知，此時點是三角形的內心，故應填:內；
(3) 若，，因為底面，所以，同理，可得是的垂心；故應填:垂．
(4) 若與地面成等角，由條件可證得，由三角形外心的定義知此時點是三角形的外心，故應填:外；
綜上，三空答案依次應為垂、內、垂、外
【點撥】三角形的四心：
【典題3】 如圖，在矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，在折起過程中，有幾個正確(　　)
①平面 ②平面 ③平面 ④平面．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解析】在矩形中，，，為邊的中點，
∴設點在平面上的投影為，在折起過程中，點的軌跡為下圖到的四分之一圓．
此過程中始終有平面
對于① 假設平面，則，又，則平面，
但由圖可知不可能垂直，產生了矛盾，故假設不成立，故①錯誤；
對于② 假設平面，則，又，則平面，
但由圖可知只有點投影位于位置時，才有，此時平面，顯然不能滿足平面，產生了矛盾，故假設不成立，故②錯誤；
對于③ 假設平面則，又，則平面，
但由圖可知不可能垂直，產生了矛盾，故假設不成立，故③錯誤；
對于④ ，∴若要滿足平面，則只需要，而，若便可，在折疊的過程中易得存在一個位置使得(為弧線與線段的交點)，故④正確．
故選:A
【點撥】
① 對于①--③，均利用了反證法進行否決；
② 在對于運動變化的題目，一定要明確哪些量是不變的，哪些量是變化的！
【題型二】面面垂直的判定與性質
【典題1】 如圖，已知四棱錐中，已知底面，且底面為矩形，則下列結論中錯誤的是（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【解析】
方法一
對于，因為已知底面，且底面為矩形，
所以，又，平面，所以平面平面，故正確；
對于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，
所以又，所以平面，所以平面平面，故正確；
對于，已知底面，且底面為矩形，所以，又，
所以平面，所以平面平面，故正確；
故選．
方法二
底面，且底面為矩形，
可視為正方體的一部分，如下圖，
根據正方形的特性，平面平面，平面平面是不可能的，
容易選出C.
【點撥】
① 面面垂直的判定定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.它可以把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直；
② 方法二比較巧妙，通過構造正方體進行求解.
【典題2】 如圖，直角中，，，分別是邊的中點，沿將折起至△FDE，且．
(Ⅰ)求四棱錐的體積；(Ⅱ)求證:平面平面．
【解析】 (Ⅰ)分別是邊的中點，
平行且等于的一半，，
依題意，，，
，平面，
又平面，
平面平面
作于，則平面，，
梯形的面積
四棱錐的體積
(Ⅱ)(法一)
如圖．取線段的中點，連接，則平行且等于的一半，
平行且等于，是平行四邊形，
，，是等邊三角形，，
又平面，，，
，平面 平面，
又平面，∴平面平面
(法二)連接，，，是邊長為等邊三角形
，，，
平面，，平面
平面，，又，
平面，又平面，∴平面平面
【點撥】
① 面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.它利用面面垂直證明線面垂直；
② 線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化
③ 確定高的時候，要證明出它垂直底面才行(即平面，才是高).
【典題3】 長方形中，，，是線段上一動點，且．將沿折起，使平面平面，在平面內作于，設，則的值可能為(　　)
A． B． C． D．
【解析】如圖，過作，垂足為，連接，
平面平面，又，平面，．
方法一 把折疊后幾何體展開為平面圖形，如下圖，
設
；
在中，；
由對利用等積法，可得；
在中，；
，，即
由對勾函數可知
則，即的取值范圍是(，)
方法二 把折疊后幾何體展開為平面圖形，如下圖，
設，則，
易得，，即，
當時，為的中點，此時；
當時，與重合，此時設，其中；
即當時，，
在上遞減，
故的取值范圍是(，)
故選：B．
【點撥】
① 對于處于變化的題目中，要注意幾點：
(1) 哪些是變量，哪些是恒量(恒量：線段，等；變量：線段，角等)；
(2) 明確在變量中，某個變量是由哪個變量而引起變化的，“源頭的變量”在哪里；比如在方法二中，是變量，可以說它是隨角變化，而角是隨線段變化，線段隨線段變化，顯然變量線段是本題的“源頭的變量”；
(3) 明確相關變量之間是怎么變化的，顯然線段是隨線段增大而遞減的，在方法一中可知線段是隨線段的增大而遞減的；
② ”明確相關變量之間是怎么變化”這點，本題要求的范圍，顯然它由線段變化的，但方法一中(其中)，方法二中(其中角)，選擇哪個變量作為函數的自變量，主要看函數的表達是否簡便、計算量是否夠小，不會以線段為自變量，顯然方法二會更好些.
③ 求變量的取值范圍，多利用函數的單調性求解，此時要注意自變量的取值范圍，函數思想無處不在；
④ 本題中變量之間的關系通過平面幾何的知識點得到，其中相似三角形、等積法、勾股定理、三角函數等基礎知識點常常用到.
鞏固練習
1(★★) 如圖：所在的平面，是的直徑，是上的一點，，，給出下列結論①，②，③，④平面，其中正確命題的序號是 (　　)
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵是的直徑，∴，
∵所在平面，
∴，
∴面，∴，
∴，
∵，
∴面，∴④正確；
∵面，∴，，
∴①②正確；
若，則面，
此時重合，與已知矛盾．∴③錯誤；
故①②④正確．
故選C．
2(★★) 垂直于正方形所在平面，連接，則下列垂直關系正確的是（　　）
①面面 ②面⊥面 ③面⊥面 ④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【證明】由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易證BC⊥平面PAB，則平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
則平面PAD⊥平面PAB．
故選A．
3(★★) 已知邊長為的正的中線與中位線相交于點，現將沿翻折為，如圖是翻折過程中的一個圖形，則下列四個結論：
①動直線與直線互相垂直； ②恒有平面平面；
③四棱錐的體積有最大值；④三棱錐的側面積沒有最大值．
其中正確結論的個數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為已知邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG，
所以DE⊥A′F；故①正確；
②由①得DE 平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正確；
③三棱錐A′－FED的底面積是定值，體積由高即A′到底面的距離決定，當平面A′DE⊥平面BCED時，三棱錐A′－FED的體積有最大值，故③正確；
故選C．
4(★★) 如圖所示，三棱錐的底面在平面α內，且，平面平面，點，是定點，則動點的軌跡是(　　)
A．一條線段 B．一條直線 C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點
【答案】D
【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，
而平面PAC∩平面PBC=PC，
又AC 面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥面PBC，
而BC 面PBC，∴AC⊥BC，
∴點C在以AB為直徑的圓上，
∴點C的軌跡是一個圓，但是要去掉A和B兩點．
故選：D．
5(★★) 如圖，已知平面平面，是平面與平面的交線上的兩個定點，，，且，，，，，在平面上有一個動點，使得∠∠，則的面積的最大值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA β，CB β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
如圖，
作PM⊥AB，垂足為M，令AM=t，
在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，AM是公共邊及PB=2PA
∴PA2－t2=4PA2－(6－t)2
解得PA2=12－4t
∴PM=．
∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12．
即三角形面積的最大值為12．
6(★★) 如圖，在長方體中，底面是正方形，是的中點．
(1)求證：；(2)若平面，求的值．
(1)證明：連接BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∴B1B⊥面ABCD
∴B1B⊥AC又因為BD∩B1B=B，所以AC⊥面B1BD
又∵B1D 面B1BD，∴AC⊥B1D
(2)連接DC1，DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影
∵B1D⊥平面ACE且CE 平面ACE，∴B1D⊥CE
∵DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影，∴CE⊥DC
在平面CC1D1D中如圖所示∠C1DC=∠CED，
∴△C1DC∽△CED，∴即，∴2CD2=CC12
∴即
故的值為．
7 (★★★) 如圖，在邊長為的菱形中，．點分別在邊上，點與點、不重合，沿將翻折到的位置，使平面平面．
(1)求證：平面；
(2)當取得最小值時，求四棱錐的體積．
【答案】(1) 見解析 (2) 3
【解析】(1)證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO 平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD 平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
(2)設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，
所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，．
又設PO=x，則，．
由OH⊥BD，則，
又由(1)知，PO⊥平面BFED，則PO⊥OB
所以，
當時，．
此時，EF=BD=2，OH=
所以 =3．
8 (★★★) 如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，是上的動點，且，．
(1)試證明不論點在何位置，都有；
(2)求的最小值；
(3)設平面與平面的交線為，求證：．
(1)證明：∵底面ABCD是正方形 ∴DB⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD 面ABCD，∴DB⊥SA，
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不論點P在何位置都有PC 平面SAC，
∴DB⊥PC．
(2)解：將側面SAB繞側棱SA旋轉到與側面SAD在同一平面內，如圖示，
則當B、P、H三點共線時，PB+PH取最小值，這時，PB+PH的最小值即線
段BH的長，設∠HAD=α，則∠BAH=π－α，
在rt△AHD中，∵，∴，
在三角形BAH中，有余弦定理得：
BH2=AB2+AH2－2AB AHcos(π－α)=，
∴．
(3)連結EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，∴，∴EH∥BD，
又∵EH 面AEKH，BD 面AEKH，∴BD∥面AEKH．
∵平面AEKH∩平面ABCD=l，
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