資源簡介

用樣本估計總體
1總體取值規律的估計
① 頻率直方圖
(1) 畫頻率直方圖的步驟
求極差--決定組距與組數--將數據分組--列頻率分布表--畫頻率分布直方圖.
(2) 小長方形的面積=頻率
(3) 在直方圖中，各小長方形的面積之和等于.
2 總體百分位數的估計
① 第百分位數的概念
一般地，一組數據的第百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
② 計算一組個數據的第百分位數
第一步：按從小到大排列原始數據；
第二步：計算;
第三步：若不是整數，而大于的比鄰整數為，則第百分位數為第項數據；若是整數，則第百分位數為第項與第項數據的平均數.
③ 四分位數的概念
四分位數：包含第百分位數，第百分位數，第百分位數.
中位數相當于第百分位數，第百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數.
3 總體集中趨勢的估計
一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數和中位數應該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數大于中位數；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數小于中位數.
一般地，對數值型數據(如用水量，身高，收入，產量等)集中趨勢的描述，可以用平均數、中位數；而對分類型數據(如校服規格、性別、產品質量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數.
4 總體離散程度的估計
① 方差，標準差的概念
(1)假設一組數據是，用
這組數據的方差，為了計算方便也可以用
標準差是
② 方差，標準差的意義
方差越大，表明數據波動越大，越不穩定；方差越小，表明數據波動越小，越穩定.
【題型一】常見統計數據
【典題1】 某地一年之內12個月的月降水量從小到大分別為：46，51， 48，53，56， 53，56，64，58，56，66，71，則該地區的月降水量20%分位數和75%分位數為（　　)
A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61
【典題2】甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：下列說法錯誤的是（　　)
A．從平均數和方差相結合看，甲波動比較大，乙相對比較穩定
B．從折線統計圖上兩人射擊命中環數走勢看，甲更有潛力
C．從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，甲成績較好
D．從平均數和中位數相結合看，乙成績較好
【典題3】 已知的平均數為，標準差為，則的平均數和標準差分別為 .
【典題4】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、內三名同學利用假期分別對三個社區進行了“家庭每月日常消費額”的調查．他們將調查所得到的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，甲、乙、丙所調查數據的標準差分別為，則它們的大小關系為(　　)
【典題5】在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段事時間內沒有發生大規模群體感染的標志是“連續10日，每天新增疑似病例不超過7人”．過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下：
甲地：中位數為2，眾數為3；
乙地：總體平均數為2，總體方差為3；
丙地：總體平均數為1，總體方差大于0；
丁地：總體平均數為3，中位數為4．
則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發生大規模群體感染的是 地
【典題6】（多選) 氣象意義上從春季進入夏季的標志為“當且僅當連續天每天日平均溫度不低于”．現有甲、乙、丙三地連續天日平均溫度的記錄數據（數據均為正整數，單位)且滿足以下條件：
甲地：個數據的中位數是，眾數是；
乙地：個數據的中位數是，平均數是；
丙地：個數據有個是，平均數是，方差是．
根據以上數據，下列統計結論正確的是（　　)
A．甲地進入了夏季
B．乙地進入了夏季
C．不能確定丙地進入了夏季
D．恰有2地確定進入了夏季
鞏固練習
1. (★)以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績：（單位：分)
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91．
則這人成績的第百分位數是 　 　．
2. (★)已知甲、乙兩組數據（已按從小到大的順序排列)：
甲組：；乙組：．
若這兩組數據的30百分位數、80百分位數分別相等，則等于
3. (★)某同學將全班某次數學考試成績整理成頻率分布直方圖后，并將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖所示)，據此估計此次考試成績的眾數是(　　)
A．100 B．110 C．115 D．120
4. (★★) 在某次測量中得到的樣本數據如下：80，82，82，84，84，84，84，86，86，86，86．若的樣本數據恰好是的樣本數據都減去2后得到的數據，則關于，兩樣本數據特征的下列說法中，正確的是(　　)
A．樣本數據的眾數為84 B．樣本數據的方差相同
C．樣本數據的平均數相同 D．樣本數據的中位數相同
5. (★★)下列命題中不正確的是（　　)
A．一組數據1，2，3，3，4，5的眾數大于中位數
B．數據6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數為5
C．若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩定的是乙
D．為調查學生每天平均閱讀時間，某中學從在校學生中，利用分層抽樣的方法抽取初中生20人，高中生10人．經調查，這20名初中生每天平均閱讀時間為60分鐘，這10名高中生每天平均閱讀時間為90分鐘，那么被抽中的30名學生每天平均閱讀時間為70分鐘
6.(★★) 已知數據是杭州市100個普通職工的2016年10月份的收入(均不超過2萬元)，設這100個數據的中位數為，平均數為，方差為，如果再加上馬云2016年10月份的收入(約100億元)，則相對于，這101個月收入數據(　　)
A．平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變
B．平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變
C．平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變
D．平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大
7. (★★) 設樣本數據的平均值和方差分別為2和5，若(a為非零實數，)，則的均值和方差分別為(　　)
8. (★★★)（多選) 在全球新型冠狀病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”，根據連續7天的新增病例數計算，下列各項中，一定符合上述指標的是（　　)
A．平均數
B．標準差
C．平均數且極差小于或等于
D．眾數等于且極差小于或等于
9. (★★★) （多選)甲同學投擲骰子5次，并請乙同學將向上的點數記錄下來，計算出平均數和方差．由于記錄遺失，乙同學只記得這五個點數的平均數為2，方差在區間[1.2，2.4]內，則這五個點數（　　)
A．眾數可能為
B．中位數可能為
C．一定不會出現
D．出現的次數不超過兩次
【題型二】頻率直方圖的運用
【典題1】 某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名學生，將其成績(均為整數)分成六段后，畫出如圖所示部分頻率分布直方圖．觀察圖形，回答下列問題：
(1) 求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(2) 估計這次考試成績的中位數(結果取整數值)；
(3) 估計這次考試的眾數、平均分、方差．
鞏固練習
(★)為了了解某種進口茶葉的質量(單位：克)，從中抽取若干包進行檢查，獲得樣本的頻率分布直方圖如圖所示．若已知樣本中質量在內的茶葉有包，則樣本容量為(　　)
A．150 B．100 C．70 D．50
2. (★★) 某市高三數學抽樣考試中，對90分以上(含90分)的成績進行統計，其頻率分布圖如圖所示，若130～140分數段的人數為90人，則90～100分數段的人數為(　　)
A．740 B．180 C．720 D．540
3. (★★) 某市要對轄區內的中學教師的年齡進行調查，現從中隨機抽出200名教師，已知抽到的教師年齡都在[25，50)歲之間，根據調查結果得出教師的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市轄區內中學教師的年齡的中位數大約是(　　)
A．37.1歲 B．38.1歲 C．38.7歲 D．43.1歲
4. (★★)（多選) 為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
則下列結論正確的是（　　)
A．估計該地農戶家庭年收入不低于8.5萬元的農戶比例為30%
B．估計該地農戶家庭年收入的第三四分位數為9萬元
C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地農戶家庭年收入的中位數為8萬元
5. (★★)（多選)習近平總書記強調，要堅持健康第一的教育理念，加強學校體育工作，推動青少年文化學習和體育鍛煉協調發展．某學校對高一和高二年級每周在校體育鍛煉時長進行了統計，得到數據（單位：小時)如表：
高一年級在校體育鍛煉時長
關于高一和高二年級在校體育鍛煉時長，下列說法正確的是（　　)
A．高一年級時長的眾數比高二年級的大
B．高一年級時長的平均數比高二年級的小
C．高一年級時長的中位數比高二年級的大
D．高一年級時長的方差比高二年級的大
6.(★★) 為對考生的月考成績進行分析，某地區隨機抽查了10000名考生的成績，根據所得數據畫了如下的樣本頻率分布直方圖．
(1)求成績在[600，650)的頻率；
(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
(3)為了分析成績與班級、學校等方面的關系，必須按成績再從這10000人中用分層抽樣方法抽出20人作進一步分析，則成績在[550，600)的這段應抽多少人？
7．(★★) 某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13，14]，第二組[14，15)，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
(1)若成績小于15秒認為良好，求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數；
(2)請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；
(3)請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、中位數、平均數和方差．
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1總體取值規律的估計
① 頻率直方圖
(1) 畫頻率直方圖的步驟
求極差--決定組距與組數--將數據分組--列頻率分布表--畫頻率分布直方圖.
(2) 小長方形的面積=頻率
(3) 在直方圖中，各小長方形的面積之和等于.
2 總體百分位數的估計
① 第百分位數的概念
一般地，一組數據的第百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
② 計算一組個數據的第百分位數
第一步：按從小到大排列原始數據；
第二步：計算;
第三步：若不是整數，而大于的比鄰整數為，則第百分位數為第項數據；若是整數，則第百分位數為第項與第項數據的平均數.
③ 四分位數的概念
四分位數：包含第百分位數，第百分位數，第百分位數.
中位數相當于第百分位數，第百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數.
3 總體集中趨勢的估計
一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數和中位數應該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數大于中位數；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數小于中位數.
一般地，對數值型數據(如用水量，身高，收入，產量等)集中趨勢的描述，可以用平均數、中位數；而對分類型數據(如校服規格、性別、產品質量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數.
4 總體離散程度的估計
① 方差，標準差的概念
(1)假設一組數據是，用
這組數據的方差，為了計算方便也可以用
標準差是
② 方差，標準差的意義
方差越大，表明數據波動越大，越不穩定；方差越小，表明數據波動越小，越穩定.
【題型一】常見統計數據
【典題1】 某地一年之內12個月的月降水量從小到大分別為：46，51， 48，53，56， 53，56，64，58，56，66，71，則該地區的月降水量20%分位數和75%分位數為（　　)
A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61
【解析】該組數據從小到大排列為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71
因為，計算結果不是整數，
所以分位數為第項數據，即；
因為，計算結果是整數，
所以分位數為第9項和第10項數據的平均數，即．
【點撥】計算一組個數據的第百分位數的步驟：
(1)按從小到大排列原始數據；
(2)計算;
(3)若不是整數，而大于的比鄰整數為，則第百分位數為第項數據；
若是整數，則第百分位數為第項與第項數據的平均數.
【典題2】甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：下列說法錯誤的是（　　)
A．從平均數和方差相結合看，甲波動比較大，乙相對比較穩定
B．從折線統計圖上兩人射擊命中環數走勢看，甲更有潛力
C．從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，甲成績較好
D．從平均數和中位數相結合看，乙成績較好
【解析】由圖可知，甲打靶的成績為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
所以甲的平均數為，
甲方差；
乙打靶的成績分別為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
乙的平均數為，
乙方差；
所以，從平均數和方差相結合看，甲波動比較大，乙波動比較小，故正確，
(不求方差，看圖也可知道甲的波動比乙的要打些)
從折線統計圖看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，甲更有潛力，故正確，
甲打靶的成績為2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位數為7.5，
乙打靶的成績為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位數為7，
甲9環以及9環以上的次數為3次，乙9環以及9環以上的次數為1次，
而二人的平均數相同，故甲成績更好點，故正確，
甲乙的平均數相同，而甲的中位數大于乙的中位數，故甲的成績比較好，故錯誤，
故選：．
【典題3】 已知的平均數為，標準差為，則的平均數和標準差分別為 .
【解析】的平均數為，標準差為，
的平均數為，標準差為：
【點撥】若原有的數據平均數為，方差為，在原數據基礎上進行線性變化，則新的平均數為，新的方差為.
【典題4】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、內三名同學利用假期分別對三個社區進行了“家庭每月日常消費額”的調查．他們將調查所得到的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，甲、乙、丙所調查數據的標準差分別為，則它們的大小關系為(　　)
【解析】根據三個頻率分步直方圖知，
甲數據的兩端數字較多，絕大部分數字都處在兩端數據偏離平均數遠，最分散，其方差、標準差最大；
丙數據是單峰的每一個小長方形的差別比較小，數字分布均勻，數據不如第一組偏離平均數大，方差比第一組中數據中的方差、標準差小，
而乙數據絕大部分數字都在平均數左右，數據最集中，故其方差、標準差最小，
總上可知，
故選：．
【點撥】根據方差的意義就可以判斷方差的大小. 數據波動越大，方差越大；數據波動越小，方差越小.
【典題5】在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段事時間內沒有發生大規模群體感染的標志是“連續10日，每天新增疑似病例不超過7人”．過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下：
甲地：中位數為2，眾數為3；
乙地：總體平均數為2，總體方差為3；
丙地：總體平均數為1，總體方差大于0；
丁地：總體平均數為3，中位數為4．
則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發生大規模群體感染的是 地
【解析】(要每天軍不超過人方能確定沒發生大規模群體感染，即10個數不出現極端數值)
根據題意，依次分析選項：
對于甲地：中位數為2，眾數為3，則從小排到大的數據形式是；
有可能出現超過7人的情況，如數據0，0，1，1，2，2，3，3，3，8，
出現了每天新增疑似病例超過人的情況，可能發生大規模群體感染；
② 對于丙地，若要滿足題意，則總和是，且不能個數都是，
對于數據8，1，1，0，0，0，0，0，0，0，總體平均數為，總體方差大于，
而出現了每天新增疑似病例超過7人的情況，可能發生大規模群體感染；
③ 對于丁地，平均數與中位數不能限制極端值的出現，則有可能出現超過人的情況，可能發生大規模群體感染，比如0，0，0，0，4，4，，，，；
④ (甲丙丁都排除了，那如何證明乙地是一定沒有發生大規模群體感染？用反證法)
對于乙地，假設過去10天新增疑似病例數據存在一個數據，，
而總體平均數為2，則總體方差，故不成立，
故假設不成立，故符合沒有發生大規模群體感染的標志，一定沒有發生大規模群體感染；
故答案為：乙．
【點撥】
(1)先明確眾數、平均數、眾數對極端數值的出現影響較小，了解滿足各項的要求的數據形
式，再通過舉反例進行排除.
(2)當證明含“一定”“唯一”“至多”“至少”等字眼的命題或從正面較難求解的，可嘗試間接證明方法--反證法.
【典題6】（多選) 氣象意義上從春季進入夏季的標志為“當且僅當連續天每天日平均溫度不低于”．現有甲、乙、丙三地連續天日平均溫度的記錄數據（數據均為正整數，單位)且滿足以下條件：
甲地：個數據的中位數是，眾數是；
乙地：個數據的中位數是，平均數是；
丙地：個數據有個是，平均數是，方差是．
根據以上數據，下列統計結論正確的是（　　)
A．甲地進入了夏季
B．乙地進入了夏季
C．不能確定丙地進入了夏季
D．恰有2地確定進入了夏季
【解析】甲地：個數據由小到大排，
則，其中，滿足進入夏季的標志；
乙地：將個數據由小到大排，則，其中，
則，而，
故，其中必有一個小于，故不滿足一定進入夏季的標志；
丙地：設個數據，且，
由方差公式可知：
，
則，
不妨設，，
則均大于，但不確定是否大于，故不能確定丙地進入夏天．
故選：．
鞏固練習
1. (★)以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績：（單位：分)
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91．
則這人成績的第百分位數是 　 　．
【答案】
【解析】該組數據從小到大排列為：
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．
且，
所以這人成績的第80百分位數是．
故答案為：．
2. (★)已知甲、乙兩組數據（已按從小到大的順序排列)：
甲組：；乙組：．
若這兩組數據的30百分位數、80百分位數分別相等，則等于
【答案】
【解析】因為，，
所以乙組的百分位數為，甲組的百分位數為，
則．
3. (★)某同學將全班某次數學考試成績整理成頻率分布直方圖后，并將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖所示)，據此估計此次考試成績的眾數是(　　)
A．100 B．110 C．115 D．120
【答案】C
【解析】根據頻率分布折線圖，得；折線的最高點對應的值是115，
據此估計此次考試成績的眾數是115．故選：C．
4. (★★) 在某次測量中得到的樣本數據如下：80，82，82，84，84，84，84，86，86，86，86．若的樣本數據恰好是的樣本數據都減去2后得到的數據，則關于，兩樣本數據特征的下列說法中，正確的是(　　)
A．樣本數據的眾數為84 B．樣本數據的方差相同
C．樣本數據的平均數相同 D．樣本數據的中位數相同
【答案】
【解析】在某次測量中得到的樣本數據如下:．
若的樣本數據恰好是的樣本數據都減去后得到的數據，
樣本數據的眾數是和，樣本數據的眾數是和，故錯誤；
樣本數據的方差相同，故B正確；
樣本數據的平均數比樣本數據的平均數大，故錯誤；
樣本數據的中位數比樣本數據的中位數大，故錯誤.
故選：．
5. (★★)下列命題中不正確的是（　　)
A．一組數據1，2，3，3，4，5的眾數大于中位數
B．數據6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數為5
C．若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩定的是乙
D．為調查學生每天平均閱讀時間，某中學從在校學生中，利用分層抽樣的方法抽取初中生20人，高中生10人．經調查，這20名初中生每天平均閱讀時間為60分鐘，這10名高中生每天平均閱讀時間為90分鐘，那么被抽中的30名學生每天平均閱讀時間為70分鐘
【答案】
【解析】選項A：1，2，3，3，4，5的眾數為，中位數為，
故相等，所以錯誤，
選項B：將數據從小到大排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，則它們的分位數為，即為，故正確，
選項：乙組數據的平均值為，
所以方差為
所以這兩組數據中較穩定的是乙，故C正確，
選項D：被抽中的30名學生每天平均閱讀時間為，故D正確，
故選：A．
6.(★★) 已知數據是杭州市100個普通職工的2016年10月份的收入(均不超過2萬元)，設這100個數據的中位數為，平均數為，方差為，如果再加上馬云2016年10月份的收入(約100億元)，則相對于，這101個月收入數據(　　)
A．平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變
B．平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變
C．平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變
D．平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大
【答案】B
【解析】∵數據x1，x2，x3，…，xn是上海普通職工個人的年收入，
而xn+1為世界首富的年收入
則xn+1會遠大于x1，x2，x3，…，xn，
故這n+1個數據中，年收入平均數大大增大，
但中位數可能不變，也可能稍微變大，
但由于數據的集中程序也受到xn+1比較大的影響，而更加離散，則方差變大
故選B
7. (★★) 設樣本數據的平均值和方差分別為2和5，若(a為非零實數，)，則的均值和方差分別為(　　)
【答案】B
【解析】根據題意，樣本x1，x2，…，x10數據的平均值和方差分別為2和5，
則有=(x1+x2+…+x10)=2，
=[(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+…+(x10﹣2)2]=5，
對于；
則有=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=2+a，
=[(y1﹣2﹣a)2+(y2﹣2﹣a)2+…+(y10﹣2﹣a)2]=5，
故選：B．
8. (★★★)（多選) 在全球新型冠狀病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”，根據連續7天的新增病例數計算，下列各項中，一定符合上述指標的是（　　)
A．平均數
B．標準差
C．平均數且極差小于或等于
D．眾數等于且極差小于或等于
【答案】
【解析】A錯，舉反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均數，不符合指標，
B錯，舉反例：0，3，3，3，3，3，6，平均數，且標準差，不符合指標，
C對，若極差等于0或1，在的條件下，顯然符合指標；若極差等于2且，
則每天新增感染人數的最小值與最大值有下列可能：（1)0，2，（2)1，3，（3)2，4，符合指標，
D對，若眾數等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過5，符合指標．
故選：．
9. (★★★) （多選)甲同學投擲骰子5次，并請乙同學將向上的點數記錄下來，計算出平均數和方差．由于記錄遺失，乙同學只記得這五個點數的平均數為2，方差在區間[1.2，2.4]內，則這五個點數（　　)
A．眾數可能為
B．中位數可能為
C．一定不會出現
D．出現的次數不超過兩次
【答案】
【解析】對于A，向上的點數為1，1，1，2，5時，眾數為1，平均數為2，
方差為，故A正確；
若中位數為3，設五次數據從小到大為：，，，，，則，
，
，，矛盾，故錯誤；
若出現了6，則其它四次和為4，即數據為1，1，1，1，6，
方差為 ，矛盾，故C正確；
若出現3次2，則其它2次和為4，這兩次為1，4，
方差為，矛盾，故D正確．
故選：．
【題型二】頻率直方圖的運用
【典題1】 某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名學生，將其成績(均為整數)分成六段后，畫出如圖所示部分頻率分布直方圖．觀察圖形，回答下列問題：
(1) 求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(2) 估計這次考試成績的中位數(結果取整數值)；
(3) 估計這次考試的眾數、平均分、方差．
【解析】(1) 因為各組的頻率和等于1，
故第四組的頻率：
直方圖如右所示．
(2) 成績在的頻率為
成績在的頻率為：，
中位數在內，
設中位數為，
中位數要平分直方圖的面積，
解得
即中位數為.
(3) 頻率最大的是組，則眾數是；
利用組中值估算抽樣學生的平均分為：
估計這次考試的平均分是(分)．
方差.
【點撥】
① 利用頻率之和為1，得到所有矩形面積之和為1;
② 在頻率直方圖中
眾數最高那組的組中值；
平均數每組的組中值每組的面積之和；
方差之和；
中位數：設中位數為，則直線能夠把所有矩形的面積平分，即在直線左邊的矩形面積為
鞏固練習
(★)為了了解某種進口茶葉的質量(單位：克)，從中抽取若干包進行檢查，獲得樣本的頻率分布直方圖如圖所示．若已知樣本中質量在內的茶葉有包，則樣本容量為(　　)
A．150 B．100 C．70 D．50
【答案】D
【解析】樣本中質量在內的茶葉有包，
由頻率分布直方圖得質量在內的頻率為，
樣本容量．故選：D．
2. (★★) 某市高三數學抽樣考試中，對90分以上(含90分)的成績進行統計，其頻率分布圖如圖所示，若130～140分數段的人數為90人，則90～100分數段的人數為(　　)
A．740 B．180 C．720 D．540
【答案】C
【解析】根據頻率分布直方圖，得，分數段的人數為人，對應的頻率是，
樣本容量是=1800；分數段的人數．
故選：C．
3. (★★) 某市要對轄區內的中學教師的年齡進行調查，現從中隨機抽出200名教師，已知抽到的教師年齡都在[25，50)歲之間，根據調查結果得出教師的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市轄區內中學教師的年齡的中位數大約是(　　)
A．37.1歲 B．38.1歲 C．38.7歲 D．43.1歲
【答案】B
【解析】根據頻率和等于，得；年齡在歲之間的頻率為
，
令，解得；
該市轄區內中學教師的年齡的中位數大約歲．
故選：．
4. (★★)（多選) 為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
則下列結論正確的是（　　)
A．估計該地農戶家庭年收入不低于8.5萬元的農戶比例為30%
B．估計該地農戶家庭年收入的第三四分位數為9萬元
C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地農戶家庭年收入的中位數為8萬元
【答案】
【解析】對于，該地農戶家庭年收入不低于8.5萬元的農戶比例為，故正確；
對于，該地農戶家庭年收入的第三四分位數為萬元，
則，
解得，故正確；
對于，該地農戶家庭所收入的平均值為：
，故錯誤；
對于D，設該地農戶家庭年收入的中位數為萬元，
則，即，
則中位數為7.5，故D錯誤．
故選：．
5. (★★)（多選)習近平總書記強調，要堅持健康第一的教育理念，加強學校體育工作，推動青少年文化學習和體育鍛煉協調發展．某學校對高一和高二年級每周在校體育鍛煉時長進行了統計，得到數據（單位：小時)如表：
高一年級在校體育鍛煉時長
關于高一和高二年級在校體育鍛煉時長，下列說法正確的是（　　)
A．高一年級時長的眾數比高二年級的大
B．高一年級時長的平均數比高二年級的小
C．高一年級時長的中位數比高二年級的大
D．高一年級時長的方差比高二年級的大
【答案】
【解析】對于高一年級，由表可進行下列計算：
時長眾數為，時長平均數為，
時長中位數為
時長方差為
；
對于高二年級，由頻率分布直方圖可進行下列計算：
時長眾數為，時長平均數為，
時長中位數為，
時長方差為
．
由上可知：，，，，
故選：．
6.(★★) 為對考生的月考成績進行分析，某地區隨機抽查了10000名考生的成績，根據所得數據畫了如下的樣本頻率分布直方圖．
(1)求成績在[600，650)的頻率；
(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
(3)為了分析成績與班級、學校等方面的關系，必須按成績再從這10000人中用分層抽樣方法抽出20人作進一步分析，則成績在[550，600)的這段應抽多少人？
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)根據頻率分布直方圖，得；
成績在的頻率為；.
(2)因為
，且，
所以，樣本數據的中位數為(分)；
(3)成績在的頻率為，
所以名考生中成績在[550，600)的人數為(人)，
再從人用分層抽樣方法抽出人，
則成績在[550，600)的這段應抽取人．
7．(★★) 某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13，14]，第二組[14，15)，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
(1)若成績小于15秒認為良好，求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數；
(2)請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；
(3)請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、中位數、平均數和方差．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)樣本在這次百米測試中成績良好的人數是：
(人)；
(2)學校名學生中，成績屬于第四組的人數(人)；
(3)由圖可知眾數落在第三組，是，
因為數據落在第一、二組的頻率
數據落在第一、二、三組的頻率，
所以中位數一定落在第三組中，
假設中位數是，所以，
解得中位數．
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