資源簡介

事件的相互獨立性、概率與頻率
1 事件的相互獨立性
① 獨立事件
對任意兩個事件與，如果成立，則我們稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立.
② 個事件獨立
個事件兩兩獨立時，等式成立.
2 頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，隨著試驗次數的增大，頻率偏離的概率的幅度會縮小，即事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率估計概率.
案例 我扔骰子前次都是，那第次投出骰子是的可能性有多大呢？理性分析，應該是，因為第次投骰子的概率與前三次無關；那假如我扔骰子前次都是，那第次是的可能性又有多大呢？此時，頻率的穩定性會告訴你第次是6的可能性很大，只能說明骰子是有問題的，這數學不就告訴你賭博十賭九輸的原因了么！
案例 估值值.(可百度下“用概率計算圓周率”)
(2)隨機模擬
蒙特卡洛方法：利用隨機模擬解決問題的方法.
【題型一】概率與頻率
【典題1】下列說法中，正確的是　　
A．概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值
B．做次隨機試驗，事件發生次，則事件發生的頻率就是事件的概率
C．頻率是不能脫離次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值D．任意事件發生的概率總滿足.
【題型二】獨立事件
【典題1】 已知事件，且，，則下列結論正確的是　　
A. 如果，那么，
B．如果與互斥，那么，
C．如果與相互獨立，那么，
D．如果與相互獨立，那么，
【典題2】三個元件，，正常工作的概率分別為，且是互相獨立的．將它們中某兩個元件并聯后再和第三元件串聯接入電路，在如圖的電路中，電路不發生故障的概率是　 ．
【典題3】校運動會招聘志愿者，甲、乙、丙三名大學生躍躍欲試，已知甲能被錄用的概率是，甲、乙兩人都不能被錄用的概率為，丙、乙兩人都能被錄用的概率為，且三人是否錄用相互獨立．
(1)求乙、丙兩人各自能被錄用的概率；
(2)求甲、乙、丙三人至少有兩人能被錄用的概率．
【典題4】某景區內有個景點，其平面圖如圖所示，當時甲在地，乙在地，若每經過一個單位時間，他們都將隨機走向與之相鄰的任意一個景區，記某時刻甲、乙出現在同一景區的概率為，則　 ；　　．
鞏固練習
1 (★)下列說法正確的是　　
A．任何事件的概率總是在之間
B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關
C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率
D．概率是隨機的，在試驗前不能確定
2 (★) 氣象臺預報“茂名市明天降雨的概率是”，下列理解正確的是　　
A．茂名市明天將有的地區降雨
B．茂名市明天將有的時間降雨
C．明天出行不帶雨具肯定要淋雨
D．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大
3 (★) 下列說法正確的是　　
①頻數和頻率都能反映一個對象在試驗總次數中出現的頻繁程度；
②每個試驗結果出現的頻數之和等于試驗的總次數；
③每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1；
④概率就是頻率．
A．① B．①②④ C．①② D．③④
4 (★) 拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是　　
A． B． C． D．
5 (★★) (多選題)已知事件，相互獨立，且(A)，(B)，則　　
A． B． C． D．
6 (★★) (多選題)甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，若甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則下列結論正確的為　　
A．兩人都中靶的概率為
B．恰好有一人中靶的概率為
C．兩人都脫靶的概率為
D．恰好有一人脫靶的概率為
7. (★) 打靶時，每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次，若2人同時射擊一個目標，則它們都中靶的概率是 　．
8. (★★) 從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為 　．
9(★★) 甲、乙、丙三人射擊同一目標，命中目標的概率分別為，且彼此射擊互不影響，現在三人射擊該目標各一次，則目標被擊中的概率為　 　．(用數字作答)
10(★★) 排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為，前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝的概率是　 　．
11(★★) 如圖，元件，2，3，通過電流的概率均為0.9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在，之間通過的概率是 　．
12 (★★) 某中學根據學生的興趣愛好，分別創建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團，據資料統計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立．年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為、、，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且
(l)求與的值；
(2)該校根據三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學增加校本選修學分分，對進入“詩詞”社的同學增加校本選修學分分，對進入“理學”社的同學增加校本選修學分分．求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于分的概率．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)事件的相互獨立性、概率與頻率
1 事件的相互獨立性
① 獨立事件
對任意兩個事件與，如果成立，則我們稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立.
② 個事件獨立
個事件兩兩獨立時，等式成立.
2 頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，隨著試驗次數的增大，頻率偏離的概率的幅度會縮小，即事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率估計概率.
案例 我扔骰子前次都是，那第次投出骰子是的可能性有多大呢？理性分析，應該是，因為第次投骰子的概率與前三次無關；那假如我扔骰子前次都是，那第次是的可能性又有多大呢？此時，頻率的穩定性會告訴你第次是6的可能性很大，只能說明骰子是有問題的，這數學不就告訴你賭博十賭九輸的原因了么！
案例 估值值.(可百度下“用概率計算圓周率”)
(2)隨機模擬
蒙特卡洛方法：利用隨機模擬解決問題的方法.
【題型一】概率與頻率
【典題1】下列說法中，正確的是　　
A．概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值
B．做次隨機試驗，事件發生次，則事件發生的頻率就是事件的概率
C．頻率是不能脫離次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值D．任意事件發生的概率總滿足.
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，由概率與頻率的關系，正確；
對于，概率是頻率的穩定值，錯誤；
對于，由概率與頻率的關系，正確；
對于，任意事件發生的概率率總滿足，錯誤；
故選：．
【點撥】正確理解概率與頻率之間的關系.
【題型二】獨立事件
【典題1】 已知事件，且，，則下列結論正確的是　　
A. 如果，那么，
B．如果與互斥，那么，
C．如果與相互獨立，那么，
D．如果與相互獨立，那么，
【解析】事件，，且，，
對于，若，則，，故正確；
對于，若與互斥，則，，故正確；
對于，若與相互獨立，則，
，故錯誤；
對于，若與相互獨立，則，
，故正確．
故選：．
【點撥】可借助圖理解事件之間包含、和事件與積事件；事件的互斥與事件的獨立要作好區別：事件互斥，說明兩個事件不可能同時發生；而事件相互獨立，是指兩個事件發生互不影響.
【典題2】三個元件，，正常工作的概率分別為，且是互相獨立的．將它們中某兩個元件并聯后再和第三元件串聯接入電路，在如圖的電路中，電路不發生故障的概率是　 ．
【解析】記正常工作為事件正常工作為事件，記正常工作為事件，
則；
電路不發生故障，即正常工作且至少有一個正常工作，
不發生故障即至少有一個正常工作的概率，
(淘汰法)
所以整個電路不發生故障的概率為，
故答案為：
【點撥】遇到“至少”“至多”之類的字眼，可考慮用淘汰法.
【典題3】校運動會招聘志愿者，甲、乙、丙三名大學生躍躍欲試，已知甲能被錄用的概率是，甲、乙兩人都不能被錄用的概率為，丙、乙兩人都能被錄用的概率為，且三人是否錄用相互獨立．
(1)求乙、丙兩人各自能被錄用的概率；
(2)求甲、乙、丙三人至少有兩人能被錄用的概率．
【解析】(1)設乙、丙能被錄用的概率分別為，，
則，解得，，
∴乙、丙能被錄用的概率分別為，，
(2)設甲、乙、丙能被錄用的事件分別為，
則，，，
且相互獨立，三人至少有兩人能被錄用包括、、、四種彼此互斥的情況，(理解題意，明確所求概率對應事件包含的“小事件”)
則其概率為．
【典題4】某景區內有個景點，其平面圖如圖所示，當時甲在地，乙在地，若每經過一個單位時間，他們都將隨機走向與之相鄰的任意一個景區，記某時刻甲、乙出現在同一景區的概率為，則　 ；　　．
【解析】
給每個景區編號，記時刻，第個景點路徑條數為，
則滿足以下條件：
，
圖象對稱，
，
．
故答案為：．
鞏固練習
1 (★)下列說法正確的是　　
A．任何事件的概率總是在之間
B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關
C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率
D．概率是隨機的，在試驗前不能確定
【答案】
【解析】由于必然事件的概率為，不可能事件的概率為，故不正確．
頻率的數值是通過實驗完成的，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值，
故、不正確．
頻率是不能脫離次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值，
隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率，故正確．
故選：．
2 (★) 氣象臺預報“茂名市明天降雨的概率是”，下列理解正確的是　　
A．茂名市明天將有的地區降雨
B．茂名市明天將有的時間降雨
C．明天出行不帶雨具肯定要淋雨
D．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大
【答案】
【解析】茂名市明天降雨的概率是的含義是：茂名市明天降雨的可能性達，正確．故選：．
3 (★) 下列說法正確的是　　
①頻數和頻率都能反映一個對象在試驗總次數中出現的頻繁程度；
②每個試驗結果出現的頻數之和等于試驗的總次數；
③每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1；
④概率就是頻率．
A．① B．①②④ C．①② D．③④
【答案】
【解析】在第四個說法中，概率就是頻率是錯誤的，故答案中只要包含④就是錯誤的，
故只有，不包含④，
而和的區別在于②對不對，
每個試驗結果出現的頻數之和等于試驗的總次數，這個說法是正確的，
故選：．
4 (★) 拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】拋擲兩枚硬幣，記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，
則，，，
，故錯誤；，故正確；
，故正確；，故正確．
故選：．
5 (★★) (多選題)已知事件，相互獨立，且(A)，(B)，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】事件，相互獨立，且(A)，(B)，
對于，(A)，故正確；
對于，(A)，故錯誤；
對于，(A)(B)，故正確；
對于，，故錯誤．
故選：．
6 (★★) (多選題)甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，若甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則下列結論正確的為　　
A．兩人都中靶的概率為
B．恰好有一人中靶的概率為
C．兩人都脫靶的概率為
D．恰好有一人脫靶的概率為
【答案】
【解析】甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，
設事件表示“甲中靶”，事件表示“乙中靶”，則(A)，(B)，
對于，兩人都中靶的概率為(A)(B)，故正確；
對于，恰好有一人中靶的概率為：
，故錯誤；
對于，兩人都脫靶的概率為：
，故錯誤；
對于，恰好有一人中靶的概率為：
，故正確．
故選：．
7. (★) 打靶時，每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次，若2人同時射擊一個目標，則它們都中靶的概率是 　．
【答案】
【解析】每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次
中靶的概率是，中靶的概率是，
和是否中靶是相互獨立的，
根據相互獨立事件同時發生的概率得到它們都中靶的概率是，
8. (★★) 從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為 　．
【答案】
【解析】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，
一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為：
．
9(★★) 甲、乙、丙三人射擊同一目標，命中目標的概率分別為，且彼此射擊互不影響，現在三人射擊該目標各一次，則目標被擊中的概率為　 　．(用數字作答)
【答案】
【解析】目標被擊中的概率等于1減去甲、乙、丙三人都沒有擊中目標的概率，
故目標被擊中的概率是 1－(1)(1)(1，
故答案為：．
10(★★) 排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為，前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝的概率是　 　．
【答案】
【解析】∵排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為，
前2局中乙隊以2：0領先，
∴最后乙隊獲勝的概率：．
11(★★) 如圖，元件，2，3，通過電流的概率均為0.9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在，之間通過的概率是 　．
【答案】
【解析】電流能通過、，的概率為，電流能通過的概率為0.9，
故電流不能通過、，且也不能通過的概率為，
故電流能通過系統、、的概率為，
而電流能通過的概率為0.9，
故電流能在，之間通過的概率是，
12 (★★) 某中學根據學生的興趣愛好，分別創建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團，據資料統計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立．年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為、、，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且
(l)求與的值；
(2)該校根據三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學增加校本選修學分分，對進入“詩詞”社的同學增加校本選修學分分，對進入“理學”社的同學增加校本選修學分分．求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于分的概率．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由題意列出方程組，得
，解得．
(2)由題令該新同學在社團方面獲得校本選修課學分的分數為，
獲得樣本等候課學分分數不低于分為事件，
則，
．
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