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關于球的外接與內(nèi)切問題 2
題型四 一般模型
以上幾種模型，都有具體的條件要求，它們對應有簡便的求解方法，那現(xiàn)在提出一個一般情況的問題：如何求解任一錐體的外接球的半徑？(這個問題解決了面積、體積等各種問題也不成問題).
預備知識：球體的截面都是圓，設兩個不平行的截面小圓的圓心為，分別過作兩個截面的垂線，則球心是兩條垂線的交點.
不失一般性，如下圖進行分析:已知三棱錐每條棱長度，求其外接球的半徑.
解題步驟
① 確定球心的位置：找出和的外心和，過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，此時點肯定共面；
② 求半徑：這里提供二個思路
(1) 在中有，其中用正弦定理可求，而的求法各異，要根據(jù)二面角確定;
(2) 在中有，其中是已知的，而可在四邊形求解出，其中，所以四點共圓，是圓的直徑則，接著根據(jù)題意再用平幾的方法求解便可.
【典題1】 已知三棱錐中，和是全等的等邊三角形，邊長為，當三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球表面積為 .
【典2】 如圖所示，三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【典題3】 如圖，四面體中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
1(★★★) 已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，，則多面體的外接球的表面積為 .
2(★★★) 三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .
3(★★★) 如圖，在菱形中，，，為對角線的中點，將沿折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為 .
4(★★★) 已知四邊形是邊長為的菱形，對角線(如圖1)，現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點達到點的位置．棱，的中點分別為，，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部(如圖2)，則線段長度的取值范圍為 .
題型五 內(nèi)切球問題
1 內(nèi)切球的概念
如果一個球與簡單多面體的各面或其延展部分都相切，且此球在多面體的內(nèi)部，則稱這個球為此多面體的內(nèi)切球.例：與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱為這個圓柱的內(nèi)切球.
2 三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑.
答 等體積法
即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和與三棱錐體積相等.
(可與三角形內(nèi)切圓的半徑類比，均可由等積法求得.)
【典題1】 如圖，在圓錐的軸截面中，，有一小球內(nèi)切于圓錐(球面與圓錐的側面、底面都相切)，設小球的體積為，圓錐的體積為，則的值為(　　)
A． B． C． D．
【典題2】 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的表面積為 .
1(★★) 將一個棱長為的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為 .
2 (★★) 若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側面以及底面都相切)的半徑為，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為 .
3 (★★) 已知正三棱柱的六個頂點在球上，又球與此三棱柱的個面都相切，求球與球的體積比與表面積之比.
題型六 多球與多面體的相切問題
【典題1】 個半徑為的中球上層個、下層個兩兩相切疊放在一起.
有個空心大球能把個中球裝在里面，求大球的半徑至少是多少？
在它們圍成的空隙內(nèi)有個小球與這個中球都外切，求小球的半徑？
【典題2】 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個四面體的高的最小值為 .
1 在棱長為的正方體內(nèi)有兩個球外切且有分別與正方體內(nèi)切.
球兩球的半徑之和；
球的半徑分別為多少時，兩球體積之和最小.
2 將個半徑為的球和個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個較小的球，個球兩兩相切，求上層小球的最高點到桌面的距離.
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題型四 一般模型
以上幾種模型，都有具體的條件要求，它們對應有簡便的求解方法，那現(xiàn)在提出一個一般情況的問題：如何求解任一錐體的外接球的半徑？(這個問題解決了面積、體積等各種問題也不成問題).
預備知識：球體的截面都是圓，設兩個不平行的截面小圓的圓心為，分別過作兩個截面的垂線，則球心是兩條垂線的交點.
不失一般性，如下圖進行分析:已知三棱錐每條棱長度，求其外接球的半徑.
解題步驟
① 確定球心的位置：找出和的外心和，過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，此時點肯定共面；
② 求半徑：這里提供二個思路
(1) 在中有，其中用正弦定理可求，而的求法各異，要根據(jù)二面角確定;
(2) 在中有，其中是已知的，而可在四邊形求解出，其中，所以四點共圓，是圓的直徑則，接著根據(jù)題意再用平幾的方法求解便可.
【典題1】 已知三棱錐中，和是全等的等邊三角形，邊長為，當三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球表面積為 .
【解析】 如圖，當平面平面時，三棱錐體積最大，
取中點，連接，則，，
因為平面平面，所以可證得平面，平面，
取三角形的外心，作，則四點共面，
取三角形的外心，過點作的平行線交于點，
因為垂直平面，則垂直平面，
于是點到四點的距離相等，
所以點為三棱錐外接球的球心．
連接，可求得，，
所以，
所以外接球表面積為．
【點撥】
本題中平面平面，是兩平面垂直(即二面角為)的情況，球心還是比較好確定的，即過三角形的外心作的垂線交點，此時四邊形是矩形，很多量都好求.
【典2】 如圖所示，三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【解析】中，，，
設的外心為，外接圓半徑為，
則，
取的中點，連接，則是線段的中垂線，
根據(jù)三角形外心的定義，可知點在直線上，
，點在外，
在中可得，，，
所以可得，即∠ABC，
取的中點，則可得為的外接圓的圓心，，
過分別作平面的垂線，
垂直且相交，設交點為，即為球心，
在中，，
所以外接球的表面積，
故選：．
【點撥】
① 本題平面平面，屬于兩平面垂直(即二面角為)的情況，球心不難找，但是要細心些點在三角形內(nèi)還是外；
② 思考 垂線會不會是異面直線，那它們就不交于點？
分析 不會的， 平面平面，平面平面，面，，
同理，故點四點共面，其實題目求三棱錐的外接球，則兩條垂直的交點一定是球心.
【典題3】 如圖，四面體中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【解析】取中點，中點，連結，
四面體中，面和面都是等腰，
，，且二面角的大小為，
，，是二面角的平面角，，
2，，，
，，
則點為外接圓的圓心，點為外接圓的圓心，
過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，
且直線與直線交于點，則點為四面體外接球的球心，為半徑，
如下圖所示，
易知，，所以，
所以，則四面體的外接球半徑為，
因此球的表面積為，
故選：B．
【點撥】
① 要注意常見三角形(等腰三角形、直角三角形、等邊三角形等)外接圓圓心的位置；
② 這是典型的“折疊模型”，二面角不是，在找球心的時候，要確定兩個“折面”的圓心，因為球心是過兩個圓心的垂線交點.
③ 在求外接球半徑時，把含兩垂線和半徑的平面四邊形拿出來分析求出半徑，要注意二面角的使用.
1(★★★) 已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，，則多面體的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】折疊型，法一：的外接圓半徑為，，
法二：，，，
2(★★★) 三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .
【答案】
【解析】，，，
，；
法二 ， ，，.
3(★★★) 如圖，在菱形中，，，為對角線的中點，將沿折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】28π
【解析】過球心O作OO′⊥平面BCD，則O′為等邊三角形BCD的中心，
∵四邊形ABCD是菱形，A＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵∠PEC＝120°，連接OP，OP＝OC，OE＝OE，PE＝CE，
∴△OPE≌△OCE，∴∠OEC＝∠OEP＝60°；
∵AB＝2，∴CE＝3，∴EO′＝1，CO′＝2，∴OO′，
∴球的半徑OC．
∴三棱錐P－BCD的外接球的表面積為4π 7＝28π，
4(★★★) 已知四邊形是邊長為的菱形，對角線(如圖1)，現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點達到點的位置．棱，的中點分別為，，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部(如圖2)，則線段長度的取值范圍為 .
【答案】( ，4)
【解析】如圖，由題意可知△APC的外心O1 在中線PE上，
設過點O1 的直線l1⊥平面APC，可知l1 平面PED，
同理△ADC的外心O2在中線DE上，設過點O2的直線l2⊥平面ADC，
則l2 平面PED，由對稱性知直線l1，l2的交點O在直線EF上．
根據(jù)外接球的性質，點O為四面體APCD的外接球的球心．
由題意得EA=3，PE=4，而O1A2=O1E2+EA2，O1A+O1E=PE=4，
∴O1E．
令∠PEF=θ，顯然0＜θ，∴EF=PEcosθ=4cosθ＜4．
∵cosθ，∴OE EF=O1E PE，
又OE＜EF，∴EF2，即EF．
綜上所述，EF＜4．
∴線段EF長度的取值范圍為( ，4)．
題型五 內(nèi)切球問題
1 內(nèi)切球的概念
如果一個球與簡單多面體的各面或其延展部分都相切，且此球在多面體的內(nèi)部，則稱這個球為此多面體的內(nèi)切球.例：與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱為這個圓柱的內(nèi)切球.
2 三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑.
答 等體積法
即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和與三棱錐體積相等.
(可與三角形內(nèi)切圓的半徑類比，均可由等積法求得.)
【典題1】 如圖，在圓錐的軸截面中，，有一小球內(nèi)切于圓錐(球面與圓錐的側面、底面都相切)，設小球的體積為，圓錐的體積為，則的值為(　　)
A． B． C． D．
【解析】如圖所示，作出軸截面，
是正三角形，設，則，．
，∴．
設，則，
∴，即．
∴內(nèi)切球的體積為，
圓錐的體積為，
．
故選：B．
【點撥】
① 作出橫截面，較好的觀察到內(nèi)切球半徑、母線、底圓半徑等量之間的關系，同時也把立體幾何問題轉化為平幾問題；
② 題中求體積之比，沒有明確任一線段的長度，設一線段長度具體值，有利于求出其他線段長度，計算簡便些.
【典題2】 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的表面積為 .
【解析】
法一 運用正四面體的二心合一性質，作出截面圖，通過點、線、面關系解之.
如圖，設是內(nèi)切球的球心，由對稱性可知，點也是外接球的球心，
設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，
將正四面體放置正方體中，輕松求出，即，
在等邊中，(是的外接圓圓心)，
在中，.
法二 連接，將四棱錐分成四個小棱錐，正四面體的四個面面積相等，
易知小棱錐的高是內(nèi)切球的半徑，
由
得
【點撥】
① 方法一中很好的利用了幾何體的對稱性，巧妙知道正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合；橫截面很好包含了球心、外接球半徑、內(nèi)切球半徑等內(nèi)容;
② 方法二中可知等積法求內(nèi)切球半徑是個很好的方法，同時可知正四面體的高(為內(nèi)切球半徑)，這個結論在很多題目常用.
③ 棱長為的正四面體的高.
1(★★) 將一個棱長為的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為 .
【答案】cm3
【解析】正方體的棱長為3，要使制作成球體零件的體積最大，
則球內(nèi)切于正方體，則球的直徑為3cm，半徑為cm．
∴可能制作的最大零件的體積為cm3．
2 (★★) 若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側面以及底面都相切)的半徑為，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為 .
【答案】2：1
【解析】設圓錐的高為h，底面半徑為r，
則當圓錐體積最小時，如圖，
由△AOE～△ACF可得：，即r，
∴圓錐的體積Vπr2h[(h－24]．
當且僅當h－2=2，即h=4時取等號．
∴該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．
該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比2：1．
3 (★★) 已知正三棱柱的六個頂點在球上，又球與此三棱柱的個面都相切，求球與球的體積比與表面積之比.
【答案】
【解析】欲求兩球體積之比與表面積之比，關鍵是求兩個球的半徑之比.
先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系.
如圖：
由題意可得兩球、是重合的，過正三棱柱的一條側棱和它們的球心作截面，
設正三棱柱底面邊長為，
則,正三棱柱的高,
在中有
.
題型六 多球與多面體的相切問題
【典題1】 個半徑為的中球上層個、下層個兩兩相切疊放在一起.
有個空心大球能把個中球裝在里面，求大球的半徑至少是多少？
在它們圍成的空隙內(nèi)有個小球與這個中球都外切，求小球的半徑？
【解析】 (1) 連接個中球的球心得到棱長為的正四面體，它的外接球的半徑長，
因此大球的半徑至少為；
(2)可知該小球和(1)問中的最小的大球是同心球，
則小球的半徑是最小的大球的半徑減去一個中球的直徑，即.
【點撥】大小一樣的球體疊在一起，會出現(xiàn)正四面體.
【典題2】 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個四面體的高的最小值為 .
【解析】法一(利用點線關系)
由題意得，四個半徑為1的小球的球心恰好構成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器的各對應面的距離都為1(如圖)，
設點分別是的外心，顯然，
設分別為的中點，
在棱長為2的正四面體中，，且，
作，則，
由于
，
所以.
法二(利用相似關系)
由題意得，四個半徑為1的小球的球心恰好構成一個棱長為2的正四面體，并且各面與正四面體的容器的各對應面的距離都為1(如圖)，正四面體與正四面體的容器由共同的外接球球心(同時也是內(nèi)切球的球心)的相似正四面體，設它們相似比為，
從內(nèi)切球的角度看，，
(由等積法可知正四面體內(nèi)切球半徑)，
從外接球的角度看，有，
所以.
法三(利用等體積法)
如圖，從點出發(fā)將三棱錐分為四個小三棱錐
于是有
設正四面體的高是，
四個球的球心連線組成的正四面體的高，則
從而
所以.
【點撥】解決多球相切問題，基本方法為三種：
① 抓住多球的堆壘放置規(guī)律；
② 抓住各球心位置，轉化為多面體問題；
③ 適當選擇截面，轉化為平面幾何問題.
1 在棱長為的正方體內(nèi)有兩個球外切且有分別與正方體內(nèi)切.
球兩球的半徑之和；
球的半徑分別為多少時，兩球體積之和最小.
【答案】（1）（2），
【解析】 (1)如圖，畫出軸截面(對角面)，球心在上，過分別作的垂線交于,設兩個球的半徑分別為,
則由得，,
所以，則
(2)設兩球球體之和為,則
于是當時，有最小值，
故當時，體積之和最小
2 將個半徑為的球和個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個較小的球，個球兩兩相切，求上層小球的最高點到桌面的距離.
【答案】
【解析】將球心連接起來構成側棱為，底面邊長為的正三棱錐,
設底面三角形的中心為,則
故正三棱錐的高,
顯然平面到桌面的距離為，
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所以上層小球的最高點到桌面的距離為.21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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