資源簡介

關于球的外接與內切問題 1
題型一 構造長方體求解
情況1 墻角模型
遇到以上四種三棱錐(有三條兩兩垂直的直線)，均可構造長方體求解外接球半徑；
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：外接球的球心是長方體的體對角線的中點；
② 求半徑：長方體的體對角線即外接球直徑，則.
情況2 對棱相等的三棱錐
若三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等()，求外接球半徑.
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：如上圖構造一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；
② 求半徑：
設長方體的長寬高分別為，，列方程組
求出.
【典題1】 如圖，在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為 .
【典題2】 如圖，在三棱錐中，平面，，，，
若三棱錐外接球表面積為，則三棱錐體積的最大值為 .
【典題3】 在三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 (　　)
A． B． C． D．
1(★★) 已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是 .
2(★★) 設，，，是球表面上的四點，平面，，，
，則球的表面積等于 .
3(★★) 在邊長為的正方形中，，分別為，的中點．將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為 .
4(★★) 在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為 .
5(★★) 三棱錐，其中，則該三棱錐外接球的表面積為 .
題型二 漢堡模型
預備知識：球體的截面都是圓，設某個不過球心的小圓圓心為，則球心在過且垂直平面的直線上(即).
模型參考圖像(棱柱以三棱柱為例)
模型條件：棱柱外接球問題
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：是柱體底面所在的球體截面圓心，則平面，由于柱體和外接球組合的幾何體的對稱性，則線段的中點是球心;
② 算出小圓的半徑，;
③ 求半徑：由勾股定理可得.
【典題1】已知三棱柱的六個頂點都在同一球面上，且底面，是等邊三角形，，，則該球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【典題2】 已知直三棱柱的六個頂點都在球的球面上，，，，則球的表面積為(　　)
A．4π B．8π C．12π D．16π
1(★★) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 .
2(★★) 在直三棱柱中，則直三棱柱的外接球的表面積為 .
3(★★) 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 .
題型三 垂面模型(一條直線垂直于一個平面)
情況1 模型參考圖像(以三棱錐為例)
模型條件：中平面
解題步驟
① 確定球心的位置:的外心，則平面且；
② 由正弦定理算出小圓的半徑；
③ 求半徑：由勾股定理.
情況2 預備知識：的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等
模型參考圖像模型參考圖像(以三棱錐為例)
模型條件：三棱錐中的射影是的外心.
解題步驟
① 確定球心的位置: 取的外心，因為的射影是的外心，則球心在直線上；
② 由正弦定理算出小圓的半徑，算出棱錐的高；
③ 求半徑：，解出.
若是如下圖的三棱錐(球心在錐體的下方)，方法類似.
情況3
模型參考圖像
(以三棱錐為例，其中是球心，是三角形的外接圓圓心，平面)
模型條件：三棱錐中的射影不是的外心.
解題步驟
① 由算出小圓的半徑，由題意求出三棱錐的高;
(一般求有難度，需要確定點的位置)
② 確定球心的位置:球心在過且垂直平面的直線上，設；
(一般求不出來，因為球心很難確定，若可以題目就比較簡單了！)
③ 求外接球半徑：在和中可得
求出，從而求出外接球半徑.
(多數情況當的射影不是的外心，需要在兩個直角三角形中求出.)
【典題1】 正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 .
【典題2】 已知三棱錐四個頂點都在球上，，，．則球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【典題3】 在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為 .
1(★★★)在四面體中，平面，則該四面體的外接球的表面積為 .
2 (★★★) 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積為 .
3 (★★★) 已知正三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且球心在三棱錐的內部，若該三棱錐的側面積為，，則球的表面積為 .
4 (★★★) 在三棱錐中，，，為中點，，若該三棱錐的體積的最大值為，則其外接球表面積為 .
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)關于球的外接與內切問題 1
題型一 構造長方體求解
情況1 墻角模型
遇到以上四種三棱錐(有三條兩兩垂直的直線)，均可構造長方體求解外接球半徑；
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：外接球的球心是長方體的體對角線的中點；
② 求半徑：長方體的體對角線即外接球直徑，則.
情況2 對棱相等的三棱錐
若三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等()，求外接球半徑.
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：如上圖構造一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；
② 求半徑：
設長方體的長寬高分別為，，列方程組
求出.
【典題1】 如圖，在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為 .
【解析】由，，，，平面，
，2，，由勾股定理逆定理可知，
此時三棱錐中三直線兩兩垂直，
可知如圖，三棱錐是長方體的一個角，
外接球的直徑是長方體的體對角線，
所以三棱錐外接球的半徑為．
所以外接球的體積．
【點撥】
① 三棱錐中存在三條兩兩垂直的棱，可構造長方體進行求解外接球問題;
② 求解過程中要注意利用解三角形的方法求解各線段長度及其它們的位置關系，例如利用勾股定理逆定理證明線線垂直.
【典題2】 如圖，在三棱錐中，平面，，，，
若三棱錐外接球表面積為，則三棱錐體積的最大值為 .
【解析】設，，由三棱錐外接球表面積為，得外接球的半徑為，
又平面，得，
此時三棱錐中三直線兩兩垂直，
則如下圖，三棱錐是長方體的一個“角”，
外接球的半徑即為長方體的體對角線，
，得，
．
平面，，
，，(此處用到了射影定理)
過作，垂足為，則平面，
，可得，則．
(利用了割補法求體積)
．
當且僅當，即，時，等號成立．
三棱錐體積的最大值為．
【點撥】
① 射影定理，如下圖，已知，，則.
② 求體積也可以用等積法.
【典題3】 在三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 (　　)
A． B． C． D．
【解析】由題意可將該三棱錐放在長方體中，
可得長方體的過同一個頂點的三個相鄰的面的對角線分別為5，，，
設長方體的長，寬，高分別為
則，所以，
設三棱錐外接球的半徑為，則，
外接球的表面積，故選：．
【點撥】對棱相等的三棱錐的外接球問題可通過構造長方體求解.
1(★★) 已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是 .
【答案】
【解析】 ，由
.
2(★★) 設，，，是球表面上的四點，平面，，，
，則球的表面積等于 .
【答案】8π
【解析】由題意將此三棱錐放在長方體中，因為AB⊥BC，AB，BC=2，
可得長方體的過同一個頂點的三條棱分別為：，2，，
而長方體的對角線的長度等于其外接球的直徑2R，所以(2R)2=2×2+22=8，
所以外接球的表面積S=4πR2=8π，
3(★★) 在邊長為的正方形中，，分別為，的中點．將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】24π
【解析】在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均為直角，
∴在三棱錐A′－DEF中，A′D，A′E，A′F三條線段兩兩垂直，
以A′D，A′E，A′F為棱構造長方體，則長方體的外接球就是三棱錐A′－EFD的外接球，
正方形ABCD邊長為4，由題意A′E=A′F=2，A′D=4，
∴三棱錐A′－EFD外接球的半徑r，
∴三棱錐A′－EFD外接球的表面積為S=4π×2=24π．
4(★★) 在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為，
則
.
5(★★) 三棱錐，其中，則該三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為，
.
題型二 漢堡模型
預備知識：球體的截面都是圓，設某個不過球心的小圓圓心為，則球心在過且垂直平面的直線上(即).
模型參考圖像(棱柱以三棱柱為例)
模型條件：棱柱外接球問題
求解外接球半徑步驟
① 確定球心的位置：是柱體底面所在的球體截面圓心，則平面，由于柱體和外接球組合的幾何體的對稱性，則線段的中點是球心;
② 算出小圓的半徑，;
③ 求半徑：由勾股定理可得.
【典題1】已知三棱柱的六個頂點都在同一球面上，且底面，是等邊三角形，，，則該球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【解析】如圖，
由題意可知，三棱柱為正三棱柱，底面邊長，高．
在底面等邊三角形中，設其外心為，為的中點，
則
(此處由更容易些)
設上底面中心為，平面，三棱柱外接球的球心必在直線
又由圖像的對稱性，可知三棱柱外接球的球心為的中點，
連接，則．
該球的表面積為．故選：．
【點撥】
① 直棱柱的外接球問題屬于“漢堡模型”.
② 常見三角形的外接圓半徑
(1)等腰三角形 (2)直角三角形 (3)等邊三角形
(4) 利用正弦定理可求任一三角形外接圓的半徑.
③ 柱體是四棱柱、五棱柱呢？常見情況如下，長方形、正六邊形的外接圓圓心是對角線的中點.
【典題2】 已知直三棱柱的六個頂點都在球的球面上，，，，則球的表面積為(　　)
A．4π B．8π C．12π D．16π
【解析】，，
由余弦定理可得，
，
設的外接圓的半徑為，則，所以，
設外接球的半徑為，則，
所以外接球的表面積，
故選：．
【點撥】
底面三角形三邊都已知，則三角形是確定的，則利用解三角形的方法便可求出其外接圓的半徑.
1(★★) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 .
【答案】
【解析】設正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關徑為，則，
底面積為，，
，球的體積為
2(★★) 在直三棱柱中，則直三棱柱的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】，，
，，.
3(★★) 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 .
【答案】
【解析】 在中，因為，可得，
由正弦定理可得外接圓的半徑，
設圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.
題型三 垂面模型(一條直線垂直于一個平面)
情況1 模型參考圖像(以三棱錐為例)
模型條件：中平面
解題步驟
① 確定球心的位置:的外心，則平面且；
② 由正弦定理算出小圓的半徑；
③ 求半徑：由勾股定理.
情況2 預備知識：的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等
模型參考圖像模型參考圖像(以三棱錐為例)
模型條件：三棱錐中的射影是的外心.
解題步驟
① 確定球心的位置: 取的外心，因為的射影是的外心，則球心在直線上；
② 由正弦定理算出小圓的半徑，算出棱錐的高；
③ 求半徑：，解出.
若是如下圖的三棱錐(球心在錐體的下方)，方法類似.
情況3
模型參考圖像
(以三棱錐為例，其中是球心，是三角形的外接圓圓心，平面)
模型條件：三棱錐中的射影不是的外心.
解題步驟
① 由算出小圓的半徑，由題意求出三棱錐的高;
(一般求有難度，需要確定點的位置)
② 確定球心的位置:球心在過且垂直平面的直線上，設；
(一般求不出來，因為球心很難確定，若可以題目就比較簡單了！)
③ 求外接球半徑：在和中可得
求出，從而求出外接球半徑.
(多數情況當的射影不是的外心，需要在兩個直角三角形中求出.)
【典題1】 正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 .
【解析】方法一 正方形的中心，
找球心:平面，顯然球心在上，
求外接球半徑:
在中，(即重合)
.
方法二 正方形的中心，而，
則外接球的球心就是，且半徑，.
方法三 大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，，，.
【點撥】
① 正四棱錐的外接球問題是顯然屬于“垂面模型”的(存在其高底面)，方法一就是按照模型的套路進行求解的;
② 本題具有特殊性，正四棱錐的側棱與底面邊長相等，方法一根據外接球的定義，直接確定了球心的位置并求出半徑；方法二利用了大圓是軸截面所的外接圓與直角三角形的特性求出了半徑；
③ 做題不能太“模型化”，要發散多思考幾種方法，避免思維定勢開拓自己的思維提高分析能力.
【典題2】 已知三棱錐四個頂點都在球上，，，．則球的表面積為(　　)
A． B． C． D．
【解析】 在中，，，
可得 的外接圓半徑 ，
如圖所示，
設點在平面內的投影的為，則，
在中，因為，解得，
設三棱錐 的外接球半徑，
即，，
在中，由勾股定理得
，解得，
故三棱錐的外接球半徑為，
根據球體的表面積公式 ，
可得球的表面積為 ．
故選：．
【點撥】
由可知，點在平面的投影是三角形外心，本題屬于垂面模型中的第二種情況，按照基本套路解題難度不大，在一個直角三角形利用勾股定理便得到關于的方程進而求出.
【典題3】 在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為 .
【解析】 根據題意畫出圖形，如圖所示；
取的兩個三等分點，，
連接，，，，連接，；
由題意可得，
則，故是的外接圓的圓心．
因為，是的外接圓圓心，
所以平面，且．
在菱形中，，
設為三棱錐外接球的球心，
連接，，，過作，垂足為，則四邊形是矩形，
設外接球的半徑，
在中有，
在中有
則，解得，
從而，故三棱錐外接球的表面積為．
【點撥】
① 本題的模型對應的是垂面模型的情況三，點到平面的投影不是底面的外心；
② 本題難點一：確定三角形外接圓圓心；思路：由于四邊形是確定的，可解出三角形，進而利用求出其外接圓，由三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點也就可知圓心在的三等分點處；題目有多線段的數量和位置關系，多用平幾的知識點求解出其他線段或者角度，這樣更有助于找到解題思路;
③ 本題難點二：到平面的投影的位置；思路：，點是三角形外心，又是直角三角形，故點在的中點處.
④ 遇到垂面模型的第三種情況，往往利用兩個直角三角形(比如本題的)得到外接球半徑的方程.
1(★★★)在四面體中，平面，則該四面體的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】在中，，
的外接球直徑為，
.
2 (★★★) 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積為 .
【答案】
【解析】由正弦定理或找球心都可得，.
3 (★★★) 已知正三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且球心在三棱錐的內部，若該三棱錐的側面積為，，則球的表面積為 .
【答案】
【解析】作 SM⊥平面 ABC，連結 AM 并延長交 BC 于點 D，連結 SD，
正三棱雉外接球的球心 O 在高 SM 上，連結 OA，
∵，解得：，
正三角形 ABC 中，，
∴，
設 SO=AO=R，△OAM 中，
，解得：，
則球 O 的表面積 ．
4 (★★★) 在三棱錐中，，，為中點，，若該三棱錐的體積的最大值為，則其外接球表面積為 .
【答案】D
【解析】由題意可得
V錐 h PD AC2+BC2) PD AB2 2 4 2，
當且僅當AC=BC，PD⊥面ABC時，該三棱錐的體積的最大值為，
設外接球的半徑為R，球心為O，則由題意可得O在PD上，底面外接圓的半徑r1，
可得(2－R)2+r2=R2，即(2－R)2+1=R2，解得R，
所以外接球的表面積S=4πR2π，故選：D．
中小學教育資源及組卷應用平臺
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