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立體幾何之所成角
1 異面直線所成的角
① 范圍 ；
② 作異面直線所成的角：平移法.
如圖，在空間任取一點過作則 所成的角為異面直線所成的角.特別地，找異面直線所成的角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如線段中點，端點等)上，形成異面直線所成的角.
2 線面所成的角
① 定義 如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內，則.
② 范圍
3 二面角
① 定義 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一點以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和則射線和構成的叫做二面角的平面角.
② 范圍 .
【題型一】異面直線所成的角
【典題1】 如圖，正方體中，點分別是的中點，則與所成角為 (　　)
A． B． C． D．
【典題2】 如圖所示，在棱長為2的正方體中是底面的中心分別是的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于　　．
【典題3】 如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點分別是，的中點．
(1)求證：平面；
(2)若求異面直線與所成的角的大小．
【題型二】線面所成的角
【典題1】 如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．
．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【典題2】 如圖，四邊形為正方形平面且點在上的射影為點點在邊上，平面平面．
(1)求證：平面；(2)求的長；(3)求直線與平面所成角的余弦值．
【典題3】 如圖，正四棱錐中分別為的中點．設為線段上任意一點．
(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)當為線段的中點時，求直線與平面所成角的余弦值．
【題型三】二面角
【典題1】 如圖，在棱長為的正方體中與相交于點．
求二面角的正切值．
【典題2】 如圖，四棱錐中，底面為矩形底面點是棱的中點．
(1)求直線與平面的距離；
(2)若求二面角的平面角的余弦值．
【典題3】 如圖，已知三棱錐平面為的中點．
(1)求證：．(2)求二面角的大小．
1(★) 在正方體中，點在線段上運動，則異面直線與所成的角的取值范圍是 (　)
A． B． C． D．
2(★★) 如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體．分別為的中點為弧的中點為弧的中點．則異面直線與所成的角的余弦值為　　．
3 (★★) 如圖所示，在正方體中是上一點是的中點，平面．
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成的角．
4(★★★) 如圖平面分別為的中點．
(1)證明：平面； (2)求與平面所成角的正弦值．
5(★★★) 四棱錐中⊥平面四邊形為菱形為的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
6(★★★) 如圖是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面分別是的中點．
(1)記平面與平面的交線為試判斷直線平面的位置關系，并加以證明；
(2)設求二面角大小的取值范圍．
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1 異面直線所成的角
① 范圍 ；
② 作異面直線所成的角：平移法.
如圖,在空間任取一點過作則 所成的角為異面直線所成的角.特別地,找異面直線所成的角時,經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如線段中點,端點等)上,形成異面直線所成的角.
2 線面所成的角
① 定義 如下圖，平面的一條斜線(直線)和它在平面上的射影()所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直平面，則；一條直線和平面平行或在平面內，則.
② 范圍
3 二面角
① 定義 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一點以點為垂足,在半平面和內分別作垂直于棱的射線和則射線和構成的叫做二面角的平面角.
② 范圍 .
【題型一】異面直線所成的角
【典題1】 如圖,正方體中，點分別是的中點，則與所成角為 (　　)
A． B． C． D．
【解析】 連結
正方體中,點分別是的中點，
是與所成角,
．與所成角為60°．
故選．
【點撥】
① 找異面直線所成的角,主要是把兩條異面直線通過平移使得它們共面,可平移一條直線也可以同時平移兩條直線；
② 平移時常利用中位線、平行四邊形的性質；
【典題2】 如圖所示,在棱長為2的正方體中是底面的中心分別是的中點,那么異面直線和所成角的余弦值等于　　．
【解析】 取的中點．連接則再取的中點連接則
是的中點,∴為異面直線所成的角．
在中．
由余弦定理,可得．
故答案為
【點撥】
本題利用平移法找到異面直線所成的角()后,確定含有該角的三角形(),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角最終求出來.
【典題3】 如圖,已知是平行四邊形所在平面外一點分別是的中點．
(1)求證：平面；
(2)若求異面直線與所成的角的大小．
【解析】(1)證明：取中點連
則且
四邊形為平行四邊形
又在平面內不在平面內
面；
(2)解
方法一
即為異面直線與所成的角
設根據余弦定理可知
即解得
在三角形中
即
異面直線與所成的角的大小為
方法二 過點作交于如圖
是的中點
設則
在和
利用勾股定理可得解得
即
異面直線與所成的角的大小為
【點撥】
本題中所成角找到后,無法在一個三角形里求出,此時把問題轉化為平面幾何問題,
再利用解三角形的方法進行求解.
【題型二】線面所成的角
【典題1】 如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】(1)證明：取中點連接．
．
四邊形為直角梯形
四邊形為正方形．
又平面．
．
(2)平面平面且
平面．
則為直線與平面所成的角．
設則∴
在直角三角形中．
即直線與平面所成角的正弦值為．
【點撥】
本題中的“直線與平面所成的角”是根據線面角的定義直接在題目原圖上找到的,在含所求角的直角三角形中求出角度！
【典題2】 如圖,四邊形為正方形平面且點在上的射影為點點在邊上,平面平面．
(1)求證：平面；
(2)求的長；
(3)求直線與平面所成角的余弦值．
【解析】(1)證明：
平面
又
平面
作于因面面
平面
又面面
平面
(2)由(1)知四點共面,又 平面
四邊形為平行四邊形
在中=
又
故
(3)所以與平面所成角等于與平面所成的角,
過作于點,易知平面又
是在平面內的射影
即為與平面所成的角
又
故
所以與平面所成角的余弦值等于.
【點撥】
① 若在題目中不能直接找到所求線面角,則可用“作高法”確定所求角,
比如下圖中,求直線與平面所成的角,具體步驟如下：
(1) 如圖,過點作平面的高垂足為則是線段在平面上的投影；
(2) 找到所求角；
(3) 求解三角形進而求角.
(此方法關鍵在于找到垂足的位置,證明到平面如本題中平面的證明)
② 本題若直接求“與平面所成角”,過點做高有些難度,則由能把“與平面所成角”轉化為“與平面所成的角”,這方法稱為“間接法”吧.
【典題3】 如圖,正四棱錐中分別為的中點．設為線段上任意一點．
(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)當為線段的中點時,求直線與平面所成角的余弦值．
【解析】證明：(Ⅰ)連接交于
是正四棱錐平面
又平面
分別為的中點
同理平面
又平面．
(Ⅱ) 方法一 過作于點連接
由(Ⅰ)知：平面平面
就是直線與平面所成的角,
在中,解得
(易知是等腰直角三角形,又由斜邊；
在三角形中用余弦定理可得)
則故直線與平面所成角的余弦值為.
方法二
設過點作平面的垂直,垂直為
則就是直線與平面所成的角是點到平面的距離,
由已知條件可求則
由于是中點,易得點到平面的距離
而
對于三棱錐
由
在正四棱錐中可求
(方法較多,提示過點作平面的高)
故直線與平面所成角的余弦值為.
【點撥】
① 本題第二問中方法一就是用“做高法”,計算量有些大；方法二是覺得垂足的位置難確定,可設點到平面的投影為(即垂足),再用“等積法”求高則可求所求角這種方法稱為“等積法”；
② 思考：上一題試試用“等積法”！
【題型三】二面角
【典題1】 如圖,在棱長為的正方體中與相交于點．
求二面角的正切值．
【解析】 在正方體中平面，
，二面角的平面角為
由題中的條件求出：
所以二面角的正切值為．
【點撥】 本題根據二面角的定義找到二面角二面角的平面角為再在三角形內用解三角形的方法求解角.
【典題2】 如圖,四棱錐中,底面為矩形底面點是棱的中點．
(1)求直線與平面的距離；
(2)若求二面角的平面角的余弦值．
【解析】(1)在矩形中從而平面
故直線與平面的距離為點到平面的距離,
因底面故可得為等腰直角三角形,
又點是棱的中點,故
平面從而平面
故之長即為直線與平面的距離,
在中
所以
(2)過點作于過點做交于連接
則為所求的二面角的平面角．
由(1)知又得
從而=
在中=由
所以為等邊三角形,
故為的中點,且
因為平面故又知．
則在中=
所以　
【點撥】 若在題目中不能直接得到所求二面角,就需要構造出二面角,
比如本題求二面角解題具體步驟如下
(1) 過點作過點作交于點則二面角為所求的二面角的平面角；
(2) 確定含角的三角形利用解三角形的方法求出角常見的是求出三角形三邊再用余弦定理.
【典題3】 如圖,已知三棱錐平面為的中點．
(1)求證：．(2)求二面角的大小．
【解析】(1)證明：由平面
又因為即．
面．
(2)取中點連結過作于連結
是的中點
又面面．
為二面角的平面角．
設則
在中．
二面角的大小為．
【點撥】求二面角也可以轉化為線面角,比如求二面角解題思路如下
過點作則二面角等于直線與平面所成的角或其補角,若過點作平面則二面角是銳角,等于角； 二面角是鈍角,等于角的補角.
1(★) 在正方體中,點在線段上運動,則異面直線與所成的角的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴與成角可化為與成角．
是正三角形可知當與重合時成角為，
∵不能與重合因為此時與平行而不是異面直線，．
故選 D．
2(★★) 如圖所示的幾何體,是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉軸的平面切開后,將其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體．分別為的中點為弧的中點為弧的中點．則異面直線與所成的角的余弦值為　　．
【答案】
【解析】如圖，連接，∵為半圓弧的中點，為半圓弧的中點，由圓的性質可知，三點共線，且，
∴，∴，則即為所求的角或其補角，
又∵半徑為1，高為2，且B都是等腰，
，
∴在中，=，
即異面直線與所成的角余弦值．
故答案為 ．
3 (★★) 如圖所示,在正方體中是上一點是的中點,
平面．
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成的角．
【答案】(1) 見解析 (2)
【解析】(1)證明：由ABCD－A1B1C1D1為正方體，得CD⊥平面ADD1A1，
AD1 平面ADD1A1
∴CD⊥AD1，
又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC；
(2)解：∵MN⊥平面A1DC，
又由(1)知AD1⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1，
∴AD1與平面ABCD所成的角，就是MN與平面ABCD所成的角，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1AD即為AD1與平面ABCD所成的角，
由正方體可知，
∴MN與平面ABCD所成的角為．
4(★★★) 如圖平面分別為的中點．
(1)證明：平面； (2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1) 見解析 (2)
【解析】(1)證明：因為P，Q分別為AE，AB的中點，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ平面ACD，從而PQ∥平面ACD.
(2)如圖，連接CQ，DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
因為DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，即AD與平面ABE所成角的正弦值為。
5(★★★) 四棱錐中⊥平面四邊形為菱形為的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【答案】(1) 見解析 (2) (3)
【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴DA=DC，
∵∠ADC=60°，∴△ADC為等邊三角形，∴CA=CD，
在△ADC中，E是AD中點，∴CE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CE 平面ABCD，∴CE⊥PA，
∵PA∩AD=A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
∴EC⊥平面PAD，
∵CE 平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD．
(2)解：∵EC⊥平面PAD，∴斜線PC在平面內的射影為PE，
即∠CPE是PC與平面PAD所成角的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴PA⊥AD，
在Rt△PAE中，PE，
在Rt△CED中，CE，
∵EC⊥平面PAD，PE 平面PAD，∴EC⊥PE，
在Rt△CEP中，tan∠CPE，
∴PC與平面PAD所成角的正切值為．
(3)解：在平面PAD中，過點E作EM⊥PD，垂足為M，連結CM，
∵EC⊥平面PAD，PD 平面PAD，∴EC⊥PD，
∵EM∩CM=M，∴PD⊥平面EMC，∴PD⊥CM，
∴∠EMC是二面角A－PD－C的平面角，
在Rt△EMD中，ED=1，∠ADP=45°，∴EM=MD，
在Rt△CMD中，MD，CD=2，∴CM，
在△EMC中，EC，
由余弦定理得cos∠EMC，
∴二面角A－PD－C的正弦值為．
6(★★★) 如圖是圓的直徑,點是圓上異于的點,直線平面分別是的中點．
(1)記平面與平面的交線為試判斷直線平面的位置關系,并加以證明；
(2)設求二面角大小的取值范圍．
【答案】(1) 平行，證明見解析 (2)
【解析】(1)證明：直線l∥平面PAC．證明如下：
連接EF，∵E，F分別是PA，PC的中點，∴EF∥AC．
又EF 平面ABC，AC 平面ABC，∴EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，∴EF∥l．
∵l 平面PAC，EF 平面PAC，
∴直線l∥平面PAC；
(2)解：由(1)知，l∥AC．
∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l 平面ABC，∴PC⊥l．
而PC∩BC=C，∴l⊥平面PBC．
∵BF 平面PBC，∴l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E－l－C的平面角．
∵PC=2AB=4，∴AB=2，CF=2．
在Rt△BCF中，tan∠CBF，
∵0＜BC＜2，∴tan∠CBF∈(1，+∞)．
則∠CBF∈，．
故二面角E－l－C大小的取值范圍是．
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