資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.3導數(shù)及基本應用
【備考指南】 1
【思維導圖】 2
【考點梳理】 6
考點一：導數(shù)的幾何意義 6
考點二：公切線問題 10
考點三：復合函數(shù)導數(shù)的計算 15
考點四：導數(shù)與函數(shù)的單調性 19
考點五：導數(shù)與函數(shù)的極值 24
考點六：導數(shù)與函數(shù)的最值 29
【真題在線】 36
【專項突破】 53
考點 考情分析 考頻
導數(shù)的幾何意義 2023年全國甲卷T8 2023年全國乙卷T21 2022新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全國甲卷T20 2年7考
極值與最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年全國甲卷T8 2022年全國乙卷T16 2022年新高考Ⅰ卷T10 2年4考
不等式證明 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
恒成立（能成立）問題 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全國甲卷T21 2023年全國乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
零點問題 2023年全國乙卷21 2022年全國乙卷21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2年3考
雙變量問題 2022年全國甲卷T21
預測：導數(shù)部分為高考的必考點，主觀題與客觀題都有考察.從近幾年命題角度看，全國卷的壓軸題基本都是導數(shù)部分內容，但在2023年新高考Ⅰ卷T19難度不大，這是一個值得關注的地方，平時對難度中等的導數(shù)問題要處理好.小題的考察主要是導數(shù)的幾何意義與極值、最值，各種試題難度都有出現(xiàn)，在二輪復習時候在做好基礎的同時也要注重提升學生思維的深度與廣度.
考點一：導數(shù)的幾何意義
【典例精析】（多選）（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的值域為
B．直線是曲線的一條切線
C．圖象的對稱中心為
D．方程有三個實數(shù)根
【答案】BD
【分析】A.分兩種情況求函數(shù)的值域；B.利用導數(shù)求函數(shù)的切線，判斷選項；C.利用平移判斷函數(shù)的對稱中心；D.首先求的值，再求解方程的實數(shù)根.
【詳解】A.時，，當時等號成立，
當時，，當時等號成立，故A錯誤；
B.令，得，，所以圖象在點處的切線方程是，得，，所以圖象在點處的切線方程是，得，故B正確；
C. 的對稱中心是，所以的對稱中心是，向右平移1個單位得，對稱中心是，故C錯誤；
D. ，解得：或，
當，得，，1個實根，當時，得或，2個實根，所以共3個實根，故D正確.
故選：BD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設切點為，利用導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據(jù)切線過點，得到，設，求得，得出函數(shù)單調性和極值，列出方程組，即可求解.
【詳解】設切點為，
由函數(shù)，可得，則
所以在點處的切線方程為，
因為切線過點，所以，
整理得，
設，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
要使得過點可作曲線的三條切線，
則滿足，解得，即的取值范圍是．
故選：C．
2．（2023·湖南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關系即可求出的值．
【詳解】由，得，
因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，
所以，則．
故選：A．
3．（2022·全國·模擬預測）設函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項系數(shù)為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程.
詳解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
化簡可得，故選D.
點睛：該題考查的是有關曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應的參數(shù)值，之后利用求導公式求得，借助于導數(shù)的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.
二、填空題
4．（2022·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與曲線相切，則 .
【答案】3
【分析】設切點為，則，即求.
【詳解】對求導，得，
設切點為，則，解得，
故答案為：3.
5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若點P是曲線上一動點，則點P到直線的最小距離為 .
【答案】
【分析】利用導數(shù)求出與直線平行且與曲線相切的直線，切點到直線的距離即為最小距離.
【詳解】設，，
設直線與曲線相切，切點為，且直線與直線平行，
則有，得，，即
如圖所示：
此時到直線的距離最小，.
故答案為：
【解題技巧】
1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.
3.處理與切線有關的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
4.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結合，化歸與轉化的思想方法.
考點二：公切線問題
【典例精析】（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，為函數(shù)圖象上兩點，且軸，直線，分別是函數(shù)圖象在點處的切線，且，的交點為，，與軸的交點分別為，則下列結論正確的是（ ）．
A． B．
C．的面積 D．存在直線，使與函數(shù)圖象相切
【答案】ACD
【分析】對于選項A，可以分別求得兩點處的斜率，利用斜率之積即可判斷；
對于選項B，分析條件可得且，由特殊值即可判斷；
對于選項C，根據(jù)兩點處的切線方程可得點的對應坐標，繼而可以表示的面積，即可判斷；
對于選項D，設與函數(shù)圖象相切于點，利用公切線切點斜率相等建立方程，判斷方程是否有解即可.
【詳解】解:由及圖像可得，
而軸，故，
∴，即，
∴
∴，
顯然A正確；
當時，，顯然，B錯誤(也可以用基本不等式或對勾函數(shù)判定)；
，C正確；
設與函數(shù)圖象相切于點，由題意可得：，
化簡得,
令，則，即在定義域上單調遞增，
有，故上存在使得，D正確.
故選：ACD
【點睛】本題關鍵在于表示兩條切線的方程，利用即可解決前三個選項，對于公切線問題關鍵在于設切點，利用導數(shù)的幾何意義轉化為單變量問題，再利用導數(shù)判斷方程根的問題，屬于難題.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.
【詳解】設是圖象上的一點，，
所以在點處的切線方程為，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），
所以，此時①可化為，
所以.
故選：D
2．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預測）定義：若直線l與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線l為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實數(shù)a的值為（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】設直線與的切點為，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義可推得切線方程為，.兩條切線重合，即可得出有唯一實根.構造，根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的性質，作出函數(shù)的圖象，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】設直線與的切點為，
因為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
設直線與的切點為，
因為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
因為函數(shù)和有且只有一條公切線，
所以有，
即有唯一實根.
令，則.
解，可得.
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減.
所以在處取得最大值.
當時，，，函數(shù)圖象如圖所示，

因為，有唯一實根，所以只有.
故選：C
3．（2021·江蘇·高二專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點A、B處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系式，從而得出，令函數(shù)，利用導數(shù)求其范圍，可得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】當時，的導數(shù)為；
當時，的導數(shù)為，
設，為函數(shù)圖象上的兩點，且，
當或時，，故，
當時，函數(shù)在處的切線方程為：；
當時，函數(shù)在處的切線方程為
兩直線重合的充要條件是①，②，
由①②得：，，
令，則，
令，則，
由，得，即時有最大值，
在上單調遞減，則.
a的取值范圍是.
故選：B.
二、填空題
4．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）與曲線和都相切的直線方程為 .
【答案】
【分析】分別設出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.
【詳解】設直線與曲線相切于點，
因為，所以該直線的方程為，即，
設直線與曲線相切于點，
因為，所以該直線的方程為，即，
所以，解得，
所以該直線的方程為，
故答案為：.
5．（2022·全國·南京外國語學校校考模擬預測）已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù) ．
【答案】1
【分析】設函數(shù)，的公共點為，則，代入化簡即可求得，令，易得在上單調遞增，即可求出，進而求得實數(shù)的值.
【詳解】設函數(shù)，的公共點為，則即則．令，易得在上單調遞增，所以以由，解得，所以切點為，所以，則．
故答案為：1.
【解題技巧】
1.求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.
考點三：復合函數(shù)導數(shù)的計算
【典例精析】（多選）（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，的圖象關于y軸對稱，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可得，根據(jù)的圖象關于y軸對稱可得，兩個等式兩邊同時取導數(shù)，可得、，對x賦值，結合選項即可求解.
【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為R，所以，
故，
等式兩邊同時取導數(shù)，得，即①，
因為的圖象關于y軸對稱，則，故
，
等式兩邊同時取導數(shù)，得②.
由，令，得，解得，
由，令，得，
由②，令，得，
令，得，解得，
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)的導函數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接代入求導公式，運用復合函數(shù)的求得法則即可求解.
【詳解】依題知，，即，
由求導公式：，
復合函數(shù)的求導法則：設，則
得：，
故選：D.
2．（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，，，則（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的對稱性可得，進而，則函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，分別求出的值，結合函數(shù)的周期即可求解.
【詳解】由，令，得，所以.
由為奇函數(shù)，得，
所以，故①，
又②，由①和②得，
即，所以③，
令，得，得；
令，得，得.又④，
由③-④得，即，
所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，故，
所以，
所以
.
故選：B.
3．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）定義在上的連續(xù)可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且為奇函數(shù)．當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】推導出函數(shù)、均為周期函數(shù)，確定這兩個函數(shù)的周期，結合周期性可求得的值.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，可得，
又因為，則，
所以，，可得，則，
即，
所以，，
在等式兩邊求導得，
故函數(shù)也為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為，
因為，令時，則有，所以，，
所以，滿足，
即當時，，此時，
所以，，
因此，.
故選：A.
二、填空題
4．（2023·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是 ．
【答案】
【分析】求導函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，運用點斜式方程，即可求出函數(shù)的圖象在點處的切線方程.
【詳解】 ，
，則，
又，切點為，
函數(shù)的圖象在點處的切線方程是 即.
故答案為：.
5．（2022上·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】先求導函數(shù)，解出的值，代入函數(shù)即可求得.
【詳解】由已知，，則
所以，，
所以，.
故答案為：.
【解題技巧】
1.求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟
2.求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：
①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；
②求導時分清是對哪個變量求導；
③計算結果盡量簡潔.
考點四：導數(shù)與函數(shù)的單調性
【典例精析】（多選）（2023上·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，有兩個極值點
B．當時，的圖象關于中心對稱
C．當，且時，可能有三個零點
D．當在上單調時，
【答案】BC
【分析】特殊值法可排除A項，利用函數(shù)的對稱性可判定B，取特殊值結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值可判定C，利用導函數(shù)非負結合判別式可判定D.
【詳解】對于A，當時，，，
若時，，則在定義域內單調遞增，無極值點，故A錯誤；
對于B，當時，，，則，所以的圖象關于中心對稱，故B正確；
對于C項，當時，，
，
取，即時，此時，
所以當時，，所以在上單調遞增，
當時，，所以在上單調遞減，
當時，，所以在上單調遞增，
所以函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，
即，所以在有一個零點，
又因為，，
所以在有一個零點，在有一個零點，
即當時，有三個零點，故C正確；
對于D項，若在定義域上是單調函數(shù)，
則恒成立，所以，解得，所以D錯誤，
故選：BC．
【點睛】關鍵點睛：本題C項，利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)，結合極大小值的正負及取特殊點判斷函數(shù)值符合是關鍵.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）設，，（e為自然對數(shù)底數(shù)），則a，b，c大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，，，且，構造利用導數(shù)研究單調性比較大小，即可得結果.
【詳解】由題設，，，顯然，
對于，的大小，只需比較大小，
令且，則，即在上遞減，
所以，故，
綜上，，故.
故選：B
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構造函數(shù)，利用的奇偶性和單調性求得正確答案.
【詳解】設，
，
所以是奇函數(shù).
當時，，
則，
所以在上單調遞增，則在上單調遞增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點有兩點，一個是函數(shù)的奇偶性，奇偶性可以轉化為來進行判斷；一個是構造函數(shù)法，有關和的不等關系式，在解題過程中可以考慮利用構造函數(shù)法，然后結合導數(shù)來進行求解.
3．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內，且，得出關于的不等式組，求解即可．
【分析】函數(shù)的定義域為，
且，
令，得，
因為在區(qū)間上不單調，
所以，解得：
故選：B.
二、填空題
4．（2022上·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學校考開學考試）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)則下面各選項中一定正確的序號是 .
①；②；③；④.
【答案】②③
【分析】將題干轉化為抽象函數(shù)的性質，根據(jù)原函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關系可得解.
【詳解】因為，均為偶函數(shù)，
所以，即，，
所以，，則，故③正確；
函數(shù)，的圖象分別關于直線，對稱，
又，且函數(shù)可導，由函數(shù)圖象關于直線對稱，所以其單調性在處改變，導數(shù)值為零，所以，，所以關于點對稱，又圖象關于對稱，所以的周期為，所以，
所以，所以，故②正確，④錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故①錯誤；
故答案為：②③.
三、解答題
5．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)若，函數(shù)，且對任意，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增
(2)
【分析】(1)對函數(shù)求導，求出零點，即可寫出單調區(qū)間.
(2)代入，表示函數(shù)，將恒成立，轉化為恒成立，結合第一問求出的單調區(qū)間，即可求解.
【詳解】（1）（1）．
令，得或，
當或時，，當時，，
所以在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．
（2）當時，，
．
．
當時，，所以恒成立，等價于恒成立．
由（1）知，，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以，即．
令函數(shù)，，則，
所以，
所以m的取值范圍是．
【解題技巧】
1.確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.
2.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.
(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.
3.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).
4.根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路：
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.
(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.
5.利用導數(shù)比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性比較大小.
6.與抽象函數(shù)有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，從而求解不等式.
考點五：導數(shù)與函數(shù)的極值
【典例精析】（多選）（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的圖像為曲線，下列說法正確的有（ ）．
A．都有兩個極值點
B．都有三個零點
C．，曲線都有對稱中心
D．，使得曲線有對稱軸
【答案】AC
【分析】根據(jù)已知函數(shù)求導求出單調區(qū)間再求出極值點判斷A選項，根據(jù)極值確定零點個數(shù)判斷B選項，根據(jù)導函數(shù)性質以及三次函數(shù)圖象的性質可判斷C,D選項.
【詳解】，
，
單調遞增；單調遞減；
都有兩個極值點，故A選項正確；
因為當時， ；當 時， ,
所以函數(shù) 至少有一個零點，
已知 極大值
極小值
當，即 時，，
所以函數(shù)與 x 軸僅有一個交點，
不滿足 都有三個零點，故選項 B 錯誤；
函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且為軸對稱，此時對稱軸的橫坐標即為函數(shù)對稱中心的橫坐標，
是曲線對稱中心，故選項 C 正確，
由三次函數(shù)圖象的性質知 ，曲線C沒有對稱軸，選項 D 錯誤．
故選：AC.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．在處得到極大值 B．在處得到極大值
C．在處得到極小值 D．在處得到極小值
【答案】C
【分析】利用導數(shù)求函數(shù)極值即可.
【詳解】由，且，
所以時，遞減，時，遞增，
所以在處得到極小值.
故選：C
2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)極值點的意義，列式求解即可.
【詳解】，
所以，解得，
經檢驗，滿足題意，
所以.
故選：A
3．（2023·江西南昌·校考模擬預測）已知函數(shù)，下列命題中，是假命題的為（ ）
A．若在上單調遞減，則
B．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為
C．若是函數(shù)的極值點，則
D．若在上恒成立，則
【答案】D
【分析】利用導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系可知，若在上單調遞減，即可得在恒成立，可判斷A正確；若是函數(shù)的極值點，代入導函數(shù)可得，且在上的最小值為，即BC正確；構造函數(shù)，可得若在上恒成立，則，可知D錯誤.
【詳解】根據(jù)題意可知，若在上單調遞減,
則在上恒成立，即在恒成立；
易知函數(shù)在上單調遞增，所以可得；即A正確；
若是函數(shù)的極值點，則，可得，
經檢驗，滿足題意，故C正確；
此時，
若，可得當時，，時，；
即在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，即B正確；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，則；
易知恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，
則，即，所以D錯誤.
故選：D
二、填空題
4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則函數(shù)（）的極小值點的個數(shù)為 ．
【答案】1012
【分析】由已知構造函數(shù)（），利用的單調性得，從而，，再利用導數(shù)判斷單調性可得答案.
【詳解】因為，即，
所以，所以，
令（），則，
所以在上單調遞增，
所以，即，
所以，，
所以，
令，得，，
當，時，，，則；
當，時，，，
則，
所以在，上單調遂減，
在，上單調遞增，
故在，處取得極小值，
因為，所以，則，
又，所以可以取0，1，…，1011，共1012個取值，
所以的極小值點的個數(shù)為1012．
故答案為：1012.
【點睛】方法點睛：同構是通過合理的整理變形使函數(shù)的解析式變形成為我們熟悉的函數(shù)或者把題干中的方程、不等式通過合理變形使得代數(shù)式的兩邊呈現(xiàn)出相同的結構，即把代數(shù)式變?yōu)榕c]的關系，則可將相同的結構構造函數(shù)，進而利用函數(shù)的單調性、最值等手段解決問題，其本質是復合函數(shù)的拆分.
三、解答題
5．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)設分別為的極大值點和極小值點，若，求的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導，分類討論與2的大小關系，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調性；
（2）由（1）可知：，且，進而可得，結合題意運算求解即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，
令，解得或，
若，可知，當且僅當時，等號成立，
若時，，所以在上單調遞增；
若時，則，可知：
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，， 單調遞增；
綜上所述：當是，在R上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．
（2）由（1）可知：，且，
所以，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為.
【解題技巧】
1. 運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導數(shù)f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內的所有根；
(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號；
(5)求出極值.
2.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.
3.導數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.
考點六：導數(shù)與函數(shù)的最值
【典例精析】（多選）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，則下列選項中正確的有（ ）
A．當時，函數(shù)和在處的切線互相垂直
B．若函數(shù)在內存在單調遞減區(qū)間，則
C．函數(shù)在內僅有一個零點
D．若存在，使得成立，則
【答案】ACD
【分析】對函數(shù)與求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分別計算與，再根據(jù)直線垂直的斜率公式計算并判斷選項A，將條件轉化為在內有解，參變分離后，求解的最小值即可得的取值范圍，判斷選項B，求解導函數(shù)，通過構造新函數(shù)，求導判斷單調性，再結合零點存在定理判斷選項C，參變分離將成立轉化為，通過構造兩次新函數(shù)，求解導函數(shù)并判斷單調性從而判斷得，進而得的取值范圍，判斷選項D.
【詳解】對于選項A，當時，，
所以，由，得到．
因為，
所以函數(shù)和在處的切線互相垂直，故A正確；
對于選項B，因為，
若函數(shù)在內存在單調遞減區(qū)間，
可知在內有解，
則在時能成立，
所以，當時，
，即，故B不正確；
對于選項C，當時，，
，此時函數(shù)無零點；
當時，，
令，其中，
則，所以函數(shù)在上單調遞減，
可得，因為對任意的，，
可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
由于，，
所以函數(shù)在上只有一個零點．
綜上函數(shù)在上只有一個零點，故C正確；
對于選項D，由，得，
令，，
則，
令，則，
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，
當時，，
此時，則函數(shù)在上單調遞增．
當時，，則函數(shù)在上單調遞減，
因為，，
所以存在，使得，
變形可得，
當時，，當時，．
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
，其中，
令函數(shù)，，因為，
所以在上單調遞減，
則，故，
所以成立，故D正確．
故選：ACD．
【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022·福建福州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，以下結論中錯誤的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點
C．的最小值為 D．的最大值為
【答案】C
【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令可確定B正確；根據(jù)定義域為，，可知若最小值為，則是的一個極小值點，根據(jù)可知C錯誤；由時，取得最大值，取得最小值可確定D正確.
【詳解】對于A，定義域為，，
為偶函數(shù)，A正確；
對于B，令，即，，解得：，
有無數(shù)個零點，B正確；
對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；
，，
不是的極小值點，C錯誤；
對于D，，；
則當，，即時，取得最大值，D正確.
故選：C.
2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）設函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先設切點寫出切線方程，再求的解析式，最后通過求導判斷單調性求出最小值.
【詳解】令的切點為，因為，
所以過切點的切線方程為，
即，所以，
所以，
令，則，
所以當時恒成立，此時單調遞減，
當時恒成立，此時單調遞增，
所以，所以，
故選：C
3．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測）下列不等式中，正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可得在上單調遞增，再由可判斷A；舉反例可判斷B；當是第三象限角時由可判斷C；當時利用為單調遞增函數(shù)，對兩邊取對數(shù)對稱矛盾可判斷D.
【詳解】對于A，令，則，即證，
令，則，
所以在上單調遞增，故，
所以，即，故A正確；
對于B，當時顯然不成立，故B錯誤；
對于C，當是第三象限角時，則，所以，
可得，故C錯誤；
對于D，當時，為單調遞增函數(shù)，
若，則，
這與矛盾，故D錯誤.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：對于A選項，關鍵點是構造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性解題，考查了學生的思維能力、運算能力.
二、填空題
4．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，作出圖形，求出使得的的值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有最小值可得出關于實數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】因為，則.
由可得，由可得或，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、，
所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，
令，其中，則，解得，
因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，
所以，整數(shù)的取值集合為.
故答案為：（答案不唯一，、均可）.
三、解答題
5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論，分別判斷的符號，得出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）利用函數(shù)最值轉化為求證，構造函數(shù)利用導數(shù)求最值即可得解.
【詳解】（1），
當時，，在上單調遞減；
當時，由可得，故時，，時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由（1）知，，
只需證，即證，
設，
則，
故時，，時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
又，故，
即成立，所以原不等式成立.
【解題技巧】
1.利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的一般步驟：
(1)求函數(shù)在(a，b)內的極值.
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b).
(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
2.求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切點設切線方程，再求函數(shù)的導數(shù)，把切點的橫坐標代入導數(shù)得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.
【詳解】設曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.
【詳解】，
所以在區(qū)間和上，即單調遞增；
在區(qū)間上，即單調遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：D
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得;構造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構造函數(shù)
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數(shù)
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導數(shù)法
設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當且僅當取到，
當時，得，則
當時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數(shù)， 導數(shù)判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數(shù)在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數(shù)在（1，3)上單調遞增
綜上，，
故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
9．（2020·高一單元測試）設，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.
【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法可以快速解答.
10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數(shù)單調遞增，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
二、多選題
11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數(shù)進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數(shù)，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，
因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，
因此方程有兩個不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
16．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
【答案】
【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點和點，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.
17．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
四、解答題
18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；
(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導，利用切線放縮研究導函數(shù)的性質，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）令，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當時，，在區(qū)間上單調遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區(qū)間上單調遞增，
所以，在區(qū)間上單調遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內單調遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當時，，單調減，
當時，，單調遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.
一、單選題
1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出兩個函數(shù)圖象的公共點坐標，利用導數(shù)的幾何意義建立關系求解即得.
【詳解】設函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點坐標為，
求導得，依題意，，于是，
令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調遞增，且，
則當時，，因此在中，，此時，經檢驗符合題意，
所以.
故選：B
2．（2023上·湖北武漢·高三武鋼三中校考階段練習）在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，函數(shù)且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求導利用函數(shù)零點定義即可求得，得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.再利用引入輔助角公式對化簡，構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷新函數(shù)的單調性并結合題意進而求解即可.
【詳解】因為有唯一的零點，且為偶函數(shù)，
則，可得，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.
又，
令，則為奇函數(shù)，
因為，所以在上單調遞增，
由題意得，
則，
∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，
則，假設，
因為是奇函數(shù)且在上單調遞增，
則在上單調遞增，
所以，
∵，
∴，與已知矛盾，故不成立；
假設，同理可得，與已知矛盾，故不成立；
綜上，．
故選：A
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構建函數(shù)，求導判斷其單調性，利用單調性比較大小，注意.
【詳解】由題意可得，，，
設，，則，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
因為，，，且，
可得，，所以.
故選：D.
4．（2023·浙江·模擬預測）已知直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】設切點為，曲線求導得到切線斜率，利用斜率相等求得切點坐標，代入直線方程后得，構造新的函數(shù)，應用導數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【詳解】由，知定義域為，
設切點為，，，
所以，故切點為，代入直線方程，
則，
，
令，，
令，解得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
則，
故的最小值為1.
故選：B
5．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）設函數(shù)在區(qū)間恰有3個極值點，2個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質，求得的取值范圍.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間恰有3極值點，2個零點，
在恰有3個零點，
又函數(shù)在區(qū)間恰有2零點，
由于，則，
故問題轉化為在上有3個零點，在上有2個零點，
結合正余弦函數(shù)圖象可得：，故.
故選：C.
.
.
6．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)在上恰有5個極值點，則當取得最小值時，圖象的對稱中心的橫坐標可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函數(shù)的性質求出的極值點，根據(jù)極值點的個數(shù)列出關于的不等式求出最小值，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質求出對稱中心橫坐標即可.
【詳解】令，故，
由于在上恰有5個極值點，故，解得，
故當取得最小值時，，
令，則，當時，，而其他選項不合題意.
故選：B．
二、多選題
7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)，則（ ）
A． B．有兩個極值點
C．曲線的切線的斜率可以為 D．點是曲線的對稱中心
【答案】BD
【分析】A項，求導賦值可得；B項，利用導函數(shù)研究單調性再求極值；C項，研究導函數(shù)值域即可；D項，證明.
【詳解】選項A，由題意得，
所以，解得，A錯誤；
選項B，由，則，
，由得，或，
則當或時，；
當時，，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
則當時，有極大值；當時，有極小值.
所以有兩個極值點，B正確；
選項C，，
所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯誤；
選項D，因為
,
所以點是曲線的對稱中心，D正確.
故選：BD.
8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)有兩個零點
B．函數(shù)在上單調遞減
C．函數(shù)無最大值和最小值
D．當或時，關于x的方程有且僅有1個解
【答案】ACD
【分析】利用導數(shù)研究的單調性、極值，畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結合分析各項的正誤.
【詳解】由且，
故上，遞增，上，遞減，
且極大值， ，
在內趨向于1時趨向于0且恒負，則趨向，
在上恒成立，趨向于時趨向于，則趨向3，
綜上，圖象如下，

所以有兩個零點，上不單調，無最大值和最小值，或時，關于x的方程有且僅有1個解.
故選：ACD
三、填空題
9．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】利用導數(shù)的乘法法則求出的導數(shù)，即可求得，又，利用直線的點斜式即可得出結論.
【詳解】由題意得，
所以，
又，
所以切線方程為．
故答案為：.
10．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習）衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率.已知函數(shù)，則曲線在點處的曲率為 .
【答案】/
【分析】求出和，繼而求出和，根據(jù)曲率的計算即可得答案.
【詳解】因為，故，，
故，
故，即曲線在點處的曲率為，
故答案為：
11．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學校考二模）若函數(shù)在上單調遞增，，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】若要在上單調遞增，只需其導函數(shù)恒成立即可，進而通過運算即可求得的取值范圍.
【詳解】對求導得在上恒成立，即只需恒成立，設，則，
所以在上單調遞增，注意到當趨于正無窮時，無限接近于，綜上的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題
12．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）設，為實數(shù)，且，函數(shù)（），直線．
(1)若直線與函數(shù)（）的圖像相切，求證：當取不同值時，切點在一條直線上；
(2)當時，直線與函數(shù)有兩個不同的交點，交點橫坐標分別為，，且，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由條件可得，即，令，構造，求導得其單調性，即可得到切點在直線上，即可得證；
（2）根據(jù)題意，轉化為有2個不同的解，即證，然后構造函數(shù)有其單調性即可得證.
【詳解】（1）設切點橫坐標為，可得，
得，即，
化簡得，
令，得，
記，
所以時，單減，且時，
當，單增，，所以，，
，所以切點在直線上．
（2）當時，由（1）得切線的斜率為，
直線與函數(shù)有兩個不同的交點，得，
即有2個不同的解，
由題意得，，
做差得，即，
欲證，即證，即證，即
令，，即證即
下面先證明，令，
即證，即，
先證，令，
，單調遞增得，因為，
所以，證得成立，
用替換，可得成立，
所以，即成立，得.
13．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間有2個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)當時，在處取極大值
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后分與討論，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，將問題轉化為與在區(qū)間有2個交點，求得函數(shù)的值域，即可得到結果.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則恒成立，
所以在上單調遞增，無極值，
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減：
所以當時，在處取極大值，無極小值；
（2），
令，得，令，在區(qū)間有2個零點，
即與在區(qū)間有2個交點，
，，，
當，，在上單增，
當，，在上單減，
，的最大值為，，
與在區(qū)間有2個交點，則．
14．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程；
（2）設，利用導數(shù)研究的單調性與最值，結合三角函數(shù)的有界性得出結論.
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為，
則，故，
又，
在處的切線方程為，
即．
（2）設，
則．
設，則，
在上單調遞增．
，即，
當時，，即，單調遞減，
當時，，即，單調遞增，
在處取得最小值，
，又，當時，，
，即．
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2.3導數(shù)及基本應用
【備考指南】
【思維導圖】 1
【考點梳理】
考點一：導數(shù)的幾何意義
考點二：公切線問題
考點三：復合函數(shù)導數(shù)的計算
考點四：導數(shù)與函數(shù)的單調性
考點五：導數(shù)與函數(shù)的極值
考點六：導數(shù)與函數(shù)的最值
【真題在線】
【專項突破】
考點 考情分析 考頻
導數(shù)的幾何意義 2023年全國甲卷T8 2023年全國乙卷T21 2022新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全國甲卷T20 2年7考
極值與最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年全國甲卷T8 2022年全國乙卷T16 2022年新高考Ⅰ卷T10 2年4考
不等式證明 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
恒成立（能成立）問題 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全國甲卷T21 2023年全國乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
零點問題 2023年全國乙卷21 2022年全國乙卷21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2年3考
雙變量問題 2022年全國甲卷T21
預測：導數(shù)部分為高考的必考點，主觀題與客觀題都有考察.從近幾年命題角度看，全國卷的壓軸題基本都是導數(shù)部分內容，但在2023年新高考Ⅰ卷T19難度不大，這是一個值得關注的地方，平時對難度中等的導數(shù)問題要處理好.小題的考察主要是導數(shù)的幾何意義與極值、最值，各種試題難度都有出現(xiàn)，在二輪復習時候在做好基礎的同時也要注重提升學生思維的深度與廣度.
考點一：導數(shù)的幾何意義
【典例精析】（多選）（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的值域為
B．直線是曲線的一條切線
C．圖象的對稱中心為
D．方程有三個實數(shù)根
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·模擬預測）設函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為(　　)
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與曲線相切，則 .
5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若點P是曲線上一動點，則點P到直線的最小距離為 .
【解題技巧】
1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.
3.處理與切線有關的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
4.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結合，化歸與轉化的思想方法.
考點二：公切線問題
【典例精析】（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，為函數(shù)圖象上兩點，且軸，直線，分別是函數(shù)圖象在點處的切線，且，的交點為，，與軸的交點分別為，則下列結論正確的是（ ）．
A． B．
C．的面積 D．存在直線，使與函數(shù)圖象相切
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預測）定義：若直線l與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線l為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實數(shù)a的值為（ ）
A．e B． C． D．
3．（2021·江蘇·高二專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）與曲線和都相切的直線方程為 .
5．（2022·全國·南京外國語學校校考模擬預測）已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù) ．
【解題技巧】
1.求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.
考點三：復合函數(shù)導數(shù)的計算
【典例精析】（多選）（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，的圖象關于y軸對稱，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)的導函數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東德州·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，，，則（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
3．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）定義在上的連續(xù)可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且為奇函數(shù)．當時，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是 ．
【解題技巧】
1.求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟
2.求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：
①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；
②求導時分清是對哪個變量求導；
③計算結果盡量簡潔.
考點四：導數(shù)與函數(shù)的單調性
【典例精析】（多選）（2023上·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，有兩個極值點
B．當時，的圖象關于中心對稱
C．當，且時，可能有三個零點
D．當在上單調時，
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）設，，（e為自然對數(shù)底數(shù)），則a，b，c大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
二、填空題
4．（2022上·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學校考開學考試）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)則下面各選項中一定正確的序號是 .
①；②；③；④.
三、解答題
5．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調性；
(2)若，函數(shù)，且對任意，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解題技巧】
1.確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.
2.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.
(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.
3.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).
4.根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路：
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.
(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.
5.利用導數(shù)比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性比較大小.
6.與抽象函數(shù)有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，從而求解不等式.
考點五：導數(shù)與函數(shù)的極值
【典例精析】（多選）（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的圖像為曲線，下列說法正確的有（ ）．
A．都有兩個極值點
B．都有三個零點
C．，曲線都有對稱中心
D．，使得曲線有對稱軸
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．在處得到極大值 B．在處得到極大值
C．在處得到極小值 D．在處得到極小值
2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．（2023·江西南昌·校考模擬預測）已知函數(shù)，下列命題中，是假命題的為（ ）
A．若在上單調遞減，則
B．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為
C．若是函數(shù)的極值點，則
D．若在上恒成立，則
二、填空題
4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則函數(shù)（）的極小值點的個數(shù)為 ．
三、解答題
5．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)設分別為的極大值點和極小值點，若，求的取值范圍．
【解題技巧】
1. 運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導數(shù)f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內的所有根；
(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號；
(5)求出極值.
2.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.
3.導數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.
考點六：導數(shù)與函數(shù)的最值
【典例精析】（多選）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，則下列選項中正確的有（ ）
A．當時，函數(shù)和在處的切線互相垂直
B．若函數(shù)在內存在單調遞減區(qū)間，則
C．函數(shù)在內僅有一個零點
D．若存在，使得成立，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022·福建福州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，以下結論中錯誤的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點
C．的最小值為 D．的最大值為
2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）設函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測）下列不等式中，正確的有（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ．
三、解答題
5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，
【解題技巧】
1.利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的一般步驟：
(1)求函數(shù)在(a，b)內的極值.
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b).
(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
2.求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·高一單元測試）設，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
三、填空題
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是 ．
16．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是 ．
17．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點處的切線方程為 ．
四、解答題
18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
一、單選題
1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北武漢·高三武鋼三中校考階段練習）在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，函數(shù)且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·模擬預測）已知直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）設函數(shù)在區(qū)間恰有3個極值點，2個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數(shù)在上恰有5個極值點，則當取得最小值時，圖象的對稱中心的橫坐標可能為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)，則（ ）
A． B．有兩個極值點
C．曲線的切線的斜率可以為 D．點是曲線的對稱中心
8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)有兩個零點
B．函數(shù)在上單調遞減
C．函數(shù)無最大值和最小值
D．當或時，關于x的方程有且僅有1個解
三、填空題
9．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）曲線在點處的切線方程為 ．
10．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習）衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率.已知函數(shù)，則曲線在點處的曲率為 .
11．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學校考二模）若函數(shù)在上單調遞增，，則的取值范圍為 ．
四、解答題
12．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）設，為實數(shù)，且，函數(shù)（），直線．
(1)若直線與函數(shù)（）的圖像相切，求證：當取不同值時，切點在一條直線上；
(2)當時，直線與函數(shù)有兩個不同的交點，交點橫坐標分別為，，且，求證：．
13．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間有2個零點，求的取值范圍．
14．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)證明：．
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