資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.2常用邏輯用語
【備考指南】 1
【思維導圖】 1
【考點梳理】 2
考點一：充分不必要條件 2
考點二：必要不充分條件 3
考點三：充要條件 4
考點四：全稱量詞與全稱命題 5
考點五：存在量詞與特稱命題 6
考點六：含有一個量詞的命題的否定 7
【真題在線】 8
【專項突破】 9
考點 考情分析 考頻
充分條件與必要條件 2023年全國甲卷T7 2023年全國ⅠT7 2021年全國甲卷T7 5年3考
充要條件 2019年新高考Ⅱ卷T7 5年1考
全稱量詞與存在量詞 2021年全國乙卷T3 5年1考
預測：本節內容的考察主要是概念的理解，通常結合其他知識點進行考察，考察的頻率不是太高，近5年全國卷中考察了5次，最近考察是在2023年， 2024年值得關注.
考點一：充分不必要條件
【典例精析】（多選）（2021上·福建福州·高一校考階段練習）若是的充分不必要條件，則實數a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）已知集合，，若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南邵陽·統考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學校考階段練習）已知函數，則在區間上存在極值的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學校考模擬預測）若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是 ．
5．（2023·上海長寧·統考二模）若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍為 ．
【解題技巧】
根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，主要根據充分條件、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解.
考點二：必要不充分條件
【典例精析】（多選）（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）下列命題中正確的命題是 （ ）
A．，使；
B．若，則；
C．已知，是實數，則“”是“”的必要不充分條件；
D．若角的終邊在第一象限，則的取值集合為．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預測）若 是 的必要不充分條件，則實數 的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022·云南昆明·統考模擬預測）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是 .（寫出滿足條件的一個值即可）
5．（2022·全國·模擬預測）已知p：，q：.若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是 .
【解題技巧】
1.充分條件、必要條件的判斷方法
(1)定義法：直接利用定義進行判斷.
(2)利用集合間的包含關系進行判斷.
2.根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，注意轉化與化歸思想的應用.
3.利用條件關系解題的常見誤區：(1)忽視條件關系的不唯一；(2)求參數范圍忽視端點值的取舍.
考點三：充要條件
【典例精析】（多選）（2023·海南海口·校考模擬預測）下列命題為真命題的是（ ）
A．一組數據22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位數是21
B．若等差數列滿足、、、，則
C．非零平面向量 、 、滿足，，則
D．在中，“”與“”互為充要條件
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南海口·校考模擬預測）已知集合，則的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·山西呂梁·統考一模）滿足函數在上單調遞減的充分必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·內蒙古赤峰·統考模擬預測）已知，是兩個具有線性相關的兩個變量，其取值如下表：
1 2 3 4 5
4 9 11
其回歸直線過點的一個充要條件是（ ）
A． B．
C． D．，
二、填空題
4．（2020·河南·校聯考模擬預測）若關于的不等式成立的充要條件是，則 .
5．（2020·江蘇南京·南京市第五高級中學校考模擬預測）直線與直線平行的充要條件為 .
【解題技巧】
一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時應以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結論”，即q p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結論”，即p q.
考點四：全稱量詞與全稱命題
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）命題“，”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川綿陽·統考一模）若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·內蒙古呼和浩特·統考二模）有下列命題：①若“，則或”是真命題；②命題“，”的否定是“，”；③，為真命題，則a的最大值為2.其中正確的是 （填序號）.
5．（2023·江西·統考模擬預測）已知命題，若為真命題，則實數的取值范圍是 .
【解題技巧】
判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關鍵是看量詞.由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據命題表達的意義判斷，同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.
考點五：存在量詞與特稱命題
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南·校聯考模擬預測）若，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空題
3．（2023·四川南充·模擬預測）若命題“，使得成立”為真命題，則實數的取值范圍是 ．
4．（2023·陜西寶雞·統考一模）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【解題技巧】
依據含量詞命題的真假求參數取值范圍：
(1)首先根據全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意.
(2)其次根據含量詞命題的真假把命題的真假問題轉化為集合間的關系或函數的最值問題，再轉化為關于參數的不等式(組)求參數的取值范圍.
考點六：含有一個量詞的命題的否定
【典例精析】（多選）（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）下面命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“若，則”的否定是“存在，”
C．設，則“且”是“”的必要不充分條件
D．設，則“”是“”的必要不充分條件
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·四川內江·高一四川省內江市第一中學校考階段練習）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河北滄州·校考三模）已知命題：，使得且，則為（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國數學家陳景潤證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內容是“每一個大于2的偶數都能寫成兩個質數之和”，則該猜想的否定為（ ）
A．每一個小于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
B．存在一個小于2的偶數不能寫成兩個質數之和
C．每一個大于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
D．存在一個大于2的偶數不能寫成兩個質數之和
4．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）若“使”為假命題，則實數的取值范圍為 .
5．（2020上·安徽馬鞍山·高三和縣第二中學校考階段練習）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是 .
【解題技巧】
1.注意p與p的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉化.
2.對求參數范圍問題，往往分離參數，轉化成求函數的最值問題，如本題分離參數后，轉化成了求二次函數的最值問題.
一、單選題
1．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·天津·統考高考真題）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
4．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
5．（2022·北京·統考高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2021·天津·統考高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2021·北京·統考高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2021·全國·統考高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
9．（2020·北京·統考高考真題）已知，則“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2020·山東·統考高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
一、單選題
1．（2023·吉林長春·統考一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·海南·校聯考模擬預測）若，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·統考一模）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯考階段練習）命題“，函數是偶函數”的否定是（ ）
A．，函數不是偶函數 B．，函數不是偶函數
C．，函數是奇函數 D．，函數是奇函數
5．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，設甲：，乙：是偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
6．（2023·四川綿陽·三臺中學校考一模）下列命題正確的是（ ）
A．命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題
B．命題“若，則” 的逆否命題為真命題
C．若使得函數的導函數，則為函數的極值點；
D．命題“，使得”的否定是：“，均有”
二、多選題
7．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若數列為等差數列，則
C．若，，且，則的最小值為9
D．命題“，”的否定為“，”
8．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知表示空間內兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直線，有 D．存在直線，有
三、填空題
9．（2023·黑龍江大慶·大慶市東風中學校考模擬預測）已知有三個條件：①；②；③，中能成為的充分條件的是 填序號
10．（2023·陜西西安·校考模擬預測）命題“，”的否定是 .
11．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）設，，，是四個命題，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，是的充分必要條件，那么是的 條件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四選一）
四、解答題
12．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知對任意實數恒成立.
(1)求實數的取值所構成的集合;
(2)在（1）的條件下，設函數在上的值域為集合，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
13．（2021上·山東濟寧·高一濟寧市育才中學校考階段練習）已知命題“使不等式成立”是假命題
(1)求實數m的取值集合；
(2)若是的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.
14．（2023·安徽·池州市第一中學校考模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
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1.2常用邏輯用語
【備考指南】 1
【思維導圖】 1
【考點梳理】 2
考點一：充分不必要條件 2
考點二：必要不充分條件 5
考點三：充要條件 8
考點四：全稱量詞與全稱命題 11
考點五：存在量詞與特稱命題 13
考點六：含有一個量詞的命題的否定 16
【真題在線】 18
【專項突破】 24
考點 考情分析 考頻
充分條件與必要條件 2023年全國甲卷T7 2023年全國ⅠT7 2021年全國甲卷T7 5年3考
充要條件 2019年新高考Ⅱ卷T7 5年1考
全稱量詞與存在量詞 2021年全國乙卷T3 5年1考
預測：本節內容的考察主要是概念的理解，通常結合其他知識點進行考察，考察的頻率不是太高，近5年全國卷中考察了5次，最近考察是在2023年， 2024年值得關注.
考點一：充分不必要條件
【典例精析】（多選）（2021上·福建福州·高一校考階段練習）若是的充分不必要條件，則實數a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】先根據充分不必要條件求解出的取值范圍，由此確定出的可取值.
【詳解】因為是的充分不必要條件，
所以，
所以的可取值有，
故選：CD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）已知集合，，若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依題意可得 ，即可得到，再求出集合，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】由，解得，所以，
因為，所以不等式，等價于，
因為“”是“”的充分非必要條件，所以 ，
所以，則，所以不等式，即，解得，
所以，
又 ，所以.
故選：B
2．（2023·湖南邵陽·統考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要條件，則 ，列出不等式組求解即可.
【詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則 ，
所以，解得，即的取值范圍是.
故選：B.
3．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學校考階段練習）已知函數，則在區間上存在極值的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據極值的定義，結合充分不必要條件的性質進行判斷即可.
【詳解】，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
因此是函數的極大值點，要想在在區間上存在極值，
只需，顯然四個選項中，只有能推出，
但是推不出，
故選：A
二、填空題
4．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學校考模擬預測）若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意轉化為當時，恒成立，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】由是的充分不必要條件，可轉化為當時，恒成立，
即當時，恒成立，
又由函數在上為單調遞增函數，且，所以，
經驗證，當時，不等價于，所以的取值范圍是．
故答案為：.
5．（2023·上海長寧·統考二模）若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由充分條件定義直接求解即可.
【詳解】“”是“”的充分條件，，，
即實數的取值范圍為.
故答案為：.
【解題技巧】
根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，主要根據充分條件、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解.
考點二：必要不充分條件
【典例精析】（多選）（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）下列命題中正確的命題是 （ ）
A．，使；
B．若，則；
C．已知，是實數，則“”是“”的必要不充分條件；
D．若角的終邊在第一象限，則的取值集合為．
【答案】BCD
【分析】根據指數函數的性質，得到，可判定A不正確；由三角函數的基本關系式，可判定B正確；由指數函數與對數函數的性質，結合充分、必要條件的判定，可判定C正確；求得，分類討論，結合三角函數的符號，可判定D正確．
【詳解】對于A中：當時，，即，所以A不正確；
對于B中：若，則，
所以，可得或，此時，
所以B正確；
對于C：由，可得，又由，可得則，
所以“”是“”的必要不充分條件，所以C正確；
對于D：由角的終邊在第一象限，可得，
當為偶數時，在第一象限時，可得；
當為奇數時，在第三象限時，可得，
所以的取值集合為，所以D正確．
故選：BCD．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實數的所有可能取值構成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，對集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的的值即可．
【詳解】由題，， ，
當時，有，符合題意；
當時，有，此時，所以或，所以.
綜上，實數的所有可能的取值組成的集合為.
故選：A.
2．（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.
【詳解】，即，
∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
3．（2023·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預測）若 是 的必要不充分條件，則實數 的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據前者是后者得必要不充分條件，得到 ，再利用數軸得到不等式，得到的范圍.
【詳解】是的必要不充分條件， ，
，解得.
故選 ：B.
二、填空題
4．（2022·云南昆明·統考模擬預測）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是 .（寫出滿足條件的一個值即可）
【答案】（答案不唯一，滿足即可）
【分析】根據必要不充分條件列不等式，由此求得的可能取值.
【詳解】由于“”是“”的必要不充分條件，所以，
所以的值只需小于即可.
故答案為：（答案不唯一，滿足即可）
5．（2022·全國·模擬預測）已知p：，q：.若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式分別求得、中的取值范圍，根據是的充分不必要條件可知對應的的取值范圍是對應的的取值范圍的真子集，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.
【詳解】本題考查充分條件與必要條件的判斷.
q：，即.
p：，
即.
因為p是q的必要不充分條件，
所以且等號不同時成立，
解得.
故答案為：
【解題技巧】
1.充分條件、必要條件的判斷方法
(1)定義法：直接利用定義進行判斷.
(2)利用集合間的包含關系進行判斷.
2.根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，注意轉化與化歸思想的應用.
3.利用條件關系解題的常見誤區：(1)忽視條件關系的不唯一；(2)求參數范圍忽視端點值的取舍.
考點三：充要條件
【典例精析】（多選）（2023·海南海口·校考模擬預測）下列命題為真命題的是（ ）
A．一組數據22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位數是21
B．若等差數列滿足、、、，則
C．非零平面向量 、 、滿足，，則
D．在中，“”與“”互為充要條件
【答案】ACD
【分析】根據百分位數計算規則判斷A，利用反例說明B，根據共線向量的定義判斷C，根據余弦函數的性質判斷D.
【詳解】對于A，將數據按從小到大排列為：、、、、、、、、、，
又，所以第百分位數為第、位兩數的平均數，
即第百分位數是，選項A正確；
對于B，若等差數列是常數列，由，不能得出，選項B錯誤；
對于C，非零平面向量、、滿足，，即，，顯然且，
所以，即，選項C正確；
對于D，中，由“”即，
根據余弦函數在上單調遞減知，，
即在中，“”與“”互為充要條件，選項D正確．
故選：ACD．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南海口·校考模擬預測）已知集合，則的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根據集合并集結果有即可求參數a的范圍，最后由充分、必要性定義可得答案.
【詳解】由題設，，，
若，則，故，可得.
所以是的充要條件.
故選：B
2．（2019·山西呂梁·統考一模）滿足函數在上單調遞減的充分必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據復合函數的單調性，求出的取值范圍即可
【詳解】解：若在上單調遞減，則滿足且，則，
即在上單調遞減的一個充分必要條件是.
故選:B.
【點睛】本題主要考查復合函數單調性的判斷，考查了充要條件. 不忽視函數的定義域是解決本題的關鍵.
3．（2022·內蒙古赤峰·統考模擬預測）已知，是兩個具有線性相關的兩個變量，其取值如下表：
1 2 3 4 5
4 9 11
其回歸直線過點的一個充要條件是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】C
【分析】求出數據的樣本中心點，根據回歸直線過樣本中心點，結合已知即可確定題設的充要條件.
【詳解】由題設，，，又、都在回歸直線上，
所以，必有，故，
故回歸直線過點的一個充要條件是.
故選：C
二、填空題
4．（2020·河南·校聯考模擬預測）若關于的不等式成立的充要條件是，則 .
【答案】2
【分析】利用充分條件和必要條件的定義求解.
【詳解】因為是不等式成立的充分條件，
所以，
因為是不等式成立的必要條件，
所以，
故.
故答案為：2
【點睛】本題考查不等式的解法、簡易邏輯，還考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題..
5．（2020·江蘇南京·南京市第五高級中學校考模擬預測）直線與直線平行的充要條件為 .
【答案】
【分析】根據直線平行的等價條件求出的值即可得到結論.
【詳解】若，兩直線方程依次為，，此時兩直線垂直，不平行，
若，兩直線方程依次為和，兩直線不平行，
當且時，若兩直線平行，則，
由得，得，得，則，
當時，，與矛盾，所以不成立，
當時，成立，所以，
即直線平行的充要條件是，
故答案為：
【解題技巧】
一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時應以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結論”，即q p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結論”，即p q.
考點四：全稱量詞與全稱命題
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據含有一個量詞的命題的否定判斷A、B；C選項轉化為一元二次方程無實數解，用判別式計算的取值范圍；D選項轉化為二次不等式恒成立，計算參數的范圍.
【詳解】含有一個量詞的命題的否定，是把量詞改寫，再把結論否定，所以A正確，B不正確；
C選項，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程在實數范圍內無解，，得，C不正確；
D選項，，等價于，解得，D正確；
故選：AD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用條件知，對，恒成立，從而求出的取值范圍，再根據選項即可得出結果.
【詳解】因為命題“”為假命題，所以，對，恒成立，
當時，在上恒成立，所以滿足條件，
當時，令，對稱軸，且，所以，當時，恒成立，
當時，顯然有不恒成立，
故對，恒成立時，，所以則命題成立的充分不必要條件是選項C.
故選：C.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考二模）命題“，”是真命題的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立問題的建立不等式，進一步求出實數a的取值范圍．
【詳解】命題“，”為真命題，則在上恒成立，
∵，∴，則.
故選∶B．
3．（2023·四川綿陽·統考一模）若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據命題是真命題，轉換為求函數的最大值，即可求解.
【詳解】，函數的最大值是，
根據命題是真命題可知，，即.
故選：A
二、填空題
4．（2023·內蒙古呼和浩特·統考二模）有下列命題：①若“，則或”是真命題；②命題“，”的否定是“，”；③，為真命題，則a的最大值為2.其中正確的是 （填序號）.
【答案】①③
【分析】①由于原命題和逆否命題為等價命題，可利用逆否命題判定；②用全稱量詞的否定判定；③可利用恒成立問題，由基本不等式找到判定a的范圍.
【詳解】對于①，若“，則或”的逆否命題為：若且，則，顯然逆否命題為真命題，
由于原命題和逆否命題為等價命題，故該命題是真命題，故①為真命題；
對于②，命題“，”的否定是“，”，故②為假命題；
對于③，因為，為真命題，所以，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以，即a的最大值為2，故③為真命題.
故答案為：①③.
5．（2023·江西·統考模擬預測）已知命題，若為真命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意知恒成立，求出時，的最小值，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】若為真命題，等價于，
∵，當且僅當時，等號成立，
∴，即，
可得，故實數的取值范圍是.
故答案為：.
【解題技巧】
判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關鍵是看量詞.由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據命題表達的意義判斷，同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.
考點五：存在量詞與特稱命題
【典例精析】（多選）（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據含有一個量詞的命題的否定判斷A、B；C選項轉化為一元二次方程無實數解，用判別式計算的取值范圍；D選項轉化為二次不等式恒成立，計算參數的范圍.
【詳解】含有一個量詞的命題的否定，是把量詞改寫，再把結論否定，所以A正確，B不正確；
C選項，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程在實數范圍內無解，，得，C不正確；
D選項，，等價于，解得，D正確；
故選：AD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南·校聯考模擬預測）若，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，轉化為，即可求解.
【詳解】因為，使得，又因為，所以，
所以實數的取值范圍為．
故選：B.
2．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用兩直線平行可得出關于的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數的值，可判斷②；取可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.
【詳解】對于①，若，則，該方程組無解，①錯；
對于②，若，則，解得，②對；
對于③，當時，直線的方程為，即，此時，、重合，③錯；
對于④，直線的方程為，
若，使得原點到的距離為，則，整理可得，
，方程有解，④對.
故選：C.
二、填空題
3．（2023·四川南充·模擬預測）若命題“，使得成立”為真命題，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意得到，再解不等式即可.
【詳解】因為命題“，使得成立”為真命題，
所以，解得.
故答案為：
4．（2023·陜西寶雞·統考一模）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原命題為假，則其否定為真，轉化為二次不等式的恒成立問題求解.
【詳解】命題“”的否定為：“，”.
因為原命題為假命題，則其否定為真.當時顯然不成立；當時，恒成立；當時，只需，解得：.
綜上有
故答案為：.
【解題技巧】
依據含量詞命題的真假求參數取值范圍：
(1)首先根據全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意.
(2)其次根據含量詞命題的真假把命題的真假問題轉化為集合間的關系或函數的最值問題，再轉化為關于參數的不等式(組)求參數的取值范圍.
考點六：含有一個量詞的命題的否定
【典例精析】（多選）（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）下面命題正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．命題“若，則”的否定是“存在，”
C．設，則“且”是“”的必要不充分條件
D．設，則“”是“”的必要不充分條件
【答案】AD
【分析】對于B，根據全稱量詞命題的否定形式可判斷其正誤，A，C，D根據充分必要條件的定義以及不等式的性質可判斷.
【詳解】對A，，得到：或，由可以得到，但是，若，顯然成立，但不成立，故A正確；
由全稱量詞命題的否定易知B錯誤；
對C，由“且”，顯然可以得出“”，故C錯誤；
對D，且，則由無法得到，但是由可以得到，故D正確.
故選：AD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·四川內江·高一四川省內江市第一中學校考階段練習）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根據全稱命題的否定是特稱命題得到答案.
【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，
則命題：的否定是：
故選：D.
2．（2023·河北滄州·校考三模）已知命題：，使得且，則為（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
【答案】C
【分析】根據存在命題的否定性質進行判斷即可.
【詳解】由命題的否定，否結論不否條件，“存在”改為“任意”，“且”改為“或”，
故選：C
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國數學家陳景潤證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內容是“每一個大于2的偶數都能寫成兩個質數之和”，則該猜想的否定為（ ）
A．每一個小于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
B．存在一個小于2的偶數不能寫成兩個質數之和
C．每一個大于2的偶數都不能寫成兩個質數之和
D．存在一個大于2的偶數不能寫成兩個質數之和
【答案】D
【分析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確否定，即可求解.
【詳解】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯誤;
哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數不能寫成兩個質數之和”.
故選：D.
4．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）若“使”為假命題，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將問題轉化為“在上恒成立”，再利用對勾函數的單調性求得最值，從而得解.
【詳解】因為“使”為假命題，
所以“，”為真命題，
其等價于在上恒成立，
又因為對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而，所以，
所以，即實數的取值范圍為.
故答案為：.
5．（2020上·安徽馬鞍山·高三和縣第二中學校考階段練習）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由原命題是假命題知它的否定命題是真命題，由此求出實數的取值范圍．
【詳解】“，”是假命題，
則它的否定命題：“，”是真命題；
所以,，恒成立，所以，
即實數的取值范圍是．
故答案為：．
【解題技巧】
1.注意p與p的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉化.
2.對求參數范圍問題，往往分離參數，轉化成求函數的最值問題，如本題分離參數后，轉化成了求二次函數的最值問題.
一、單選題
1．（2023·北京·統考高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
2．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
3．（2023·天津·統考高考真題）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.
【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
4．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
5．（2022·北京·統考高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【詳解】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.
若為單調遞增數列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；
若存在正整數，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.
所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.
故選：C.
6．（2021·天津·統考高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.
【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；
若，則或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7．（2021·北京·統考高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.
【詳解】若函數在上單調遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數，在為增函數，
故在上的最大值為推不出在上單調遞增，
故“函數在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
8．（2021·全國·統考高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數列為時，滿足，
但是不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數列，則必有成立，若不成立，則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
9．（2020·北京·統考高考真題）已知，則“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據充分條件，必要條件的定義，以及誘導公式分類討論即可判斷.
【詳解】(1)當存在使得時，
若為偶數，則；
若為奇數，則；
(2)當時，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要條件.
故選：C.
【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應用，誘導公式的應用，涉及分類討論思想的應用，屬于基礎題.
10．（2020·山東·統考高考真題）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】當時，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
一、單選題
1．（2023·吉林長春·統考一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用對數的換底公式得到，再利用對數的性質和充要條件的定義求解即可.
【詳解】且，
當時，則，
當時，則，
，
當時，則，.
是的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2023·海南·校聯考模擬預測）若，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，轉化為，即可求解.
【詳解】因為，使得，又因為，所以，
所以實數的取值范圍為．
故選：B.
3．（2023·浙江·統考一模）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由平面向量的坐標運算結合得出的值，即可判斷出答案．
【詳解】由已知得，，，
若，則，即，解得，
所以“”“”，但“”“”，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B．
4．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯考階段練習）命題“，函數是偶函數”的否定是（ ）
A．，函數不是偶函數 B．，函數不是偶函數
C．，函數是奇函數 D．，函數是奇函數
【答案】B
【分析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題易得.
【詳解】因為命題“，函數是偶函數”是全稱量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即“，函數不是偶函數”.
故選：B.
5．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，設甲：，乙：是偶函數，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【分析】根據正弦函數與余弦函數的奇偶性結合誘導公式即可判斷.
【詳解】當時，，為偶函數，甲是乙的充分條件；
若為偶函數，則，則反向無法推出，
所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，
故選：A．
6．（2023·四川綿陽·三臺中學校考一模）下列命題正確的是（ ）
A．命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題
B．命題“若，則” 的逆否命題為真命題
C．若使得函數的導函數，則為函數的極值點；
D．命題“，使得”的否定是：“，均有”
【答案】B
【分析】根據復合命題的真假判斷A，根據四種命題的關系判斷B，根據極值的定義判斷C，根據命題的否定判斷D．
【詳解】對于A：命題“”為假命題，則命題與命題至少有一個假命題，故A錯誤；
對于B：命題“若，則”顯然為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，故B正確；
對于C：若使得函數的導函數，
如果兩側的導函數的符號相反，則為函數的極值點；否則，不是函數的極值點，故C錯誤；
對于D：命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”．故D錯誤.
故選：B．
二、多選題
7．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若數列為等差數列，則
C．若，，且，則的最小值為9
D．命題“，”的否定為“，”
【答案】BC
【分析】舉反例可判斷A；根據等差數列通項公式直接推導可判斷B（或由等差數列下標和性質可得）；妙用“1”，利用基本不等式即可判斷C；根據全稱量詞命題的否定形式即可判斷D.
【詳解】A選項：取，顯然滿足，，但，故A錯誤；
B選項：記數列的公差為d，則，，所以，B正確；
C選項：因為，，且，所以，
當且僅當，即時，等號成立，C正確；
D選項：命題“，”的否定為“，”，D錯誤.
故選：BC
8．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知表示空間內兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直線，有 D．存在直線，有
【答案】AC
【分析】根據線面平行的性質，結合線面垂直的性質、必要不充分條件的定義逐一判斷即可,
【詳解】A：若，則直線可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，所以本選項正確；
B：若，則，即垂直于同一平面的兩條直線平行；若，則存在平面，有，所以本選項不正確；
C：若，則直線可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在直線，有，所以本選項正確；
D：若，則，即平行于同一直線的兩直線平行，若，則存在直線，有，所以本選項不正確，
故選：AC
三、填空題
9．（2023·黑龍江大慶·大慶市東風中學校考模擬預測）已知有三個條件：①；②；③，中能成為的充分條件的是 填序號
【答案】①
【分析】根據充分條件的判定一一分析即可.
【詳解】①由可知，即， 故“”是“”的充分條件；
②當時， ；
③當，時，滿足，有 ；
故②、③不是的充分條件.所以能成為“”的充分條件的只有①，
故答案為：①.
10．（2023·陜西西安·校考模擬預測）命題“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】利用全稱命題的否定形式變換即可.
【詳解】由全稱命題的否定形式可得：“，”的否定是
“，”.
故答案為：，.
11．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）設，，，是四個命題，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，是的充分必要條件，那么是的 條件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四選一）
【答案】充分不必要
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】因為是的必要不充分條件，所以，但，
是的充分不必要條件，所以，但A，
是的充分必要條件，所以，但D，
所以，但D，
故是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
四、解答題
12．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知對任意實數恒成立.
(1)求實數的取值所構成的集合;
(2)在（1）的條件下，設函數在上的值域為集合，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）通過討論實數是否為時，即可通過解不等式求出實數的取值所構成的集合；
（2）求出集合，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）由題意，
對恒成立，
當時，原不等式變為，符合題意;
當時，對恒成立的充要條件為
解得：.
綜上可知，實數的取值所構成的集合
（2）由題意，
，
∴，
∵是的充分不必要條件，
∴解得：，
經檢驗知滿足題意，
故實數的取值范圍為：.
13．（2021上·山東濟寧·高一濟寧市育才中學校考階段練習）已知命題“使不等式成立”是假命題
(1)求實數m的取值集合；
(2)若是的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先根據題意得出命題的否定“，不等式”成立是真命題，然后由或求解即可；
（2）根據題意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【詳解】（1）因為命題 “，不等式”成立是假命題，
所以命題的否定 “，不等式”成立是真命題，
所以或，解得或，
故集合；
（2）因為，即，
所以，
因為是集合的必要不充分條件，
令集合，則集合是集合的真子集，
即，解得，所以實數的取值范圍是
14．（2023·安徽·池州市第一中學校考模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）依題先求出A集合，再判斷A、B集合的包含關系，即可得
（2）先判斷出是A的真子集，再考慮B是否為空集兩種情況考慮
【詳解】（1）由題意知，
因為，所以，
則，解得，則實數的取值范圍是；
（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是A的真子集，
當時，解得；
當時，（等號不能同時取得），解得，
綜上，.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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