資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1函數及其性質
【備考指南】 1
【思維導圖】 2
【考點梳理】 5
考點一：函數及其表示 5
考點二：函數的單調性與最值 9
考點三：函數的奇偶性 13
考點四：函數的周期性 16
考點五：函數的對稱性 20
考點六：函數的圖象 23
考點七：函數性質綜合應用 30
【真題在線】 36
【專項突破】 45
考點 考情分析 考頻
函數的基本性質 2023年新高考Ⅰ卷T11 2023年全國甲卷T13 2023年全國乙卷T4及T16 2022年全國乙卷T12 2021年新高考Ⅰ卷T12 2021年新高考Ⅱ卷T8 2年7考
預測：函數的基本性質是高考的必考點，試題的難易度廣，從新高考這2年的試題看題目難度較大，全國卷試題難度有簡單的，也有難度大的.今年全國大部分省份都進行新高考，估計函數性質這部分內容試題各種難度都有可能出現.在復習時應合理選擇試題，難易結合，打好堅實的基礎.
考點一：函數及其表示
【典例精析】（多選）（2023·江蘇連云港·校考模擬預測）已知函數，若關于的方程恰有兩個不同的實數解，則下列選項中可以作為實數取值范圍的有（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學校考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武漢·統考一模）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）定義在上的函數滿足：，對任意，，則 .
5．（2023·北京通州·統考模擬預測）兩個數互素是指兩個正整數之間除了1之外沒有其他公約數．歐拉函數（）的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互素的正整數的個數，例如，．
關于歐拉函數給出下面四個結論：
①；
②，恒有；
③若m，n（）都是素數，則；
④若（），其中為素數，則．
（注：素數是指除了1和它本身以外不再有其他因數，且大于1的正整數．）
則所有正確結論的序號為 ．
【解題技巧】
1.函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
2.構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
3.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
4.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
6.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
7.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
考點二：函數的單調性與最值
【典例精析】（多選）（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數在R上單調遞增，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則（ ）
A．函數在R上單調遞增
B．函數在上單調遞增
C．函數在上單調遞減
D．函數在上單調遞減
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·河南·校聯考模擬預測）為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南海口·統考模擬預測）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．和
C． D．和
3．（2024上·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知，且，函數在上單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·河南·校聯考三模）已知函數，若，則的取值范圍是 .
5．（2022·四川達州·統考二模）函數滿足：①定義域為R，②，③.請寫出滿足上述條件的一個函數， .
【解題技巧】
1.求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間.
2.函數單調性的判斷方法：
①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性；④導數法.
3.函數y＝f(g(x))的單調性應根據外層函數y＝f(t)和內層函數t＝g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則.
4.求函數最值的三種基本方法：
(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.
(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.
5.對于較復雜函數，可運用導數，求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.
考點三：函數的奇偶性
【典例精析】（多選）（2023·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預測）已知函數為上的奇函數，且，當時，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）下列函數中，即是奇函數又是增函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
3．（2023·湖南·校聯考模擬預測）設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知函數.若.則的取值范圍是 .
5．（2023·湖南郴州·統考一模）已知函數是偶函數，則 .
【解題技巧】
1.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.
2.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.
3.畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.
考點四：函數的周期性
【典例精析】（多選）（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．函數的圖象關于點對稱 B．函數的圖象關于直線對稱
C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）在函數，，，中，既是奇函數又是周期函數的有（ ）個
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）已知定義在上的奇函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京大興·校考三模）已知函數對任意都有，且，當時，.則下列結論正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．函數的圖象關于直線對稱
C．當時，
D．函數的最小正周期為2
二、填空題
4．（2021·上海崇明·統考一模）已知函數，對任意，都有（為常數），且當時，，則
5．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）定義在R上的函數滿足，且當，則＝ ．
【解題技巧】
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.
2.利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題.
考點五：函數的對稱性
【典例精析】（多選）（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022上·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）已知，若，則（ ）
A．4042 B．2024 C． D．
2．（2023·安徽·池州市第一中學校聯考模擬預測）已知定義在上的偶函數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的一個周期為2
C．
D．函數的圖象關于直線對稱
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數對任意都有，且函數的圖象關于對稱，當時，.則下列結論正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的最小正周期為2
D．當時，
二、填空題
4．（2022上·上海普陀·高三曹楊二中校考期中）若定義在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
5．（2023·上海徐匯·統考三模）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則 .
【解題技巧】
1.對稱性的三個常用結論
(1)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱.
(2)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點對稱.
(3)若函數f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數f(x)的圖象關于點對稱.
考點六：函數的圖象
【典例精析】（多選）（2022上·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）關于函數，下列描述正確的有（ ）
A．函數在區間上單調遞增
B．函數的圖象關于直線對稱
C．若，但，則
D．函數有且僅有兩個零點
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）函數在區間上的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個半圓）上勻速跑步，他從點處出發，沿箭頭方向經過點、、返回到點，共用時秒，他的同桌小陳在固定點位置觀察小李跑步的過程，設小李跑步的時間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，若函數有6個零點，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·吉林·統考一模）已知函數若函數有4個零點．則實數的取值范圍是 ．
5．（2023下·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期末）已知定義在上的偶函數，當時滿足，關于的方程有且僅有6個不同實根，則實數的取值范圍是 .
【解題技巧】
1.抓住函數的性質，定性分析：
(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；
(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從周期性，判斷圖象的循環往復；
(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.
2.抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.
3.利用函數的圖象研究函數的性質
對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.
4.利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個解.數形結合是常用的思想方法.不等式的求解可轉化為兩函數的上下關系問題.
考點七：函數性質綜合應用
【典例精析】（多選）（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）19世紀時期，數學家們處理大部分數學對象都沒有完全嚴格定義，數學家們習慣借助直覺和想象來描述數學對象，德國數學家狄利克雷（Dirichlet）在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），后來人們稱之為狄利克雷函數，狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”．一般地，廣義狄利克雷函數可以定義為（其中且），則下列說法正確的是（ ）
A．都有
B．函數和均不存在最小正周期
C．函數和均為偶函數
D．存在三點在圖像上，使得為正三角形，且這樣的三角形有無數個
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·北京·高二北京市陳經綸中學校考開學考試）已知函數，給出下列四個結論：
①存在無數個零點；
②在上有最大值；
③若，則；
④區間是的單調遞減區間．
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
2．（2023上·全國·高三校聯考階段練習）定義在R上的偶函數滿足：對任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知函數，存在實數使得成立，若正整數的最大值為6，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·校聯考二模）已知函數是定義在上的偶函數，在上單調遞減，且，則不等式的解集為 .
5．（2022·山東濟南·統考模擬預測）定義在上的可導函數滿足，且在上有成立.若實數滿足，則的取值范圍是 ．
【解題技巧】
1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較大小；
2.對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規不等式，轉化為x1x2)求解.
3.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.
4.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統考高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·統考高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
5．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2022·全國·統考高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間的大致圖像，則該函數是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·統考高考真題）函數在區間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
10．（2023·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
11．（2022·全國·統考高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則 ．
一、單選題
1．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學校考開學考試）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知函數都是定義在上的函數，是奇函數，是偶函數，且，則（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
3．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）如圖為函數的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
4．（2023·四川綿陽·綿陽中學校考一模）若函數滿足，則說的圖象關于點對稱，則函數的對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川綿陽·綿陽中學校考一模）已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱
6．（2023·吉林長春·統考一模）已知函數是定義域為的奇函數，當時，，則時，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知函數，若不等式對任意恒成立，則實數的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西·校聯考模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．（2023·江蘇常州·校考一模）函數的定義域為 ．
10．（2023·陜西渭南·統考模擬預測）已知函數在區間上單調遞增，則的最小值為 ．
11．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯考模擬預測）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若為偶函數，，且，則 ．
四、解答題
12．（2023·上海黃浦·統考一模）已知集合A和定義域為的函數，若對任意，，都有，則稱是關于A的同變函數.
(1)當與時，分別判斷是否為關于A的同變函數，并說明理由；
(2)若是關于的同變函數，且當時，，試求在上的表達式，并比較與的大小；
(3)若n為正整數，且是關于的同變函數，求證：既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
13．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知函數滿足．
(1)討論的奇偶性；
(2)設函數，求證：．
14．（2022·上海黃浦·統考一模）設函數定義在區間上，若對任意的、、、，當，且時，不等式成立，就稱函數具有M性質.
(1)判斷函數，是否具有M性質，并說明理由；
(2)已知函數在區間上恒正，且函數，具有M性質，求證：對任意的、，且，有；
(3)①已知函數，具有M性質，證明：對任意的、、，有，其中等號當且僅當時成立；
②已知函數，具有M性質，若、、為三角形的內角，求的最大值.
(可參考：對于任意給定實數、，有，且等號當且僅當時成立.)
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2.1函數及其性質
【備考指南】 1
【思維導圖】 2
【考點梳理】 5
考點一：函數及其表示 5
考點二：函數的單調性與最值 9
考點三：函數的奇偶性 13
考點四：函數的周期性 16
考點五：函數的對稱性 20
考點六：函數的圖象 23
考點七：函數性質綜合應用 30
【真題在線】 36
【專項突破】 45
考點 考情分析 考頻
函數的基本性質 2023年新高考Ⅰ卷T11 2023年全國甲卷T13 2023年全國乙卷T4及T16 2022年全國乙卷T12 2021年新高考Ⅰ卷T12 2021年新高考Ⅱ卷T8 2年7考
預測：函數的基本性質是高考的必考點，試題的難易度廣，從新高考這2年的試題看題目難度較大，全國卷試題難度有簡單的，也有難度大的.今年全國大部分省份都進行新高考，估計函數性質這部分內容試題各種難度都有可能出現.在復習時應合理選擇試題，難易結合，打好堅實的基礎.
考點一：函數及其表示
【典例精析】（多選）（2023·江蘇連云港·校考模擬預測）已知函數，若關于的方程恰有兩個不同的實數解，則下列選項中可以作為實數取值范圍的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】將方程有根轉化為曲線和直線的交點個數問題，根據函數圖像分析運算即可得解.
【詳解】解：因為關于的方程恰有兩個不同的實數解，
所以函數的圖象與直線的圖象有兩個交點，作出函數圖象，如下圖所示，

所以當時，函數與的圖象有兩個交點，
所以實數m的取值范圍是．
四個選項中只要是的子集就滿足要求.
故選：BCD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學校考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數形式得到不等式組，解出即可.
【詳解】由題意得，解得，則定義域為，
故選：C.
2．（2023·湖北武漢·統考一模）已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別畫出分段函數對應的兩個函數圖象，再對實數的取值進行分類討論即可.
【詳解】根據題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當或時，兩圖象相交，
若的值域是，以實數為分界點，可進行如下分類討論：
當時，顯然兩圖象之間不連續，即值域不為；
同理當,值域也不是；
當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；
綜上可知，實數的取值范圍是.
故選：B
3．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用換元法令，運算求解即可.
【詳解】令，則，且，則，
可得，
所以.
故選：B.
二、填空題
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）定義在上的函數滿足：，對任意，，則 .
【答案】
【分析】利用賦值法可得，然后結合條件可得函數是周期為的周期函數，進而即得.
【詳解】因為，
令，得，即，
由，，
令，，得，又，
因此，，，，，，，，…….
所以函數是周期為的周期函數，
所以，即.
故答案為：.
5．（2023·北京通州·統考模擬預測）兩個數互素是指兩個正整數之間除了1之外沒有其他公約數．歐拉函數（）的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互素的正整數的個數，例如，．
關于歐拉函數給出下面四個結論：
①；
②，恒有；
③若m，n（）都是素數，則；
④若（），其中為素數，則．
（注：素數是指除了1和它本身以外不再有其他因數，且大于1的正整數．）
則所有正確結論的序號為 ．
【答案】①③④
【分析】根據歐拉函數的函數值的定義，求出，，即可判斷①②；若m是素數，m與前m－1個正整數均互素，可得，同理得，又不超過正整數且與互素的正整數共有個，可得，即可判斷③；若，其中為素數，不超過的正整數共有，其中的倍數有個，則不超過且與互素的正整數有個，可得，即可判斷④．
【詳解】不超過7且與7互素的正整數有1，2，3，4，5，6，共6個，則，故①正確；
不超過8且與8互素的正整數有1，3，5，7，共4個，則，則，故②錯誤；
若m是素數，m與前m－1個正整數均互素，則；
同理，若n是素數，則，
故；
若m，n（）都是素數，則不超過的正整數中，除去與及外，其他的正整數均與互素，共有個，則，
所以，故③正確；
若（），其中為素數，不超過的正整數共有，其中的倍數有個，則不超過且與互素的正整數有個，則，故④正確．
故答案為：①③④．
【解題技巧】
1.函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
2.構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
3.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
4.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
6.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
7.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
考點二：函數的單調性與最值
【典例精析】（多選）（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數在R上單調遞增，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則（ ）
A．函數在R上單調遞增
B．函數在上單調遞增
C．函數在上單調遞減
D．函數在上單調遞減
【答案】AB
【分析】由復合函數的單調性判斷方法逐一判斷即可.
【詳解】因為在R上單調遞增，所以在R上單調遞增，故A正確；
因為在R上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，故B正確；
因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，因為的值域是否在上無法判斷，
所以在上的單調性無法判斷，故C錯誤；
因為在R上單調遞減，在上單調遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調性無法判斷，故D錯誤.
故選：AB.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·河南·校聯考模擬預測）為定義在上的偶函數，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題可得函數在上單調遞增，且為偶函數，進而可得，即得.
【詳解】對任意的，都有，則，
令，則在上單調遞增，
因為為定義在上的偶函數，
所以，即為偶函數，
又，
由，可得，即，
所以，
所以的解集為，
故選：A.
2．（2023·海南海口·統考模擬預測）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】B
【分析】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求
【詳解】，
則由二次函數的性質知，當時，的單調遞減區間為；
當，的單調遞減區間為，
故的單調遞減區間是和.
故選：B
3．（2024上·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知，且，函數在上單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數解析式知函數在上單調遞減，建立不等關系解出即可.
【詳解】因為函數在上單調，
由函數解析式可得函數在R上單調遞增不滿足題意，
故在R上單調遞減，
所以，
解得：.
故選：D.
二、填空題
4．（2023·河南·校聯考三模）已知函數，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先判斷函數的奇偶性與單調性，再根據奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】因為函數，定義域為，且，
則
，
即，即為奇函數，
當時，，均單調遞增，所以在上單調遞增，
則在上單調遞增，
所以是奇函數且在上單調遞增，
由，可得，則，解得，
即的取值范圍為.
故答案為：
5．（2022·四川達州·統考二模）函數滿足：①定義域為R，②，③.請寫出滿足上述條件的一個函數， .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由題可得函數為定義在R上的奇函數，且為增函數，即得.
【詳解】∵函數定義域為R，關于原點對稱，又，即，
∴函數為奇函數，又，
∴函數為增函數，又函數是定義在R上的奇函數，且為增函數，
故函數可為.
故答案為：（答案不唯一）.
【解題技巧】
1.求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間.
2.函數單調性的判斷方法：
①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性；④導數法.
3.函數y＝f(g(x))的單調性應根據外層函數y＝f(t)和內層函數t＝g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則.
4.求函數最值的三種基本方法：
(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.
(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.
5.對于較復雜函數，可運用導數，求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.
考點三：函數的奇偶性
【典例精析】（多選）（2023·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預測）已知函數為上的奇函數，且，當時，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由求得，即可判斷A、B選項；由已知得出周期，結合函數的奇偶性，即可判斷C、D選項.
【詳解】已知函數為上的奇函數，則，即，解得，A正確；B錯誤；
又因為，即，從而周期為8，，
，
.
因為當時，，所以，
從而，，，
所以，C正確；D錯誤.
故選：AC.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）下列函數中，即是奇函數又是增函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別判斷各函數的單調性和奇偶性即可.
【詳解】A選項，在R上單調遞減，不合題意；
B選項，，，當時，，單調遞減，不合題意；
C選項，，定義域為R，，函數為奇函數，
由函數和都是R上的增函數，所以為R上的增函數，C選項正確；
D選項，，
當時，結合二次函數性質可知，函數單調遞減，則單調遞減，不合題意.
故選：C.
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根據函數的奇偶性結合已知等式可得，聯立可得，即得答案.
【詳解】由函數是奇函數，函數是偶函數，，
故，即，
將該式和相減可得，
則，
故選：C
3．（2023·湖南·校聯考模擬預測）設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函數、偶函數的性質求解即可.
【詳解】因為是奇函數，所以，則．
又是偶函數，所以，所以．
故選：C.
二、填空題
4．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知函數.若.則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先判斷函數的奇偶性與單調性，根據奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】因為函數定義域為，，，
所以是奇函數且在上單調遞增，
由0，可得，則，解得，
即的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2023·湖南郴州·統考一模）已知函數是偶函數，則 .
【答案】1
【分析】根據給定條件，利用偶函數的定義列式求解即得.
【詳解】函數的定義域為R，依題意，，
則，，
即，整理得，
而不恒為0，，因此，
所以.
故答案為：1
【解題技巧】
1.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.
2.利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.
3.畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.
考點四：函數的周期性
【典例精析】（多選）（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．函數的圖象關于點對稱 B．函數的圖象關于直線對稱
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據題意，利用函數的奇偶性，推得函數的對稱性和周期性，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由為奇函數得，
因此，所以的圖象關于點對稱，所以A錯誤；
對于B中，由為偶函數得，于是，即，所以的圖象關于直線對稱，所以B正確；
對于C中，，
從而，所以以4為周期，可得，
由中，令，得，所以C正確；
對于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正確．
故選：BCD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）在函數，，，中，既是奇函數又是周期函數的有（ ）個
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】設，，首先判斷出的奇偶性與周期性，再分別判斷的奇偶性與周期性即可．
【詳解】設，，
因為，
所以是上的奇函數，顯然不是周期函數；
對于，，
因為，
所以為奇函數，
又因為，
所以是周期函數；
對于，，
因為，
所以為偶函數，
又因為，
所以是周期函數；
對于，，
因為，
所以在定義域內為奇函數，
又因為，
所以是周期函數；
綜上所述，，既是奇函數又是周期函數，
故選：C．
2．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）已知定義在上的奇函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意分析可得函數是周期為4的周期函數，結合奇偶性與周期性運算求解.
【詳解】∵為奇函數，則，即，
∴，則的周期為4，
則，
故.
故選：C.
3．（2023·北京大興·校考三模）已知函數對任意都有，且，當時，.則下列結論正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．函數的圖象關于直線對稱
C．當時，
D．函數的最小正周期為2
【答案】D
【分析】根據得到，所以的周期為4，根據得到關于對稱，畫出的圖象，從而數形結合得到AB錯誤；再根據求出時函數解析式；D選項，根據的最小正周期，得到的最小正周期.
【詳解】因為，所以，故，
所以的周期為4，
又，所以，故關于對稱，
又時，，故畫出的圖象如下：

A選項，函數的圖象關于點不中心對稱，故A錯誤；
B選項，函數的圖象不關于直線對稱，B錯誤；
C選項，當時，，則，C錯誤；
D選項，由圖象可知的最小正周期為4，
又，故的最小正周期為2，D正確.
故選：D
二、填空題
4．（2021·上海崇明·統考一模）已知函數，對任意，都有（為常數），且當時，，則
【答案】
【解析】由任意，都有，推得的周期為4，結合周期，即可求解.
【詳解】因為對任意，都有為常數，可得，
從而，即的周期為4，所以，
又因為當時，，則，即
故答案為：.
5．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）定義在R上的函數滿足，且當，則＝ ．
【答案】/0.25
【分析】根據函數的周期性即可代入求解.
【詳解】由可得，所以，故為周期函數，且周期為8，
，
故答案為：
【解題技巧】
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期.
2.利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題.
考點五：函數的對稱性
【典例精析】（多選）（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱
【答案】AD
【分析】根據抽象函數的奇偶性與對稱性即可判斷得答案.
【詳解】因為為奇函數，所以，所以函數關于點對稱，
又為偶函數，所以，所以函數關于直線對稱.
故選：AD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022上·江西上饒·高一上饒市第一中學校考階段練習）已知，若，則（ ）
A．4042 B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】計算再求解即可.
【詳解】由題意，，故，.
故選：A
2．（2023·安徽·池州市第一中學校聯考模擬預測）已知定義在上的偶函數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的一個周期為2
C．
D．函數的圖象關于直線對稱
【答案】C
【分析】根據已知等式判斷函數的對稱性，結合偶函數的性質判斷函數的周期，最后逐一判斷即可.
【詳解】函數關于點中心對稱，因此選項D不正確；
又因為函數為偶函數，所以，
由，
所以函數的周期為，所以選項B不正確；
因為函數是周期為的偶函數，
所以，因此選項A不正確；
在中，令，得，
因為函數的周期為，因此選項C正確，
故選：C
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數對任意都有，且函數的圖象關于對稱，當時，.則下列結論正確的是（ ）
A．函數的圖象關于點對稱
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的最小正周期為2
D．當時，
【答案】C
【分析】根據題中條件可得的周期為4且關于對稱，結合時，，即可畫出函數的圖象，由圖象即可逐一判斷.
【詳解】因為函數對任意都有，即恒成立，所以的周期為4.
因為函數的圖象關于對稱，所以將的圖象向右平移一個單位，得到的圖象，所以的圖象關于對稱，
故，因此的圖象關于對稱，
設，則，
因為函數對任意都有
所以，
所以 所以選項D錯誤.
作出的圖象如圖所示：
由圖象可知，函數的圖象關于點中心對稱，關于直線對稱，故A，B錯誤；
對于C：函數的圖象可以看成的圖象軸上方的圖象保留，把軸下方的圖象翻折到軸上方，所以函數的最小正周期為2.故C正確.
故選：C
二、填空題
4．（2022上·上海普陀·高三曹楊二中校考期中）若定義在R上的函數為奇函數，設，且，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據為奇函數得到的對稱中心為，再結合得到的對稱中心為，然后利用對稱性求即可.
【詳解】由可得，因為為奇函數，所以的對稱中心為，則的對稱中心為，又，則.
故答案為：-5.
5．（2023·上海徐匯·統考三模）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則 .
【答案】6
【分析】根據給定條件，結合函數圖象的對稱性，確定6個交點的關系即可求解作答.
【詳解】顯然函數的圖象關于點成中心對稱，
依題意，函數的圖象與函數的圖象的交點關于點成中心對稱，
于是，所以.
故答案為：6
【解題技巧】
1.對稱性的三個常用結論
(1)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱.
(2)若函數f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點對稱.
(3)若函數f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數f(x)的圖象關于點對稱.
考點六：函數的圖象
【典例精析】（多選）（2022上·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）關于函數，下列描述正確的有（ ）
A．函數在區間上單調遞增
B．函數的圖象關于直線對稱
C．若，但，則
D．函數有且僅有兩個零點
【答案】ABD
【分析】根據函數圖象變換，可得圖像，利用圖象注意檢測選項，可得答案.
【詳解】由函數，軸下方圖象翻折到上方可得函數的圖象，
將軸右側圖象翻折到左側，右側不變，可得函數的圖象，
將函數圖象向右平移個單位，可得函數的圖象，
則函數的圖象如圖所示.
由圖可得函數在區間上單調遞增，A正確；
函數的圖象關于直線對稱，B正確；
若，但，若，關于直線對稱，則，C錯誤；
函數有且僅有兩個零點，D正確.
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）函數在區間上的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的奇偶性可排除AB，根據最值范圍可排除D.
【詳解】由于，所以，所以為偶函數，故排除AB,
由于，故當時，，故排除D，
故選：C
2．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個半圓）上勻速跑步，他從點處出發，沿箭頭方向經過點、、返回到點，共用時秒，他的同桌小陳在固定點位置觀察小李跑步的過程，設小李跑步的時間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析在整個運動過程中，小李和小陳之間的距離的變化，可得出合適的選項.
【詳解】由題圖知，小李從點到點的過程中，的值先增后減，
從點到點的過程中，的值先減后增，
從點到點的過程中，的值先增后減，從點到點的過程中，的值先減后增，
所以，在整個運動過程中，小李和小陳之間的距離（即的值）的增減性為：增、減、增、減、增，D選項合乎題意，
故選：D.
3．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，若函數有6個零點，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數單調性可得大致圖象，后令，則由結合圖象可知，方程兩根滿足，即可得答案.
【詳解】由題可得，，在上單調遞減，在上單調遞增，則據此可作出函數大致圖象如圖所示，
令，則由題意可得有2個不同的實數解，，且，
則，觀察選項可知，滿足題意.
故選：C．

二、填空題
4．（2023·吉林·統考一模）已知函數若函數有4個零點．則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用導數求單調區間和極值，作出函數圖像，由零點個數，結合二次函數的性質，轉化為的取值范圍問題，通過構造函數，列不等式求解.
【詳解】當且時，，，
當且時，；當時，．
故在，上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得極小值，
時，；時，
由解析式可知，為奇函數．畫出圖象大致如下：
令得，設，
得關于的方程（*）
恒成立，設（*）式有兩個不等實根，，
當，時，即，滿足題意，
當或，滿足題意，
方法一：
令，則或，
故或，
綜上，實數的取值范圍是．
方法二：
（*）式化為，令，
易知在，上單調遞增，
且，，，
其圖象大致如圖：
當或時，滿足或，
綜上，實數的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：
導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.通過構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
5．（2023下·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期末）已知定義在上的偶函數，當時滿足，關于的方程有且僅有6個不同實根，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意，作出的圖象，設，得到方程，設結合圖象，要使得方程有6個不同的根，則滿足或，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】根據題意，當時，
，
因為，可得，所以在單調遞增，，
又由時，為單調遞減函數，且，
因為函數是上的偶函數，畫出函數的圖象，如圖所示，

設，則方程可化為，
由圖象可得：
當時，方程有2個實數根；
當時，方程有4個實數根；
當時，方程有2個實數根；
當時，方程有1個實數根；
要使得有6個不同的根，
設是方程的兩根，設，
①，當時，可得，可得，
此時方程為，解得，不滿足，所以無解.
②，即，解得，
綜上可得，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法，合理轉化求解.
【解題技巧】
1.抓住函數的性質，定性分析：
(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；
(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從周期性，判斷圖象的循環往復；
(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.
2.抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.
3.利用函數的圖象研究函數的性質
對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.
4.利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個解.數形結合是常用的思想方法.不等式的求解可轉化為兩函數的上下關系問題.
考點七：函數性質綜合應用
【典例精析】（多選）（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）19世紀時期，數學家們處理大部分數學對象都沒有完全嚴格定義，數學家們習慣借助直覺和想象來描述數學對象，德國數學家狄利克雷（Dirichlet）在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），后來人們稱之為狄利克雷函數，狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”．一般地，廣義狄利克雷函數可以定義為（其中且），則下列說法正確的是（ ）
A．都有
B．函數和均不存在最小正周期
C．函數和均為偶函數
D．存在三點在圖像上，使得為正三角形，且這樣的三角形有無數個
【答案】BCD
【分析】根據狄利克雷函數與廣義狄利克雷函數的定義，結合函數值、周期性、奇偶性等逐項判斷即可得答案.
【詳解】對于A，由于（其中且），當為無理數時，，故A不正確；
對于B，設為非零的有理數，若是有理數，則也是有理數； 若是無理數，則也是無理數，根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數，所以對恒成立，對恒成立，即數和均為周期函數，但不存在最小正周期，故B正確；
對于C，，則，所以為偶函數，又，所以為偶函數，故C正確；
對于D，取，則為等邊三角形，將這個三角形左右平形移動，即只需要三角形的高為，邊長為的三角形均可以，所以這樣的三角形有無數個，故D正確.
故選：BCD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·北京·高二北京市陳經綸中學校考開學考試）已知函數，給出下列四個結論：
①存在無數個零點；
②在上有最大值；
③若，則；
④區間是的單調遞減區間．
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【分析】解方程，可判斷①；分析函數在區間上的最大值點在區間內，再根據最值定理可判斷②；推導出，可判斷③；利用特值法可判斷④.
【詳解】對于①，由，解得函數的定義域為，
令，可得，則，
故，所以函數有無數個零點， ①正確；
對于②，當時，，
令，可得，，
解得，，假設函數在上的最大值點為，
則，設，則，
所以，則，
所以在上存在最大值點，則，
又因為在上是一條連續不斷的曲線，
所以函數在上存在最大值，
故函數在上存在最大值，②正確；
對于③，對任意的，，
，當時，有，③正確；
對于④，，，
因為，
即，故，
故函數在上不可能單調遞減，④錯誤；
綜上，①②③正確.
故選：A.
2．（2023上·全國·高三校聯考階段練習）定義在R上的偶函數滿足：對任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據奇偶性和單調性作出函數草圖，借助圖形分段討論可得.
【詳解】因為函數滿足對任意的，（），都有，
所以在上單調遞減，
又是定義在R上的偶函數，所以在上單調遞增，
又，所以，作函數的草圖如圖，
所以，當時，，，則；
當時，，，則；
當時，，，則；
當時，，，則；
當或或時，.
綜上，不等式的解集為.
故選：C．

3．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知函數，存在實數使得成立，若正整數的最大值為6，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分類討論 f(x) 的值域，然后根據值域端點的倍數關系可解.
【詳解】記
因為，所以，所以
當時，，所以，
取，
則對任意正整數，總有成立，故舍．
當時，．所以
要使正整數的最大 為6，則，解得；
當時，，所以
顯然存在任意正整數，使得成立；
當時，，所以
要使正整數的最大值為6，則，解得
綜上，的取值范圍為.
故選：A.
二、填空題
4．（2023·全國·校聯考二模）已知函數是定義在上的偶函數，在上單調遞減，且，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】由題意和偶函數的性質可知函數在上為減函數，在上為增函數，結合，分類討論當、時，利用函數的單調性解不等式即可.
【詳解】因為函數是定義在R上的偶函數，且在上單調遞減
所以在上為增函數，
由，得，
，當時，，
有，解得；
當時，，
有，解得，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：.
5．（2022·山東濟南·統考模擬預測）定義在上的可導函數滿足，且在上有成立.若實數滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】構造函數，根據已知判斷函數的奇偶性和單調性，再將目標不等式轉化為，利用單調性和奇偶性可解.
【詳解】記，則
由可得
所以為偶函數
記，則
因為當時，，當時，
所以，當時，有最小值
又因為在上，即
所以
所以在上單調遞增，
由可得
即
所以，即，解得.
故答案為：
【解題技巧】
1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較大小；
2.對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規不等式，轉化為x1x2)求解.
3.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.
4.函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數圖象的對稱性，函數f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數性質知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數，故，即.
故選：A.
2．（2023·全國·統考高考真題）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
3．（2023·全國·統考高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
4．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.
【詳解】因為 為偶函數，則 ，解得，
當時，，，解得或，
則其定義域為或，關于原點對稱.
，
故此時為偶函數.
故選：B.
5．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優解】構造特殊函數
由，聯想到余弦函數和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.
6．（2022·全國·統考高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間的大致圖像，則該函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.
【詳解】設，則，故排除B;
設，當時，，
所以，故排除C;
設，則，故排除D.
故選：A.
7．（2022·全國·統考高考真題）函數在區間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數，排除BD；
又當時，，所以，排除C.
故選：A.
8．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.
9．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.
【詳解】因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，
故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
二、多選題
10．（2023·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
11．（2022·全國·統考高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．
三、填空題
12．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，
所以.
故答案為：2.
一、單選題
1．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學校考開學考試）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判斷函數的單調性，再根據分段函數單調性的定義，列式求解.
【詳解】∵滿足對任意，都有成立，
∴在上是減函數，，解得，
∴a的取值范圍是.
故選：C．
2．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知函數都是定義在上的函數，是奇函數，是偶函數，且，則（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性對稱性結合求出函數的周期，根據一個周期內的函數值計算求解即得.
【詳解】因為是偶函數，所以,由知，，所以，則f（x）為偶函數.
由是奇函數可知，，所以，則，則，
所以，所以，則，所以，則4為f（x）的一個周期.
由得，，則，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故選：A.
3．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）如圖為函數的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函數的奇偶性、周期性即可排除其他選項，從而可得答案.
【詳解】對于A，與圖象不符，故A項錯誤；
對于B，當時，的振幅不會再變化，故B項錯誤；
對于D，，所以函數為奇函數，與圖象不符，故D項錯誤．
故選：C．
4．（2023·四川綿陽·綿陽中學校考一模）若函數滿足，則說的圖象關于點對稱，則函數的對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出定義域，由定義域的對稱中心，猜想，計算出，從而求出對稱中心.
【詳解】函數定義域為，
定義域的對稱中心為，所以可猜，
則，
，
故
所以的對稱中心為，
故選：C．
5．（2023·四川綿陽·綿陽中學校考一模）已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱
【答案】B
【分析】根據抽象函數的對稱性結合周期性判斷各個選項即可.
【詳解】因為函數是定義域為的偶函數，所以，
因為是奇函數，所以，
將換成，則有，
A：令，所以，因此本選項正確；
B：因為，所以函數關于點對稱，
由，可得，的值不確定，
因此不能確定的值，所以本選項不正確；
C：因為，
所以，
所以，因此是以4為周期的函數，因此本選項正確；
D：因為，
所以，
因此有，
所以函數的圖象關于對稱，
由上可知是以4為周期的函數，
所以的圖象也關于對稱，因此本選項正確，
故選：B.
6．（2023·吉林長春·統考一模）已知函數是定義域為的奇函數，當時，，則時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用函數的奇偶性得到答案.
【詳解】當時，，則.
故選：A
二、多選題
7．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知函數，若不等式對任意恒成立，則實數的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】令，得到，推得為偶函數，得到的圖象關于對稱，再利用導數求得當時，單調遞增，當時，單調遞減，把不等式轉化為恒成立，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】由函數，
令，則，可得，
可得，
所以為偶函數，即函數的圖象關于對稱，
又由，令，
可得，所以為單調遞增函數，且，
當時，，單調遞增，即時，單調遞增；
當時，，單調遞減，即時，單調遞減，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以的解集為，所以且，
解得，結合選項，可得BC適合.
故選：BC.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法設，從而得到，證明其為偶函數，則得到的圖象關于對稱，再結合其單調性即可得到不等式組，解出即可.
8．（2023·江西·校聯考模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由為奇函數與為偶函數，得到函數的對稱性與周期性，先由特值待定，再根據性質求值即可， CD選項結合周期特點進行數列求和，使用并項求和法.
【詳解】由為奇函數，
得關于對稱，且滿足；
由為偶函數，
得關于直線對稱，且滿足.
故，
所以是周期函數，且周期.
對選項A，由，
令，解得，故A錯誤；
對選項B，已知當時，，
則，
故當時，.
則，故B錯誤；
對選項C，，，
，，且周期.
則，故C正確．
對選項D，
，故D正確．
故選：CD．
三、填空題
9．（2023·江蘇常州·校考一模）函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據函數解析式，列出相應不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意函數有意義，
需滿足，解得且，
故函數定義域為：.
故答案為：.
10．（2023·陜西渭南·統考模擬預測）已知函數在區間上單調遞增，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．
【詳解】因為，
所以，
所以函數在區間上單調遞增，
即在上恒成立，
顯然，所以問題轉化為在上恒成立，
設，
所以，
所以在上單調遞增，
所以，
故，
所以的最小值為：.
故答案為：.
11．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯考模擬預測）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若為偶函數，，且，則 ．
【答案】6
【分析】根據為偶函數，可得，兩邊求導后可得，令，得，令，得；由，可得的周期為6，進而得，從而可得答案.
【詳解】因為為偶函數，所以，
兩邊同時求導得，即，
所以，即，
令，得，
令，得，又因為，所以，
由，所以，
所以的周期為6，則，
而，所以，
所以.
故答案為：6.
四、解答題
12．（2023·上海黃浦·統考一模）已知集合A和定義域為的函數，若對任意，，都有，則稱是關于A的同變函數.
(1)當與時，分別判斷是否為關于A的同變函數，并說明理由；
(2)若是關于的同變函數，且當時，，試求在上的表達式，并比較與的大小；
(3)若n為正整數，且是關于的同變函數，求證：既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
【答案】(1)當時， 是關于的同變函數；當時， 不是關于的同變函數，理由見解析.
(2)，當時，；當時，.
(3)證明見解析.
【分析】（1）當時，運用定義證明即可；當時，舉反例說明即可.
（2）由定義推導出是以2為周期的周期函數，進而可得在解析式，再運用作差法后使用換元法研究函數的最值來比較與的大小.
（3）運用定義推導出是以為周期的周期函數，再用定義分別證明與兩種情況即可.
【詳解】（1）當時，對任意的，，，
由，可得，又，所以，
故是關于的同變函數；
當時，存在，，使得，即，所以不是關于的同變函數.
（2）由是關于的同變函數，可知恒成立，
所以恒成立，故是以2為周期的周期函數.
當時，，由，
可知.
（提示：也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證）
對任意的，都存在，使得，故.
所以
令，則，可得，
所以（當且僅當，即時取等號）.
所以當時，；
當時，.
（3）因為是關于的同變函數，
所以對任意的，，都有，
故，用代換x，可得，
所以，即，
又，故，且.
所以，故是以為周期的周期函數.
對任意的，，由，
可得，（*）
所以是關于的同變函數.
對任意的，存在非負整數m，使，
所以，對任意的，
，即，
所以是關于的同變函數.
故既是關于的同變函數，也是關于的同變函數.
13．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知函數滿足．
(1)討論的奇偶性；
(2)設函數，求證：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）對已知等式中的用代換，得到新的等式，結合已知等式可求出，然后分和討論函數的奇偶性，
（2）由（1）知，則對恒成立，得，設函數，利用導數可求出函數的最小值得函數的值域，并求出最小的范圍，進而根據集合關系即可證明.
【詳解】（1）因為，
所以，
根據以上兩式可得，
所以，.
當時，為偶函數.
當時，因為，
所以，，
所以為非奇非偶函數.
（2）由（1）知.
依題意得對恒成立.
當，即時，恒成立；
當，即時，，得.
故.
設函數，
則.
因為，所以.
①當，即時，在上恒成立，
故在上單調遞增，，則，
即在上的最小值為1.
②當，即時，
因為當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
則，
即在上的最小值為.
綜上，函數在上的最小值，
所以，函數在上的值域為，
當，令，
則，故在上單調遞增，
因為，
所以，，即函數在上的最小值，
所以，.
【點睛】關鍵點點睛：此題第（2）問解題的關鍵是由題意得對恒成立，求出的范圍，然后構造函數，利用導數求其最小值的取值范圍即可證明.
14．（2022·上海黃浦·統考一模）設函數定義在區間上，若對任意的、、、，當，且時，不等式成立，就稱函數具有M性質.
(1)判斷函數，是否具有M性質，并說明理由；
(2)已知函數在區間上恒正，且函數，具有M性質，求證：對任意的、，且，有；
(3)①已知函數，具有M性質，證明：對任意的、、，有，其中等號當且僅當時成立；
②已知函數，具有M性質，若、、為三角形的內角，求的最大值.
(可參考：對于任意給定實數、，有，且等號當且僅當時成立.)
【答案】(1)不具有，理由見解析；
(2)證明見解析；
(3)①證明見解析；②.
【分析】（1）取特殊值驗證即可，如：，，，；
（2）根據要證明的不等式可令，代入計算即可；
（3）①對任意的、、，令，顯然，令，，，然后題意即可證明；
②利用①中的結論按三角形ABC的類型分類討論可得.
【詳解】（1）令，，，，于是，，顯然.
因此函數，不具有M性質.
（2）設、，且，令，
顯然，且，于是，即.
∵函數在區間上為增函數，∴.
（3）①對任意的、、，令，顯然.
若，則不等式中等號成立.
下面考慮、、不全相等，不妨設的值最小，的值最大，于是，且.
令，，，
于是，且
，
故，從而.
又，且，
故，因此.
綜上，，其中等號當且僅當時成立.
②當△為銳角三角形時，由①，得，
等號當時成立；
當△為直角三角形時，不妨設為直角，于是
；
當△為鈍角三角形時，不妨設為鈍角，此時，于是
，由，
得，于是，故.
綜上，的最大值為.
【點睛】本題考查函數新定義，是對函數性質和不等式性質的綜合應用，需要運用已知函數性質和不等式性質，并結合要證明的結論或計算的結果進行賦值運算，綜合考查邏輯推理能力.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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