資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2.2初等函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用
【備考指南】 1
【思維導(dǎo)圖】 2
【考點(diǎn)梳理】 6
考點(diǎn)一：指數(shù)函數(shù)及應(yīng)用 6
考點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)及應(yīng)用 9
考點(diǎn)三：冪函數(shù)及應(yīng)用 14
考點(diǎn)四：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 17
考點(diǎn)五：函數(shù)零點(diǎn)的分布 23
考點(diǎn)六：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 28
考點(diǎn)七：函數(shù)模型及其應(yīng)用 34
【真題在線】 39
【專項(xiàng)突破】 48
考點(diǎn) 考情分析 考頻
基本初等函數(shù) 2022全國乙卷T16 2021全國甲卷T4 2年2考
指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算 2022年新高考Ⅰ卷T7 2021年新高考Ⅱ卷T7 2年2考
函數(shù)與方程 2023年全國甲卷卷T10
函數(shù)應(yīng)用 2021年全國甲卷T6
預(yù)測：初等函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用每年全國卷都有所涉及，考察整體相對綜合性強(qiáng)，在二輪復(fù)習(xí)時要合理的把握試題的難度.
考點(diǎn)一：指數(shù)函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的圖象（ ）
A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱
二、填空題
4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)? ．
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則的最小值為 .
【解題技巧】
1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.
2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
3.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
4.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
5.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
考點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)與相交于A，B兩點(diǎn)，與相交于C，D兩點(diǎn)，若A，B，C，D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2020下·福建·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（ ）(參考數(shù)據(jù)：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多選題
4．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，的定義域?yàn)镽
B．一定存在最小值
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．當(dāng)時，的值域?yàn)镽
5．（2022·湖南長沙·湖南師大附中校考一模）已知正數(shù)x，y，z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題技巧】
1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).
2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
3.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
考點(diǎn)三：冪函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，當(dāng)時，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數(shù) ．
5．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)為 ．
【解題技巧】
1.冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
2.在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.
3.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)四：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
【典例精析】（多選）（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期，，且在處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．的最小值為
C．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的最小值為
D．函數(shù)在上一定存在零點(diǎn)
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021上·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是（ ）
①命題“”的否定形式是“”；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
③函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
④函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，且函數(shù)只有一個零點(diǎn).
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
5．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，給出以下三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號為 .
【解題技巧】
1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：
(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).
(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).
考點(diǎn)五：函數(shù)零點(diǎn)的分布
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，下列說法中正確的有（ ）
A．若，則在上單調(diào)遞減
B．若把的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2
C．若在上有且僅有4個零點(diǎn)，則
D．若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若方程有且僅有三個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考三模）非空集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有6個不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
5．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則 .
【解題技巧】
1.函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定有下列幾種方法
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(diǎn).
(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).
(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)有幾個，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn).
考點(diǎn)六：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，點(diǎn)分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．若關(guān)于的方程在上無解，則
B．存在關(guān)于直線對稱
C．若存在關(guān)于軸對稱，則
D．若存在滿足，則
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021上·江蘇無錫·高一江蘇省錫山高級中學(xué)校考期末）函數(shù)圖像上一點(diǎn)向右平移個單位，得到的點(diǎn)也在圖像上，線段與函數(shù)的圖像有5個交點(diǎn)，且滿足，，若，與有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)]時，
，若關(guān)于x的方程至少有8個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是 ．
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則
【解題技巧】
1.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：
①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；
②數(shù)形結(jié)合；
③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.
3.函數(shù)零點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).
考點(diǎn)七：函數(shù)模型及其應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢
B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動變化
C．當(dāng)時，的最小值為3
D．當(dāng)時，的最小值為3
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·山東德州·三模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：
則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
二、填空題
4．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅 全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為 萬元.
5．（2023上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1％，這種溶液最初的雜質(zhì)含量為3％，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，則至少經(jīng)過 次過濾才能達(dá)到市場要求．（參考數(shù)據(jù)：，）
【解題技巧】
1.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時需注意以下四個步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.
②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.
③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.
④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.
2.通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
四、雙空題
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
一、單選題
1．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·統(tǒng)考一模）已知，b=0.01，c=ln1.01，則（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a
3．（2021·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)滿足，若，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時尚．近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車和最終停止傳統(tǒng)汽車銷售的時間計劃表，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．新能源汽車主要指電動力汽車，其能量來源于蓄電池．已知蓄電池的容量（單位：）、放電時間（單位：）、放電電流（單位：）三者之間滿足關(guān)系．假設(shè)某款電動汽車的蓄電池容量為，正常行駛時放電電源為，那么該汽車能持續(xù)行駛的時間大約為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）函數(shù)的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·廣東佛山·佛山一中校考一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．函數(shù)有8個不同的零點(diǎn) D．
三、填空題
9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
10．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
11．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點(diǎn)，則 ．
四、解答題
12．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)且）為定義在R上的奇函數(shù)
(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
13．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
14．（2023上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求常數(shù)的值；
(2)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
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2.2初等函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用
【備考指南】 1
【思維導(dǎo)圖】 2
【考點(diǎn)梳理】 6
考點(diǎn)一：指數(shù)函數(shù)及應(yīng)用 6
考點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)及應(yīng)用 9
考點(diǎn)三：冪函數(shù)及應(yīng)用 14
考點(diǎn)四：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 17
考點(diǎn)五：函數(shù)零點(diǎn)的分布 23
考點(diǎn)六：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 28
考點(diǎn)七：函數(shù)模型及其應(yīng)用 34
【真題在線】 39
【專項(xiàng)突破】 48
考點(diǎn) 考情分析 考頻
基本初等函數(shù) 2022全國乙卷T16 2021全國甲卷T4 2年2考
指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算 2022年新高考Ⅰ卷T7 2021年新高考Ⅱ卷T7 2年2考
函數(shù)與方程 2023年全國甲卷卷T10
函數(shù)應(yīng)用 2021年全國甲卷T6
預(yù)測：初等函數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用每年全國卷都有所涉及，考察整體相對綜合性強(qiáng)，在二輪復(fù)習(xí)時要合理的把握試題的難度.
考點(diǎn)一：指數(shù)函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】對于選項(xiàng)A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對于選項(xiàng)B：利用作差法分析判斷；對于選項(xiàng)C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于選項(xiàng)D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋矗獾没颍?br/>所以或，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：，
因?yàn)閍＞b＞0，則，即，且，
所以，即，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)閍＞b＞0，且，
可得同號，則有：
若同正，可得，
則，可得；
若同負(fù)，可得，
則，可得；
綜上所述：，
又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)閍＞b＞0，則，
可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
且，所以，故D正確；
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)，結(jié)合是定義在R上的偶函數(shù)，易得函數(shù)的周期為2，然后由求解.
【詳解】因?yàn)椋沂嵌x在R上的偶函數(shù)，
所以，
令，則，
所以，即，
所以函數(shù)的周期為2，
所以.
故選：B.
2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的奇偶性及選項(xiàng)逐項(xiàng)排除即可得到答案．
【詳解】，的定義域均為，且,，
所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù).
由圖易知其為奇函數(shù)，而與為非奇非偶函數(shù)，故排除AB.
當(dāng)時，，排除C.
故選:D．
3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的圖象（ ）
A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱
【答案】A
【分析】求出以及的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可判斷各項(xiàng)，得到結(jié)果.
【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可得，，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，故B項(xiàng)錯誤；
對于C項(xiàng)，，則，故C錯誤；
對于D項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，故D錯誤.
故選:A.
【點(diǎn)睛】設(shè)的定義域?yàn)?
對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于直線對稱；
對于，若恒成立，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
二、填空題
4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.
【詳解】令，∵，∴，
∴，
又關(guān)于對稱，開口向上， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
時，函數(shù)取得最小值，即，時，函數(shù)取得最大值，即，
.
故答案為：.
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)奇偶性得出關(guān)于和的兩個方程，聯(lián)立解得，再由基本不等式得最小值．
【詳解】是偶函數(shù)，所以，
是奇函數(shù)，所以，
兩式聯(lián)立解得，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因此的最小值是．
故答案為：．
【解題技巧】
1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.
2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
3.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
4.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
5.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
考點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)與相交于A，B兩點(diǎn)，與相交于C，D兩點(diǎn)，若A，B，C，D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，分別代入，即可判斷A,B，根據(jù)， 關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，即可根據(jù)對稱性判斷CD.
【詳解】由題意可知是方程 的一個根，則，將 代入得，所以也是方程的一個根，所以，故，故A正確，
由題意可知是方程 的一個根，則，則，所以也是方程的一個根，所以，故，故B正確，
設(shè)點(diǎn)在函數(shù)上，則滿足，即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將代入得，即可，因此可知在函數(shù)上， 即關(guān)于直線的對稱，又 關(guān)于直線的對稱，因此可知對稱，對稱，
故 和，
所以 ，，故D正確，
由于 ，故C錯誤，
故選：ABD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，
原命題等價于：任意，使為真命題，
所以，其中
設(shè)， 則
函數(shù)，的最大值為與中的較大者，
所以，
∴，解得，
故選：C.
2．（2020下·福建·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項(xiàng)，然后再利用特殊的函數(shù)值的正負(fù)排除一個選項(xiàng)，得正確結(jié)論．
【詳解】，
則為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B，D，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，故排除A，
故選：C．
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（ ）(參考數(shù)據(jù)：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【分析】依題運(yùn)用特殊值求得函數(shù)模型中的值，然后運(yùn)用函數(shù)模型得到關(guān)于的不等式，通過指、對運(yùn)算求得的取值范圍，即可得解．
【詳解】依題意，，，當(dāng)時，，即，可得，
于是，由，得，即，
則，又，因此，
所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次．
故選：C
二、多選題
4．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，的定義域?yàn)镽
B．一定存在最小值
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．當(dāng)時，的值域?yàn)镽
【答案】AC
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及特殊值一一判斷.
【詳解】對于A：若，則，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的上方，
即恒成立，所以的定義域?yàn)镽，故A正確；
對于B：若，則的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，沒有最小值，故B錯誤；
對于C：由于函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，
將該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象，此時對稱軸為直線，故C正確；
對于D：若，則，故的值域不是R，故D錯誤.
故選：AC
5．（2022·湖南長沙·湖南師大附中校考一模）已知正數(shù)x，y，z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】設(shè)，，求出，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計算即可判斷A；利用作商法即可判斷B；利用作差法即可判斷D；再根據(jù)AD即可判斷C.
【詳解】解：設(shè)，，
則，，，
所以，A正確；
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)椋瑒t，
所以，B正確；
因?yàn)椋?br/>則，D正確.
因?yàn)椋瑒t，所以，C錯誤.
故選：ABD.
【解題技巧】
1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).
2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
3.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
考點(diǎn)三：冪函數(shù)及應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知， 在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?所以，即，，
所以．故A正確；
令，則，故B錯誤；
令，則
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕矗谑怯校蔆正確；
令，則，
所以因?yàn)椋蔇錯誤．
故選：AC.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
【答案】B
【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
所以或，
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；
故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，當(dāng)時，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分別求函數(shù)的值域，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】，單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?br/>，函數(shù)，單調(diào)遞減，所以，
函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
所以.
故選：B
3．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知 圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由 的圖像即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，
由解析式，作出的圖像如圖
從而可得圖像為B選項(xiàng).
故選：B.
二、填空題
4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數(shù) ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.
【詳解】取，則定義域?yàn)镽，且，
，，滿足.
故答案為：.
5．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)為 ．
【答案】，，
【分析】設(shè)冪函數(shù)解析式，求解函數(shù)解析式，解方程即可得函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，解得
所以，則函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為，，.
故答案為：，，.
【解題技巧】
1.冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
2.在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.
3.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)四：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
【典例精析】（多選）（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期，，且在處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．的最小值為
C．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的最小值為
D．函數(shù)在上一定存在零點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，由圖象關(guān)于對稱結(jié)合可判斷選項(xiàng)；B選項(xiàng)，由最小正周期，，且在處取得最大值可得表達(dá)式；C選項(xiàng)，結(jié)合AB選項(xiàng)分析確定表達(dá)式，驗(yàn)證即可；D選項(xiàng)，分，兩種情況分析零點(diǎn)即可.
【詳解】A選項(xiàng)，因在處取得最大值，則圖象關(guān)于對稱，則
，故A正確；
B選項(xiàng)，最小正周期，則，，
則或，又在處取得最大值，
則，則或，
其中，則的最小值為，故B錯誤；
C選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)分析結(jié)合，可知時，
可取，令，
則，其中.
當(dāng)時，不存在相應(yīng)的，當(dāng)時，，則存在滿足題意；
由AB選項(xiàng)分析結(jié)合，可知時，
可取，令，
則，
當(dāng)時，不存在相應(yīng)的，當(dāng)時，，則存在滿足題意，
綜上可知的最小值為，故C正確；
D選項(xiàng)，由C分析可知，時，可取，
此時，，存在零點(diǎn)；
時，可取，
此時，，存在零點(diǎn)；
當(dāng)時，，注意到，
則此時函數(shù)在上一定存在零點(diǎn)，
綜上在上一定存在零點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：三角函數(shù)常利用整體代換法確定參數(shù)值，本題還用到了對稱性.對于三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，常利用代值驗(yàn)證結(jié)合周期分析可解決問題.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先函數(shù)的奇偶性排除兩個選項(xiàng)，在根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)位置及范圍內(nèi)的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.
【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B，D選項(xiàng)；
當(dāng)時，令得，所以函數(shù)最小正零點(diǎn)為，
則，則符合圖象特點(diǎn)的是選項(xiàng)A，排除選項(xiàng)C.
故選：A.
2．（2022下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】解：的定義域?yàn)椋峙c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn).
故選：C
3．（2021上·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是（ ）
①命題“”的否定形式是“”；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
③函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
④函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，且函數(shù)只有一個零點(diǎn).
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】對于①，特稱命題否定為全稱命題即可，對于②，先求函數(shù)的定義域，再利用換元法求解，對于③，每一段上都為增函數(shù)，再考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值，對于④，利用零點(diǎn)存在性定理判斷.
【詳解】對于①，命題“”的否定形式是“”，所以①正確，
對于②，由，得，令，則，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，在定義域內(nèi)遞減，所以在上遞減，在上遞增，所以②錯誤，
對于③，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，解得，所以③錯誤，
對于④，因?yàn)楹驮谏线f減，所以在上遞減，因?yàn)椋院瘮?shù)只有一個零點(diǎn)且在上，所以④正確，
故選：B
二、填空題
4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和極值情況，列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時，恒成立，故在R上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得：存在唯一的使得：，故滿足要求，
當(dāng)時，由得或，
由得，
故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，只需，
解得：，與取交集后得到，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
5．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，給出以下三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號為 .
【答案】①③
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推出，可得.利用基本不等式可判斷①；結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可判斷②；判斷出，即可推出，從而推出，即可判斷③.
【詳解】由題意得，則，
即和為的零點(diǎn)；
而在R上單調(diào)遞增，且，
在R上有且僅有一個零點(diǎn)，，
又，①正確；
又，
而在上單調(diào)遞增，
，②錯誤；
，，
則，
而，故，即，③正確.
綜上，所有正確結(jié)論的序號為①③，
故答案為：①③
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)零點(diǎn)以及單調(diào)性以及不等式證明相關(guān)知識，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)，變式為，從而推出和為的零點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，說明，以下問題則可順利解決.
【解題技巧】
1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：
(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).
(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).
考點(diǎn)五：函數(shù)零點(diǎn)的分布
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，下列說法中正確的有（ ）
A．若，則在上單調(diào)遞減
B．若把的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2
C．若在上有且僅有4個零點(diǎn)，則
D．若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再逐項(xiàng)分析求解，判斷作答.
【詳解】依題意，，即，而，則，，
對于A，當(dāng)時，，由，得，則在上不單調(diào)，A不正確；
對于B，的圖象向左平移個單位后得函數(shù)，
依題意，，解得：，因此的最小值為2，B正確；
對于C，當(dāng)時，，因在上有且僅有4個零點(diǎn)，
則，解得：，C正確；
對于D，因，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則直線是圖象的對稱軸，
且在處取得最小值，，因此，，且，
即，且，所以或，D不正確.
故選：BC
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若方程有且僅有三個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)的切線方程以及斜率，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：

依題意方程有且僅有三個實(shí)數(shù)解，即與有且僅有三個交點(diǎn)，
因?yàn)楸剡^，且，
若時，方程不可能有三個實(shí)數(shù)解，則必有，
當(dāng)直線與在時相切時，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，
則切線方程為，
即，
切線方程為，
且，則，所以，
即當(dāng)時與在上有且僅有一個交點(diǎn)，
要使方程有且僅有三個的實(shí)數(shù)解，
則當(dāng)時與有兩個交點(diǎn)，設(shè)直線與切于點(diǎn)，此時，則，即，
所以，
故選：B
2．（2022·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考三模）非空集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，解不等式即可得答案.
【詳解】解：由題知，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
故令函數(shù)，
所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點(diǎn)的存在性定理得：
，即，解得，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分類討論或三種情況，然后根據(jù)函數(shù)判斷
【詳解】①當(dāng)時，則只有一個零點(diǎn)0，不符合題意；
②當(dāng)時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖1，在和上各有一個零點(diǎn)，符合題意；
③當(dāng)時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖2，在上沒有零點(diǎn)．
則在上有兩個零點(diǎn)，此時必須滿足，解得．
綜上，得或．
故選：A
二、填空題
4．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有6個不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】化簡函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖象分析方程的解的個數(shù)與的關(guān)系，結(jié)合二次方程根的分布的相關(guān)結(jié)論求t的取值范圍.
【詳解】由已知當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
畫出函數(shù)的圖象如圖所示．
所以函數(shù)的圖象與函數(shù)（c為常數(shù)）的圖象最多3個交點(diǎn)，
且有3個實(shí)數(shù)根時，
所以有6個不等實(shí)數(shù)根等價于一元二次方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，
所以解得或．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于作出函數(shù)圖象，通過圖象觀察確定方程的解的個數(shù)與的關(guān)系，從而將條件轉(zhuǎn)化為二次方程的區(qū)間根問題，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和圖象求解.
5．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)條件進(jìn)行同構(gòu)變形，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>故，即，
即.
由，得.
令，因?yàn)樵龊瘮?shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
而，故，解得，則.
故答案為：
【解題技巧】
1.函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定有下列幾種方法
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(diǎn).
(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).
(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)有幾個，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn).
考點(diǎn)六：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，點(diǎn)分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．若關(guān)于的方程在上無解，則
B．存在關(guān)于直線對稱
C．若存在關(guān)于軸對稱，則
D．若存在滿足，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由方程有解判斷B；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.
【詳解】函數(shù)，
對于A，方程在上有解，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，
因此關(guān)于的方程在上無解，則或，A錯誤；
對于B，設(shè)點(diǎn)，依題意，點(diǎn)Q關(guān)于直線對稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時，令函數(shù)，
，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，
因此函數(shù)的值域?yàn)椋郑谑窃谟薪猓?br/>所以存在關(guān)于直線對稱，B正確；
對于C，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
即，令，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；
對于D，令，由得，
顯然，且，，令，，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此，即有，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，D正確.
故選：BCD
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，，使，可得，，分類討論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.
【詳解】解：，，使，則，
可得，，
若k為奇數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時，，，，，
當(dāng)時，，，，，
若k為偶數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，，
因此，所有解之和為：，
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
2．（2021上·江蘇無錫·高一江蘇省錫山高級中學(xué)校考期末）函數(shù)圖像上一點(diǎn)向右平移個單位，得到的點(diǎn)也在圖像上，線段與函數(shù)的圖像有5個交點(diǎn)，且滿足，，若，與有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)已知條件分析出，可得，再由可得對稱軸為，利用可以求出符合題意的一個的值，進(jìn)而得出的解析式，再由數(shù)形結(jié)合的方法求的取值范圍即可.
【詳解】
如圖假設(shè)，線段與函數(shù)的圖像有5個交點(diǎn)，則，
所以由分析可得，所以，
可得，
因?yàn)樗裕矗?br/>所以是的對稱軸，
所以，即，
，
所以，可令得，
所以，
當(dāng)時，令，則，
作圖象如圖所示：
當(dāng)即時，當(dāng)即時，，
由圖知若，與有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是取特殊點(diǎn)便于分體問題，利用已知條件結(jié)合三角函數(shù)圖象的特點(diǎn)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合的思想求解的取值范圍.
3．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)]時，
，若關(guān)于x的方程至少有8個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件可得出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，的圖象，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，原問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時兩函數(shù)圖象至少有4個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)
所以，即，
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
作出，在同一坐標(biāo)系的圖象，如圖，
因?yàn)榉匠讨辽儆?個實(shí)數(shù)解，
所以，圖象至少有8個交點(diǎn)，
根據(jù)，的圖象都為偶函數(shù)可知，圖象在y軸右側(cè)至少有4個交點(diǎn)，
由圖可知，當(dāng)時，只需，即，
當(dāng)時，只需，即，
當(dāng)時，由圖可知顯然成立，
綜上可知，.
故選：B
【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
二、填空題
4．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定分段函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，確定給定方程有兩個不等實(shí)根的a的取值范圍，再將目標(biāo)函數(shù)用a表示出即可求解作答.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)，即時，，且，
當(dāng)，即時，，且，
當(dāng)，即時，，且，
因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，
再作出直線，則方程有兩個不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，
觀察圖象知方程有兩個不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)，
此時，且，即，且，則有，
令，求導(dǎo)得，令，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，而，于是當(dāng)時，，有，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，則
【答案】2
【分析】由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個零點(diǎn)為，，
則，即，
又，
則，即，
所以.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用同構(gòu)函數(shù)可得，可得，結(jié)合條件即得.
【解題技巧】
1.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：
①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；
②數(shù)形結(jié)合；
③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.
3.函數(shù)零點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).
考點(diǎn)七：函數(shù)模型及其應(yīng)用
【典例精析】（多選）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢
B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動變化
C．當(dāng)時，的最小值為3
D．當(dāng)時，的最小值為3
【答案】AC
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的增減性可判斷A，B；分別代入和，解指數(shù)不等式可判斷C，D.
【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，
即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為3，故C正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為2，故D不正確；
故選：AC.
【變式訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·山東德州·三模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可排除A、B選項(xiàng)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢，得到時，，可排除C選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，都可其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A、B選項(xiàng)；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢，可得時，，可排除C選項(xiàng).
故選：D.
2．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：
則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通過觀察散點(diǎn)圖并結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型得出結(jié)果.
【詳解】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.
故選：C.
3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題
4．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅 全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為 萬元.
【答案】1000
【分析】依題意求得利潤，借助導(dǎo)數(shù)和基本不等式可求得最大值.
【詳解】由題意得，銷售收入為萬元，
當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，利潤；
當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，利潤.
所以利潤
因?yàn)楫?dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
又，故當(dāng)時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.
故答案為：1000
5．（2023上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1％，這種溶液最初的雜質(zhì)含量為3％，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，則至少經(jīng)過 次過濾才能達(dá)到市場要求．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】9
【分析】根據(jù)題意列不等式，運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可得：經(jīng)過次過濾后該溶液的雜質(zhì)含量為，
則，解得，
∵，則的最小值為9，
故至少經(jīng)過9次過濾才能達(dá)到市場要求.
故答案為：9.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見類型及解決問題的一般程序：
（1）常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題；
（2）應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序：讀題（文字語言） 建模（數(shù)學(xué)語言） 求解（數(shù)學(xué)應(yīng)用） 反饋（檢驗(yàn)作答）；
（3）解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式的有關(guān)知識加以綜合解答．
【解題技巧】
1.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時需注意以下四個步驟：
①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.
②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.
③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.
④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.
2.通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因?yàn)椋?br/>所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因?yàn)椋?br/>即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因?yàn)椋?br/>當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關(guān)系.
記，則，，
由于
所以當(dāng)0所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減
令
，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增
綜上，，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.
【詳解】由，當(dāng)時，，
則.
故選：C.
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.
【詳解】，即.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗?br/>可得，即，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題
10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
四、雙空題
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻茫矗诙x域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
一、單選題
1．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)的奇偶性化簡，結(jié)合的單調(diào)性確定的大小關(guān)系.
【詳解】依題意是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
，
，
，
，
，
，
，
由于在上單調(diào)遞增，所以.
故選：D
2．（2022·湖北·統(tǒng)考一模）已知，b=0.01，c=ln1.01，則（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得，再由對數(shù)性質(zhì)得大小，從而得結(jié)論．．
【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：，
設(shè)，則在時恒成立，
所以在上是增函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，
所以，即，即，所以，
所以．
故選：C．
3．（2021·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)滿足，若，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可求得，得出單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性即可得出大小.
【詳解】由可得，∴，
∴，即.由此可知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
而由換底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小關(guān)系是.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及自變量的大小.
4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案.
【詳解】令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，
所以用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是.
故選：B.
5．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的原則得的表達(dá)式，根據(jù)的范圍得出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可得結(jié)果.
【詳解】將函數(shù)向左平移個單位長度后得到函數(shù)，
即，
∵，∴，
∵在上有且僅有兩個不相等的實(shí)根，
∴，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
6．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時尚．近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車和最終停止傳統(tǒng)汽車銷售的時間計劃表，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．新能源汽車主要指電動力汽車，其能量來源于蓄電池．已知蓄電池的容量（單位：）、放電時間（單位：）、放電電流（單位：）三者之間滿足關(guān)系．假設(shè)某款電動汽車的蓄電池容量為，正常行駛時放電電源為，那么該汽車能持續(xù)行駛的時間大約為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意蓄電池的容量C，再把代入，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.
【詳解】由，,時，；，
.又,
故選：C.
二、多選題
7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）函數(shù)的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)判斷各個選項(xiàng)即可.
【詳解】，
當(dāng)時, ,A選項(xiàng)正確；
，
，
,
時, 有兩個根,且時
,根據(jù)極值點(diǎn)判斷，故C選項(xiàng)正確,D選項(xiàng)錯誤；
當(dāng)時, 有兩個根,且此時
,故B選項(xiàng)正確.
故選：ABC．
8．（2023·廣東佛山·佛山一中校考一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．函數(shù)有8個不同的零點(diǎn) D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)已知推出函數(shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，由已知區(qū)間上的解析式畫出圖象判斷A、B；結(jié)合圖象判斷交點(diǎn)個數(shù)，周期性求函數(shù)值的和判斷C、D.
【詳解】由，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，且，
由，則函數(shù)關(guān)于對稱，且，
所以，故，則，故函數(shù)的周期為8，
當(dāng)時，則，，
根據(jù)周期和對稱性知：值域?yàn)椋?br/>由函數(shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，
為向左平移1個單位得到，是偶函數(shù)，故A正確：
為向左平移3個單位得到，是奇函數(shù)，故B正確；
由在上遞減，且，；在上遞增，且，，
結(jié)合圖象：看出和的圖象有10個交點(diǎn)，即有10個不同的零點(diǎn)，故C錯誤：
由，，，，，，，，則，
所以，故D錯誤，
故選：AB
三、填空題
9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】令，易得函數(shù)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，則不等式，即為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】令，
因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，
由函數(shù)都是增函數(shù)，可得為增函數(shù)，
，
則不等式，
即為，即，
即，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
10．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】將 代入 ，構(gòu)造直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求解.
【詳解】因?yàn)?是 的一個零點(diǎn)， ，將 看作直線 上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，
則原題就變?yōu)椋呵螽?dāng) 時，點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離的平方的最小值，
原點(diǎn)到直線的距離為 ， ，
令 ， ，當(dāng) 時，, 是增函數(shù)，
在 時， ；
故答案為： .
11．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】由題意可知函數(shù)的周期為4，結(jié)合題意和圖象可知，直線與第個半圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知，可得，由裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】∵，∴，所以函數(shù)周期為4，
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，函數(shù)周期為4，
令，
即與函數(shù)恰有個不同的交點(diǎn)，
根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，
故，
故，
所以．
故答案為：.
四、解答題
12．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)且）為定義在R上的奇函數(shù)
(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根據(jù)奇函數(shù)滿足可得，再設(shè)，證明即可；
（2）化簡可得恒成立，再討論為0和大于0時兩種情況，結(jié)合判別式分析即可；
（3）將題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正根，
【詳解】（1）證明：由函數(shù)為奇函數(shù)，有，解得，
當(dāng)時，，，符合函數(shù)為奇函數(shù)，可知符合題意．
設(shè)，有
，
由，有，有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）由
．
（1）當(dāng)時，不等式為恒成立，符合題意；
（2）當(dāng)時，有，解得，
由上知實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）由，方程可化為，
若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，相當(dāng)于方程有兩個不相等的正根，
故有，即解得．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
13．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)存在，實(shí)數(shù)
【分析】（1）利用求得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）根據(jù)的最小值為列方程，從而求得的值.
【詳解】（1）∵，∴，即，
，由，
解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又∵在上為增函數(shù)，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的最小值為0，，
∵函數(shù)的最小值為0，∴函數(shù)的最小值為1，所以①，且②，
聯(lián)立①②解得：，
∴存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為0.
14．（2023上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求常數(shù)的值；
(2)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增
(3)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值；
（2）令，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系即可.
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上無解，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求值域，即可確定m的范圍.
【詳解】（1）由，即，
所以，故，則，
當(dāng)時，顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證：符合題意；所以；
（2）單調(diào)遞增
由（1）知：，若，
則，
而，即，
所以，故單調(diào)遞增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上遞增，而在上遞減，
所以在上遞減，則.
又在區(qū)間上無解，故
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