資源簡介

三角函數的概念
一、學習目標
1.理解三角函數的概念，會求給定角的三角函數值.
2.掌握任意角三角函數在各象限的符號.
3.掌握三角函數誘導公式一并會應用．
預習自學（課本177-179頁）
知識點一 任意角的三角函數的定義
如圖，設是一個任意角，,它的終邊與單位圓交于點，那么：
（1） 叫做的正弦函數，記作，即
（2） 叫做的余弦函數，記作，即
（3） 叫做的正切，記作，即
注：1)當時，α的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于0，所以無意義.除此之外，對于確定的角的值也是唯一確定的。所以， 是以 為自變量，
為函數值的函數稱為正切函數。
我們將 、 、 統稱為三角函數。
知識點二 三角函數值的符號
如圖所示：
正弦： 象限正， 象限負．
余弦： 象限正， 象限負．
正切： 象限正， 象限負．
簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知識點三 公式一
sin (α＋2kπ)＝ ，cos (α＋2kπ)＝ ，tan (α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
即終邊相同的角的同一三角函數的值相等．
三、例題導學
題型一 單位圓法求三角函數值
例1 在平面直角坐標系中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，求tan α.
變式1已知角α的終邊經過點，則sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
題型二 坐標法求三角函數值
例2 已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
變式2 已知角α的終邊經過點P(5m，12)，且cos α＝－，則m＝________.
題型三 三角函數概念的應用
例3已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值.
變式3 已知角α的終邊在直線y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值.
題型四 三角函數值在各象限的符號
例4(1)已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cos (－105°)________0.(填“<”“>”)
變式4（1）若－＜α＜0，則點P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，則角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
題型五 公式一的應用
例5求下列各式的值：
（1）cos＋tan；
sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
題型六 三角函數值符號與公式一的綜合應用
例6確定下列函數值的符號.
(1)tan (－672°)；(2)cos ；(3)tan；
(4)sin 1 480°10′；(5)tan.
檢測反饋
1.若角α的終邊上有一點P(0，3)，則下列式子無意義的是
A.tan α B.sin α C.cos α D.都有意義
2.若角α的終邊上一點的坐標為(1，－1)，則cos α為
A.1 B.－1 C. D.－
3.若角α的終邊過點(5，12)，則cos α－sin α＝
A. B. C.－ D.－
4.已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，則實數a的取值范圍是________.
5.判定下列各角的各三角函數符號：
6.填表：
7.求下列各式的值:
(1)；
(2).
8、求的值域.
9、若，則在
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
課時作業
1.已知角α的終邊經過點P(m，－3)，且cos α＝－，則m等于
A.－ B. C.－4 D.4
2.給出下列各三角函數值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.其中符號為負的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3．如果角α的終邊過點P(2sin 30°，－2cos 30°)，則cos α的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
4.點P從(1，0)出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為
A. B.
C. D.
5.(多選題)角α的終邊經過點P(x，4)，且cos α＝，則sin α可能等于( )
A.0 B. C. D.1
6．（2022·湖北·鄖陽中學高一階段練習）已知函數（且）的圖像經過定點，且點在角的終邊上，則（ ）
A． B．0 C．7 D．
7、已知點M是單位圓上的點，以射線OM為終邊的角α的正弦值為－，則tan α＝________.
8.(多空題)已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________，tan θ＝________.
9.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第___象限角.
10、(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.
11.如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范圍是________.
12.若角θ的終邊過點P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)試判斷cos (sin θ)·sin(cos θ)的符號.
選做題
*13.(多選題)有下列說法，其中錯誤的是( )
A.終邊相同角的同名三角函數值相等
B.同名三角函數值相等的角也相等
C.終邊不相同，它們的同名三角函數值一定不相等
D.不相等的角，同名三角函數值也不相等
14．已知點是角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
15.求函數y＝＋－的值域．
16．已知，那么下列命題正確的是（ ）
A．若角、是第一象限角，則
B．若角、是第二象限角，則
C．若角、是第三象限角，則
D．若角、是第四象限角，則
答案
例1.解：由題意，設點A的坐標為，所以x2＋＝1，解得x＝或－.
當x＝時，角α在第一象限，tan α＝＝；當x＝－時，角α在第二象限，tan α＝＝－.
變式1. － －
例2.解：r＝＝5|a|，①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限.
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
變式2. －1
例3.解：由題意知，cos α≠0.設角α的終邊上任意一點為P(k，－3k)(k≠0)，
則x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.(1)當k>0時，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)當k<0時，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，
＝＝＝－，所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.綜上所述，10sin α＋＝0.
變式3.解：因為角α的終邊在直線y＝x上，所以可設P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點，則r＝＝2|a|(a≠0).若a>0，則α為第一象限角，r＝2a，所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.若a<0時，則α為第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
例4【解析】 (1)因為點P(tan α，cos α)在第三象限，因此tan α<0，cos α<0，所以α在第二象限．
(2)因為285°是第四象限角，所以sin 285°<0，因為－105°是第三象限角，所以cos (－105°)<0.所以sin 285°·cos (－105°)>0.【答案】 (1)B (2)>
變式4（1）解析：選B.由－＜α＜0知α為第四象限角，則tan α＜0，cos α＞0，點P在第二象限．
（2）解析：選D.由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，結合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角，故選D.
例5解 (1)原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝.
例6（1）>0;（2）>0;（3）>0;（4）>0;（5）<0.
檢測反饋1.A； 2.C； 3.C； 4.(－2，3]；
5.（1）>0（2）<0;（3）<0;（4）<0.
6、
7.（1）；（2）
9.B
課時作業 答案
1、C 2、D 3、A 4、A 5、CD 6、D
6、【答案】D【詳解】解:令得,故定點為,
所以由三角函數定義得，所以
7、 8、－8； －2 9、一
10、.解 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°＋0°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
11.，k∈Z
12.解 (1)因為角θ的終邊過點P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.當a>0時，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；當a<0時，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)當a>0時，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，則cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；當a<0時，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，則cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin >0.綜上，當a>0時，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符號為負；當a<0時，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符號為正.
13.BCD；
14【答案】AC【詳解】因點是角終邊上一點，，于是得，A正確；
，當時，，當時，，B不正確；
又，則，C正確，D不正確.
15.
16【答案】BCD
【詳解】設角、的終邊分別為射線、．對于A，如圖1，，此時，，，所以，故A錯誤；對于B，如圖2，，
此時，，且，所以，故B正確；
對于C，如圖3，，此時，，且，所以，故C正確；對于D，如圖4，，，即，故D正確．故選：BCD.

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