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13.4最短路徑問題
1．兩點一線型
(1)直線異側兩點：連接，兩點之間線段最短
如圖1所示，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA＋CB最小，這時點C是直線l與AB的交點．依據是兩點之間線段最短．
　　
(2)直線同側兩點：對稱點，連接，交點。將軍飲馬問題 PA+PB最短 PA-PB最長
如圖2所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找到一個點C，使CA＋CB最小．這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點；或者先作點A關于直線l的對稱點A′，則點C是直線l與A′B的交點．
例1：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是（ ）
例2：A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）
例3如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定
例4如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（　　）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
例5在平面直角坐標系中，點A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的坐標是(　　)
A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0)
例6如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，點P是直線EF上的任一點，則AP＋BP的最小值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
例7如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（　　）
AB B．DE C．BD D．AF
2、兩線一點型：兩相交線之間一點到兩直線的距離：分別對稱，相連
如圖3，在直線l1，l2上分別求點M，N，使PM＋MN＋PN的長度之和最小．分別作點P關于兩直線l1，l2的對稱點P′，P″，連接P′P″與兩直線的交點即為點M，N.PM＋MN＋PN的最小值為P′P″的值．
例8已知∠MON＝40°，P為∠MON內一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數是(　 　)
A．40° B．100° C．140° D．50°
例9如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（　　）
A．10 B．15
C．20 D．30
例10如圖點P是∠AOB內任意一點，OP＝5 cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5 cm，求∠AOB的度數．
3、兩點兩線型：兩相交線之間兩點到兩直線的距離和
如圖4，在直線l1，l2上分別求點M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的長度之和最小．分別作點P，Q關于直線l1，l2的對稱點P′，Q′，連接P′Q′，與兩直線的交點即為點M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值為P′Q′＋PQ的值．
4、造橋選址：利用平移前后的對應線段相等，把未知的線段轉換到一條直線上，再結合“兩點之間，線段最短”解決問題．
如圖5，在互相平行的直線l1，l2上，找一條垂直于l1，l2的線段MN，使AM＋MN＋NB的長度之和最小．
過點A作AA′⊥l1且使AA′的長度等于兩平行線間的距離，連接A′B，則A′B與l2的交點即為N點，作MN⊥l1于點M，則根據“兩點之間線段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值為MN(兩平行線間的距離)＋A′B.
例11A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMMNNB最短的是(假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直)(　　)
　　　　　　
A　　　　　　 　　　B C　　　　　　D
例12如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經兩座橋：DD ′,EE ′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD ′E ′EB的路程最短？

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