資源簡(jiǎn)介

菱形
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
了解菱形的基本性質(zhì)，掌握其特征。
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】
掌握菱形的性質(zhì)。
【學(xué)習(xí)過程】
一、復(fù)習(xí)
1．平行四邊形有何特征？如何識(shí)別一個(gè)四邊形是平行四邊形？
2．矩形有何性質(zhì)？如何識(shí)別一個(gè)四邊形是矩形？如何識(shí)別一個(gè)平行四邊形是矩形？
在學(xué)生思考、交流的過程中，老師適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)。
二、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新知
出示可伸縮的衣帽架實(shí)物。
老師在演示的過程中提問：圖中的基本圖形你熟悉嗎？
學(xué)生大多回答是平行四邊形，讓一個(gè)同學(xué)用尺量出這個(gè)平行四邊形的鄰邊的長度（發(fā)現(xiàn)鄰邊相等這個(gè)特性）接著老師告訴學(xué)生，這種鄰邊相等的平行四邊形，與一個(gè)角是直角的平行四邊形一樣也是一種特殊的平行四邊形，這是今天我們要研究的課題。
教師板書：菱形。
那究竟什么是菱形呢？
學(xué)生在思考、交流中，老師適時(shí)地進(jìn)行指導(dǎo)，把正確的定義板書在黑板上：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
這里的“平行四邊形”不能寫成“四邊形”。“一組鄰邊相等的四邊形，不一定是菱形”。這點(diǎn)務(wù)必加以強(qiáng)調(diào)。
如果要用四邊形下菱形的定義就應(yīng)該是“四邊都相等的四邊形是菱形”。
三、學(xué)生動(dòng)手操作
1．畫一個(gè)△ABC，取BC的中點(diǎn)M，把△ABC繞著M，旋轉(zhuǎn)180°后得一個(gè)△A′B′C′，△A′B′C′與△ABC拼成一個(gè)怎樣的圖形？（平行四邊形）那么菱形也可以看作什么樣的三角形通過繞著那一邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原三角形拼成的？
2．畫一個(gè)等腰△ABC，取底邊BC中點(diǎn)M，把△ABC繞著M旋轉(zhuǎn)180°后的三角形與原三角形拼成一個(gè)怎樣的圖形？（菱形）要說明它菱形，就應(yīng)講出根據(jù)來。請(qǐng)一個(gè)同學(xué)說出根據(jù)：“它是鄰邊相等的平行四邊形”。如圖所示。
3．觀察圖，思考：
（1）圖中有哪些三角形是等腰三角形？
（2）圖中有哪些直角三角形？
在學(xué)生交流的基礎(chǔ)教師板書：
（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形。
（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形。
讓學(xué)生想一想后繼續(xù)操作。
菱形是中心對(duì)稱圖形，這點(diǎn)大家是不會(huì)懷疑的，剛才的操作已經(jīng)說明了這一點(diǎn)，那么菱形是不是軸對(duì)稱圖形呢？大家都知道菱形可以把等腰三角形繞著底邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得的三角形與原三角形拼成的。由于等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，所以我們也可以判斷出菱形也是軸對(duì)稱圖形。
請(qǐng)大家想一想：
（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形狀、大小是否相同？
（2）如何用剪刀的辦法，得到一個(gè)菱形的紙片呢？如圖所示。
請(qǐng)大家按如下步驟操作：
（1）將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折；
（2）用尺在折后的矩形的一角上畫一條直線；
（3）用剪刀沿著這條線剪下，打開。你發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么樣的圖形。
（如果在另一角畫直線剪下的是兩個(gè)等腰三角形要拼起來才可完成上面的四邊形，究竟在哪一角畫線，請(qǐng)思考后再動(dòng)手。）
根據(jù)以上的操作與思考，你發(fā)現(xiàn)菱形它有哪些性質(zhì)嗎？
教師讓學(xué)生用語言進(jìn)行表達(dá)出來，用邊、角、對(duì)角線的順序來闡明。
教師板書：
菱形性質(zhì)：
（邊）：對(duì)邊平行、四邊都相等。
（角）：對(duì)角相等。
（對(duì)角線）：對(duì)角線互相垂直平分，且平分各內(nèi)角。
由于菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的一切性質(zhì)，上述的對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分，就是平行四邊形的性質(zhì)，而鄰邊相等、對(duì)角線互相垂直，是它與平行四邊形不同的特殊性質(zhì)。上述的菱形性質(zhì)是兩種性質(zhì)的總和。
同時(shí)菱形還是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有兩條，是兩條對(duì)角線所在的直線，它是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心，就是它兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。
四、范例分析，加深理解
例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如圖所示。
試說明△ABC是等邊三角形。
學(xué)生觀察圖形并對(duì)照條件，進(jìn)行思考、交流。
師生共同分析：
要說明△ABC是等邊三角形，可以從以下幾條入手：
（1）說明AB=BC=AC；
（2）說明∠BAC=∠ACB=∠ABC；
（3）說明△ABC中，有兩個(gè)角都等于60°。
從第一條途徑出發(fā)：我們知道四邊形ABCD是菱形，即可獲得AB=BC，現(xiàn)在只差A(yù)B=AC或BC=AC．
要知道CB=AC，就要說明∠ABC=∠CAB；
要知道BA=AC，就要說明∠ABC=∠ACB．
由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，
故3∠ABC=180°，∠ABC=60°。
那么∠BAD=120°。
故∠BAC=60°，
即∠BAC=∠ABC=60°。
那么AB=AC．
這樣就可以得到△ABC是等邊三角形。
從第二條途徑出發(fā)：就要從三個(gè)角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．
那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．
這樣△ABC是等邊三角形就可獲得說明，從第三條途徑出發(fā)，第一條途徑分析中已獲得了。
解：由于四邊形ABCD是菱形，
所以AB=BC，AD∥BC．
即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．
又∠BAD=2∠ABC．
所以3∠ABC=180°，
即∠ABC=60°。
因?yàn)椤螧AC+∠BCA+∠ABC=180°，
故∠BAC+∠BCA=120°。
那么2∠BAC=120°。
即∠BAC=60°，∠BCA=60°。
因此三角形ABC為等邊三角形。
也可以說△ABC是一個(gè)角等于60°的等腰三角形，所以△ABC為等邊三角形。
五、隨堂練習(xí)，鞏固新知
1．用你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔的方法畫一個(gè)菱形。
（1）就應(yīng)該從菱形的定義入手，首先它是平行四邊形，要注意這個(gè)平行四邊形的鄰邊要相等。
（2）可以先畫兩條互相垂直平分的線段，然后順次連結(jié)各端點(diǎn)即可得到菱形，這是根據(jù)識(shí)別菱形的方法進(jìn)行作圖的，哪一種簡(jiǎn)潔請(qǐng)大家思考決定。
2．在菱形ABCD中，AB=5，OA=4，OB=3，求這個(gè)菱形的周長與兩條對(duì)角線的長度。
解：由于ABCD是菱形，O為AC和BD的交點(diǎn)，
所以BC=DC=CA=AB=5，即它的周長為20.
又因?yàn)锳O=OC，BO=DO。
所以AC=2AO=8，BD=2BO=6．
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1．菱形有哪些特征？它與矩形的特征有何異同點(diǎn)？
2．如何識(shí)別一個(gè)四邊形是菱形？
【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】
一、判斷題
1．一組鄰邊相等，且對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。（ ）
2．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形。（ ）
3．對(duì)角線交點(diǎn)到各邊中點(diǎn)的距離都相等的四邊形是菱形。（ ）
4．菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸只有一條。（ ）
5．菱形的對(duì)角線互相垂直平分，且平分各內(nèi)角。（ ）
二、填空題
6．菱形的鄰角比為1：5，它的高為1．5cm，則它的周長為_______。
7．兩條對(duì)角線_________的四邊形是菱形。
8．已知菱形的兩對(duì)角線的比為2：3，兩對(duì)角線和為20，則這對(duì)角線長分別為_____，_______。
9．菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周長=_____，面積=____。
10.O為菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，E、F、G、H分別是菱形各邊的中點(diǎn)，若OE=3cm，則OF=_____，OG=_______，OH=______。
三、選擇題
11．從菱形的鈍角的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，并且這條垂線平分對(duì)邊，則該菱形的鈍角為（ ）。
A．110° B．120° C．135° D．150°
12．菱形的兩鄰角之比為1：2，如果它的較短對(duì)角線為3cm，則它的周長為（ ）。
A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm
13．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）。
A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等
C．對(duì)角線互相相等 D．對(duì)有線相等
14．能夠找到一點(diǎn)使該點(diǎn)到各邊距離相等的圖形為（ ）。
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．不存在
A．菱形的對(duì)角線互相垂直 B．菱形的對(duì)角線平分各內(nèi)角
C．菱形的對(duì)角線相等 D．菱形的對(duì)角線交點(diǎn)到各邊等距離
四、解答題
16．如圖所示，已知E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，EF⊥AC于F交AB于M。試說明M為AB的中點(diǎn)。
17．如圖所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，試說明BE=AM。
18．如圖所示，已知在菱形ABCD中，AE⊥CD于E，∠ABC=60°，求∠CAE的度數(shù)。
19．如圖所示，菱形的周長為20cm，兩鄰角的比為1：2．
求：（1）較短對(duì)角線長是多少？
（2）一組對(duì)邊的距離是多少？
20.如圖所示，已知菱形ABCD中，E、F分別在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度數(shù)。
21．已知：菱形一邊及這邊上的高。
求作：滿足條件的這個(gè)菱形。
22．已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各邊長。
23．菱形一邊與兩條對(duì)角線所構(gòu)成的兩個(gè)角的差為10°，求菱形的各內(nèi)角。
24．如圖所示，已知菱形ABCD中，E、F是BC．CD上的點(diǎn)，且AE=EF=AF=AB，求∠C的度數(shù)。
25．如圖所示，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DE∥AC，CE⊥BD，OE與CD互相垂直平分嗎？請(qǐng)說明理由。
26．如圖所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED平分∠AEC嗎？請(qǐng)說明理由。
27．試說明：菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)到各邊的中點(diǎn)距離相等。

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