資源簡介

《函數》教學設計
湖北省赤壁市教研室　來小靜
一、內容和內容解析
1．內容
變量與常量的概念．
2．內容解析
本課是函數的起始課，函數是刻畫運動變化現象的重要數學模型，要從數學的角度研究變化現象，把握變化規律，首先要關注變化過程中量的變化，這就是變量．有了變量的概念，便為研究成函數關系的兩變量的“運動與對應”關系打下基礎．
本課從四個簡單的實際問題入手，通過分析問題中數值的變與不變，引出變量與常量的概念，而且問題中變量的單值對應關系也為學習函數的定義作了鋪墊．
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：能找出一個變化過程中的變量與常量．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）了解常量、變量的意義；
（2）充分體會運動變化過程中量的變化．
2．目標解析
（1）知道在一個變化過程中，數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量；
（2）體會在一個變化過程中，一個量隨著另一個量的變化而變化，初步體會兩個變量之間的單值對應關系．
三、教學問題診斷分析
變量是學生第一次接觸，對一個運動變化過程中的兩個變量的關系，學生往往只認為是一種確定的數量關系，類似于二元一次方程，沒有用運動與變化的觀點去體會兩個變量之間相互依賴的變化．
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：體會運動變化過程中量的變化．
四、教學過程設計
1．創設情境，觀察思考
引言　
我們生活在一個變化的世界，行星在宇宙中的位置隨時間而變化，氣溫隨海拔而變化，樹高隨樹齡而變化…所謂“萬物皆變”．唯一不變的就是變化本身．我們發現，在各種各樣的變化過程中往往蘊含著量的變化，研究這些量之間的依賴關系是我們把握變化規律的關鍵．
【設計意圖】通過引言教學，提出本節課需要研究的問題，合理地引起學生注意．
2．合作探究，形成概念
問題1 有如下幾個變化過程，請找出各變化過程中的量，并分類：
（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛． 行駛路程為s km/h，行駛時間為t h． 填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？
t/h
1
2
3
4
5
s/km
　
　
　
　
　
（2）電影票的售價為10元/張． 第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元？
（3）用10m長的繩子圍一個矩形．當矩形的一邊長分別為3m,3．5m,4m,4．5m時，它的鄰邊分別為多少？
（4）美麗的水中漣漪圖中，圓形水波紋慢慢地擴大．在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時，圓的面積S分別為多少？
師生活動1　教師與學生一起通過計算填表，并分析問題（1）中出現的三個量，發現其中有些量的數值是變化的，如時間t，路程s；有些量的數值是始終不變的，如速度60km/h．
【設計意圖】在常見的“行程問題”中，引導學生從“變與不變”的角度觀察速度、時間、路程三個量，可以較為自然地引導學生對三個量進行分類．
師生活動2 ?學生繼續分析問題（2）（3）（4）中的量并分類，領會“變量”、“常量”的含義．發現在同一個變化過程中，始終保持不變的量為常量，而數值發生變化的量為變量．
【設計意圖】有前述的示范引導，讓學生自主探究“銷售問題”、“幾何問題”中的常量與變量，通過探索簡單實例中的的數量關系和變化規律，深刻體會變量與常量的含義．
問題2 在上述問題1的四個變化過程中，請思考：
（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛． 行駛路程為s km/h，行駛時間為t h． s的值隨t的值的變化而變化嗎？
（2）電影票的售價為10元/張． 設一場電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？
（3）美麗的水中漣漪圖中，圓形水波紋慢慢地擴大．在這一過程中，設圓的半徑為r，圓的面積S，S的值隨r的值的變化而變化嗎？
（4）用10m長的繩子圍一個矩形．設矩形的一邊長為x，鄰邊長為y，y的值隨x的值的變化而變化嗎？
師生活動? 學生思考并回答．
【設計意圖】從實際問題中抽象出變量，進一步體會常量與變量之間、變量與變量之間的關系，初步體會同一個變化過程中兩個變量之間的依賴關系和對應關系．
3．初步辨析，強化認識
問題3 指出下列問題中的變量和常量：
（1）某市的自來水價為4元/t．現要抽取若干戶居民調查水費支出情況，記某戶月用水量為x t，月應交水費為y元．
（2）某地手機通話費為0．2元/min．李明在手機話費卡中存入30元，記此后他的手機通話時間為t min，話費卡中的余額為w元．
師生活動? 學生通過獨立思考和合作交流，解決問題．
【設計意圖】教師引導學生在2個常見的簡單的實際問題中，通過合理、正確的思維，指出同一問題中的變量和常量．第（3）題仍然沿用圓形水波的問題背景，但討論的角度由圓的面積變為圓的周長，常量為圓周率π，變量為圓的半徑r和周長C．
問題4 ?請根據下列背景構造變化過程中的常量和變量：
（1）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大．
（2）把10本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放）．
師生活動? 學生分組討論，通過合作交流，探索結論．
【設計意圖】本題是在學生認識了變化過程中的常量和變量后，只給出問題背景，讓學生通過思考，在已有知識基礎上構造變量，進一步認識常量與變量．
第（1）題可以記圓的半徑為r，圓周長為C，圓周率（圓周長與直徑之比）為π．
第（2）題可以第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本．
4．簡單應用，鞏固概念
例1 ?指出下列變化過程中的常量和變量：
（1）購買一些單價為0．5元/支的鉛筆，總價y隨購買支數x的變化而變化．
（2）已知三角形底邊長為8cm，高h可任意伸縮，面積S隨高h的變化而變化．
師生活動1? 學生獨立完成．
追問? 你能根據已經學過的知識，給出同一問題中兩個變量之間的數量關系嗎？
【設計意圖】在數學問題中識別常量和變量，并分別用倍數關系和三角形面積公式找出兩個變量之間的數量關系，為后續函數關系作鋪墊．
5．小結
回顧本節課內容，引導學生總結新知：
（1）什么叫變量？什么叫常量？
（2）你認為同一變化過程中的變量之間有聯系嗎？
6．布置作業：舉一組運動變化的例子并指出其變量和常量．
五、目標檢測設計
1．半徑是r的圓的周長為C=2πr，下列說法正確的是(? ???)??????? A．C，r是變量，2π?是常量?????????? B．C是變量，2，r是常量????? ?C． C，r是變量，2，π是常量??????? ?D．C，π是變量，2是常量?
【設計意圖】考查常量與變量的意義．圓的周長C是隨著圓的半徑r的變化而變化的．
2．給定了火車的速度120km/h,要研究火車運行的路程與時間的關系．在這個問題中,常量是_?? ____,變量是________；若給定路程為500km，要研究速度與之間的關系．在這個問題中,常量是______，變量是________．
【設計意圖】考查常量與變量的含義．在同一變化過程中，常量與變量的關系是相對的．
3．分別指出下列各關系式中的常量與變量:?
（1）如果等腰三角形的頂角的度數為α，那么底角的度數β與α之間的關系式為
．
（2）如果某種報紙的單價為a元/份，x表示購買這種報紙的份數，那么購買報紙的總
價y(元)與份數x之間的關系式是y=ax．?
【設計意圖】考查常量與變量的含義．第（1）題中常量是180°，變量是α，β．第（2）題中常量是a，變量是x，y．
《函數》同步測試
湖北省赤壁市教研室　來小靜
一、精心選一選（每小題只有一個正確選項，請把正確選項的字母代號填在題后的括號內）
1． 某人要在規定時間內加工100個零件，對剩余零件個數p與工作時間t之間的關系，下列說法正確的是（??? ）
A．數量100、p、t都是變量???? ?????????? B．數量100和p都是常量??
C．p、t都是常量??????? ???? ???????　　?? D．100、t都是常量?????
考查目的：考查常量和變量的概念．
答案：C．
解析：在同一變化過程中，始終保持不變的是常量，數量變化的是變量．故答案應選擇C．
2． 一根蠟燭原長是a（cm），點燃后燃燒的時間為t（min）,剩余蠟燭的長為y（cm）下列說法正確的是（??? ）
A．常量是a，變量是y、t ???????????B．常量是t，變量是a、y ??
C．常量是y，變量是a、t ???????????D．以上說法都不對
考查目的：考查常量與變量的概念．
答案：A．
解析：蠟燭原長是固定的，所以a是常量，點燃后，燃燒時間越長，剩余蠟燭越短， y隨著t的變化而變化,所以t，y是變量．故答案應選擇A．
3．以固定的速度(米/秒)向上拋一個小球，小球的高度(米)與小球的運動的時間(秒)之間的關系式是，在這個關系式中，常量、變量分別為(??? )
A．4．9是常量，、是變量?? ???????????B．是常量，、是變量
C．、是常量，、是變量? ??　? D．4．9是常量，、、是變量
考查目的：考查常量和變量的概念．
答案：C．
解析：在關系式中，速度和數量是常量，小球的高度(米)隨小球的運動時間(秒)的變化而變化，是變量． 故答案應選擇C．
二、細心填一填（把正確答案直接填在題中橫線上）
4． 齒輪每分鐘120轉，如果表示轉數，表示轉動時間，那么用表示的關系是?????????????? ，其中??? ???????為變量，? ????????????為常量．
考查目的：考查常量與變量的概念．
答案：；；．
解析：齒輪的轉速為轉/分，是固定不變的，所以是常量；轉數隨著時間的變化而變化，所以是變量．
5． 表格列出了一項實驗的統計數據，表示小球從高度（單位m）落下時彈跳高度（單位m）與下落高的關系，據表可以寫出的一個關系式是????????????????? ．
50
80
100
150
25
40
50
75
?
?
?
?
考查目的：考查變量間的關系．在具體問題中，用代數是表示變量間的關系．
答案：．
解析：根據表格數據分析，小球彈跳高度的取值是相應的下落高度的值的一半，故關系式為．
6． 下表是某報紙公布的世界人口數據情況：
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2025
人口數
30億
40億
50億
60億
70億
80億
表中有????? 個變量，其中??????? 隨??????? 的變化而變化，變化趨勢是??????????????????? ．
考查目的：考查常量與變量的概念．
答案：2；人口數；時間；隨著時間的增大，人口數也在增大．
解析：從表中可以看到，人口數隨時間（年份）的變化而變化．變量有兩個．隨著時間的推移，人口數也越來越大．
三、專心解一解（解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
7．某種水果的銷售數量x（千克）與銷售額y（元）的關系如下表所示：
數量x（千克）
1
2
3
4
5
銷售額y（元）
2．1
4．2
6．3
8．4
10．5
（1）上面的表格反映了哪兩個變量之間的關系？
（2）請估計銷售量是15千克時，銷售額是多少元？
考查目的：考查實際背景下常量與變量的概念．
答案：（1）表格反映了銷售數量x（千克）與銷售額y（元）之間的關系；（2）估計銷售15千克時，銷售額是31．5元．
解析：表格第一行是銷售量，第二行是對應的銷售額，用常量和變量的概念可以判斷．根據表中提供的數據，不難發現，銷量與銷售額的數量關系為，將代入式中，可得．
8．已知直線m、n之間的距離是4，的頂點在直線m上，頂點、在直線n上，指出其中的變量和常量,并求的面積s與的邊長x之間的關系式．
考查目的：考查常量與變量的概念及變量間的關系．
答案：常量是4，變量是x、s．面積s與的邊長x之間的關系式為．
解析： 本題以三角形面積為問題背景，考查常量與變量之間的關系．此問題中，三角形的高是定值，當底邊的長變化時，面積s相應變化．根據三角形面積公式得到．

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