資源簡介

《課題學習 選擇方案》教學設計（第1課時）
湖北省咸寧市溫泉中學　黃　娟　廖　文
一、內容和內容解析
1．內容
用函數思想解決方案選擇問題—選擇哪種上網收費方式省錢？
2．內容解析
本課是在學習了函數概念、一次函數有關知識后，通過學生熟悉的寬帶上網收費方式的選擇，讓學生經歷體會費用隨時間的變化關系是一次函數的關系，確定實際數據整理成函數的模型，即建立了數學模型，從而利用函數圖像求數學模型的解，還可以比較幾個一次函數的變化率來解決方案選擇問題，實現利用數學知識解決實際問題的方法． 本課是明確給出多種方案，要求選擇使問題解決最優的一種．
綜上所述，本節課教學的重點是：應用一次函數模型解決方案選擇問題．
二、目標和目標解析
1．目標
（1）會用一次函數知識解決方案選擇問題，體會函數模型思想；
（2）能從不同的角度思考問題，優化解決問題的方法；
（3）能進行解決問題過程的反思，總結解決問題的方法．
2．目標解析
目標（1）要求能根據問題情景建立一次函數模型，并可以比較幾個一次函數的變化率，應用一次函數的性質和圖像解決問題，從而感受到函數模型的應用價值．
目標（2）要求能從不同的角度感知問題中的數量關系，對實際問題中的數量關系既可以用函數的圖像表示，也可以用方程和不等式表示，構建不同的模型，用不同的方法解決問題．
目標（3）要求在解決問題中，能適時調整思路，解決問題后，能對解決問題步驟、程序和方法進行總結提煉．
三、教學問題診斷分析
八年級學生已經學會了用方程和不等式來解決生活中的簡單的實際問題，但是用綜合應用能力有待加強。特別是由于本節內容具有較強的實際背景，分析實際背景中所包含的變量及其對應關系較復雜，分析起來顯的理不清頭緒，易迷失解決問題的方向，時間一長就不愿意去嘗試了．在這方面要給他們創造機會，降低問題的坡度，使他們不難成功，體驗成功的樂趣，激發學習興趣． 本課內容是學生熟悉的寬帶上網收費方式的選擇，如何選擇，用什么方法選擇很重要，特別是如何從數學的角度去分析．
本課教學的難點是：分析實際問題背景中所包含的變量和對應關系建立函數模型，解決實際問題，從而使選擇方案優化．
四、教學過程
1．創設情境，提出問題
做一件事情，有時有不同的實施方案，比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動計劃，是非常必要的。應用數學的知識和方法對各種方案進行比較分析，可以幫助我們清楚地認識各種方案，作出合理的選擇。
問題：你能說說生活中需要選擇方案的例子嗎？
師生活動：學生各抒已見，引出如何選擇上網收費方式的問題
設計意圖：通過這一環節，讓學生體會到選擇方案問題在生活中普遍存在，對各種方案運用數學方法作出分析，理性選擇最佳方案是必要的，具有現實意義。
2．實例分析，規劃思路
在選擇方案時，怎樣從數學角度進行分析，這就涉及變量的問題，常會用到函數． 請看下面問題：
例：怎樣選取上網收費方式？下表給出A、B、C三種上寬帶網的收費方式
收費方式
月使用費/元
包時上網時間/h
超時費/（元．min）
A
30
25
0．05
B
50
50
0．05
C
120
不限時
?
選取哪種方式能節省上網費？
問題1：“選擇哪種方式上網”的依據是什么？
師生活動：學生討論得出需要知道三種方式的上網費分別是多少，費用最少的就是最佳方案．
設計意圖：讓學生明確問題的目標．
問題2：哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？
師生活動：學生討論得出方式A、B會變化；方式C不變．
追問1：方式C上網費是多少錢？
追問2：方式A、B中，上網費由哪些部分組成的？
師生活動：老師引導學生分析得出：
（1）當上網時間不超過規定時間時，上網費用=月使用費；
（2）當上網時間超過規定時間時，上網費用=月使用費+超時費．
追問4：影響方式A、B上網費用的因素是什么？
師生活動：學生獨立思考得出上網時間是影響上網費用的因素．
問題3：你能用適當的方法表示出方式A的上網費用嗎？
師生活動：學生小組討論得出結論．
方式A：當上網時間不超過25h時，上網費＝30元；
當上網時間超過25h時，上網費＝30+超時費
即上網費＝30+0．05×60×（上網時間－25）
追問1：設上網時間為t h，上網費用為y元，你能用數學關系式表達y與t的關系嗎？
師生活動：老師引導，注意時間單位統一，得出結論：當0≤t≤25時，y＝30；
????????? 當t＞25時，y＝30+0．05×60（t－25）即y＝3t－45
故
問題4：類比方式A，你能用數學關系式表示出方式B中上網費用y與上網時間t的關系嗎？
師生活動：學生思考后，小組討論，得出結論，老師適時引導評價．
?????????
設計意圖：讓學生從粗到細的感知問題的整體結構和數量關系，感知上網費用隨上網時間的變化而變化，并把這兩個變量作為研究對象，教師引導學生最終把問題轉化為一次函數問題．
3．建立模型，解決問題
問題4：你能把上面的問題描述為函數問題嗎？
師生活動：學生討論后建立函數模型，把實際問題轉化為函數問題．
設上網時間為t h，方式 A上網費用為元，方式B上網費用為元，方式C上網費用為元，則；；，比較、、的大小．
設計意圖：讓學生在感知問題、分析問題基礎上建立一次函數模型，把實際問題轉化為一次函數的問題．
追問1：用什么方法比較函數、、的大小呢？
師生活動：學生獨立思考． 有的學生會提出用不等式或方程考慮當t滿足什么條件時，＞，＝，＜，分組討論后，學生會發現由于、是分段函數，用不等式比較麻煩，此時教師引導學生借助函數圖象來分析問題．
由函數圖象可知：
（1）當時，函數、的圖像有一個交點，求出此
交點的橫坐標，即＝時， 3t-45=50，解方程，得；
（2）當時，函數的圖像在函數圖像的下方，
即＜時，方式A比方式B省錢；
（3）當時，函數的圖像在函數圖像的上方，即＞，方式B比方式A省錢；
（4）當時，函數、的圖像有一個交點，求出此交點的橫坐標，即
＝時， 3t-100＝120，解方程，得t＝；
（5）當t＞時，函數的圖像在函數圖像的上方，即＞，方式C比方式B省錢．
設計意圖：上述分段函數問題，需要在畫出函數圖象觀察函數圖象的基礎上對上網時間進行分段討論，讓學生感受函數圖象與方程、不等式數形結合的方法．
問題5：上述比較函數值大小結果的實際意義是什么？
師生活動：教師引導學生解釋上述結果的實際意義．
當上網時間不超過31小時40分鐘時，選擇方式 A最省錢；
當上網時間為31小時40分鐘至73小時20分鐘時，選擇方案B最省錢；
當上網時間超過73小時20分鐘時，選擇方案C最省錢．
設計意圖：讓學生解釋函數模型中解的實際意義，從而解決實際問題．
4．小結
用一次函數解決實際問題的基本思路：
（1）明確問題的目標；
（2）發現問題中數量之間的關系；
（3）找出問題中變量之間的函數關系；
（4）函數問題的解的實際意義．
設計意圖：提高學生反思過程的針對性，展示函數的應用價值，突出建立數學模型的思想方法和實際意義．
五、目標檢測設計
如圖，、分別表示一種白熾燈和一種節能燈的費用y元（費用＝燈的售價+電費）與使用時間（小時）的函數圖象，若兩種燈的使用壽命都為2000小時，照明效果一樣．
（1）根據圖象分別求出、的解析式；
（2）當照明時間為多少時，兩種燈的費用相等？
（3）某用戶計劃照明2500小時，現在購買了一個白熾燈和一個節能燈，請你為該用戶設計一個最省錢的用燈方法．
設計意圖：評價學生利用一次函數模型解決方案選擇問題的水平．
《課題學習 選擇方案》同步測試（第1課時）
湖北省咸寧市溫泉中學　石　娟　廖文濤
一、精心選一選(每小題只有一個正確選項，請把正確選項的代號填在題后的括號內)．
1．某地電話撥號入網有兩種收費方式：①計時制：0．05元/分；②包月制：50元/月．此外，每一種上網方式都得加收通信費0．02元/分．某用戶估計一個月上網時間為20小時，你認為采用哪種收費方式較為合算（?? ）．
? A．計時制?????????? B．包月制??????? C．兩種一樣??????? D．不確定
考查目的：應用一次函數模型解決實際問題．
答案：B．
解析：第一種的費用=每分鐘的費用×時間+通信費，第二種的費用=月費+通信費．采用①計時制應付的費用為：元；采用②包月制應付的費用為：元．所以采用包月制．
2．如圖所示，反映了某公司產品的銷售收入與銷售量的關系，反映了該公司產品的銷售成本與銷售量的關系，根據圖象判斷該公司盈利時的銷售量是（???? ）．
A．小于4噸???? B．大于4噸
C．等于4噸 ????D．大于或者等于4噸
考查目的：利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函數圖象橫縱坐標
表示的意義．
答案：B．
解析：橫軸代表銷售量，縱軸代表收入，銷售收入應看L1，銷售成本應看L2．（1）當x=4時，所對應L1的縱坐標為4000，所對應L2的縱坐標也為4000，所以x=4時該公司銷售收入等于銷售成本；（2）當時，L1低于L2高度，所以銷售收入小于銷售成本，即該公司虧本；（3）當時，L1高于L2高度，所以銷售收入大于銷售成本，即該公司盈利．
3．小靜準備到甲或乙商場購買一些商品，兩商場同種商品的標價相同，而各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購買滿一定數額a元后，再購買的商品按原價的90%收費；在乙商場累計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95%收費．若累計購物x元，當x＞a時，在甲商場需付錢數yA=0．9x+10，當x＞50時，在乙商場需付錢數為yB．下列說法：①yB=0．95x+2．5；②a=100；③當累計購物大于50元時，選擇乙商場一定優惠些；④當累計購物超過150元時，選擇甲商場一定優惠些．其中正確的說法是（??? ）．
A．①②③④????? B．①③④????? C．①②④????? D．①②③
考查目的：應用一次函數模型解決實際問題，方案選擇、一次函數與方程或不等式的聯系．
答案：C
解析：根據題中已知條件，求出yB=0．95x+2．5，然后和yA=0．9x+10相比較，從而得出正確結論．①yB=0．95x+50（1-95%）=0．95x+2．5，正確；②根據題意yA=a+（x-a）×90%=0．9x+0．1a=0．9x+10，所以a=100；③當累計購物大于50時上沒封頂，選擇乙商場一定優惠顯然不對；④當yA＜yB時，即0．9x+10＜0．95x+2．5，解之得x＞150．所以當累計購物超過150元時，選擇甲商場一定優惠些．故選C．
二、細心填一填(直接把答案填在題中橫線上)．
4．如圖是甲、乙兩家商店銷售同一種產品的銷售價y（元）與銷售量x（件）之間的函數圖象．下列說法：
①售2件時甲、乙兩家售價一樣；
②買1件時買乙家的合算；
③買3件時買甲家的合算；
④買1件時，售價約為3元，
其中正確的說法有???????? ．（填序號）
考查目的：本題考查一次函數的應用及從圖象上獲取信息的能力．
答案：①②③．
解析：兩條直線相交時，交點坐標同時適合于兩個解析式．然后根據圖象解答即可得出結論．如圖，甲乙在x=2時相交，故售2件時兩家售價一樣，①對；由圖像可知買1件時乙的價格比甲的價格低，②對；買3件時甲的銷售價比乙低，③對；買乙家的1件售價約為1元，④錯．
5．某書定價25元，如果一次購買20本以上，超過20本的部分打八折，試寫出付款金額y（單位：元）與購書數量x（單位：本）之間的函數關系　???????????? ．
考查目的：此題考查了分段函數，理解分段收費的意義，明確每一段購書數量及相應的購書單價是解題的關鍵，要注意x的取值范圍．
答案：y=．
解析：本題采取分段收費，根據20本及以下單價為25元，20本以上，超過20本的部分打八折分別求出付款金額y與購書數x的函數關系式，再進行整理即可得出答案．
根據題意得：
y=，整理得；
則付款金額y（單位：元）與購書數量x（單位：本）之間的函數關系是：y=．
6．梅凱種子公司以一定價格銷售“黃金1號”玉米種子,如果一次購買10千克以上(不含l0千克)的種子，超過l0千克的那部分種子的價格將打折，并依此得到付款金額y(單位：元)與一次購買種子數量x（單位：千克)之間的函數關系如圖所示．下列四種說法：
①一次購買種子數量不超過l0千克時，銷售價格為5元/千克；
②一次購買30千克種子時，付款金額為100元；
③一次購買10千克以上種子時，超過l0千克的那部分種子的價格打五折：
④一次購買40千克種子比分兩次購買且每次購買20千克種子少花25元錢．
其中正確的個數是?????????? ．
考查目的：一次函數的應用．
答案：4個．
解析：因為（1）0≤x≤10時，付款y=5×相應千克數；數量不超過l0千克時，銷售價格為5元/千克；（2）x＞10時，付款y=2．5x+25,超過l0千克的那部分種子的價格為2．5元/千克；所以由（1）0≤x≤10時，付款y=5×相應千克數，得數量不超過l0千克時，銷售價格為5元/千克①是正確；當x=30代入y=2．5x+25得y=100，故②是正確；由（2）x＞10時，付款y=2．5x+25,得每千克2．5元，故③是正確；當x=40代入y=2．5x+25得y=125，當x=20代入y=2．5x+25=75，兩次共150元，兩種相差25元，故④是正確；四個選項都正確．
三、用心做一做(解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)．
7．某辦公用品銷售商店推出兩種優惠方法：①購1個書包，贈送1支水性筆；②購書包和水性筆一律按9折優惠．書包每個定價20元，水性筆每支定價5元．小麗和同學需買4個書包，水性筆若干支（不少于4支）．
（1）分別寫出兩種優惠方法購買費用y（元）與所買水性筆支數x（支）之間的函數關系式；
（2）對的取值情況進行分析，說明按哪種優惠方法購買比較便宜；
（3）小麗和同學需買這種書包4個和水性筆12支，請你設計怎樣購買最經濟．
考查目的：函數建模思想及一次函數與不等式的聯系．
答案：（1），；（2）當x>24整數時，選擇優惠方法②，當x=24時，選擇優惠方法①，②均可，當4≤x<24整數時，選擇優惠方法①；（3）用優惠方法①購買4個書包，獲贈4支水性筆；再用優惠方法②購買8支水性筆．
解析：（1）設按優惠方法①購買需用y1元，按優惠方法②購買需用y2元，
，；
（2）設，即，
∴x>24，
當x>24整數時，選擇優惠方法②；
設，
∴當x=24時，選擇優惠方法①，②均可；
∴當4≤x<24整數時，選擇優惠方法①；
（3）因為需要購買4個書包和12支水性筆，而12<24，
購買方案一：用優惠方法①購買，需5x+60=5×12+60=120元；
購買方案二：采用兩種購買方式，用優惠方法①購買4個書包，需要4×20=80元，同時獲贈4支水性筆；
用優惠方法②購買8支水性筆，需要8×5×90％=36元，共需80+36=116元，顯然116<120，
最佳購買方案是：用優惠方法①購買4個書包，獲贈4支水性筆；再用優惠方法②購買8支水性筆．
8． 在“美麗咸寧，清潔鄉村”活動中，李家村村長提出了兩種購買垃圾桶方案：
方案1：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以后每月的垃圾處理費用250元；
方案2：買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用500元．
設方案1的購買費和每月垃圾處理費共為元，交費時間為個月；方案2的購買費和每月垃圾處理費共為元，交費時間為個月．
（1）直接寫出、與之間的函數關系式；
（2）在同一坐標系內，畫出函數、的圖象；
（3）在垃圾桶使用壽命相同的情況下，哪種方案省錢？
考查目的：一次函數的模型解決實際問題．解題的關鍵是根據題意列出函數關系式，再結合圖象求解．
答案：（1）由題意，得y1=250x+3000，y2=500x+1000；
（2）如圖所示：
（3）由圖象可知：①當使用時間大于8個月時，
直線y1落在直線y2的下方，y1＜y2，即方案1省錢；
②當使用時間小于8個月時，直線y2落在直線y1的
下方，y2＜y1，即方案2省錢；
③當使用時間等于8個月時，y1=y2，即方案1與方案2一樣省錢；
解析：（1）根據總費用=購買垃圾桶的費用+每月的垃圾處理費用×月份數，即可求出y1、y2與x的函數關系式；
（2）根據一次函數的性質，運用兩點法即可畫出函數y1、y2的圖象；
（3）觀察圖象可知：當使用時間大于8個月時，方案1省錢；當使用時間小于8個月時，方案2省錢；當使用時間等于8個月時，方案1與方案2一樣省錢.

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