資源簡介

11.1與三角形有關的線段 ------《三角形的邊》教學設計
湖北省咸寧市咸安區教育局教研室　王格林
一、內容和內容解析
1．內容
三角形中相關元素的概念、按邊分類及三角形的三邊關系．
2．內容解析
三角形是一種最基本的幾何圖形，是認識其他圖形的基礎，在本章中，學好了三角形的有關概念和性質，為進一步學習多邊形的相關內容打好基礎，本節主要介紹與三角形的的概念、按邊分類和三角形三邊關系，使學生對三角形的有關知識有更為深刻的理解．
本節課的教學重點：三角形中的相關概念和三角形三邊關系．
本節課的教學難點：三角形的三邊關系．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）了解三角形中的相關概念，學會用符號語言表示三角形中的對應元素．
（2）理解并且靈活應用三角形三邊關系．
2．教學目標解析
（1）結合具體圖形，識三角形的概念及其基本元素．
（2）會用符號、字母表示三角形中的相關元素，并會按邊對三角形進行分類．
（3）理解三角形兩邊之和大于第三邊這一性質，并會運用這一性質來解決問題．
三、教學問題診斷分析
在探索三角形三邊關系的過程中，讓學生經歷觀察、探究、推理、交流等活動過程，培養學生的和推理能力和合作學習的精神．
四、教學過程設計
1．創設情境，提出問題
問題　回憶生活中的三角形實例，結合你以前對三角形的了解，請你給三角形下一個定義．
師生活動：先讓學生分組討論，然后各小組派代表發言，針對學生下的定義，給出各種圖形反例，如下圖，指出其不完整性，加深學生對三角形概念的理解．
【設計意圖】三角形概念的獲得，要讓學生經歷其描述的過程，借此培養學生的語言表述能力，加深學生對三角形概念的理解．
2．抽象概括，形成概念
動態演示“首尾順次相接”這個的動畫，歸納出三角形的定義．
師生活動：
三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
【設計意圖】讓學生體會由抽象到具體的過程，培養學生的語言表述能力．
補充說明：要求學生學會三角形、三角形的頂點、邊、角的概念以及幾何表達方法．
師生活動：結合具體圖形，教師引導學生分析，讓學生學會由文字語言向幾何語言的過渡．
【設計意圖】進一步加深學生對三角形中相關元素的認知，并進一步熟悉幾何語言在學習中的應用．
3．概念辨析，應用鞏固
如圖，不重復，且不遺漏地識別所有三角形，并用符號語言表示出來．
1．以AB為一邊的三角形有哪些？
2．以∠D為一個內角的三角形有哪些？
3．以E為一個頂點的三角形有哪些？
4．說出ΔBCD的三個角．
師生活動：引導學生從概念出發進行思考，加深學生對三角形中相關元素概念的理解．
4．拓廣延伸，探究分類
我們知道，按照三個內角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，如果要按照邊的大小關系對三角形進行分類，又應該如何分呢？小組之間同學進行交流并說說你們的想法．
師生活動：通過討論，學生類比按角的分類方法按邊對三角形進行分類，接著引出等腰三角形及等邊三角形的概念，引導學生了解等腰三角形與等邊三角形的聯系，強化學生對三角形按邊分類的理解．
三角形按邊分類：
【設計意圖】通過這一活動的設計，提高學生分類討論和歸納概括的能力，加深學生對三角形按邊分類的理解．
5．聯系實際，突破難點
情境引入：如右圖三角形中，假設有一只小蟲要從點B出發沿著三角形的邊爬到點C，它有幾條路線可選擇？各條路線的長一樣嗎？
師生活動：引導學生討論分析，得到兩條路線：
（1）B直接到C即BC；
（2）先由B到A再到C即BA+AC．
顯然，路線（1）中的BC要短一些，即：BC最后，師生共同得到：
BC即三角形的兩邊之和大于第三邊．
【設計意圖】根據“兩點之間線段最短”這一幾何公理，推理出三角形任意兩邊之和大于第三邊，讓學生親歷知識的形成過程，同時加深對 “三角形兩邊之和大于第三邊”的理解．
6．應用鞏固
例　用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？
解：（１）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm．
???????????????????????????? x+2x+2x=18．
解得x＝3.6．
所以，三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm．
（2）因為長為4的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論．
如果4cm長的邊為底邊，設腰長為xcm，
則????????????????????????????????????? 4+2x=18
解得x＝7．
如果4cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，
則????????????????????????????????????? 2×4+x=18
解得x＝10．
因為4+4<10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4的等腰三角形．
由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形．
引導學生通過解決這樣的應用問題，特別是（2）中思想方法，讓學生學會什么情況下要用到分類討論的思想，并通過問題的解答過程加深對三角形三邊關系理解．
【設計意圖】設計有一定綜合性的題目，考查學生的靈活運用知識的能力，培養學生分類討論的數學思想，還能突破難點加深學生對三角形三邊關系的理解，一舉多得．
補充說明：應用三角形的三邊關系時要靈活應變，最簡潔的方法只需判斷兩小邊之和大于最大邊即可組成三角形．
師生活動：結合具體圖形，教師引導學生分析，活學活用．
7．總結反思
教師和學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題．
（1）三角形的定義？三角形的相關元素的概念（邊、頂點、角）？三角形的表示方法．
（2）三角形按邊的分類．
（3）三角形三邊之間的關系．
師生活動：教師引導，學生小結．
【設計意圖】學生共同總結，互相取長補短，再一次突出本節課的學習重難點．
8．布置作業
教科書第8頁第1，2題．
11.1與三角形有關的線段 ------《三角形的邊》同步試題
湖北省咸寧市咸安區教育局教研室　王格林
一、精心選一選（每小題只有一個正確選項，請把正確選項的字母代號填在題后的括號內）
1．如圖中的三角形有（　　）
A．4個???????? B．6個??????? C．8個?????? ??D．10個
考查目的：本題考查學生對三角形概念的掌握．
答案：C．
解析：根據三角形相關概念由不在同一條直線上三條線段首尾順次相連組成的圖形叫三角形．
2．下列說法中正確的個數有（　　）
①三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形
②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形
③等腰三角形中至少有兩邊相等
④等邊三角形是等腰三角形
A．1個???????????????????????? B．2個?????????????????????????? C．3個????????????????????????? D． 4個
考查目的：本題考查學生按不同的標準對三角形進行分類．
答案：①③④是正確的，故選C．
解析：三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，按邊分類可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，而等邊三角形屬于特殊的等腰的三角形．
3．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　　）
A．1 cm ，2cm ， 4cm??????????? 　?　　 　? B．4 cm ， 6 cm ， 8 cm
C．5 cm，??? 6 cm， 12 cm????????　　　????? D．2 cm， 3 cm，? 5 cm
考查目的：本題考查學生對三角形三邊關系的應用．
答案：B．
解析：組成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊．
二、細心填一填（把正確答案直接填在題中橫線上）
4．三條線段a，b，c長度均為整數且a=3，b=5．則以a，b，c為邊的三角形共有________個．
考查目的：本題考查學生對三角形三邊關系的應用，并且按要求找出符合條件的整數的個數．
答案：5．
解析：本題先求出第三邊取值范圍5-3＜c＜5+3，即2＜c＜8，而在這個范圍中的整數有3，4，5，6，7共5個數，所以滿足條件的三角形有5個．
5． 同一平面上有四個點A、B、C、D，用它們作頂點可以組成________幾個三角形．
考查目的：本題重在考察學生對同一平面上A、B、C、D四點的位置關系的分類，突出分類討論的思想．
答案：0個或3個或4個．
解析：同一平面上A、B、C、D四點的位置關系有如下3種，而不在同一條直線上的三點可以作為三角形的三個頂點，組成一個三角形．
?
結合上述分析，可組成如下圖5，6所示的三角形，圖4中四點共線不能組成三角形
所以可組成三角形的個數為：0個或3個或4個．
6．若三角形三邊長為3、2-1、8，求的取值范圍是________．
考查目的：本題考查學生對三角形三邊關系的應用，并結合不等式組求解．
答案：3＜＜6．
解析：把2-1看成第三邊之長，則5＜2-1＜11，解不等式組：
解得3＜＜6．
三、專心解一解（解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
8．已知等腰三角形周長為18 cm，一邊長為7 cm，求另外兩邊之長．
考查目的：本題重在考慮組成三角形應滿足三邊關系的前提下還應突出分類討論的思想．
答案：因為長為7 cm 的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論：
如果7 cm長的邊為底邊，設腰長為x cm，
則? ? 7+2x=18
解得x＝5.5
如果7cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，
則????????????????????????????????????? 2×7+x=18
解得x＝4．
因為5.5+5.5＞7，7+4＞7，都符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以所以這兩種情都能組成等腰三角形．
解析：一邊長為7 cm，這一邊可能為腰，也可能為底，所以要分兩種情況進行討論．
由以上討論可知，該等腰三角形另外兩邊的長為5.5，5.5或4，7．
9．如圖，已知P為△ABC內一點．求證: PA+PB+PC＞(AB+BC+AC) ．
考查目的：本題考查學生結合實際圖形對三角形三邊關系的靈活應用．
證明：在△ABP中有AP+BP＞AB? ，①
在△ACP中有AP+CP＞AC? ，②
在△BCP中有CP+BP＞BC ?，③
把上述三個式子左右兩邊同時分別相加得：
2AP+2BP+2CP＞AB+ AC +BC．
即PA+PB+PC＞(AB+BC+AC) ．
解析：在△ABP中有AP+BP＞AB? ，①
在△ACP中有AP+CP＞AC? ，②
在△BCP中有CP+BP＞BC ?，③
把上述三個式子左右兩邊同時分別相加得即可求證結論．
2014-08-29??人教網

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