資源簡介

《直角三角形全等的判定》教學設計
湖北省通城縣雋水寄宿中學　劉大勇湖北省通城縣雋水寄宿中學　黎　虎
一、內容和內容解析
（一）內容
直角三角形全等的判定：“斜邊、直角邊”．
（二）內容解析
本課是在學習了全等三角形的四個判定方法（“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”）的基礎上，進一步探索兩個直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一類，判定兩個直角三角形全等，可以用已學過的所有全等三角形的判定方法，但兩個直角三角形中已有一對直角是相等的，因此在判定兩個直角三角形全等時，只需另外找到兩個條件即可，由于直角三角形的這種特殊性，判定兩個直角三角形全等的方法又有別于其它的三角形．
教科書首先給出一個“思考”，讓學生認識到判定兩個直角三角形全等與判定兩個普通三角形全等的不同之處．然后通過探究5的作圖實驗操作，讓學生經歷探究滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形是否全等的過程，然后在學生總結探究出的規律的基礎上，直接以定理的方式給出“斜邊、直角邊”判定方法．最后，教科書給出一個例題，讓學生在具體問題中運用“斜邊、直角邊”證明兩個直三角形全等，并得到對應邊相等．
基于以上分析，本節課的重點是：“斜邊、直角邊”判定方法的運用．
二、目標及目標解析
（一）目標
1．理解“斜邊、直角邊”能判定兩個直角三角形全等．
2．能運用“斜邊、直角邊”證明兩個直角三角形全等，并得到對應邊、對應角相等．
（二）目標解析
1．學生經歷探索兩個直角三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程．
2．學生能從具體的問題中找出符合“斜邊、直角邊”條件的兩個直角三角形，并能證明這兩個直角三角形全等．
三、教學問題診斷分析
由于直角三角形是特殊的三角形，它具備一般三角形所沒有的特殊性質．例如，對一般三角形來說，已知兩邊和其中一邊的對角分別相等，不能判定兩個三角形全等，而對于直角三角形來說，已知斜邊和一直角邊分別相等，能夠得到兩個直角三角形全等．
直角三角形的斜邊和一直角邊確定了，根據勾股定理，得到第三邊也是確定的，從而可以利用“邊邊邊”或“邊角邊”證明滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．但是勾股定理是后面學習的內容，在這里不能運用勾股定理來證明這個結論，只能通過實驗操作、觀察得出定理．
基于以上分析本節課的難點是：“斜邊、直角邊”判定方法的理解．
四、教學過程設計
（一）引言
前面我們學習了全等三角形的四個判定方法（“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”），本節課我們繼續研究兩個直角三角形全等的判定方法．
問題1：對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足哪幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？
?
兩個直角三角形滿足的條件
全等依據
方法1
兩條直角邊分別相等
“SAS”
方法2
一個銳角和一條直角邊分別相等
“ASA”或“AAS”
方法3
一個銳角和斜邊分別相等
“AAS”
追問：如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？
師生活動：師生共同得出上面的三個判定方法，學生思考猜想：滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形是否全等．
【設計意圖】直接進入本節課學習的內容，培養學生分類討論的思想．讓學生大膽提出猜想．
（二）探索新知
問題2：探究5
任意畫出一個Rt△ABC，使∠C=90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們全等嗎？
畫法：
（1）畫∠MC′N=90°；
（2）在射線C′M上截取B′C′=BC；
（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交C′N于點A′；
??? （4）連接A′B′．
追問：作圖的結果反映了什么規律?
你能用文字語言和符號語言概括嗎?
文字語言： 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)
符號語言：
在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．
師生活動：師生共同進行尺規作圖，學生進行操作，觀察是否全等．然后教師引導學生得出“斜邊、直角邊”判定方法，掌握文字和符號語言．
【設計意圖】通過作圖、剪圖、比較圖的過程讓學生獲得“斜邊、直角邊”的判定方法， 培養學生發現問題的能力，鍛煉學生用數學語言的能力．
（三）應用新知，解決問題
問題3：例5：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD． 求證：BC=AD
證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠C與∠D都是直角
在Rt△ABC與Rt△BAD′中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC=AD．
追問：若圖中AC，BD相交于點E，圖中還有全等三角形嗎?怎樣證明?
師生活動：學生先口述理由，然后寫出完整的證明過程，教師規范步驟．
【設計意圖】讓學生初步熟悉根據“HL”證明兩個直角三角形全等的一般程序．同時意識到，除了“HL”，前面所學的判定也可以用來證明兩個直角三角形全等．
（四）綜合運用，鞏固提高
問題4：完成教科書第43頁練習1、2題．
1．如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E與路段AB的距離相等嗎?為什么?
答： D，E與路段AB的距離相等．
證明： 由題意可知：DC=EC．
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A與∠B都是直角．
又∵C是路段AB的中點，
∴AC=BC．
在Rt△ACD與Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）．
∴AD=BE．
2．如圖， AB=CD， AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，CE=BF．求證：AE=DF
證明： ∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB與∠DFC都是直角．
又∵CE=BF，
∴BE=CF．
在Rt△ABE與Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
∴AE=DF．
師生活動：學生板演，寫出完整的證明過程，教師點評．
【設計意圖】進一步鞏固“斜邊、直角邊”的應用．
（五）小結反思
教師和學生一起回顧本節課所學的內容，并請學生回答以下問題：
1．這節課我們學習了哪個判定直角三角形全等的方法？
2．判定兩個直角三角形全等總共有哪些方法?
師生活動：教師引導，學生小結．
【設計意圖】回顧兩個直角三角形全等的幾種判定方法，形成知識體系．
（六）布置作業：
教科書習題12．2第7、8題．
五、目標檢測設計
1． 如圖AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求證：AB＝DC．
【設計意圖】本題考查學生尋找“HL”條件證明兩個直角三角形全等，并得到對應邊相等的能力．
2． 如圖DE⊥BD，DE⊥CE，點A在DE上，AB=AC，BD=AE．求證： AB⊥AC．
【設計意圖】本題考查學生尋找“HL”條件證明兩個直角三角形全等，并運用全等三角形的性質，進行分析、解決問題的能力．
《直角三角形全等的判定》同步試題
湖北省通城縣雋水寄宿中學　劉大勇湖北省通城縣雋水寄宿中學　黎　虎
一、精心選一選（每小題只有一個正確選項，請把正確選項的字母代號填在題后的括號內）
1．判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（????? ）
A．兩條直角邊對應相等???? ??B．斜邊和一銳角對應相等．
C．斜邊和一條直角邊對應相等? D． 兩個銳角對應相等．
考查目的：本題考查學生對判定兩個直角三角形全等的所有方法的掌握程度．
答案：D
2．下列說法正確的有(?????? )
A． 兩條邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等．
B． 兩個角及其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形不一定全等．
C． 兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．
D． 有兩條邊分別相等的兩個三角形全等．
考查目的：本題考查三角形全等的判定方法．
答案：C
3．如圖： ∠A＝∠D=90°，BE=CF， ∠C＝∠E，根據這些條件得到△ABC≌△DEF其依據是(???? ) ．
A.????? HL??? ????B． AAS?? ?????C． SAS? ??????D． SSS
考查目的：本題考查學生在具體的問題中選擇適當的判定方法證明兩個直角三角形全等的能力．
答案：B
二、細心填一填（把正確答案直接填在題中橫線上）
4．如圖，△ABC和△ADC中， ∠B＝∠D=90°，AB=AD，則可根據_______，得到△ABC≌△ADC．
考查目的：本題考查學生在具體的圖形中用“HL”證明兩個直角三角形全等的能力．
答案：HL??
5．如圖，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E為AD上的點，則圖中共有______對全等三角形．
考查目的：本題考查學生全面考慮問題的能力．
答案：3
6．在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′=90°，下列條件中能判定兩三角形全等的有_____．
①AC= A′C′，∠A＝∠A′；????? ?②AC= A′C′，AB= A′B′；
③AC= A′B′，BC= B′C′；?? ?????④AB = A′B′， ∠A＝∠A′；
⑤AC= A′C′，BC= B′C′．
考查目的：本題考查學生在具體的圖形中判定兩個直角三角形全等的所有判定方法．
答案：①、②、④、⑤
解析：． “①”、“②”、“④”、“⑤”可分別根據“ASA” 、“HL” 、“AAS”、“SAS”證得Rt△ABC≌Rt△A′B′C′， “③”中的條件AC= A′B′明顯不對應．
三、專心解一解（解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
7．如圖，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，AB=CD，BF=DE．? 求證： AB∥CD．
考查目的：本題考查學生從具體問題中獲取“HL”條件，證明兩個直角三角全等，并綜合運用所學知識解決問題的能力．
證明： ∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB與∠CFD都是直角．
又∵BF=DE，
∴BE=DF．
在Rt△ABE與Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
．∴∠ABE=∠CDF．
∴AB∥CD．
?
8．如圖，△ABC中，∠B=∠C， 點D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，連接AD．
（1）求證： DE=DF;
（2）求證： D是BC的中點．
考查目的：本題考查學生從具體問題中獲取“HL”“ AAS”條件，證明兩個直角三角全等，并運用全等三角形解決相關問題的能力．
（1） 證明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED與∠AFD都是直角．
在Rt△ADE與Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
．∴DE=DF．
?（2） 證明：
∵∠AED與∠AFD都是直角，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴DE=DF．
在△BDE與△CDF中，
∴ △BDE≌ △ CDF（AAS）．
∴BD=CD．
∴D是BC的中點．

展開更多......

收起↑