資源簡介

《角的平分線的性質(zhì)》教學設計
湖北省通城縣雋水寄宿中學　劉大勇湖北省通城縣雋水寄宿中學　龔燕珍
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
角的平分線的性質(zhì)．
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學習了角平分線的概念和全等三角形的基礎上進行的，是全等三角形知識的運用和延續(xù)．用尺規(guī)作一個角的平分線，其作法原理是三角形全等的“邊邊邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)；角的平分線的性質(zhì)證明，運用了三角形全等的“角角邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)．角的平分線的性質(zhì)證明提供了使用角的平分線的一種重要模式──利用角平分線構(gòu)造兩個全等的直角三角形，進而證明相關(guān)元素相應相等．
角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線的基本特征，也是證明兩條線段相等的常用方法．數(shù)學問題中涉及角的平分線時，就相當于已知一對線段（角的平分線上的點到角的兩邊的垂線段）相等．角的平分線的性質(zhì)的研究過程為以后學習線段垂直平分線的性質(zhì)提供了思路和方法． 因此它既是對前面所學知識的應用，又是為后續(xù)學習作鋪墊，具有舉足輕重的作用．因此本節(jié)課在教材中占有非常重要的地位．
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：探索并證明角的平分線的性質(zhì)．　
二、目標和目標解析
（一）目標
1．會用尺規(guī)作一個角的平分線，知道作法的合理性．
2．探索并證明角的平分線的性質(zhì)．
3．能用角的平分線的性質(zhì)解決簡單問題．
（二）目標解析
達成目標1的標志是：學生明確尺規(guī)作圖的基本要求，知道用尺規(guī)作角的平分線的方法與原理，能在教師的引導下用尺規(guī)作出一個已知角的平分線．
達成目標2的標志是：學生能在教師的引導下通過觀察、測量等方法，發(fā)現(xiàn)角的平分線的性質(zhì)，能準確表述性質(zhì)的內(nèi)容，能正確地寫出已知、求證，能運用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性質(zhì)證明角的平分線的性質(zhì)．
達成目標3的標志是：學生能利用角的平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，證明與線段相等有關(guān)的簡單問題．
三、教學問題診斷分析
本節(jié)課的學習中，學生在分清角的平分線的性質(zhì)的條件和結(jié)論，并進行嚴格的邏輯證明的過程中常常感到困難．例如，在用符號語言表述性質(zhì)的條件和結(jié)論時，不知“距離”應為“條件”還是“結(jié)論”．其主要原因是角的平分線的性質(zhì)是以文字命題的形式給出的，其條件和結(jié)論具有一定的隱蔽性．教學時，教師要引導學生分析性質(zhì)中的條件和結(jié)論（必要時可讓學生將性質(zhì)改寫成“如果……那么……”的形式），找出結(jié)論中的隱含條件（垂直），正確寫出已知和求證，并歸納出證明幾何命題的一般步驟．
基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：證明以文字命題形式給出的角的平分線的性質(zhì)．
四、教學過程設計
（一）創(chuàng)設情景，提出問題
如圖是小明制作的風箏，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線，你知道其中的道理嗎？
師生活動：學生根據(jù)三角形全等的知識口述其中的道理，從而引入新課．
?
（二）合作探究，形成知識
問題1： 在練習本上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？
師生活動：學生可能用量角器，也可能用折紙的方法動手操作，然后回答問題．
追問1：你能評價這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？
師生活動：學生分析并回答──利用量角器比較方便，但是有誤差；利用折疊的方法比較簡捷，但是只限于可以折疊的材質(zhì)，若在木板、鋼板等材料上操作，此方法就不可行了．
追問2：下圖是一個平分角的儀器，其中AB =AD，BC =DC，將點A 放在角的頂點，AB 和AD 沿著角的兩邊放下，沿AC 畫一條射線AE，射線AE 就是∠DAB 的平分線．你能說明它的道理嗎？
師生活動：教師啟發(fā)學生將實際問題抽象為數(shù)學模型，并運用全等三角形的知識解釋平分角的儀器的工作原理．
追問3：從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？
師生活動：師生分別在黑板和練習本上利用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線．教師與學生共同歸納，得出利用尺規(guī)作角的平分線的具本方法．
如果學生沒有思路，教師可作如下提示：
1．在用平分角的儀器畫角的平分線時，把儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等（AB=CD），怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？
2．在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？
追問4：你能說明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎？
師生活動：學生用三角形全等進行證明，明確作圖的理論依據(jù)．
【設計意圖】讓學生運用全等三角形的知識解釋平分角的儀器的工作原理，體會數(shù)學的應用價值，同時從中獲得啟發(fā)，用尺規(guī)作角的平分線，增強作圖技能．最后讓學生在簡單推理的過程中體會作法的合理性．
問題2 利用尺規(guī)我們可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？首先思考下面的問題：
1．操作測量：任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE ⊥OB，點D、E為垂足，測量PD、PE的長．將三次數(shù)據(jù)填入下表：
?　　　　　　　　　　　　　　
2．觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________
3．通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？
師生活動：學生動手操作，獨立思考，然后匯報自己的發(fā)現(xiàn)．學生互相補充，教師指導，一起猜想出角的平分線的性質(zhì)．
追問1：通過動手實驗、觀察比較，我們猜想“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？
1．明確命題中的已知和求證．已知：一個點在一個角的平分線上．結(jié)論：這個點到這個角兩邊的距離相等．
2．根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證．
已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E．
求證：PD=PE．
3．經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．
證明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定義)
在△PDO和△PEO中
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的對應邊相等）
符號語言：
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E，
∴ PD=PE．
師生活動：教師首先引導學生分析命題的條件和結(jié)論．如果學生感到困難，可以讓學生將命題改寫成“如果……那么……”的形式，然后引導學生逐字分析結(jié)論，進而發(fā)現(xiàn)并找出結(jié)論中的隱含條件（垂直）．最后讓學生畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證，并獨立完成證明過程．
追問2：由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？
師生活動：師生共同概括證明幾何命題的一般步聚：
1．明確命題中的已知和求證．
2．根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證．
3．經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．
追問3：角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？
師生活動：學生回答，角的平分線的性質(zhì)的作用主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等．
【設計意圖】讓學生通過實踐發(fā)現(xiàn)、分析概括、推理證明角的平分線的性質(zhì)，體會研究幾何問題的基本思路．以角的平分線的性質(zhì)的證明為例，讓學生概括證明幾何命題的一般步聚，發(fā)展他們的歸納概括能力．而反思性質(zhì)，可以讓學生進一步體會到證明兩條線段相等時利用角的平分線的性質(zhì)比先證兩個三角形全等更簡捷．
（三）鞏固提高
1．下列結(jié)論一定成立的是 （??????? ）
A．如圖1，OC 平分∠AOB，點P 在OC 上，D，E 分 別為OA，OB 上的點，則PD =PE．
B．如圖2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E，則PD＝PE ．
C．如圖3，OC 平分∠AOB，點P 在OC 上，PD⊥OA，垂足為D．若PD =3，則點P 到OB 的距離為3．
?
圖1??????????????????? 圖2?????????????????? 圖3
2．如圖4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分線， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB =FC．
圖4
師生活動：學生先獨立思考，然后小組交流 ，派代表回答，教師適時點撥，并板演證明過程．
【設計意圖】通過有梯度的訓練，提高學生運用角的平分線的性質(zhì)解決問題的能力．
（四）小結(jié)
教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：
1．本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容？
2．本節(jié)課是通過什么方式探究角的平分線的性質(zhì)的？
3．角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？在應用這一性質(zhì)時要注意哪些問題？
【設計意圖】引導學生從知識內(nèi)容和學習過程兩個方面總結(jié)自己的收獲，并建立知識之間的聯(lián)系．
（五）布置作業(yè)
作業(yè)：教科書習題12．3第4、5題．
五、目標檢測設計
1．如圖，D是的∠BAC平分線上的一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列結(jié)論中不正確的是（??? ）
A．DE=DF ???????B．AE=AF ??????C．△ADE≌△ADF????? D．AD=DE+DF
2．如圖，AE是∠BAC的角平分線，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一點．．求證：BD=CD
《角的平分線的性質(zhì)》同步試題
湖北省通城縣雋水寄宿中學　劉大勇湖北省通城縣雋水寄宿中學　龔燕珍
一、精心選一選（每小題只有一個正確選項，請把正確選項的字母代號填在題后的括號內(nèi)）
1．下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點P到角的邊上的距離的是（???? ）
A?????????????????????? B
考查目的：本題考查學生對于點到直線的距離的理解．
答案：A．
解析：根據(jù)點到直線的距離的概念．
2．如圖，P是∠AOB的平分線上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論不一定成立的是（???? ）
A．∠AOP=∠BOP???????? B．PE=PD
C．∠OPD=∠OPE???????? D．OP=PD+PE
考查目的：本題綜合考查學生對于角平分線的概念、角平分線的性質(zhì)以及三角形全等的知識的掌握情況．
答案：D．
解析：A答案是成立的，根據(jù)角平分線的概念;B答案是成立的，根據(jù)角平分線的性質(zhì)；C答案是成立的，根據(jù)三角形全等的對應角相等．
3．下面四個圖中，點P都在∠AOB的平分線上，則（???? ）中PD＝PE．
?
考查目的 ：本題考查學生對角平分線性質(zhì)定理的理解．
答案：D．
A
?
解析：A、B、C都沒有正確地標出點P到OA，OB的距離．???????? ??????????????????????????
二、細心填一填（把正確答案直接填在題中橫線上）
4．如圖1，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=_____cm．
?
?
?
?
圖1
考查目的：本題考查學生對角平分線的性質(zhì)的掌握情況．
答案：4．
解析：角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
5．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，則點D到AB的距離為 _____cm．
?
?
?
?
?
??????????????????????????????? ? 圖2?????????????????????????????????
考查目的：本題考查學生對角平分線的性質(zhì)的掌握情況
答案：3
解析：角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
6．如圖3，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為點E，AC=8cm， 則AD+DE=??? cm．?
考查目的：本題考查學生對角平分線的性質(zhì)的掌握情況．
答案：8．
解析：角平線上的點到角兩邊的距離相等，因此CD=DE，AD+DE=AD+CD=AC=8cm．
????? 圖3
三、專心解一解（解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）
7．如圖4，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F(xiàn)在BC上，AD=DF
求證：CF=EA
圖4
考查目的：本題主要學生對考查角平分線的性質(zhì)以及三角形全等等知識的綜合運用．
解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：CD=DE．根據(jù)“HL”即CD=DE，AD=DF，可判定Rt△CDF≌Rt△EDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知CF=EA．
∵∠C＝90°， DE⊥AB，BD平分∠ABC
∴CD=DE ．
在Rt△CDF和Rt△EDA中，
?? ∴Rt△CDF≌Rt△EDA ．
∴CF=EA．
?8．如圖5，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC，求證：BE=CF．
圖5
考查目的：本題主要考查學生運用角平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法解決問題的能力．
證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC．
∴DE=DF．
∴∠DEB=∠DFC=90°．
在Rt△EBD與Rt△FCD中．
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴BE=CF．

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