資源簡(jiǎn)介

5.2　三角函數(shù)的概念
5.2.1　三角函數(shù)的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.結(jié)合單位圓理解三角函數(shù)的定義,會(huì)用定義求給定角的三角函數(shù)值.
　　2.根據(jù)任意角終邊所在象限的位置,會(huì)判斷任意角三角函數(shù)值的符號(hào).
　　3.掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式一并會(huì)應(yīng)用.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　三角函數(shù)的定義
1.如圖5-2-1所示,設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).
(1)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)　　　　叫作α的正弦函數(shù),記作sin α,即　　　　;
(2)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)　　　　叫作α的余弦函數(shù),記作cos α,即　　　　;
(3)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值　　　　叫作α的正切,記作tan α,即　　　　　　.
將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).
圖5-2-1
2.三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù) 解析式 定義域
正弦函數(shù) y=sin x 　　　
余弦函數(shù) y=cos x 　　　
正切函數(shù) y=tan x 　　　　　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)sin α,cos α,tan α的大小與點(diǎn)P(x,y)在角α的終邊上的位置有關(guān). (　 )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其終邊與單位圓的交點(diǎn),則cos α=-x. (　 )
(3)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.(　 )
2.如圖5-2-2,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r,你能求出sin α,cos α,tan α嗎 試試看.
圖5-2-2
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
1.圖示:
圖5-2-3
圖5-2-4
圖5-2-5
2.口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)已知α是三角形的內(nèi)角,則必有sin α>0,cos α≥0. (　 )
(2)若sin α·cos α>0,則角α為第一象限角.(　 )
(3)已知sin α=,cos α=-,則角α是第二象限角. (　 )
(4)已知α是第四象限角,設(shè)sin α·cos α=m,則m的符號(hào)不確定. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　公式一
終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值　　　　,即sin(α+k·2π)=　　　　,cos(α+k·2π)=　　　　, tan(α+k·2π)=　　　　,其中k∈Z.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)已知sin 5.1°=m,則sin 365.1°=m. (　 )
(2)tan=. (　 )
(3)若cos α=cos β,則α=β. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　求任意角的三角函數(shù)值
例1 (1)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則sin αtan α=　　　　.
(2)利用定義求的正弦、余弦和正切值.
變式 (1)若角α的終邊在直線y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,求sin α,cos α,tan α的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值有以下幾種情況:
(1)若已知角,則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求出各三角函數(shù)值.
(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(x≠0)是單位圓上一點(diǎn),則sin α=y,cos α=x,tan α=.
(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(x≠0)不是單位圓上一點(diǎn),則先求r=,再求sin α=,cos α=,tan α=.
(4)若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù),則要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.
◆ 探究點(diǎn)二　判斷三角函數(shù)值的符號(hào)
例2 (1)(多選題)下列選項(xiàng)中,符號(hào)為負(fù)的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.sin(-100°) B.cos(-220°)
C.tan 10 D.cos π
(2)[2022·西工大附中高一月考] 若α是第四象限角,則點(diǎn)P在 (　 )
A.第四象限 B.第三象限
C.第三或第四象限 D.第一或第二象限
變式 (1)若sin α·tan α<0,且<0,則角α是 (　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為始邊,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,m)(m<0),則下列各式的值一定為負(fù)的是(　 )
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin α·cos α D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的攻略:
(1)基礎(chǔ):準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限;
(2)關(guān)鍵:準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)值在各象限的符號(hào);
(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫(xiě)單位,不要誤認(rèn)為角度,導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.
◆ 探究點(diǎn)三　 求三角函數(shù)的定義域
例3 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=sin x+tan x;
(2)y=.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)解題時(shí)要注意函數(shù)本身的隱含條件.
(2)求三角函數(shù)的定義域,應(yīng)熟悉各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),并要注意各三角函數(shù)的定義域,一般用弧度制表示.
◆ 探究點(diǎn)四　公式一的應(yīng)用
例4 (1)sin 405°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.
C. D.-
(2)cos = (　 )
A.- B.-
C. D.
(3)sin 810°+tan 1125°+cos 420°=　　　　.
(4)a2sin (-1350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos (-1080°)=　　　　.
變式 計(jì)算:(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sincos +tancos.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟:
(1)定形:將已知的任意角寫(xiě)成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)轉(zhuǎn)化:根據(jù)公式一,轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值.
(3)求值:若角α為特殊角,則可直接求出該角的三角函數(shù)值(需熟記特殊角的三角函數(shù)值).5.2　三角函數(shù)的概念
5.2.1　三角函數(shù)的概念
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.(1)y　y=sin α　(2)x　x=cos α
(3)　=tan α(x≠0)
2.R　R　
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.解:如圖,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x0,y0),分別過(guò)點(diǎn)P,P0作x軸的垂線PM,P0M0,垂足分別為M,M0,則|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|.易知△OMP∽△OM0P0,∴=,即|y0|=,∵y0與y同號(hào),∴y0=,即sin α=.同理可得cos α=,tan α=.
知識(shí)點(diǎn)二
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴m<0.
知識(shí)點(diǎn)三
相等　sin α　cos α 　tan α
診斷分析
(1)√ 　(2)×　(3)×　[解析] (1)sin 365.1°=sin(360°+5.1°)=sin 5.1°=m.
(2)tan=tan=tan=.
(3)若cos α=cos β,則α=β+2kπ,k∈Z或α=-β+2kπ,k∈Z.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)-　[解析] (1)∵角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,∴+y2=1,即y2=,∴y=或y=-.當(dāng)y=時(shí),sin α=,tan α=-,則sin αtan α=×(-)=-;當(dāng)y=-時(shí),sin α=-,tan α=,則sin αtan α=-×=-.綜上可得,sin αtan α=-.
(2)解:如圖所示,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸交x軸于點(diǎn)B.在Rt△OPB中,|OP|=1,∠POB=,則|PB|=,|OB|=,∴P,
故sin =,cos =-,tan==-.
變式　解:(1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).分兩種情況討論:①當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí),在角α的終邊上取一點(diǎn)P(1,2),
則由|OP|==,得sin α==,cos α==,tan α==2;
②當(dāng)角α的終邊在第三象限時(shí),在角α的終邊上取一點(diǎn)Q(-1,-2),
則由|OQ|==,得sin α==-,cos α==-,tan α==2.
(2)∵θ∈,∴cos θ<0,
∴|OP|==-5cos θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),
∴sin α==-,cos α==,tan α==-.
探究點(diǎn)二
例2　(1)ABD　(2)C　[解析] (1)-100°角是第三象限角,故sin(-100°)<0;-220°角是第二象限角,故cos(-220°)<0;∵10∈,∴10是第三象限角,故tan 10>0;cos π=-1<0.故選ABD.
(2)因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?所以2kπ-<α<2kπ,k∈Z,則kπ-<0,tan <0,所以點(diǎn)P在第四象限.綜上可得,點(diǎn)P在第三或第四象限.故選C.
變式　(1)C　(2)BCD　[解析] (1)由sin α·tan α<0,可知sin α,tan α異號(hào),從而α是第二或第三象限角.由<0 可知cos α,tan α異號(hào),從而α是第三或第四象限角.綜上可知,α是第三象限角,故選C.
(2)由題意可得sin α<0,cos α>0,故sin α+cos α的符號(hào)不確定, A錯(cuò)誤;sin α-cos α<0,B正確;sin α·cos α<0,C正確;<0,D正確.故選BCD.
探究點(diǎn)三
例3　解: (1)要使函數(shù)有意義, 必須使sin x 與tan x 都有意義,
所以所以函數(shù)y=sin x+tan x的定義域?yàn)?
(2)要使函數(shù)有意義,必須使tan x 有意義,且tan x≠0,所以(k∈Z),
所以函數(shù)y= 的定義域?yàn)?
探究點(diǎn)四
例4　(1)B　(2)C　(3)　(4)0　[解析] (1)sin 405°=sin(360°+45°)=sin 45°=.故選B.
(2)cos =cos =cos =.故選C.
(3)原式=sin (2×360°+90°)+tan (3×360°+45°)+cos (360°+60°)=sin 90°+tan 45°+cos 60°=1+1+=.
(4)原式=a2sin (-4×360°+90°)+b2tan (360°+45°)-(a-b)2tan (2×360°+45°)-2ab·cos (-3×360°)=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
變式　解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2) 原式=sincos+tan cos=sin cos +tancos=×+1×=.

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