資源簡介

5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象
【學習目標】
　　1.能根據定義畫出正弦函數的圖象,并能根據余弦函數與正弦函數的關系畫出余弦函數的圖象.
　　2.會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數在一個周期內的簡圖.
　　3.能利用正弦函數、余弦函數的圖象解決簡單問題.
◆ 知識點一　正弦函數、余弦函數的圖象
1.正弦函數、余弦函數的圖象
圖5-4-1
2.正弦函數y=sin x,x∈R的圖象和余弦函數y=cos x,x∈R的圖象分別叫作　　　　曲線和　　　　曲線.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)正弦函數y=sin x,x∈R的圖象在[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上形狀相同,只是位置不同. (　 )
(2)正弦函數y=sin x,x∈R的圖象介于直線y=1與直線y=-1之間. (　 )
(3)余弦函數y=cos x,x∈R的圖象關于x軸對稱. (　 )
◆ 知識點二　五點(畫圖)法
1.正弦曲線在區間[0,2π]上起關鍵作用的五個點分別為　　　　,,　　　　,,　　　　.
2.余弦曲線在區間[0,2π]上起關鍵作用的五個點分別為　　　　,,　　　　,,　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)用“五點法”畫y=sin x,x∈[0,2π]的圖象時,點不是關鍵點. (　 )
(2)函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象最高點的坐標為(0,1)與(2π,1). (　 )
◆ 探究點一　利用“五點法”作圖
例1 利用“五點法”作出函數y=sin x-1,x∈[0,2π] 的簡圖.
變式 利用“五點法”作出函數y=1+cos x,x∈[0,2π]的簡圖.
[素養小結]
“五點法”作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的圖象時,其步驟如下:
(1)列表:取x=0,,π,,2π.
(2)描點:將表中所對應的點(x,y)標在坐標平面內.
(3)連線:用平滑的曲線將所描的點連接起來.
在連線過程中要注意曲線的“凸性”.
◆ 探究點二　利用平移變換和對稱變換作圖
例2 利用圖象變換作出下列函數的圖象:
(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];
(2)y=|sin x|,x∈[0,4π].
變式 關于三角函數的圖象,有下列說法:
①y=sin|x|與y=|sin x|的圖象相同;
②y=sin|x|與y=sin x的圖象關于y軸對稱;
③y=cos(-x)與y=cos|x|的圖象相同;
④y=sin與y=cos x的圖象相同.
其中正確說法的序號是　　　　　.
[素養小結]
(1)函數y=f(x+h)的圖象可由y=f(x)的圖象向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|個單位長度得到,函數y=f(x)+k的圖象可由y=f(x)的圖象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位長度得到.
(2)函數y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于y軸對稱,y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關于x軸對稱,y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于原點對稱,y=f(|x|)的圖象關于y軸對稱.
◆ 探究點三　正、余弦函數圖象的應用
角度一　解有關三角不等式
例3 利用正弦曲線求滿足sin x≥的x的取值集合.
變式 函數y=的定義域為　　　　　　　　.
[素養小結]
用三角函數圖象解三角不等式的方法:
(1)作出相應正弦函數或余弦函數在[0,2π]上的圖象;
(2)求不等式在區間[0,2π]上的解;
(3)根據公式一寫出不等式的解集.
角度二　利用三角函數圖象確定方程的根的個數
例4 若函數f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點,求k的取值范圍.
變式 若cos x=2m-1(x∈R)有解,則m的取值范圍是　　　　. 5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象
【課前預習】
知識點一
2.正弦　余弦
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×
知識點二
1.(0,0)　(π,0)　(2π,0)
2.(0,1)　(π,-1)　(2π,1)
診斷分析
(1)√　(2)√
【課中探究】
探究點一
例1　解:按五個關鍵點列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
sin x-1 -1 0 -1 -2 -1
描點并將它們用光滑的曲線連接起來,如圖所示.
變式　解:按五個關鍵點列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1+cos x 2 1 0 1 2
描點并將它們用光滑的曲線連接起來,如圖所示.
探究點二
例2　解:(1)首先用“五點法”作出函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象,再作出y=cos x,x∈[0,2π]的圖象關于x軸對稱的圖象,即y=-cos x,x∈[0,2π]的圖象,將y=-cos x,x∈[0,2π]的圖象向上平移1個單位長度即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的圖象,如圖所示.
(2)首先用“五點法”作出函數y=sin x,x∈[0,4π]的圖象,再將該圖象在x軸下方的部分翻折到x軸的上方,并且保留x軸上方的部分,即得到y=|sin x|,x∈[0,4π]的圖象,如圖所示.
變式?、邰堋解析] 畫出函數y=sin|x|,y=|sin x|,y=sin x的簡圖(圖略),由圖知,①②錯誤.由誘導公式知,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,所以③正確.因為y=sin=cos x,所以④正確.故填③④.
探究點三
例3　解:作出函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象與直線y=,如圖所示.根據特殊角的正弦值可知,函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象與直線y=的交點的橫坐標為和,由圖可知滿足條件的x的取值集合為,k∈Z.
變式　,k∈Z　[解析] 要使函數有意義,則需2cos x-≥0,即cos x≥.作出函數y=cos x,x∈[-π,π]的圖象與直線y=,如圖所示.根據特殊角的余弦值,可知函數y=cos x,x∈[-π,π]的圖象與直線y=的交點的橫坐標為-和,由圖可知函數的定義域為,k∈Z.
例4　解:作出函數f(x)=的簡圖如圖所示,由圖易知1變式　[0,1]　[解析] 由余弦函數的圖象得-1≤cos x≤1,∴-1≤2m-1≤1,解得0≤m≤1,∴m的取值范圍是[0,1].

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