資源簡介

5.4.2　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質
第1課時　周期性與奇偶性
【學習目標】
　　1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的意義.
　　2.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期.
　　3.掌握y=sin x,y=cos x的奇偶性,會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.
◆ 知識點一　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性
1.周期函數(shù)與周期
一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個　　　　常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且　　　　=f(x) ,那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù).非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期.
2.最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的　　　　,那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.
3.兩種特殊的周期函數(shù)
(1)正弦函數(shù)y=sin x是周期函數(shù),　　　　　　　　　　都是它的周期,最小正周期是　　　　.
(2)余弦函數(shù)y=cos x是周期函數(shù),　　　　　　　　都是它的周期,最小正周期是　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果T是y=f(x)的一個周期,那么kT(k∈N)也是它的周期. (　 )
(2)所有的周期函數(shù)都有最小正周期. (　 )
(3)因為sin(2x+2π)=sin 2x,所以函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為2π. (　 )
◆ 知識點二　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與
對稱性
1.正弦曲線關于　　　　　　對稱,正弦函數(shù)y=sin x是　　　　函數(shù).
2.余弦曲線關于　　　　對稱,余弦函數(shù)y=cos x是　　　　函數(shù).
3.正、余弦曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.
函數(shù) y=sin x y=cos x
圖象
對稱性 對稱軸:　　　　　 對稱中心:　　　　 對稱軸:　　　　　 對稱中心:　　　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=sin x,x∈(-π,π]是奇函數(shù). (　 )
(2)函數(shù)f(x)=sin 2x是奇函數(shù). (　 )
(3)函數(shù)f(x)=sin是偶函數(shù). (　 )
2.已知函數(shù)f(x)=cos,則其圖象的對稱中心的坐標是　　　　　　　　,對稱軸方程是　　　　　　　　.
◆ 探究點一　三角函數(shù)的周期性
例1 求下列函數(shù)的最小正周期,其中x∈R.
(1)f(x)=2sin x;
(2)f(x)=cos 4x;
(3)f(x)=2sin;
(4)f(x)=|sin x|.
變式 (1)下列函數(shù)中,最小正周期為的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y=sin D.y=sin 4x
(2)(多選題)下列函數(shù)中,是周期函數(shù)的為 (　 )
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=sin|x+1| D.y=cos x-1
(3)設f(n)=cos,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)= (　 )
A.- B.-
C.0 D.
[素養(yǎng)小結]
求函數(shù)周期的方法:
(1)定義法.緊扣周期函數(shù)的定義.
(2)公式法.對形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù),且A≠0,ω>0)的函數(shù),可利用T=來求函數(shù)的最小正周期.
(3)圖象法.可畫出函數(shù)的圖象,借助于圖象判斷函數(shù)的周期,特別是對于含絕對值的函數(shù)一般采用此法.
◆ 探究點二　三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)=sin 2x;
(2)f(x)=sin;
(3)f(x)=xcos(π+x).
變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1) f(x)=sin;
(2)f(x)=cos+x2sin x;
(3)f(x)=.
例3 求下列函數(shù)的圖象的對稱軸和對稱中心.
(1)f(x)=sin;
(2)f(x)=2cos+1.
變式 (1)函數(shù)y=2cos的圖象在y軸右側且距y軸最近的對稱軸方程為 (　 )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
(2)[2023·山東歷城二中高一月考] 函數(shù)y=2sin 3x+1的圖象的對稱中心為　　　　.
[素養(yǎng)小結]
(1)與三角函數(shù)相關的奇偶性問題,往往需要先利用誘導公式化簡,再判斷函數(shù)的奇偶性.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性時要注意:函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提.
◆ 探究點三　三角函數(shù)的奇偶性與周期性的
綜合應用
例4 (1)函數(shù)y=2sin是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.最小正周期為π的奇函數(shù)
B.最小正周期為π的偶函數(shù)
C.最小正周期為2π的奇函數(shù)
D.最小正周期為2π的偶函數(shù)
(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且f=-f(x),f=1,則f=　　　　.
變式 (1)已知f(x)是定義在R上,且周期為π的奇函數(shù),當x∈時,f(x)=sin x,則f+f+f= (　 )
A.0 B.1
C. D.1+
(2)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)為偶函數(shù),其中ω>0,0<φ<π,若此函數(shù)的最小正周期為π,則cos=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
1.解決三角函數(shù)的奇偶性與周期性綜合問題的方法:利用函數(shù)的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函數(shù)值轉化為x的函數(shù)值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數(shù)值的關系,從而可解決求值問題.
2.推得函數(shù)周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x),則函數(shù)周期為t;
(2)若f(x+t)=-f(x),則函數(shù)周期為2t;
(3)若f(x+t)=(f(x)≠0),則函數(shù)周期為2t;
(4)若f(x+t)=-(f(x)≠0),則函數(shù)周期為2t.5.4.2　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質
第1課時　周期性與奇偶性
【課前預習】
知識點一
1.非零　f(x+T)　2.正數(shù)
3.(1)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π　(2)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)當k=0時,kT不是y=f(x)的周期.
(2)如f(x)=c(c為常數(shù),x∈R),所有的非零實數(shù)T都是它的周期,不存在最小正周期.
(3)因為sin 2x=sin(2x+2π)=sin[2(x+π)],所以函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為π.
知識點二
1.原點O　奇　2.y軸　偶
3.x=kπ+(k∈Z)　(kπ,0)(k∈Z)　x=kπ(k∈Z)
(k∈Z)
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)函數(shù)y=sin x,x∈(-π,π]不具有奇偶性.
2.,k∈Z　x=2kπ-,k∈Z　[解析] 令+=kπ+,k∈Z,得x=2kπ+,k∈Z,故f(x)圖象的對稱中心的坐標是,k∈Z.令 +=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,故f(x)圖象的對稱軸方程是x=2kπ-,k∈Z.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)∵f(x+2π)=2sin(x+2π)=2sin x=f(x),
∴由周期函數(shù)的定義知,f(x)=2sin x的最小正周期為2π.
(2)方法一:∵f=cos 4=cos(4x+2π)=cos 4x=f(x),
∴由周期函數(shù)的定義知,f(x)=cos 4x的最小正周期為.
方法二(公式法):最小正周期T==.
(3)方法一(定義法):令z=x-,
由x∈R得z∈R,且y=2sin z的最小正周期為2π,
即2sin(z+2π)=2sin z,
即2sin=2sin,
故2sin=2sin.
由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的最小正周期為6π.
方法二(公式法):最小正周期T==6π.
(4)方法一(圖象法):作出f(x)=|sin x|的部分圖象,由圖可知f(x)=|sin x|的最小正周期為π.
方法二(定義法):∵f(x+π)=|sin(x+π)|= |-sin x|=|sin x|=f(x),∴由周期函數(shù)的定義可知,f(x)=|sin x|的最小正周期為π.
變式　(1)D　(2)BD　(3)B　[解析] (1)函數(shù)y=sin 4x的最小正周期T==,故選D.
(2)對于A,y=sin|x|的圖象如圖所示,由圖可知y=sin|x|不是周期函數(shù),故A不符合題意;對于B,y=cos|x|=cos x,因為y=cos x是周期函數(shù),所以y=cos|x|是周期函數(shù),故B符合題意;對于C,y=sin|x+1|的圖象是由非周期函數(shù)y=sin|x|的圖象向左平移1個單位長度得到的,所以y=sin|x+1|不是周期函數(shù),故C不符合題意;對于D,y=cos x-1的圖象是由周期函數(shù)y=cos x的圖象向下平移1個單位長度得到的,所以y=cos x-1是周期函數(shù),故D符合題意.故選BD.
(3)由題知,f(n)=cos的最小正周期T=4,且f(1)=cos=cos=-,f(2)=cos=-cos =-,f(3)=cos=sin=,f(4)=cos=cos=,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=505×0+=-.故選B.
探究點二
例2　解:(1)f(x)=sin 2x的定義域為R,
因為f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),
所以f(x)為奇函數(shù).
(2)f(x)=sin=-cos的定義域為R,
因為f(-x)=-cos=-cos=f(x),
所以f(x)為偶函數(shù).
(3)f(x)=xcos(π+x)=-xcos x的定義域為R,
因為f(-x)=xcos(-x)=xcos x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).
變式　解:(1)f(x)=sin=cosx,f(x)的定義域為R,∵f(-x)=cos=cosx=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).
(2)f(x)=cos+x2sin x=sin 2x+x2sin x,f(x)的定義域為R,∵f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-(sin 2x+x2sin x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
(3)由題知1+sin x≠0,∴函數(shù)的定義域為.
∵函數(shù)的定義域不關于原點對稱,∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
例3　解:(1)令2x+=+kπ,k∈Z,
解得x=+,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為,k∈Z.
(2)令-=kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=2kπ+,k∈Z.
令-=+kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為,k∈Z.
變式　(1)C　(2),k∈Z　[解析] (1)由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,則當k=0時,x=,為所求對稱軸方程.故選C.
(2)令3x=kπ,k∈Z,可得x=,k∈Z,∴函數(shù)y=2sin 3x+1的圖象的對稱中心為,k∈Z.
探究點三
例4　(1)B　(2) 1　[解析] (1)設f(x)=2sin=2cos 2x,則f(x)的定義域為R,且f(x)的最小正周期T==π,又因為f(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).故選B.
(2)∵f=-f(x),∴f(x+π)=-f=f(x),即π是函數(shù)f(x)的一個周期,∴f=f=f=f=1.
變式　(1)A　(2)-　[解析] (1)因為f(x)是定義在R上,且周期為π的奇函數(shù),所以f=f=f=-f,即f=0.因為當x∈時,f(x)=sin x,所以f=sin=,f=f=f=-f=-,所以f+f+f=+0-=0.故選A.
(2)因為函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為π,所以ω==2,可得函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ),又函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)為偶函數(shù),所以φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故cos=cos=-cos=-.

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