資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　單調(diào)性、最大值與最小值
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
[-1,1]　[-1,1]　　　[2kπ-π,2kπ]　[2kπ,2kπ+π]　+2kπ
-+2kπ　2kπ　2kπ+π
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (2)當(dāng)x∈時(shí),x+∈,故函數(shù)y=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)>　(2)<　(3)>　(4)>　[解析] (1)∵函數(shù)y=sin x在上單調(diào)遞減,且<<<π,∴sin>sin.
(2)cos=cos=cos=cos ,cos=cos=cos=cos.∵0<<<π,且y=cos x在[0,π]上單調(diào)遞減,∴cos(3)cos 870°=cos(720°+150°)=cos 150°,sin 980°=sin(720°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cos 170°,∵0°<150°<170°<180°,且y=cos x在[0°,180°]上單調(diào)遞減,∴cos 150°>cos 170°,即cos 870°>sin 980°.
(4)∵cos=sin,∴0sin.
例2　解:(1)由x+∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z),
故函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
由x+∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z),故函數(shù)y=sin的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).
(2)函數(shù)y=cos=cos.
由2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z,
解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
由2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,
解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函數(shù)y=cos的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.
變式　(1),k∈Z　(2),
[解析] (1)由2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
(2)y=2+sin=-sin+2,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函數(shù)y=2+sin,x∈[0,π]的單調(diào)遞減區(qū)間為,.
拓展　∪　[解析] 由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z,∵f(x)在上單調(diào)遞增,∴解得-+4k≤ω≤+且ω>0,∴0<ω≤或≤ω≤3,∴ω的取值范圍是∪.
探究點(diǎn)二
例3　解:(1)令t=x+,∵x∈,∴t∈.
∵函數(shù)y=sin t在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)t=時(shí),y=,當(dāng)t=時(shí),y=1,
當(dāng)t=時(shí),y=,∴所求函數(shù)的值域?yàn)?
(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤cos≤1.
當(dāng)a>0時(shí),由題意得解得
當(dāng)a<0時(shí),由題意得解得
故a=2,b=1或a=-2,b=2.
變式　解:因?yàn)?≤x≤,所以0≤2x+≤,
所以0≤sin≤1,所以-2≤-2sin≤0,
則1≤3-2sin≤3.
所以當(dāng)sin=0,即x=-時(shí),函數(shù)取得最大值3;當(dāng)sin=1,即x=時(shí),函數(shù)取得最小值1.
例4　(1)C　(2)D　[解析] (1)令t=sin x,則-1≤t≤1,y=t2+t-1=-,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=-時(shí),函數(shù)取得最小值-,當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)取得最大值1,即函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域?yàn)?故選C.
(2)令t=sin x,因?yàn)閨x|≤,所以-≤t≤,則y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=-t2+t+1=-+,所以當(dāng)t=-時(shí),y取得最小值.故選D.
變式　2　[解析] f(x)=cos2x-asin x+b=-sin2x-asin x+b+1,令t=sin x(-1≤t≤1),則y=-t2-at+b+1(-1≤t≤1),該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為t=-.當(dāng)-≤-1,即a≥2時(shí),解得當(dāng)-1<-<0,即0此時(shí)得到的解均不滿足0【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.掌握y=sin x,y=cos x的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.
　　2.會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間.
　　3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值與最小值,并會(huì)求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的值域和最值.
◆ 知識(shí)點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值
正弦函數(shù) 余弦函數(shù)
圖象
定義域 R R
值域 　　　 　　　
單調(diào)性 在每一個(gè)閉區(qū)間　　　　　　　　(k∈Z)上都單調(diào)遞增,在每一個(gè)閉區(qū)間　　　　　　　　(k∈Z)上都單調(diào)遞減 在每一個(gè)閉區(qū)間　　　　　　(k∈Z)上都單調(diào)遞增,在每一個(gè)閉區(qū)間　　　　　　(k∈Z)上都單調(diào)遞減
最值 x=　　　　　(k∈Z)時(shí),ymax=1; x=　　　　　(k∈Z)時(shí),ymin=-1 x=　　　　(k∈Z)時(shí),ymax=1; x=　　　　(k∈Z)時(shí),ymin=-1
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)余弦函數(shù)在[-π,0]上單調(diào)遞增. (　 )
(2)函數(shù)y=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增. (　 )
(3) x∈[0,2π],cos x=. (　 )
(4)函數(shù)y=1-cos 2x的最大值是 +1,最小值是1-,最小正周期是π. (　 )
(5)函數(shù)y=-2sin取得最小值時(shí)自變量x的取值集合是. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　三角函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用
角度一　比較三角函數(shù)值的大小
例1 利用三角函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小.
(1)sin　　　　sin;
(2)cos　　　　cos;
(3)cos 870°　　　　sin 980°;
(4)sin　　　　sin.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值大小的步驟:①異名函數(shù)化為同名函數(shù);②利用誘導(dǎo)公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間上;③利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
角度二　求正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=sin;
(2)y=cos.
變式 (1)函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　　　　　　.
(2)函數(shù)y=2+sin,x∈[0,π]的單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　　　　　　.
拓展 已知函數(shù)f(x)=sin ,其中ω>0,若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是　　　　　　　　　.
◆ 探究點(diǎn)二　三角函數(shù)的值域及最值
角度一　形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的最值(值域)問題
例3 (1)求y=sin,x∈的值域.
(2)已知函數(shù)f(x)=acos+b(a≠0),當(dāng)x∈時(shí),f(x)的最大值為3,最小值為0,求a和b的值.
變式 求函數(shù)y=3-2sin,-≤x≤的最大值、最小值及相應(yīng)的x值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
對(duì)于形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)(A≠0,ω>0)的三角函數(shù),令t=ωx+φ,根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sin t(或y=cos t)的最值(值域),最后求得原函數(shù)的最值(值域).注意當(dāng)A為負(fù)數(shù)時(shí)的情況.
角度二　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的最值(值域)問題
例4 (1) 函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域?yàn)?(　 )
A.[-1,1] B.
C. D.
(2) 若|x|≤,則y=cos2x+sin x的最小值是 (　 )
A. B.-
C.-1 D.
變式 若函數(shù)f(x)=cos2x-asin x+b(a>0)的最大值為0,最小值為-4,則2a+b=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
對(duì)于形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函數(shù),可利用換元思想,設(shè)t=sin x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求最值.t的取值范圍需要根據(jù)原函數(shù)的定義域來確定.

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