資源簡介

《數(shù)據(jù)的波動程度》教學設(shè)計
湖北省嘉魚縣高鐵中學　王素琴
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
方差計算公式：．
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學生學習了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這類刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的量后，學習刻畫數(shù)據(jù)波動（離散）程度的量，即方差．
當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，為了更好的做出選擇經(jīng)常要去了解一組數(shù)據(jù)的波動程度，可以畫折線圖方法來反映這種波動大小，可是當波動大小區(qū)別不大時，僅用畫折線圖方法去描述恐怕不會準確，這自然希望可以出現(xiàn)一個量來刻畫，自然引入方差．方差是能夠反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個統(tǒng)計量，應(yīng)用它能解決很多實際問題．
教科書根據(jù)農(nóng)科院選擇甜玉米種子的背景提出問題，從統(tǒng)計上看，這個問題是要計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和比較它們的波動情況．為了直觀看出數(shù)據(jù)的波動情況，教科書畫出了兩個散點圖，通過觀察散點圖，可以比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況．這兩個散點圖使學生對數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個直觀的認識．在此基礎(chǔ)上，教科書引進了利用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方法，介紹了方差的公式，并從方差公式的結(jié)構(gòu)上分析了方差是如何刻畫數(shù)據(jù)的波動的，既方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大．
因此本節(jié)課的教學重點是：方差產(chǎn)生的必要性和應(yīng)用方差公式解決實際問題．
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1．理解方差概念的產(chǎn)生和形成的過程．
2．會用方差的計算公式來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小．
（二）教學目標解析
1．學生能由實際問題中感知，當兩組數(shù)據(jù)的“平均水平”相近時，而實際問題中的意義卻不一樣，需出現(xiàn)另一個量來刻畫，分析數(shù)據(jù)的差異，即方差．
2．學生能根據(jù)已知條件計算方差，比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小．
三、教學問題診斷分析
由于這節(jié)課是方差的第一節(jié)課，用方差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，從方差公式的結(jié)構(gòu)上分析了方差是如何刻畫數(shù)據(jù)的波動的，這些學生理解起來有一定的難度，以致應(yīng)用時常常出現(xiàn)計算的錯誤，教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握．
本節(jié)課的教學難點為：理解方差的意義．
四、教學過程設(shè)計
（一）情景引入
問題1 教科書第124頁根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計，農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢？
師生活動：學生想到計算它們的平均數(shù)．教師把學生分成兩組分別用計算器計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（請兩名同學到黑板板書）
設(shè)計意圖：讓學生明確農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子？需關(guān)注平均產(chǎn)量．
追問：怎樣估計這個地區(qū)這兩種甜玉米的平均產(chǎn)量？這能說明甲、乙兩種甜玉米一樣好嗎？
設(shè)計意圖：讓學生明確可以用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩種甜玉米的平均產(chǎn)量相差不大，但需選擇哪種甜玉米種子？僅僅知道平均數(shù)是不夠的．
（二）探究新知
問題2 如何考察甜玉米產(chǎn)量的穩(wěn)定性呢？請設(shè)計統(tǒng)計圖直觀地反映出甜玉米產(chǎn)量的分布情況．
師生活動：教師引導學生用折線圖或散點圖反映數(shù)據(jù)的分布情況，畫出折線圖或散點圖后，小組討論，得到甲種甜玉米的產(chǎn)量波動較大，乙種甜玉米的產(chǎn)量波動較小．
設(shè)計意圖：讓學生明白當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相近時，為了更好的做出選擇需要去了解數(shù)據(jù)的波動大小，畫折線圖或散點圖是描述數(shù)據(jù)波動大小的一種方法，進而引出如何用數(shù)值表示一組數(shù)據(jù)的波動？
問題3 從圖中看出的結(jié)果能否用一個量來刻畫呢？
師生活動：教師直接給出方差公式，并作分析和解釋，波動大小指的是與平均數(shù)之間差異，那么用每個數(shù)據(jù)與平均值的差完全平方后便可以反映出每個數(shù)據(jù)的波動大小．教師說明，平方是為了在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度時，防止正偏差與負偏差的相互抵消．取各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的絕對值也是一種衡量數(shù)據(jù)波動情況統(tǒng)計量，但方差應(yīng)用更廣泛．整體的波動大小可以通過對每個數(shù)據(jù)的波動大小求平均值得到．
設(shè)計意圖：讓學生明白方差是能夠反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個統(tǒng)計量，并從方差公式中得到方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小．
問題4 利用方差公式分析甲、乙兩種甜玉米的波動程度．
師生活動：教師示范：
；
．
關(guān)注學生是否會代值到公式中，從結(jié)果中能否知道哪種玉米的波動較大．
設(shè)計意圖：使學生深刻體會到數(shù)學來源于實踐，又反過來作用于實踐，不僅使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學生應(yīng)用數(shù)學的意識．
追問：農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢？
設(shè)計意圖：讓學生類比用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)一樣，用樣本的方差來估計總體的方差，但用樣本的方差來估計總體的方差時，先要計算它們的平均數(shù)．
（三）運用新知
例1 在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個芭蕾舞團都表演了舞劇《天鵝湖》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）分別是：
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
哪個芭蕾舞團女演員的身高更整齊？
師生活動：引導學生分析：（1）題目中“整齊”的含義是什么？學生通過思考可以回答出整齊即身高的波動小，所以要研究兩組數(shù)據(jù)的波動大小，即求方差． （2）在求方差之前先要求哪個統(tǒng)計量？（平均數(shù)）．（3）老師板書解題過程，學生和老師一起計算、判斷、解決問題．
設(shè)計意圖：使學生明確利用方差計算的步驟，以及方差反映數(shù)據(jù)波動大小的規(guī)律．
（四）鞏固新知
練習1　計算下列各組數(shù)據(jù)的方差：
　 （1）　6?? 6?? 6?? 6?? 6?? 6?? 6；
?? （2）　5?? 5?? 6?? 6?? 6?? 7?? 7；
?? （3）　3?? 3?? 4?? 6?? 8?? 9?? 9；
?? （4）　3?? 3?? 3?? 6?? 9?? 9?? 9．
師生活動：教師重點關(guān)注：學生能否正確運用方差計算公式計算方差．
設(shè)計意圖：讓學生更好的掌握方差的計算方法．
練習2　教科書126頁第2題．
師生活動：（1）從折線圖可以看出乙的成績波動較小；（2）分別計算甲、乙的方差．
設(shè)計意圖：用方差的計算公式解決問題．
（五）歸納小結(jié)
師生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：
1．方差怎樣計算？
2．方差的適用條件是？
3．你如何理解方差的意義？
設(shè)計意圖：引導學生回顧方差計算公式及方差是如何刻畫數(shù)據(jù)的波動的．
（六）布置作業(yè)
教科書第128頁第1，2題．
五、目標檢測設(shè)計
1．要比較兩位同學在五次數(shù)學測驗中誰的成績比較穩(wěn)定，應(yīng)選用的統(tǒng)計量是（?? ）．
A．平均數(shù) ????B．中位數(shù)???? C．眾數(shù)???? D．方差
設(shè)計意圖：考查方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小．
2．一組數(shù)據(jù)：，，0，1，2的方差是（??? ）．
A．1??? B．2???? C．3???? D．4
設(shè)計意圖：熟練應(yīng)用方差公式求方差．
3．如果樣本方差那么這個樣本的平均數(shù)為?????? ，樣本容量為???????? ．
設(shè)計意圖：考查對方差公式的理解．
4．已知的平均數(shù)10，方差3，則的平均數(shù)為??? ?????，方差為??????? ．
設(shè)計意圖：考查對平均數(shù)與方差的理解．
5．甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種零件，10天出的次品分別是
甲：0? 1? 0? 2? 2? 0? 3? 1? 2? 4
乙：2? 3? 1? 2? 0? 2? 1? 1? 2? 1
分別計算出兩個樣本的平均數(shù)和方差，根據(jù)你的計算判斷哪臺機床的性能較好？
設(shè)計意圖：綜合運用方差的有關(guān)知識解決實際問題．
《數(shù)據(jù)的波動程度》同步測試
湖北省嘉魚縣高鐵中學　王素琴
一、精心選一選
1．甲、乙兩組數(shù)據(jù)，它們都是由n個數(shù)據(jù)組成，甲組數(shù)據(jù)的方差是0．4，乙組數(shù)據(jù)的方差是0．2，那么下列關(guān)于甲乙兩組數(shù)據(jù)波動說法正確的是（　　）．
??????????? A．甲的波動小?????????????????? B．乙的波動小
??????????? C．甲、乙的波動相同??????? D．甲、乙的波動的大小無法比較
分析：根據(jù)方差的意義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
答案：B．
點評：本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
2．方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小．有兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)：，，0，1，2；乙組數(shù)據(jù)：，，0，1，1；它們的方差分別記為和，則（　　）．
A．=??????? B．＞???????? C．＜???????? D．無法比較
分析：根據(jù)方差的公式計算和，再比較和．
答案：B．
點評：熟練掌握方差的計算．方差是各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)差的平方的平均數(shù)，它反映數(shù)據(jù)波動的大小．
3．某農(nóng)科所對甲、乙兩種小麥各選用10塊面積相同的試驗田進行種植試驗，它們的平均畝產(chǎn)量分別是千克，千克，畝產(chǎn)量的方差分別是，，則關(guān)于兩種小麥推廣種植的合理決策是（　　）．
??????????????? A．甲的平均畝產(chǎn)量較高，應(yīng)推廣甲
??????????????? B．甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多，均可推廣
??????????????? C．甲的平均畝產(chǎn)量較高，且畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定，應(yīng)推廣甲
??????????????? D．甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多，但乙的畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定，應(yīng)推廣乙
分析：要做出合理決策需考慮兩種小麥的平均畝產(chǎn)量及產(chǎn)量的穩(wěn)定性．
答案：D．
點評：此題主要考查了方差的作用．
二、細心填一填
4．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，若甲組數(shù)據(jù)的方差=0．055，乙組數(shù)據(jù)的方差=0．105，則???? 組數(shù)據(jù)波動較大．
分析：只要比較二者的方差即可作答．
答案：乙．
點評：本題考查了方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
5．甲、乙兩名學生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
經(jīng)過計算，兩人射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同，但????? ，所以確定????? 去參加比賽．
分析：只要分別算出甲、乙的方差，再比較大小．
答案：＞ ，乙?
點評：此題主要考查了方差的計算和意義．
6．在植樹節(jié)當天，某校一個班同學分成10個小組參加植樹造林活動，10個小組植樹的株數(shù)見下表：
植樹株數(shù)（株）
5
6
7
小組個數(shù)
3
4
3
?
?
?
則這10個小組植樹株數(shù)的方差是???? ．
分析：先算出平均數(shù)，再求方差．
答案：0．6．
點評：此題主要考查了求方差的步驟．
三、專心解一解
7．甲、乙兩個樣本的相關(guān)信息如下：樣本甲數(shù)據(jù)：1，6，2，3；樣本乙方差：=3．4．
（1）計算樣本甲的方差；
（2）試判斷哪個樣本波動大．
分析：（1）先由平均數(shù)的公式計算出平均數(shù)，再根據(jù)方差的公式計算即可．
（2）先比較出甲和乙的方差，再根據(jù)方差越大，波動性越大，即可得出答案．
答案：（1）
．
（2）∵=3．5，=3．4，? ∴＞．
∴樣本甲的波動大．
點評：此題主要考查方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
8．某校要從甲、乙兩名跳遠運動員中挑選一人參加一項校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績（單位: cm）如下：
甲：585? 596? 610? 598? 612? 597? 604? 600? 613? 601
乙：613? 618? 580? 574? 618? 593? 585 ?590? 598? 624
（1）他們的平均成績分別是多少？
（2）甲、乙這10次比賽成績的方差分別是多少？
（3）這兩名運動員的運動成績各有何特點？
（4）歷屆比賽表明，成績達到5．96 m就很可能奪冠，你認為為了奪冠應(yīng)選誰參加這項比賽？如果歷屆比賽成績表明，成績達到6．10 m就能打破紀錄，那么你認為為了打破紀錄應(yīng)選誰參加這項比賽．
分析：（1）分別計算出平均數(shù)和方差；
（2）根據(jù)平均數(shù)判斷出誰的成績好，根據(jù)方差判斷出誰的成績波動大．
答案：（1）甲、乙兩人的平均成績?yōu)椋?br/>=［585+596+610+598+612+597+604+600+613+601］=601．6（cm）；
=［613+618+580+574+618+593+585+590+598+624］=599．3（cm）．
（2）=65．84，=284．21，＜．
（3）由上面方差的結(jié)果可知：甲隊員的成績比較穩(wěn)定；乙隊員的成績相對不穩(wěn)定．但甲隊員的成績不突出；乙隊員和甲隊員相比比較突出．
（4）由歷屆比賽的分析表明，成績達到5．96 m很可能達冠．從平均值分析可知，甲、乙兩隊員都有奪冠的可能．但由方差分析可知，甲成績比較平穩(wěn)，奪冠的可能性比乙大． 但如果歷屆比賽成績表明，成績達到6．10 m就能打破紀錄，因此，要打破紀錄，成績要比較突出，因此乙隊員打破紀錄的可能性大，我認為為了打破紀錄，應(yīng)選乙隊員參加這項比賽．
點評：本題考查了平均數(shù)與方差的綜合運用，運用它們來解決實際問題．

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