資源簡介

《解一元二次方程》教學設計
北京市海淀區中關村中學　謝　琳
一、內容和內容解析
1．內容
用因式分解法解一元二次方程．
2．內容解析
教材通過實際問題得到方程，讓學生思考解決方程的方法除了之前所學習過的配方法和公式法以外，是否還有更簡單的方法解方程，接著思考為什么用這種方法可以求出方程的解，從而引出本節課的教學內容．
解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法將一個一元二次方程轉化為兩個一次式的乘積為零，是解某些一元二次方程較為簡便靈活的一種特殊方法．體現了降次的思想，這種思想在以后處理高次方程時也很重要．
基于以上分析，確定出本節課的教學重點：會用因式分解法解特殊的一元二次方程．　　二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）了解用因式分解法解一元二次方程的概念；會用因式分解法解一元二次方程；
（2）學會觀察方程特征，選用適當方法解決一元二次方程．
2．目標解析
（1）學生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟，會利用因式分解求解特殊的一元二次方程；
（2）學生通過對比一元二次方程的結構類型，選用適當的方法合理的解方程，增強解決問題的靈活性．
三、教學問題診斷分析
學生在此之前已經學過了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通過實際問題，獲得一個顯然可以用“提取公因式法”而達到“降次”目的的方程，從而引出因式分解法解一元二次方程，體現了從簡單的、特殊的問題出發，通過逐步推廣而獲得復雜的、一般的問題，符合學生的認知規律．
在實際的教學中，學生在利用因式分解法解方程式往往會在因式分解上存在著一定的困難，從而不能將方程化成兩個一次式乘積的形式．另外在面對一元二次方程時，缺乏對方程結構的觀察，從而在方法的選擇上欠佳，缺乏解決問題的靈活性，增加了計算的難度，降低了計算的準確性．為了突破這一難點，應帶領學生認真觀察方程的結構，對比方法的難易簡便，從而選擇合理的方法解決一元二次方程．
本節課的難點：學會觀察方程特征，選用適當方法解決一元二次方程．
四、教學過程設計
1．創設情景，引出問題
問題一? 根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經過x s離地面的高度（單位：m）為．根據上述規律，物體經過多少秒落回地面（結果保留小數點后兩位）？
師生活動：學生積極思考并嘗試列方程，可有學生解釋如何理解“落回地面”．
【設計意圖】學生首先要理解實際問題背景下代數式的意義，理解落回地面的意義就是高度為零，就是表示高度的代數式的值為零，從而列出方程．在閱讀并嘗試回答的過程中讓他們感受在生活、生產中需要用到方程，從而激發學生的求知欲．
2．觀察感知，理解方法
問題二　如何求出方程的解呢？
師生活動：學生從已有的知識出發，考慮用配方法和公式法解決問題，教師再一步引導學生觀察方程的結構，學生進行深入的思考，努力發現因式分解法方法解方程．
【設計意圖】通過配方法和公式法的選擇，更好地讓學生對比感受因式分解法的簡便，為本節課的教學內容做好知識上的鋪墊和準備．
問題三　如果，則有什么結論？對于你解方程有什么啟發嗎？
師生活動：學生很容易回答有或的結論．由此進一步思考如何將一元二次方程化為兩個一次式的乘積．
【設計意圖】通過觀察，引導學生進一步思考，發現用因式分解中提取公因式法解方程更加簡便，從而學生會對方法的選擇有一定的理解．
問題四　上述方法是是如何將一元二次方程降為一次的？
師生活動：學生通過對解決問題過程的反思，體會到通過提取公因式將一元二次方程化為了兩個一次式的乘積的形式，得到兩個一元一次方程，教師注重引導學生觀察方程在因式分解過程中的變化，在學生總結發言的過程中適當引導．
【設計意圖】讓學生對比不同解法，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種節一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小結的過程中，理解因式分解法的意義，從而引出本節課的教學內容．
3．例題示范，靈活運用
例　解下列方程
（1）；????? （2）．
?
師生活動：提問：（1）如何求出方程（1）的解呢？說說你的方法．
（2）對比解法，說說各種解法的特點．
學生積極思考，積極回答問題，對比解法的不同．
【設計意圖】問題（1）的提出是開放式的，學生可能會回答將括號打開，然后利用配方法或公式法，也有些學生會觀察到如果將當作一個整體，利用提取公因式的方法直接就化為兩個一次式乘積為零的形式．通過問題（2）的思考討論，讓學生體會解法的利弊，注重觀察方程自身的結構．
師生活動：提問：（1）方程（2）與方程（1）對比，在結構上有什么不同？
（2）談談方程（2）的解法．
學生觀察方程（2）與方程（1）的區別，用類比劃歸的思想解決問題．
【設計意圖】問題（2）的方程需要先進行移項，將方程化為右側等于零的結構，然后得到一個平方差的結構，利用平方差公式將一元二次方程化為兩個一次式的乘積為零的結構．
4．鞏固練習，學以致用
完成教材P14練習1，2．
【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗一元二次方程解法掌握情況．
5．小結提升，深化理解
問題五　（1）因式分解法的一般步驟是什么？
（2）請大家總結三種解法的聯系與區別．
師生活動：學生積極思考，歸納因式分解法的一般步驟．總結各種解題方法的特點，體會各種方法的利弊，在交流的過程中加深對解一元二次方程方法的理解，教師對學生的發言給予鼓勵和肯定，對于小結交流中的出現的問題及時進行引導糾正，幫助學生深入理解問題．
【設計意圖】學生通過小結反思，深化對問題的理解，體會到配方法需要將方程進行配方降次，公式法需要將方程化為一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要將一元二次方程化為兩個一次項乘積為零的形式；另在還讓學生體會到配方法和公式法適用于所有方程，但有時計算量比較大，因式分解法適用于一部分一元二次方程，但是三種方法都體現了降次的基本思想．
五、目標檢測設計
解下列方程
1．．??
【設計意圖】利用提取公因式法解方程．
2．．
【設計意圖】利用平方差公式解方程．
3．．
【設計意圖】利用因式分解法不適合的方程可選擇用公式法或配方法解決．
4．．
【設計意圖】選用適當的方法解方程．
《解一元二次方程》同步試題
北京市海淀區中關村中學　謝　琳
一、選擇題
1．方程的解是（????? ）．
A．??? B．??? C．???? D．
考查目的：考查直接利用因式分解法的求解．
答案：B．
解析：兩項一次項乘積為0，兩個一次項分別為零．
2．方程的正確解法是（???? ）．
A．化為????????????????????? ? B．
C．化為? ???? D．化為
考查目的：考查提取公因式法的求解．
答案：C．
解析：以為整體提取公因式．
3．方程正確解法是（????? ）．
A．直接開方得????
B．化為一般形式
C．分解因式得
D．直接得或
考查目的：考查平方差公式求解．
答案：C．
解析：將9和4分別看作3和2的平方，利用平方差公式進行因式分解求方程解
二、填空題
4．方程的解是____________________．
考查目的：考查提取公因式法的求解．
答案：或．
解析：以為整體提取公因式．
5．方程的解是___________________．
考查目的：考查平方差公式求解．
答案：或．
解析：將256看作16的平方，利用平方差進行因式分解求方程解．
三、解答題
用適當的方法解下列方程．
6．．
考查目的：考查提取公因式法的求解．
答案：或．
?
解析：以為整體提取公因式．
7．把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了4倍，求小圓形場地的半徑．
考查目的：考查平方差公式求解的實際問題．
答案：
或（舍）．
?
解析：能根據實際問題列方程，利用平方差進行因式分解求方程解，會對解進行取舍．

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