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1.1 集合的概念
【學習目標】
1.了解集合的含義，掌握集合中元素的三大特性；
2.掌握元素與集合的關系，并能用符號表示；
3.掌握集合的常用表示方法.
【教材知識梳理】
一．元素與集合的相關概念
1.元素：一般地，把 統稱為元素，常用小寫的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 組成的總體，簡稱 ，常用大寫拉丁字母 表示．
3.集合相等：指構成兩個集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
解讀：(1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，如給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的．
(2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素．
(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如1，2，3與3，2，1 構成的集合是同一個集合．
二．元素與集合的關系
1.屬于：如果a是集合A的元素，就說 ，記作 .
2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說 ，記作 .
三．常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號
四．集合的表示方法
1.列舉法：把集合的所有元素_________________，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法；
2.描述法： 設是一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為__________________.
具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或）變化范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
概念辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
（1）某班的所有高個子同學可以組成一個集合．（ ）
（2）分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的．（ ）
（3）由－1,1,1組成的集合中有3個元素．（ ）
（4）集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一個集合．（ ）
（5） 集合{x∈N|x3＝x}可用列舉法表示為{－1,0,1}．（ ）
【教材例題變式】
（源于P3例1）例1.用列舉法表示下列集合：
滿足不等式的質數組成的集合；
（2）一次函數與的圖象的交點組成的集合．
（源于P4例2）例2.用描述法表示下列集合：
所有被3整除的整數組成的集合； (2)拋物線上所有點組成的集合；
【教材拓展延伸】
用符號“”或“”填空：
（1）設集合B是小于的所有實數的集合，則______B，______B；
（2）設集合D是由滿足方程的有序實數對組成的集合，則－1_____D，_____D．
例4．（1）如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形
（2）已知集合，，則（ ）
A． B．或 C． D．
例5.已知集合，，，分別說出它們的含義.
【課外作業】
基礎過關
1．下列各組對象不能構成集合的是（ ）
A．聯合國的常任理事國 B．小于的正整數
C．全國著名的高等院校. D．所有的有理數
2．下列元素與集合的關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．集合，用列舉法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，則M中元素的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知集合，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，如果且，那么________.
8．設，，為非零實數，則的所有值所組成的集合為__________.
9．已知集合．
(1)若，求實數a的值； (2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值.
能力提升
10．已知集合，，，若，，則必有（ ）
A． B． C． D．不屬于集合A、B、C中的任何一個
11．（多選）已知集合中的元素滿足，其中，，則下列選項中屬于集合的是（ ）
A．0 B． C． D．
12．（多選）設非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下命題，其中真命題是（ ）
A．若m=1，則 B．若，則≤n≤1
C．若，則 D．若n=1，則
13．非空有限數集滿足：若，，則必有，，．則滿足條件且含有兩個元素的數集______．（寫出一個即可）
14．已知集合有唯一元素，用列舉法表示滿足集合的條件的的取值集合__________．
15．設集合A由實數構成，且滿足：若（且），則．
(1)若，試證明集合A中有元素－1，；
(2)判斷集合A中至少有幾個元素，并說明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的積．
16．設A是實數集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．
(1)當時，寫出集合A的生成集B；
(2)若A是由5個正實數構成的集合，求其生成集B中元素個數的最小值；
(3)判斷是否存在4個正實數構成的集合A，使其生成集，并說明理由．1.1 集合的概念
【學習目標】
1.了解集合的含義，掌握集合中元素的三大特性；
2.掌握元素與集合的關系，并能用符號表示；
3.掌握集合的常用表示方法.
【教材知識梳理】
一．元素與集合的相關概念
1.元素：一般地，把 統稱為元素，常用小寫的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 組成的總體，簡稱 ，常用大寫拉丁字母 表示．
3.集合相等：指構成兩個集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
解讀：(1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，如給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的．
(2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素．
(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如1，2，3與3，2，1 構成的集合是同一個集合．
二．元素與集合的關系
1.屬于：如果a是集合A的元素，就說 ，記作 .
2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說 ，記作 .
三．常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號
四．集合的表示方法
1.列舉法：把集合的所有元素_________________，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法；
2.描述法： 設是一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為__________________.
具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或）變化范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
【答案】
一．1.研究對象 a，b，c… 2.元素 集 A，B，C… 3.一樣
4.確定性 互異性 無序性
二．1.a屬于集合A a∈A 2.a不屬于集合A a A
三. N N*或N＋ Z Q R
四．1.一一列舉出來 2.
概念辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
（1）某班的所有高個子同學可以組成一個集合．（ ）
（2）分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的．（ ）
（3）由－1,1,1組成的集合中有3個元素．（ ）
（4）集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一個集合．（ ）
（5） 集合{x∈N|x3＝x}可用列舉法表示為{－1,0,1}．（ ）
【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√
【教材例題變式】
（源于P3例1）例1.用列舉法表示下列集合：
滿足不等式的質數組成的集合；
（2）一次函數與的圖象的交點組成的集合．
【答案】（1）不等式即為，故滿足要求的質數為2、3、5、7，用列舉法表示為.
（2）聯立方程組，解得，故圖象的交點為，用列舉法表示為.
歸納：使用列舉法表示集合的注意點
（1）元素間用“，”分隔開；
（2）元素不重復，滿足元素的互異性；
（3）對于含有有限個元素且個數較少的集合，采取該方法較合適；若元素個數較多或有無限個且集合中的元素呈現一定的規律，在不會產生誤解的情況下，也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.
（源于P4例2）例2.用描述法表示下列集合：
所有被3整除的整數組成的集合；
(2)拋物線上所有點組成的集合；
【答案】(1)； (2).
【詳解】（1）集合的元素是實數，被3整除的整數可以表示為，，故用描述法表示為；
（2）集合的元素為點，其坐標要滿足函數的解析式，故用描述法表示為.
歸納：用描述法表示集合時的注意點
（1）用描述法表示集合，應先弄清楚集合中元素的屬性，是數集、點集還是其他的類型.一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示其元素.
（2）用描述法表示集合時，若描述部分出現元素記號以外的字母，則需對新字母說明其含義或取值范圍.
【教材拓展延伸】
用符號“”或“”填空：
（1）設集合B是小于的所有實數的集合，則______B，______B；
（2）設集合D是由滿足方程的有序實數對組成的集合，則－1_____D，_____D．
【答案】（1） （2）
歸納：判斷元素和集合關系的兩種方法
(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．
(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．
例4．（1）如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形
（2）已知集合，，則（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】（1）A （2）D
【詳解】（1）根據集合元素的互異性可知，該三角形一定不可能是等腰三角形. 故選：D.
（2）∵，∴或．
若，解得或．
當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；
當時，集合，滿足題意，故成立．
若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．
綜上所述，．故選：D．
歸納：根據集合中元素的特性求值的步驟
例5.已知集合，，，分別說出它們的含義.
【答案】集合是指函數的自變量取值的集合，即；
集合是指函數的所有函數值的集合，即；
集合是指函數圖象上所有點的集合，是一個點集.
【課外作業】
基礎過關
1．下列各組對象不能構成集合的是（ ）
A．聯合國的常任理事國 B．小于的正整數
C．全國著名的高等院校. D．所有的有理數
【答案】C
【詳解】對于A，常任理事國是確定的，所以能構成集合；
對于B，小于的正整數，是確定的，所以能構成集合；
對于C，全國著名沒有一個確定的標準，違反了集合中元素的確定性，故不能構成集合；
對于D，有理數，是確定的，所以能構成集合； 故選：C.
2．下列元素與集合的關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】不屬于自然數，故A錯誤；不屬于正整數，故B正確；
是無理數，不屬于有理數集，故C錯誤；屬于實數，故D錯誤. 故選:B.
3．集合，用列舉法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，可得；所以.故選：C
4．若，，，則M中元素的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】根據題意，，故中元素的個數為.故選：C.
5．已知集合，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】是單元素集，集合中的元素是，
，，，
集合中的元素是點，. ∴.故選：D.
6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】由，解得，所以該方程組的解集為或. 故選BD．
7．已知集合，如果且，那么________.
【答案】或
【詳解】因為且，
則當，即時，集合，滿足題意；
當，即或時，集合或，
顯然當時，不滿足題意，時，滿足題意，綜上所述，或.
故答案為：或.
8．設，，為非零實數，則的所有值所組成的集合為__________.
【答案】
【詳解】，，為非零實數，
當，，時，；
當，，中有一個小于時，不妨設，，，
；
當，，中有兩個小于時，不妨設，，，
；
當，，時，；
的所有值組成的集合為．
9．已知集合．
(1)若，求實數a的值； (2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值.
【答案】（1）∵，∴，∴；
（2）當時，，符合題意；當時，，∴．
綜上，或.
能力提升
10．已知集合，，，若，，則必有（ ）
A． B． C． D．不屬于集合A、B、C中的任何一個
【答案】B
【詳解】由題意設，，其中都是整數，
則，其中是整數，可以是奇數也可以是偶數，
∴， 故選：B．
11．（多選）已知集合中的元素滿足，其中，，則下列選項中屬于集合的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】當時，，所以，A正確；
當時，，C正確；
當時，，D正確；
因為，，故，，B錯誤. 故選：ACD.
12．（多選）設非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下命題，其中真命題是（ ）
A．若m=1，則 B．若，則≤n≤1
C．若，則 D．若n=1，則
【答案】BC
【詳解】∵非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.
∴當m∈S時，有m2∈S，即，解得或；
同理：當n∈S時，有n2∈S，即，解得 .
對于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A錯誤；
對于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得，故B正確；
對于C: 若，有，解得：，故C正確；
對于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正確. 故選：BC.
13．非空有限數集滿足：若，，則必有，，．則滿足條件且含有兩個元素的數集______．（寫出一個即可）
【答案】（或）
【詳解】不妨設，由題意得，，，所以，，中必有兩個是相等的.
若，則，故，又，或，所以（舍去）或或，此時.
若，則，此時，故，此時.
若，則，此時，故，此時.
綜上，或.
14．已知集合有唯一元素，用列舉法表示滿足集合的條件的的取值集合__________．
【答案】
【詳解】當時，有唯一解；當時，有唯一解；當時，即有唯一解，所以，解得；綜上的取值集合為. 故答案為：.
15．設集合A由實數構成，且滿足：若（且），則．
(1)若，試證明集合A中有元素－1，；
(2)判斷集合A中至少有幾個元素，并說明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的積．
【答案】（1）證明：∵，∴．∵，∴．
∴集合A中有元素－1，；
（2）由題意，可知若（且），
則，，，
且，，，故集合A中至少有3個元素；
（3）由（2）知A中元素的個數為．又集合A是有限集，且，
若為奇數，則集合A中所有元素的積為；若為偶數，則集合A中所有元素的積為1．
所以集合A中所有元素的積為1或－1．
16．設A是實數集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．
(1)當時，寫出集合A的生成集B；
(2)若A是由5個正實數構成的集合，求其生成集B中元素個數的最小值；
(3)判斷是否存在4個正實數構成的集合A，使其生成集，并說明理由．
【答案】（1），
（2）設，不妨設，
因為，所以中元素個數大于等于7個，
又，，此時中元素個數等于7個，
所以生成集B中元素個數的最小值為7.
（3）不存在，理由如下：
假設存在4個正實數構成的集合，使其生成集，
不妨設，則集合A的生成集
則必有，其4個正實數的乘積；
也有，其4個正實數的乘積，矛盾；
所以假設不成立，故不存在4個正實數構成的集合A，使其生成集.

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