資源簡介

5.7　三角函數的應用
【課前預習】
知識點一
(1)振幅　最大距離　(2)　(3)f==　(4)ωx+φ
初相
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為|A|.
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相為-φ.
(3)該振子在一個周期內通過的路程為20 cm,所以該振子在2 s內通過的路程為20×=100(cm).
【課中探究】
探究點一
例1　解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描點、連線,s=4sin,t∈[0,+∞)的圖象如圖中實線部分所示.
(1)將t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球在開始振動時的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4 cm和-4 cm.
(3)因為振動的周期是π,所以小球往復振動一次所用的時間是π s.
變式　解:(1)由題圖知A=,T=2×=,
∴ω==,∴I=sin.
由“五點法”作圖知×+φ=π,解得φ=,
∴I=sin.
(2)由(1)知T=>,∴在任意一段 s的時間內,電流強度I不能既取得最大值,又取得最小值.
探究點二
例2　解:(1)因為1月份的月平均最高氣溫最低,7月份的月平均最高氣溫最高,所以最小正周期T=2×(7-1)=12,
所以ω==,所以cos=-1,cos=1.
因為φ∈(0,π),所以φ=.因為1月份的月平均最高氣溫為3 ℃,7月份的月平均最高氣溫為33 ℃,所以-A+k=3,A+k=33,所以A=15,k=18.
所以G(n)的解析式是G(n)=15cos+18,n∈[1,12],n為正整數.
(2)易知y=15cos+18在區間[1,7]上單調遞增,在區間[7,12]上單調遞減.
因為某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存,且G(3)=15cos+18=10.5,G(4)=15cos+18=18,所以該植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G(10)=G(4)=18,G(11)=G(3)=10.5,所以該植物在11月份、12月份也可生存.
故一年中該植物在該地區可生存5個月.
變式　解:(1)由題意可得,函數P(t)的最小正周期T==.
(2)函數P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,
則此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90 mmHg,與標準值相比較偏高一點.
探究點三
例3　解:(1)如圖.
(2)最低氣溫為1月份21.4 ℉,最高氣溫為7月份73.0 ℉,
故估計=7-1=6,所以估計T=12.
估計2A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,所以估計A=25.8.
(3)當x∈[0,6]時,①②中的函數均單調遞減,與圖象不符,所以應選③.
變式　y=0.4cos+37,x∈[0,24]　[解析] 設y=Acos(ωx+φ)+c(A>0,ω>0),則c==37,A==0.4,ω==.由0.4cos+37=37.4,即cos=1,即+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,故可用y=0.4cos+37,x∈[0,24]來近似地描述這些數據.5.7　三角函數的應用
【學習目標】
　　1.會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題.
　　2.體會三角函數模型是描述周期變化現象的重要函數模型.
　　3.通過學習三角函數模型的實際應用,使學生學會把實際問題抽象為數學問題,即建立數學模型的思想方法.
◆ 知識點一　函數y=Asin(ωx+φ)中各量的
物理意義
簡諧運動可以用函數y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
(1)A就是這個簡諧運動的　　　　,它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的　　　　　;
(2)簡諧運動的周期是T=　　　　,它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間;
(3)簡諧運動的頻率由公式　　　　　　給出,它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數;
(4)　　　　稱為相位;x=0時的相位φ稱為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為A. (　 )
(2)y=Asin(ωx-φ)的初相為φ. (　 )
(3)一個彈簧振子做簡諧振動的周期為0.4 s,振幅為5 cm,則該振子在2 s內通過的路程為50 cm. (　 )
◆ 知識點二　解答三角函數應用題的基本步驟
應用三角函數模型解決實際問題時,首先要把實際問題抽象為數學問題,通過分析它的變化趨勢確定它的周期,從而建立起適當的三角函數模型.解答三角函數應用題的步驟可分為四步:審題、建模、解模、還原評價.
(1)審題:先審清楚題目條件、要求,理解數學關系.
(2)建模:在細心閱讀與深入理解題意、分析題目條件(如周期性等)的基礎上,引進數學符號,將試題中的非數學語言轉化為數學語言,然后根據題意,列出數量關系,即建立三角函數模型,這時要注意三角函數的定義域應符合實際問題要求,這樣便將實際問題轉化成了數學問題.
(3)解模:對建立的三角函數模型進行分析研究,運用三角函數的有關知識進行推理、運算,使問題得到解決.
(4)還原評價:把數學結論還原為實際問題的解答.
◆ 探究點一　三角函數模型在物理學中的應用
例1 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化規律為s=4sin,t∈[0,+∞).用“五點法”作出這個函數的簡圖,并回答下列問題.
(1)小球在開始振動(t=0)時的位移是多少
(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少
(3)經過多長時間小球往復振動一次
變式 如圖5-7-1是電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關系式I=Asin(ωt+φ)的部分圖象.
(1)試根據圖象寫出I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)在任意一段 s的時間內,電流強度I既能取得最大值,又能取得最小值嗎
圖5-7-1
[素養小結]
三角函數模型在物理中的應用主要體現在簡諧運動、交變電流、交變電壓等方面,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多,尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.
◆ 探究點二　三角函數模型在日常生活中的應用
例2 [2022·北京通州區高一期末] 某地區每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規律,因此第n個月的月平均最高氣溫G(n)可近似地用函數G(n)=Acos(ωn+φ)+k來刻畫,其中正整數n表示月份且n∈[1,12],例如n=1表示1月份,A和k是正整數,ω>0,φ∈(0,π).統計發現,該地區每年各個月份的月平均最高氣溫基本相同,1月份的月平均最高氣溫為3 ℃,是一年中月平均最高氣溫最低的月份,隨后逐月遞增,直到7月份達到最高,為33 ℃.
(1)求G(n)的解析式;
(2)某植物在月平均最高氣溫低于13 ℃的環境中才可生存,求一年中該植物在該地區可生存幾個月.
變式 心臟在跳動時,血壓會升高或降低.血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓,通常認為讀數120/80 mmHg為標準值.設某人的血壓滿足函數關系式P(t)=115+25sin 160πt,其中P(t)為血壓(mmHg),t為時間(min).
(1)求函數P(t)的最小正周期;
(2)求出此人的血壓在血壓計上的讀數,并與標準值進行比較.
[素養小結]
解三角函數應用問題的基本步驟
◆ 探究點三　三角函數模型的擬合
例3 下表是某地某年的月平均氣溫(單位:℉):
月份 1 2 3 4 5 6
平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 40.8 27.7
記x=月份-1,平均氣溫為y.
(1)描出以上各點,并用三角函數的圖象去擬合這些數據.
(2)估計這個三角函數的周期T和振幅A.
(3)下面三個函數模型中,哪一個最適合這些數據
①=cos;②=cos;③=cos.
變式 下表中給出了在24小時內某人的體溫的變化(從夜間零點開始計時).
時間x(時) 0 2 4 6 8 10 12
溫度y(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2
時間x(時) 14 16 18 20 22 24 -
溫度y(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8 -
選用一個三角函數模型來近似地描述這些數據,則該模型為　　　　　　　　　　　.
[素養小結]
根據收集的數據,先畫出相應的“散點圖”,觀察散點圖,然后進行函數擬合獲得具體的函數模型,然后利用這個模型解決實際問題.

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