資源簡介

《實際問題與一元二次方程》教學(xué)設(shè)計
北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)　楊愛青
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
用一元二次方程解決“封面設(shè)計問題”．
2．內(nèi)容解析
本節(jié)課是21．3 實際問題與一元二次方程的最后一課，設(shè)置這一探究的目的不僅是解決這個具體問題，而且是通過這個問題的解決讓學(xué)生再次經(jīng)歷建立和求解一元二次方程模型的完整過程，從而把模型思想、應(yīng)用意識的培養(yǎng)落在實處．
在現(xiàn)實世界中，有許多可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型分析解決幾何圖形的問題原型．探究3以封面設(shè)計為問題背景，討論邊襯的寬度．在探究過程中正確建立方程模型依然是本節(jié)課的重點．
二、目標和目標解析
1．教學(xué)目標
（1）會用一元二次方程解決“封面設(shè)計問題”．
（2）經(jīng)歷分析和解決實際問題的過程，體會一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用，進一步提高運用方程這種重要數(shù)學(xué)工具解決實際問題的基本能力．
2．目標解析
（1）能根據(jù)具體的“圖形面積問題”正確設(shè)“元”，找出可以作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系，并根據(jù)它列出一元二次方程，正確求解一元二次方程，能根據(jù)實際問題檢驗結(jié)果是否正確，進而找出合乎實際的結(jié)果．
（2）完整地經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)模型思想，會用一元二次方程解決簡單的“圖形面積問題”．
三、教學(xué)問題診斷分析
探究3與以前的實際問題相比，它在分析數(shù)量關(guān)系方面更復(fù)雜，問題情境與實際情況也更接近，對于這樣的綜合性問題，學(xué)生缺乏解決問題的經(jīng)驗，而且探究3的問題中沒有明確求什么，學(xué)生感覺無從下手．學(xué)生一般可以意識到要“設(shè)元”用方程解決問題，但如何設(shè)元，如何與幾何知識結(jié)合，挖掘題目圖形中隱蔽的相等關(guān)系，構(gòu)造方程模型對學(xué)生來說存在不同程度的困難，這也是本節(jié)課的難點所在．由于探究3的問題中，方程的兩個根都是正數(shù)，但它們并不都是問題的解，因此由數(shù)學(xué)問題的解得到實際問題的答案對于學(xué)生來說也是一個難點．
四、教學(xué)過程設(shè)計
1．弄清題意
問題1　怎么理解“應(yīng)如何設(shè)計邊襯的寬度”這句話？
師生活動　教師提問，學(xué)生思考、回答．
根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問：“設(shè)計邊襯的寬度要求幾個未知數(shù)？哪幾個，為什么？”加以引導(dǎo)．
一般情況下，學(xué)生都能根據(jù)“上下邊襯等寬，左右邊襯等寬”得出“設(shè)計邊襯的寬度要求兩個未知數(shù)（上面的邊襯寬度和左面的邊襯寬度）”．
【設(shè)計意圖】使學(xué)生明確“封面設(shè)計問題”中求的是什么，初步體會未知之間、已知與未知之間的聯(lián)系．
問題2　題目中還有哪些已知量、未知量，它們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？
師生活動　學(xué)生讀題，思考，可以適當討論．根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問加以引導(dǎo)．如：如何理解“正中央是一個與整個封面長度比例相同的矩形”這句話？“四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”能告訴我們什么？
學(xué)生經(jīng)過思考、討論不難得出：中央長方形的長寬之比是9:7 ，長寬之積為．
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生讀題、審題能力．
2．實現(xiàn)由文字語言、圖形語言到數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)換
問題3　如何把文字語言、圖形語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言？
師生活動　學(xué)生思考并回答問題．這里要讓學(xué)生充分表達自己的觀點，教師可根據(jù)學(xué)生的回答，適時提示學(xué)生關(guān)注題目中的未知量、未知量之間的關(guān)系，以及它們與已知量的關(guān)系．
設(shè)上面邊襯寬度和左面邊襯寬度分別為?cm和cm，中央長方形的長和寬分別為x cm和y cm．
把“正中央是一個與整個封面長度比例相同的矩形，四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”翻譯成數(shù)學(xué)符號語言可得：．
教師追問： 四個未知數(shù)、、、，它們之間還存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？
這是這節(jié)課的一個難點，要給學(xué)生充分的時間獨立思考，如學(xué)生確有困難，教師可適時提示：探究3的問題中還有一個重要的條件“圖形”，同學(xué)們看看“圖形”告訴了我們什么？
把“圖形語言”翻譯成數(shù)學(xué)符號語言可得： ．
【設(shè)計意圖】把“探究3”符號化，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題創(chuàng)造條件．
3．解決問題
問題4　怎么解決“封面設(shè)計問題”？
師生活動　教師與學(xué)生一起梳理，看看通過前面的分析都得到了哪些結(jié)論．
前面我們設(shè)了4個“元”和、和，它們分別代表中央長方形的長和寬 、上面邊襯寬度和左面邊襯寬度，它們之間存在如下的數(shù)量關(guān)系：
，．
教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這就是一個以、、、為未知數(shù)的四元方程組，找到這個方程組中的a、b的值，“封面設(shè)計問題”就迎刃而解了．
【設(shè)計意圖】樹立方程意識，滲透方程思想．
問題5　請你解這個方程組，并與同學(xué)交流一下你的解法．
師生活動　學(xué)生獨立思考、解題，并與同學(xué)交流．教師請同學(xué)展示解法并進行點評．
學(xué)生可能的解法：
（1），（2），（3），（4）．
方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分別代入（3）、（4）求出a、b的值．
說明1：在由（1）、（2）求、的過程中，可以依據(jù)，設(shè)簡化計算．
說明2：實際解題時，可以簡化“設(shè)元”部分，只設(shè)中央長方形的長和寬分別為?cm和cm，解方程求出的值，進而求出中央長方形的長和寬，再用算術(shù)方法就可求出上面邊襯寬度和左面邊襯寬度．
方法二：由（3）、（4）變形得，把（5）、（6）分別代入（1）、（2）可得關(guān)于、的二元方程組，解這個方程組求出、的值．
說明：把（5）、（6）代入（2）化簡可得，可以依據(jù)，設(shè)，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，進而求出、的值．
【設(shè)計意圖】在體驗解法多樣性的基礎(chǔ)上，樹立優(yōu)化意識，簡化計算，優(yōu)化解題形式．
問題6　你求出的、的值都是實際問題的解嗎？
師生活動　教師提出問題，學(xué)生通過計算得出結(jié)論．
【設(shè)計意圖】與實際問題結(jié)合，檢驗數(shù)學(xué)問題的解是否為實際問題的解．
4．回顧反思
問題7　通過這節(jié)課，你對“封面設(shè)計問題”有什么新的認識，有何收獲和體會？
師生活動　請學(xué)生回顧“封面設(shè)計問題”的探究過程，回答以下問題：
（1）探究解題的過程大致包含哪幾個步驟？
（2）在 “封面設(shè)計問題”的探究過程中，你遇到了哪些困難，是如何解決的？
【設(shè)計意圖】更好地體會建模思想，理解建模的一般步驟和方法．
5．布置作業(yè)
教科書習(xí)題21．3第5，8，9題．
五、目標檢測設(shè)計
1．如圖，寬為50cm的矩形圖案由10個全等的小長方形拼成，則每個小長方形的面積為（　??? ）．
A．　　　? B．　　　　C．　　　 D．
【設(shè)計意圖】發(fā)現(xiàn)幾何圖形中隱蔽的相等關(guān)系．
2．(2004年,鎮(zhèn)江)學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一塊長40米、寬20米的長方形空地上計劃新建一塊長9米、寬7米的長方形花圃．
（1）若請你在這塊空地上設(shè)計一個長方形花圃，使它的面積比學(xué)校計劃新建的長方形花圃的面積多1平方米，請你給出你認為合適的三種不同的方案．
（2）在學(xué)校計劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積能否增加2平方米？如果能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由．
【設(shè)計意圖】考查學(xué)生的審題能力及用一元二次方程模型解決簡單的圖形面積問題．
《實際問題與一元二次方程》同步試題
北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)　楊愛青
一、選擇題
1．已知長方形的面積為．若它的長比寬多2 cm，則它的寬為 (　　)．
A．8 cm????????????? B．6 cm???????? C．4 cm??????? D．2 cm
考查目的：考查用一元二次方程解決簡單的幾何圖形面積問題．
答案：B．
解析：設(shè)小長方形的寬為cm，則它的長為cm．由題意可得，解得，不符合題意舍去，故答案應(yīng)選擇B．本題也可由每個選項中的“寬”，算出“長”，然后用“長比寬多2cm”進行驗證得到答案．
2．某商場將某種商品的售價從原來的每件200元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每件162元．設(shè)平均每次調(diào)價的百分率為x，列出方程正確的是(　　)．
A． ??? B．?
C．???? D．
考查目的：考查對實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系的分析能力．
答案：D．
解析：由于第一次調(diào)價后每件元；第二次調(diào)價后每件元，故答案應(yīng)選擇D．
3．一個多邊形有9條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是(　　) ．
A．5??????????? B．6? ????? C．7???? D．8
考查目的：分析幾何圖形，挖掘圖形中隱蔽的數(shù)量關(guān)系．
答案：B．
解析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，列方程，解方程得，而不符合題意舍去，本題答案為B．本題也可畫出四個選項中的多邊形和它們的對角線，直接數(shù)對角線的條數(shù)．
二、填空題
4．若兩個相鄰自然數(shù)的積為156，則這兩個自然數(shù)分別為??????? ????????．
考查目的：考查用一元二次方程解決簡單的數(shù)學(xué)問題．
答案：12，13．
解析：因為兩個相鄰自然數(shù)相差1，所以可以設(shè)這兩個自然數(shù)分別為、，可列方程，解得，不符合題意舍去，故答案為12，13．本題也可以利用平方數(shù)進行估算，然后再計算驗證得出答案．過程如下：由于，，所以有．
5．某林場第一年造林200畝，第一年到第三年這三年中共造林728畝．若設(shè)每年平均增長率為x，則應(yīng)列出的方程是__________?????????????????????? ．
考查目的：考查讀題、審題能力及對實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系的分析能力．
答案： ．
解析：由題意可知，第一年造林200畝，第二年造林畝，第三年造林畝，所以三年共造林畝，應(yīng)列出的方程是．
6．如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方厘米．若設(shè)截去小正方形的邊長為x厘米，則應(yīng)列出的方程為?????????????????? ??????????????．
考查目的：挖掘幾何圖形中隱蔽的相等關(guān)系，并用一元二次方程進行描述．
答案：．
解析：因為長方形底面的長為厘米，寬為厘米，因此應(yīng)列出的方程為．
三、解答題
7．如圖，在矩形中，，．點沿邊從點開始向點以的速度移動，點沿邊從點開始向點以的速度移動．如果、同時出發(fā)，用表示移動的時間．那么當為何值時，Δ的面積等于？
考查目的：用一元二次方程解決簡單面積問題．
答案：或．
解析：這道題中的相等關(guān)系為：，因為表示移動的時間，點以的速度移動，點以的速度移動，所以，可列方程，解方程得，所以或．
8．如圖，已知，在直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，點從點開始以1個單位/秒的速度沿軸向右移動，點從點開始以2個單位/秒的速度沿軸向上移動，如果、兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，能使△的面積為8個平方單位．
考查目的：用一元二次方程解決數(shù)學(xué)綜合問題以及分類討論思想．
答案：經(jīng)過2秒，4秒或秒能使△PQO的面積為8個平方單位．
解析：直線AC與x軸交于點A（-6，0），與y軸交于點C（0，8），所以，OA=6，OC=8．設(shè)經(jīng)過x秒鐘，能使△PQO的面積為8個平方單位，則Rt△PQO的高OQ為2x．
當時，點P在線段OA上，底OP為，可列方程，解得．
當時，點P與點O重合或在線段OA的延長線上，底OP為，可列方程，解得，而不合題意舍去．
綜上所述，經(jīng)過2秒，4秒或秒能使△PQO的面積為8個平方單位．

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