資源簡介

《二次函數與一元二次方程》教學設計
北京市第二十中學　王云松
一、內容和內容解析
1．內容
二次函數與一元二次方程．
2．內容解析
“一元二次方程和二次函數是”是“數與代數”領域中重要的內容，其內容的復雜性、綜合性和思想性都很強，在第三學段占有重要地位．本節，是在學生學習了二次函數的概念、圖象、性質的基礎上，讓學生繼續探索二次函數與一元二次方程的關系，為后面要學習的實際問題與二次函數等相關知識做好鋪墊，起著承上啟下的作用．
在教科書中，首先回顧了從一次函數的角度看一元一次方程的有關內容，在此基礎上提出了課題，認識二次函數與一元二次方程的聯系．為了更好地理解本節課的內容，教材編寫者設置了一個小球飛行問題．在這個問題中，將小球飛行的某一高度的值代入到函數解析式中，就得到了一元二次方程，使所要解決的問題轉化為解一元二次方程．由此引出，已知二次函數的值求自變量的值，可以看作解一元二次方程；反過來，解方程可以看作已知二次函數的值為0，求自變量x的值．然后利用二次函數的圖象討論一元二次方程．接著教科書中，由“思考”欄目引出，二次函數的圖象與x軸的公共點的橫坐標是相應一元二次方程的根；二次函數的圖象與x軸的三種位置關系對應一元二次方程根的三種情況．最后通過例題介紹用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根的方法，并且給出了一定精確度下的近似根的一般處理訪求．通過本節課，使學生能夠用二次函數的圖象求相應的一元二次方程的解，理解一元二次方程的解可以有其幾何直觀表示．這種形與數的結合，可以加深對二次函數和一元二次方程的聯系認識．
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：了解一元二次方程的根的幾何意義；知道拋物線與x軸的三種位置關系與一元二次方程的根的三種情況的對應關系；會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，了解一元二次方程根的幾何意義；
（2）理解拋物線與x軸的交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系；
（3）會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解．
2．目標解析
（1）對于二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，學生能夠理解其實質是一元二次方程的解；同樣對于一元二次方程的解，可以看作是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，兩者是統一的．因此可以用二次函數的圖象求相應的一元二次方程的解，一元二次方程的解可以有其幾何直觀表示．
（2）理解方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根，與其所對應的二次函數的圖象與x軸的交點個數分別為兩個、一個和沒有之間的關系．
（3）針對一元二次方程，如果其有實數根，則學生能將其轉化為畫對應的二次函數圖象，并通過讀圖象與x軸交點，估計方程的根．
三、教學問題診斷分析
學生在前面的學習中，已經學習了一次函數與一元一次方程的關系，能夠利用圖象解一元一次方程及不等式（組）．本節課，學生可以利用類比方法繼續學習二次函數與一元二次方程的關系．這樣安排一方面可以深化學生對一元二次方程的認識，另一方面又可以運用二次函數解決一元二次方程的有關問題．由于二次函數、一元二次方程較一次函數、一元一次方程在復雜性、綜合性和思想性上都有所加強，因而其學習和理解的難度相應加大．特別是二次函數的圖象與x軸交點的個數與所對應一元二次方程的解的個數之間的關系，學生理解起來比較困難．突破這一難點，可以借助信息技術手段．例如，解方程時，用幾何畫板軟件畫出相應拋物線，顯示拋物線與x軸的公共點的坐標，就能得出相應方程的根，如果對應的拋物線與x軸沒有公共點，則說明一元二次方程沒有實數根．
本課的教學難點是二次函數圖象與x軸交點個數和一元二次方程的根的個數之間的關系．
四、教學過程設計
（一）復習提問，明確結論
1．解一元一次方程；
2．畫一次函數 的圖象，并指出函數的圖象與x軸有幾個交點，交點的橫坐標是什么？
問題1?一元一次方程與一次函數有什么聯系？
師生活動：學生解方程和畫圖象，回顧一元一次方程與其對應一次函數的關系，明確關于x的一元一次方程的解就是一次函數的圖象與x軸有交點的橫坐標；反之也成立．
【設計意圖】通過回顧一次函數與一元一次方程的聯系，為后面用類比的方法繼續探索二次函數與一元二次方程的聯系做鋪墊．培養學生的形成解決一類問題的通用方法的思維品質．
（二）創設情境，探究新知
問題2 ?如圖22．2-1，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系：
考慮以下問題：
（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？
（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？
（3）球的飛行高度能否達到20．5m？為什么？
（4）球從飛出到落地要用多少時間？
師生活動：想一想：
（1）關系式中的兩個變量及所表示的意義？
（2）當h取一些具體值時，你得到的關于t的哪些一元二次方程？
（3）如何求這些一元二次方程的根呢？
畫一畫：
畫出的圖象，觀察圖象，體會以上問題的答案．
說一說：
你能結合所畫圖象指出為什么有兩個時間球的高度是15m或0m？為什么只在一個時間球的高度是20m?……
議一議：二次函數的圖象與一元二次方程的解有什么關系？
【設計意圖】讓學生直觀感受生活中的現象，體會數學來源于生活，激發學生的學習興趣．通過四個問題的逐漸加深，把二次函數和二次方程聯系起來，直觀的感受到二次函數和二次方程之間的聯系．
問題3 ?已知二次函數的值為3，求自變量x的值？
師生活動：學生將該函數轉化為解方程．得其兩根；教師指出解方程就是已知二次函數的值為0，求自變量x的值．這兩者是統一的．師生共同歸納：???????
一元二次方程的兩個根為，則拋物線與x軸的交點坐標是．
【設計意圖】讓學生通過計算、觀察、思考、交流形成初步的結論——求二次函數某個函數值的時候可轉化為解一元二次方程．
（三）問題探究，深入思考
問題4 下列二次函數的圖象與x軸有沒有公共點？若有，求出公共點的橫坐標；當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少？
．
由此，你能得出相應的一元二次方程嗎？直接寫出它的根．
師生活動：學生結合圖象發現:
（1）的圖象與x軸有兩個公共點，它們的橫坐標是-2，1;當x取公共點的橫坐標時，函數的值是0． 由此得出方程的根是-2，1．
（2）的圖象與x軸有一個公共點，這點的橫坐標是3．當x＝3時，函數的值是0．由此得出方程有兩個相等的實數根3．
（3）的圖象與x軸沒有公共點， 由此可知，方程沒有實數根．
【設計意圖】讓學生通過觀察函數圖象與x軸交點的橫坐標與一元二次方程的根的關系，并體會一元二次方程根的個數與二次函數與x軸交點的個數的關系． 讓學生充分感受到“數形結合”的數學思想．
（四）歸納總結，形成結論
問題5 你能根據剛才的探究，完成下列表格嗎？
二次函數的圖象和x軸交點個數
一元二次方程
的根
一元二次方程
根的判別式Δ=b2-4ac
2
兩不等實數根
1
兩相等實數根
0
無實數根
師生活動：學生完成表格，教師及時發現和糾正學生出現的問題．
【設計意圖】讓學生運用自己的語言歸納結論，培養學生的語言表達能力，教師出示表格，更有利于學生觀察發現“交點個數”與“根的個數”之間的聯系，讓學生形成系統化的知識體系．
（五）例題示范，學以致用
例　利用函數圖象求方程的實數根（精確到0.1）．
師生活動：學生畫出圖象，嘗試由圖象與軸的交點坐標，讀出的近似解．教師借助幾何畫板，畫出圖象，并通過軟件的度量功能，近似地得到方程的解．教師強調：由圖象求得的根，因為存在畫圖和讀數的誤差，一般是近似的．若要得到更為精確的近似解，可以用教科書介紹的方法（二分法）．
【設計意圖】通過設計本例題，讓學生理解畫二次函數的圖象也可以求一元二次方程的近似解．這也是學生難以理解的地方，借助信息技術的繪圖及度量功能，直觀演示，降低學生理解的難度．
（六）練習鞏固，加深理解
1．填空：
已知二次函數的圖象如圖所示：圖象與x軸有　　　個交點，交點的橫坐標是　　　　　　，則方程有　　　　　個根，方程的根是　　　　　　；
2．用圖象法求方程的根．
【設計意圖】通過練習，加深學生對新知識的理解，讓學生感受到成功的喜悅．
（七）歸納小結，反思提高
師生共同回顧本節課所學內容，并請學生回答以下問題：
（1）這節課你學到了哪些知識？
（2）在用圖象法解一元二次議程理要注意哪些問題？
（3）這節課你體會到了哪些數學方法和數學思想？
（八）布置作業：教科書習題22．2第１題，第２題．
五、目標檢測設計
1．拋物線與x軸的交點個數有(??? )．??????????????????
?A．0個　　　? B．1個? 　　　? C．2個　　　??? D．3個
【設計意圖】考查對二次函數圖象與x軸交點個數的理解．
2．根據下列表格的對應值，判斷方程一個解x的范圍是(??? )．??????? ?
x
2．23
2．24
2．25
2．26
-0．06
-0．02
0．03
0．09
A．2C．2．24【設計意圖】考查將一元二次方程的根轉化為拋物線與x軸交點的理解應用．??
3．已知二次函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是???????? ．
【設計意圖】考查對一元二次方程根的情況與拋物線與x軸交點的對應關系理解應用．
4．拋物線的圖象如圖所示，請根據圖象回答：
（1）方程的解是什么？
（2）x取何值時，？
（3）x取何值時，？
【設計意圖】考查二次函數與一元二次方程關系的理解應用，并借助圖象直觀感受一元二次不等式的解集．
《二次函數與一元二次方程》同步試題
北京市第二十中學　王云松
一、選擇題
1．拋物線與x軸的交點個數有(??? ) ．?????????????????
?A．0個 　　　? ??B．1個? 　　 　? C．2個 　　　?? ?D．3個
考查目的：考查對二次函數圖象與x軸交點個數的理解．
答案：A．
解析：，二次函數圖象與x軸無交點．故選A．
2．已知二次函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是(?? )．
A．?? B． ?　　?? C． ?　　??? D． ?
考查目的：考查二次函數的圖象與x軸有交點與對應一元二次方程根的判別式的關系．
答案：D．
解析：因為二次函數的圖象與x軸有交點，對應一元二次方程的判別式非負，所以 ．故選D．
3．函數的圖象如圖所示，那么關于的一元二次方程的根的情況是（　　）．
A．有兩個不相等的實數根???? ??? ??? B．有兩個異號的實數根
C．有兩個相等的實數根?????????????? D．沒有實數根
考查目的：考查對一元二次方程根與對應二次函數圖象與直線交點關系的理解．
答案：C．
解析：求的根，實際上是求與y=3兩個圖象交點的橫坐標．由圖象可得其交點唯一， 因而方程有兩個相等的實數根．故選C．
二、填空題
4．已知二次函數的圖象與x軸無交點，則k的取值范圍是???? ????．
考查目的：考查對一元二次方程根的情況與拋物線與x軸交點的對應關系理解應用．
答案：．
解析：因為二次函數的圖象與x軸無交點，對應一元二次方程的判別式小于零，所以 且解得，
5．已知二次函數的頂點坐標及部分圖象，由圖象可知關于x的一元二次方程的兩個根分別是和　　　　　　．
考查目的：二次函數圖象的對稱性及與對應一元二次方程的根與圖象與x軸交點的關系．
答案：-3．3．
解析：由對稱性可得圖象與x軸另一個交點坐標為(-3.3，0)．
6．根據下列表格的對應值，判斷方程一個解x的范圍是??????????? ．???????
x
3．31
3．32
3．33
3．34
-0．07
-0．03
0．02
0．06
考查目的：考查對一元二次方程根與對應二次函數圖象與x軸交點關系的理解．
答案：3．32解析： 當，對應，當，對應，所以時，3．32三、解答題
7．利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根（精確到0．1）．
考查目的：一元二次方程根與對應二次函數與x 軸的交點．
答案：，．
解析：畫函數的圖象，讀出其與x 軸的交點坐標分別約為(0．6，0)和(-1．6，0)．
圖象如下圖所示：
8．已知函數二次函數．
求證：不論為何實數，此二次函數的圖象與軸都有兩個不同交點．
考查目的：二次函數的圖象與軸的交點與對應一元二次方程根的判別式取值情況的對應關系．
答案： ，不論為何值時，都有，
此時二次函數圖象與軸有兩個不同交點．
解析：將對應一元二次方程的根的判別式，進行配方，由其配方式的形式可判斷，故方程有兩個不等的實數根，所以對應的二次函數與x軸有兩個不同交點．

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